Μαθηματικά Ε΄ 6.36. ΄΄ Διαιρέτες και πολλαπλάσια ΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής

Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 6 - Κεφάλαιο 36

΄΄ Διαιρέτες και πολλαπλάσια ΄΄

http://e-taksh.blogspot.gr

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1

Χρυσούλα Παγκάλου

ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ

π.χ. 4 x 6 = 24 Το 24 είναι πολλαπλάσιο του 4

24 : 4 = 6 Το 4 είναι διαιρέτης του 24

π.χ. Το 3 είναι διαιρέτης και του 12 και του 18,

αφού 12 : 3 = 4 και 18 : 3 = 6

π.χ. Το 2 διαιρεί ακριβώς και το 2 και το 4 και το 6 και το 8 κλπ.

Θυμάμαι ότι πολλαπλάσια είναι

οι αριθμοί που προκύπτουν αν

πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό

με άλλους αριθμούς.

Εγώ, φίλε μου, θα σου πω ότι διαιρέτης ενός

αριθμού ονομάζεται ο αριθμός που χωράει

ακριβώς σε αυτόν και μάλιστα η διαίρεσή τους

είναι τέλεια.

Κι εγώ, με τη σειρά μου, σας ενημερώνω

ότι όπως κάποιοι αριθμοί έχουν κοινά

(ίδια) πολλαπλάσια, έτσι και κάποιοι

αριθμοί έχουν κοινούς (ίδιους) διαιρέτες.

Το 12 και το 18 είναι πολλαπλάσια

του 3 και το 3 είναι διαιρέτης και

του 12 και του 18. Άρα, μπορεί

ένας αριθμός να είναι διαιρέτης σε

πολλούς άλλους αριθμούς.


Χρυσούλα Παγκάλου

Το 5 διαιρεί ακριβώς και το 5 και το 10 και το 15 και το 20 κλπ.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Όλοι οι αριθμοί σίγουρα είναι διαιρέτες του εαυτού τους και

των πολλαπλάσιών τους, αφού και ο πολλαπλασιασμός με τη διαίρεση είναι

αντίστροφες πράξεις. Επίσης, το 1 (η μονάδα) είναι διαιρέτης όλων των

αριθμών:

π.χ. 1 x 4 = 4, 2 x 4 = 8, 3 x 4 = 12, 4 x 4 = 16, 5 x 4 = 20, κλπ.

Οι αριθμοί 4, 8, 12, 16, 20 κλπ είναι πολλαπλάσια του 4 και το 4 είναι

διαιρέτης του εαυτού του και των πολλαπλάσιών του, αφού:

4 : 4 = 1, 8 : 4 = 2, 12 : 4 = 3, 16 : 4 = 4, 20 : 4 = 5, κλπ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Βρίσκω ποιοι αριθμοί από τους παρακάτω διαιρούνται ακριβώς και με το 2

και με το 4 και με το 8:

30, 32, 40, 48, 64, 70, 74, 80, 84, 90

Με το 2 διαιρούνται ακριβώς: ……………………………………………………………………………



2. Βρίσκω ποιοι αριθμοί από τους παρακάτω διαιρούνται ακριβώς και με το 2

και με το 5 και με το 10:

20, 35, 40, 50, 65, 70, 85, 90, 105, 110




Μη φοβάστε! Θα σας πω κολπάκια, που τα

λένε κριτήρια διαιρετότητας και θα βρίσκετε

κατευθείαν αν κάποιος αριθμός είναι διαιρέτης

κάποιου άλλου! (κοιτάξτε την επόμενη σελίδα!!!!)


eva-edu

Όταν έχουμε ένα αριθμό και τον πολλαπλασιάζουμε με ένα άλλο τότε

ο αριθμός που βρίσκουμε ονομάζεται πολλαπλάσιο.

Για παράδειγμα πολλαπλάσια του 2 είναι: 2x0=0

2x1 =2

2x2=4

2x3=6

2x4=8

2x5=10

2x6=12

2x7=14

2x8=16

Άρα τα πολλαπλάσια του 2 είναι το 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Να βρεις τα πολλαπλάσια του 3 και του 4


Διαιρέτες και πολλαπλάσια

Γιάννης Φερεντίνος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.5

Ποιοι αριθμοί λέγονται πολλαπλάσια;

• Πολλαπλάσια ενός αριθμού λέγονται οι αριθμοί τους οποίους σχηματίζουμε πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό με διάφορους ακέραιους αριθμούς

Π.χ. για να βρούμε τα πέντε πρώτα πολλαπλάσια του 8, πολλαπλασιάζουμε το 8 με το 1, το 2, το 3, το 4 και το 5 και παίρνουμε αντίστοιχα

8, 16, 24, 32, 40


Κοινά πολλαπλάσια

• Δύο ή περισσότεροι αριθμοί μπορούν να έχουν κοινά (ίδια) πολλαπλάσια.

• Μπορούμε να τα βρούμε γράφοντας τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού με τη σειρά ή τοποθετώντας τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού στην αριθμογραμμή ή κάνοντας πίνακα.


Παράδειγμα Τα πολλαπλάσια του 4 είναι : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …. Τα πολλαπλάσια του 6 είναι : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, …. Άρα τα κοινά τους πολλαπλάσια είναι 12, 24, 36, ….


Τι είναι οι διαιρέτες ενός αριθμού;

• Διαιρέτες ενός αριθμού λέγονται οι φυσικοί αριθμοί με τους οποίους διαιρείται ακριβώς ο αριθμός.

Π.χ. διαιρέτες του 36 είναι οι αριθμοί: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 και 36


Ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο

• Μπορούμε να αναλύσουμε έναν αριθμό σε γινόμενο με τέτοιο τρόπο, ώστε να μην αναλύεται περισσότερο, χρησιμοποιώντας την προπαίδεια και αναλύοντας κάθε παράγοντα όσο γίνεται.

Π.χ. το 180 αναλύεται ως εξής: 180 = 2*90 = 2*2*45 = 2*2*3*15 = 2*2*3*3*5 Παρατηρούμε ότι δεν αναλύεται άλλο. Το γινόμενο αυτό ονομάζεται γινόμενο πρώτων παραγόντων


Ανάλυση με δενδρόγραμμα 180

2 * 90

2 * 2 * 45

2 * 2 * 3 * 15

2 * 2 * 3 * 3 * 5


Παράδειγμα εύρεσης γινομένου πρώτων παραγόντων

180 2 Το 2 στο 180 χωράει 90 90 2 Το 2 στο 90 χωράει 45 45 3 Το 2 δε χωράει στο 45.Το 3 χωράει 15 15 3 Το 3 στο 15 χωράει 5 5 5 Το 3 δε χωράει στο 5. Το 5 χωράει 1 1 180 = 2*2*3*3*5

Όταν φτάνουμε στο 1 σταματάμε

Γιάννης Φερεντίνος


Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄

65

Μάθημα 16ο Πολλαπλάσια και Διαιρέτες, Ανάλυση - Παραγοντοποίηση αριθμού

Πολλαπλάσια ενός αριθμού λέγονται οι αριθμοί τους οποίους σχηματίζουμε πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό με διάφορους φυσικούς αριθμούς. π.χ. για να βρούμε τα πέντε πρώτα πολλαπλάσια του 7, πολλαπλασιάζουμε το 7 με το 1, το 2, το 3, το 4 και το 5 και παίρνουμε 7, 14, 21, 28 και 35.

Δύο ή περισσότεροι αριθμοί μπορούν να έχουν κοινά (ίδια) πολλαπλάσια. Μπορούμε να τα βρούμε γράφοντας τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού με τη σειρά ή τοποθετώντας τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού στην αριθμογραμμή ή κάνοντας πίνακα. π.χ. τα πολλαπλάσια του 4 είναι : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …, ενώ τα πολλαπλάσια του 6 είναι 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, … Άρα τα κοινά τους πολλαπλάσια είναι 12, 24, 36, ….

Διαιρέτες ενός αριθμού λέγονται οι φυσικοί αριθμοί με τους οποίους διαιρείται ακριβώς ο αριθμός

π.χ. διαιρέτες του 36 είναι οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 και 36.

Παραγοντοποίηση

Μπορούμε να αναλύσουμε έναν αριθμό σε γινόμενο με τέτοιο τρόπο ώστε να μην αναλύεται περισσότερο, χρησιμοποιώντας την προπαίδεια και αναλύοντας κάθε παράγοντα όσο γίνεται

π.χ. το 180 αναλύεται 180 = 2 • 90 = 2 • 2 • 45 = 2 • 2 • 3 • 15 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5. Παρατηρούμε ότι δεν αναλύεται άλλο. Η ανάλυση αυτή μπορεί να γίνει και με δενδρόγραμμα (βλ. Το παρακάτω σκίτσο).

Ασκήσεις

1. Να βρεις τα κοινά πολλαπλάσια των παρακάτω αριθμών :

ΚΠ ( 3, 5 ) μέχρι το 100 ΚΠ ( 2, 4 ) μέχρι το 50 ΚΠ ( 4, 8 ) μέχρι το 50 ΚΠ ( 5, 10 ) μέχρι το 100


Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄

66

2. Να βρεις τους διαιρέτες των παρακάτω αριθμών :

6 : ………………………………………………………………………..

10 : ………………………………………………………………………...

24 : ………………………………………………………………………..

30 : ………………………………………………………………………..

3. Να βρεις τους κοινούς διαιρέτες ( ΚΔ ) των παρακάτω αριθμών :

12, 18, 32 15, 30, 45 10, 20, 40 12, 24, 48

4. Η απόσταση Αλεξάνδρειας – Βέροιας είναι 25 χιλιόμετρα, ενώ η απόσταση Αλεξάνδρειας

– Θεσσαλονίκης είναι διπλάσια. Πόσα χιλιόμετρα είναι η απόσταση Αλεξάνδρειας – Θεσσαλονίκης ;

5. Η απόσταση Αλεξάνδρειας – Βέροιας είναι 25 χιλιόμετρα, ενώ η απόσταση Αλεξάνδρειας

– Αθήνας είναι εικοσαπλάσια. Πόσα χιλιόμετρα είναι η απόσταση Αλεξάνδρειας– Αθήνας ; 6. Η τάξη μας έχει 22 μαθητές και μαθήτριες. Πώς μπορούν να παραταχθούν ώστε να μην

περισσεύει κανένας – καμία μαθητής ή μαθήτρια ; 7. Η Ολυμπία έχει 48 τριαντάφυλλα, 60 γαρίφαλα και 24 μαργαρίτες. Πόσες ομοιόμορφες

ανθοδέσμες μπορεί να φτιάξει και πόσα λουλούδια από κάθε είδος θα βάλει ; 8. Η Σοφία θέλει να φτιάξει ένα κολιέ με 60 χάντρες κόκκινες και κίτρινες. Για κάθε 7

κόκκινες βάζει 5 κίτρινες. Πόσες χάντρες από κάθε χρώμα θα χρειαστεί ;

Κόκκινες Κίτρινες 12 χάντρες 24 χάντρες 36 χάντρες 48 χάντρες 60 χάντρες

9. Να συμπληρώσεις τα 6 πρώτα πολλαπλάσια των αριθμών :

Πολλαπλάσια του 3 : 3, 6,……………………………………………

Πολλαπλάσια του 5 : 5, ………………………………………………

Πολλαπλάσια του 7 : 7, ………………………………………………


20ο Δ. Σ. ΛΑΜΙΑΣ

ΠΑΠΑΤΣΑΝΗ ΚΑΤΕΡΙΝΑ

Πολλαπλάσια και Διαιρέτες

ΠΠοολλλλααππλλάάσσιιαα ενός αριθμού λέγονται όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν ως γινόμενο του

αριθμού με άλλους ακεραίους.

Κάθε αριθμός έχει άπειρα πολλαπλάσια.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δυο αριθμών είναι το μικρότερο από τα κοινά

πολλαπλάσια των δυο αριθμών.

Παράδειγμα: τα πολλαπλάσια του 8 είναι 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...

τα πολλαπλάσια του 12 είναι 12, 24, 36, 48, ...

Τα κοινά πολλαπλάσια του 8 και του 12 είναι 24, 48, ...

Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια είναι το 24, δηλ ΕΚΠ(8,12)=24

Διαιρέτης ενός αριθμού λέγεται κάθε αριθμός που τον διαιρεί ακριβώς (δηλαδή η

διαίρεση είναι τελεία) Όλοι οι αριθμοί έχουν τουλάχιστον 2 διαιρέτες, το 1 και τον εαυτό τους Όλοι οι αριθμοί διαιρούν όλα τα πολλαπλάσιά τους

Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (Μ.Κ.Δ) δυο αριθμών είναι ο μεγαλύτερος από τους κοινούς

διαιρέτες.

Παράδειγμα: οι διαιρέτες του 8 είναι 1, 2, 4, 8

οι διαιρέτες του 4 είναι 1, 2, 4

οι κοινοί διαιρέτες του 8 και του 12 είναι οι 1, 2, 4

ο μεγαλύτερος από αυτούς είναι ο 4 δηλ. ΜΚΔ(8,12)=4

Διαιρετότητα

Όταν λέμε διαιρετότητα εννοούμε κάποιες μεθόδους που μας επιτρέπουν να βρίσκουμε

με σύντομο τρόπο τους διαιρέτες ενός αριθμού.

Φυσικά αυτό μπορούμε να το εξακριβώσουμε κάνοντας διαιρέσεις, αλλά οι διαιρέσεις

απαιτούν χρόνο και κόπο.

Με τα κριτήρια διαιρετότητας καταφέρνουμε να αποφύγουμε τις διαιρέσεις και κάνοντας

κατάλληλες και σύντομες παρατηρήσεις να βρίσκουμε αν ο αριθμός που μας δίνεται έχει

διαιρέτη το 2, το 3 ή κάποιον άλλον.




Κριτήρια διαιρετότητας

Ένας αριθμός διαιρείται με το:

22 Αν το ψηφίο των μονάδων του είναι 0, 2, 4, 6, 8.

(Όλοι οι ζυγοί αριθμοί)

4 Αν το τελευταίο διψήφιο τμήμα του είναι πολλαπλάσιο του 4 ή δύο μηδενικά

Π.χ. το 324 διαιρείται με το 4 γιατί το 24 είναι πολλαπλάσιο του 4

8 Αν είναι ζυγοί αριθμοί και το τελευταίο τριψήφιο τμήμα τους είναι

πολλαπλάσιο του 8 ή τρία μηδενικά

Π.χ. το 5824 διαιρείται με το 4 γιατί το 824 είναι πολλαπλάσιο του 8.

5 Αν το ψηφίο των μονάδων του είναι 0 ή 5

10 Αν τελειώνει σε ένα ή περισσότερα μηδενικά

20 Αν τα δύο τελευταία ψηφία είναι 00 ή 20 ή 40 ή 60 ή 80

25

Αν το τελευταίο διψήφιο τμήμα του είναι πολλαπλάσιο του 25 ή δύο

μηδενικά

Π.χ το 375 διαιρείται με το 25 γιατί το 75 είναι πολλαπλάσιο του 25 (Όλοι οι

αριθμοί που τα τελευταία τους δύο ψηφία είναι 00 ή 25 ή 50 ή 75)

100 Αν τελειώνει σε δύο ψηφία ή περισσότερα μηδενικά

3 Αν το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο του 3.

Π.χ το 324 διαιρείται με το 3 γιατί 3+2+4=9 Το 9 είναι πολλαπλάσιο του 3

9 Αν το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο του 9

Π.χ το 819 διαιρείται με το 9 γιατί 8+1+9=18 Το 9 είναι πολλαπλάσιο του 3

6

Αν είναι ζυγοί αριθμοί και το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο

του 3

Π.χ το 3324 διαιρείται με το 6 γιατί είναι ζυγός αριθμός και το άθροισμα

3+3+2+4=12 Το 12 είναι πολλαπλάσιο του 3




ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρείτε ποιοι από τους αριθμούς: 81, 9225, 312, 800 και 530 διαιρούνται με

το 10: το 25:

το 5: το 2:

το 3: το 100:

το 9: το 8:

το 4: το 20:

2. Να βρείτε ποιοι από τους αριθμούς: 432, 140, 1005, 132 και 120 διαιρούνται με

2 και 5: 3 και 5: 2 και 3: 2 και 9:

2, 5 και 8: 2,3,4,5,8,10:

2,3και 10: 2, 5 και 20

3. Να συμπληρώσετε τους αριθμούς ώστε να διαιρούνται με τους αριθμούς που είναι

δίπλα τους:

α) 534 __ με τους αριθμούς 2 και 5 ε) 841__ με τους αριθμούς 2 και 3

β) 93__ με τους αριθμούς 3 και 5 ζ) 342__ με τους αριθμούς 5, 9 και 20

γ) 181__ με τους αριθμούς 2 και 9 η) 5__3__ με τους αριθμούς 3 και 4

δ) 547__ με τους αριθμούς 3 και 25 θ) 5__ __3__ με τους αριθμούς 2, 3, 5 και 9

Όνομα……………………………………………………………..


Διαιρέτες και Πολλαπλάσια (09/12)

Ποιος αριθμός λέγεται διαιρέτης κάποιου άλλου αριθμού ;

Όταν κάνουμε μια διαίρεση, κάποιες φορές βρίσκουμε υπόλοιπο 0 και κάποιες άλλες έναν

οποιονδήποτε άλλο αριθμό.

Π.χ. 4 : 2 = 2 υπόλοιπο 0 -- 5 : 3 = 1 υπόλοιπο 2 -- 132 : 11 = 12 υπόλοιπο 0

Όταν το υπόλοπο είναι 0, τότε λέμε ότι ο αριθμός που είναι διαιρέτης, διαιρεί

ακριβώς τον αριθμό που είναι διαιρετέος.

Π.χ. στη διαίρεση 4 : 2 = 2 υπόλοπο 0, αφού το υπόλοιπο είναι 0, άρα ο αριθμός 2 είναι

διαιρέτης του 4

στη διαίρεση 5 : 3 = 1 υπόλοπο 2, αφού το υπόλοιπο δεν είναι 0 (είναι 2), άρα ο αριθμός 3

δεν είναι διαιρέτης του 5

στη διαίρεση 132 : 11 =12 υπόλοιπο 0, αφού το υπόλοιπο είναι 0, άρα ο αριθμός 11 είναι

διαιρέτης του 132.

Διαιρέτης ενός αριθμού λέγεται ο αριθμός που διαιρεί ακριβώς αυτόν τον αριθμό.

Ποιος αριθμός λέγεται πολλαπλάσιο κάποιου άλλου αριθμού ;

Έχω τον αριθμό π.χ. 5. Τον πολλαπλασιάζω με τον αριθμό 2, βρίσκω αποτέλεσμα 10. Το

10 λέμε τότε ότι είναι πολλαπλάσιο του 5.


http://sainia.gr/mathimatika-e/922-diaieretes-kai-pollaplasia

Έχω τον αριθμό π.χ. 26. Τον πολλαπλασιάζω με τον αριθμό 7, βρίσκω αποτέλεσμα 152.

Το 152 λέμε τότε ότι είναι πολλαπλάσιο του 26.






Το 108 λέμε τότε ότι είναι πολλαπλάσιο του 54

Αν πολλαπλασιάσω έναν αριθμό με έναν άλλον, αυτό που θα βρω θα είναι

πολλαπλάσιο του πρώτου αριθμού. Πολλαπλάσιο, λοιπόν, ενός αριθμού λέγεται ο

αριθμός που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό με κάποιον άλλον.

Τι λέμε κοινά πολλαπλάσια κάποιων αριθμών ;

Ας βρω τώρα τα πολλαπλάσια του 6 :

6 (6Χ1 = 6), 12 (6Χ2 = 12), 18 (6Χ3 = 18), 24 (6Χ4 = 24), 30 (6Χ5 = 30), 36 (6Χ6 = 36), 42

(6Χ7 = 42), 48 (6Χ8 = 48)... τα πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι άπειρα.

Ας βρω τώρα τα πολλαπλάσια του 3 :

3 (3Χ1 = 3), 6 (3Χ2 = 6), 9 (3Χ3 = 9), 12 (3Χ4 = 12), 15 (3Χ5 = 15), 18 (3Χ6 = 18), 21

(3Χ7 = 21), 24 (3Χ8 = 24), 27 (3Χ9 = 27), 30 (3Χ10) = 30...

Αν παρατηρήσουμε τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσια του 6 και αυτούς που είναι

πολλαπλάσια του 3, θα δούμε ότι οι αριθμοί 6, 12, 18, 24 και 30 είναι πολλαπλάσια και

του 6 και του 3. Λέμε τότε ότι οι αριθμοί 6, 12, 18, 24 και 30 είναι Κοινά

Πολλαπλάσια του 6 και του 3.

Κοινά πολλαπλάσια δύο αριθμών είναι οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια και των

δύο αριθμών.


ΟΝΟΜΑ : …………………………………………………………………………….

Είναι το 6 πολλαπλάσιο του 6;

…………………………………………………………………………………………

Ποιοι είναι οι διαιρέτες του 21;

…………………………………………………………………………………………

Ο Πέτρος, αναλύοντας τον αριθμό 48 μπερδεύτηκε. Μπορείς να τον βοηθήσεις στην

ανάλυσή του;

…………………………………………………………………………………………

Να αναλύσεις σε γινόμενο τους αριθμούς

40 =…………………………………………………………………………………..

50 = …………………………………………………………………………………

75 = ………………………………………………………………………………….

81 = …………………………………………………………………………………

320 = ………………………………………………………………………………..

Βρες 3 κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 6, 9 και 12:

6:……………………………………………………………………………

9:……………………………………………………………………………

12:…………………………………………………………………………

Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς έχουν σαν πολλαπλάσιο το 8500; Εξηγώ και σημειώνω

ΝΑΙ ή ΟΧΙ

2 ΝΑΙ γιατί 8500:2=4250 - ακέραιος 50

5 67

23 100

500 641

Πολλαπλάσια ενός αριθμού λέγονται οι αριθμοί τους οποίους σχηματίζουμε πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό με διάφορους ακέραιους αριθμούς.

Πολλαπλάσια του 7 είναι: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56……Βλέπουμε ότι κάθε αριθμός αν διαιρεθεί με το 7, θα δίνει πάλι ακέραιο αριθμό(υπόλοιπο 0)

Δύο ή περισσότεροι αριθμοί μπορούν να έχουν κοινά πολλαπλάσια. Διαιρέτες ενός αριθμού λέγονται οι φυσικοί αριθμοί με τους οποίους

διαιρείται ακριβώς ο αριθμός. Διαιρέτες του 36 είναι οι 1,2,3,4,6,9,12,18,36 Κάθε αριθμός θα έχει σίγουρα διαιρέτη το 1 και τον εαυτό του. Μπορούμε να αναλύσουμε ένα αριθμό σε γινόμενο με τέτοιο τρόπο

ώστε να μην αναλύεται περισσότερο, χρησιμοποιώντας την προπαίδεια και αναλύοντας κάθε παράγοντα όσο γίνεται. Π.χ. το 180 αναλύεται ως εξής 180 = 2 x 90 = 2 x 2 x 45= 2 x 2 x 3 x 15 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5. H ανάλυση αυτή μπορεί να γίνει και με δενδρόγραμμα


Εγκύκλιος Παιδεία

ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ Διαιρέτες ενός αριθμού λέγονται οι αριθμοί που τον διαιρούν ακριβώς. Π. χ. οι διαιρέτες του 10, 18 και 24 είναι αντίστοιχα: Δ10: 1, 2, 5, 10 Δ18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 Δ24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Πολλαπλάσιο ενός αριθμού λέγεται ο αριθμός που προκύπτει, όταν τον πολλαπλασιάσω με έναν άλλο αριθμό. Π. χ. Τα πολλαπλάσια του 2 και του 3 είναι: Π2: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24... Π3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27... Τα πολλαπλάσια είναι άπειρα

Κοινό πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων αριθμών λέγεται το πολλαπλάσιο όλων αυτών των αριθμών πλην του μηδενός(0)

Τα κοινά πολλαπλάσια δημιουργούνται με διαδοχικό πολλαπλασιασμό του μικρότερου κοινού πολλαπλάσιου. Π. χ. 6, 12, 18, 24 ...

Δες τα πολλαπλάσια των αριθμών ως το 100, τη διάταξη τους στο τετράγωνο και προσπάθησε και συ να τα βρεις για κάθε αριθμό ΚΛΙΚ ΠΑΙΧΝΙΔΙ (1) Βρες διαιρέτες και πολλαπλάσια και σκότωσε τα φαντάσματα ΚΛΙΚ ΠΑΙΧΝΙΔΙ (2) Παίξε με συμμαθητή σου ή με τον υπολογιστή και προσπάθησε να νικήσεις.(παίρνεις τους βαθμούς του αριθμού που διαλέγεις και ο αντίπαλος σου τους διαιρέτες του) ΚΛΙΚ Αναρτήθηκε από ΝΙΚΟΣ στις Σάββατο, Μαρτίου 28, 2009


http://egpaid.blogspot.com/

http://www.tki.org.nz/r/wick_ed/maths/interactives_matrix.php

http://www.jamit.com.au/htmlFolder/app1004.html

http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=12

http://www.blogger.com/profile/14801585743634627041

http://egpaid.blogspot.com/2009/03/blog-post_28.html

kyra_daskala

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤA MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε1

Παιχνίδι με μουσικά όργανα (διαιρέτες και πολλαπλάσια) ΟΝΟΜΑ : ……………………………………………………………………………. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 26/10/09

Είναι το 8 πολλαπλάσιο του 8;

…………………………………………………………………………………………

Ποιοι είναι οι διαιρέτες του 15;

…………………………………………………………………………………………

Ο Ιάσωνας, αναλύοντας τον αριθμό 36, έγραψε: 36= 2 x 3 x 6. Συμφωνείς μαζί του;

…………………………………………………………………………………………

Να αναλύσεις σε γινόμενο τους αριθμούς …

60 =…………………………………………………………………………………..

50 = …………………………………………………………………………………

45 = ………………………………………………………………………………….

72 = …………………………………………………………………………………

840 = ………………………………………………………………………………..

Βρες τα πρώτα 3 κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 6, 9 και 12:

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

Πολλαπλάσια ενός αριθμού λέγονται οι αριθμοί τους οποίους σχηματίζουμε

πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό με διάφορους ακέραιους αριθμούς. (π.χ. τα 5 πρώτα

πολλαπλάσια του 7 είναι τα 7,14,21,28,35)

Δύο ή περισσότεροι αριθμοί μπορούν να έχουν κοινά πολλαπλάσια. Μπορούμε

να τα βρούμε:

1. γράφοντας τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού με τη σειρά

2. τοποθετώντας τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού στην αριθμογραμμή ή

3. κάνοντας πίνακα.

Διαιρέτες ενός αριθμού λέγονται οι φυσικοί αριθμοί με τους οποίους διαιρείται

ακριβώς ο αριθμός. (π.χ. διαιρέτες του 36 είναι οι 1,2,3,4,6,9,12,18,36)

Μπορούμε να αναλύσουμε ένα αριθμό σε γινόμενο με τέτοιο τρόπο ώστε να

μην αναλύεται περισσότερο, χρησιμοποιώντας την προπαίδεια και αναλύοντας κάθε

παράγοντα όσο γίνεται. Π.χ. το 180 αναλύεται ως εξής 180 = 2 x 90 = 2 x 2 x 45=

2 x 2 x 3 x 15 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5. H ανάλυση αυτή μπορεί να γίνει και με δενδρό-

γραμμα


Όνομα:………………………………………… ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ-ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ

1. Βρείτε τα πολλαπλάσια των παρακάτω αριθμών, φτάνοντας μέχρι το 100.

4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100

7:………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5:………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

10:……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

15:……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

20:……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. Διαγράψτε όποιος αριθμούς δεν είναι πολλαπλάσια του αριθμού που σας δίνεται:

π.χ. 7 : { 14, 24, 35, 42, 70, 48 }

α. 8 : { 40, 72, 18, 36, 42, 56, 64 }

β. 15 : { 45, 120, 50, 60, 75, 80, 90 }

γ. 9: { 90, 53, 45, 24, 27, 30, 81 }

3. Βρείτε 3 διαφορετικά κοινά πολλαπλάσια μεταξύ των παρακάτω αριθμών και κυκλώστε τα.

4:………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5:………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8:………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. Αναλύστε τους παρακάτω αριθμούς σε γινόμενα:

36 = 6 6 = 2 3 2 3

48 = ……………………………………………………………………………………

56 = ……………………………………………………………………………………

72 = ……………………………………………………………………………………

5. Γράψτε τους διαιρέτες των παρακάτω αριθμών (τους αριθμούς που τους διαιρούν ακριβώς)

64: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64

56: ……………………………………………………………………………………

40: ……………………………………………………………………………………

28: ……………………………………………………………………………………

6. Η μητέρα του Θανάση δουλεύει σε ένα αρτοποιείο. Θα συσκευάσει 480 κουλουράκια σε

συσκευασίες:

α) των 4 κουλουριών: ……………………………………………………………………………………

β) των 8 κουλουριών: ……………………………………………………………………………………

γ) των 12 κουλουριών:……………………………………………………………………………………

Πόσες συσκευασίες θα χρειαστεί σε κάθε περίπτωση;


Φύλλο Εργασίας

Βρίσκω τα πολλαπλάσια των παρακάτω αριθμών:

Π4 = ......................................................................................................... 56

Π12 = ...................................................................................................... 120

Π15 = ...................................................................................................... 120

Διαβάζω προσεχτικά τις παρακάτω προτάσεις και συμπληρώνω

ένα Σ αν η πρόταση είναι σωστή ή ένα Λ αν η πρόταση είναι

λάθος:

i) Το 48 είναι κοινό πολλαπλάσιο του 2 και του 6.

ii) Το 3 και το 5 είναι διαιρέτες του 25.

iii) Το 90 διαιρείται με το 2, το 5 και το 10.

Δραστηριότητα 1η: “Βρίσκω τα πολλαπλάσια ”

Δραστηριότητα 2η: “Σωστό ή Λάθος;”


Βρίσκω τους διαιρέτες κάθε αριθμού και στη συνέχεια τους

κοινούς διαιρέτες:

Του 60 : _______________________________________

Του 66 : _______________________________________

Του 84 : _______________________________________

Κ.Δ (60, 66, 84) =

Κυκλώνω τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσια του 3:

7, 9, 11, 12, 15, 18, 20, 21, 24, 25, 30, 33, 34, 36, 40, 42, 44,

57, 68, 96, 73, 75

Δραστηριότητα 3η: “Βρίσκω τους διαιρέτες”

Δραστηριότητα 4η: “Βρίσκω τα πολλαπλάσια ”


Ποιοι από τους αριθμούς 76, 90, 450, 315, 1.285 125.960

διαιρούνται ακριβώς με:

Το 2 : _________________________________________

Το 5 : _________________________________________

Το 10 : ________________________________________

Το 2, το 5 και το 10 : ______________________________

Τέλος

http://ioannaprangiou.weebly.

com/

Δραστηριότητα 5η: “Βρίσκω τους διαιρέτες”


Διαιρέτες και πολλαπλάσια Πρέπει να θυμάμαι!

Διαιρέτες ( Δ ) ενός ακεραίου αριθμού λέγονται οι ακέραιοι αριθμοί που διαιρούν ακριβώς αυτό τον αριθμό.

π.χ. Δ10 = 1,2,5,10 Δ24 = 1,2,3,4,6,8,12,24

Πολλαπλάσιο ( Π ) ενός ακέραιου αριθμού λέγεται ο αριθμός που προκύπτει, όταν τον πολλαπλασιάζουμε με έναν άλλο ακέραιο αριθμό ( 1,2,3,4, …).

π.χ. Π2 = 0,2,4,6,8,10,12 …. Π3 = 0,3,6,9,12,15 ….

Κοινό πολλαπλάσιο ( Κ. Π. ) δύο ή περισσοτέρων ακέραιων αριθμών λέγεται κάθε ακέραιος αριθμός που είναι πολλαπλάσιο όλων αυτών των αριθμών.

Τα κοινά πολλαπλάσια είναι άπειρα

* 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Π2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Π3 3 6 9 12 15 18 21 24 27

Π6 6 12 18 24 30 36 42 48 54

Ασκήσεις εμπέδωσης

1. Συμπληρώνω τον παρακάτω πίνακα όσα από τα πολλαπλάσια ( Π ) και κοινά

πολλαπλάσια ( Κ.Π. ) των αριθμών χωρούν:

Π2

Π4

Π6

Κ.Π. (2,4) = …………………………………………………………………………….

Κ.Π. (2,6) = …………………………………………………………………………….

Κ.Π. (4,6) = …………………………………………………………………………….

Κ.Π. (2,4,6) = ………………………………………………………………………….


2. Θα φτιάξω ένα κολιέ με 80 χάντρες, πράσινες και κίτρινες. Για κάθε 6 πράσινες

χάντρες θα βάζω 4 κίτρινες. Πόσες χάντρες θα χρειαστώ από κάθε είδος;

Συμπληρώνω τον πίνακα:

Σύνολο

χαντρών 10 20 30 40 50 60 70 80

Πράσινες

Χάντρες

Κίτρινες

χάντρες

3. Τα σκιουράκια κουβάλησαν στη φωλιά τους σε 15 λεπτά:

α. Πόσα κάστανα κουβάλησε το καθένα σε μία ώρα;

β. Πόσα κάστανα κουβάλησαν όλα μαζί;

γ. Αν μετέφεραν στη φωλιά τους 144 κάστανα, πόσα κάστανα μετέφερε το καθένα;

4. Ο Πέτρος είναι συλλέκτης γραμματοσήμων. Τα γραμματόσημα που έχει είναι

περισσότερα από 60 και λιγότερα από 120. Όταν τα βάζει από 8 σε κάθε σελίδα, δε

του περισσεύει κανένα γραμματόσημο. Όταν τα βάζει από 6 ή 9 σε κάθε σελίδα του

περισσεύουν 4. Πόσα γραμματόσημα έχει ο Πέτρος;


ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ

ÃÉÁ ÔÇÍ Å’ ÔÁÎÇ ÄÇÌÏÔÉÊÏÕ

Ðåñéå÷üìåíá:

36. ÄéáéñÝôåò êáé ðïëëáðëÜóéá ......................................... óåë. 195

37. ÊñéôÞñéá äéáéñåôüôçôáò ôïõ 2, ôïõ 5 êáé ôïõ 10 .......... óåë. 198

38. ÊïéíÜ ðïëëáðëÜóéá, Å.Ê.Ð. ......................................... óåë. 202

39. Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç åôåñþíõìùí êëáóìÜôùí .... óåë. 205

40. Äéá÷åßñéóç ðëçñïöïñßáò - Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá ....... óåë. 209

6ï Åðáíáëçðôéêü ........................................................ óåë. 213

41. ÌÝôñçóç ãùíéþí ........................................................ óåë. 216

42. Åßäç ôñéãþíùí ùò ðñïò ôéò ãùíßåò ............................. óåë. 219

43. Åßäç ôñéãþíùí ùò ðñïò ôéò ðëåõñÝò ........................... óåë. 224

44. Êáèåôüôçôá - ýøç ôñéãþíïõ........................................ óåë. 228

45. Äéáßñåóç ãåùìåôñéêþí ó÷çìÜôùí - Óõììåôñßá ........... óåë. 232

7ï Åðáíáëçðôéêü ........................................................ óåë. 234

ÊñéôÞñéï áîéïëüãçóçò ................................................. óåë. 238

Áðáãïñåýåôáé ç áíáðáñáãùãÞ ôïõ ðáñüíôïòâéâëßïõ ìå ïðïéïíäÞðïôå ôñüðï, ÷ùñßò ôçíÝããñáöç Üäåéá ôïõ åêäüôç.

Äéåýèõíóç åêðáéäåõôéêÞò óåéñÜò:ÆÕÑÌÐÁÓ ÁÍÄÑÅÁÓ

Õðåýèõíïé Ýêäïóçò:ÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇ

ÓõíôáêôéêÞ ïìÜäá:ÁËÁÌÁÍÇ ÃÅÙÑÃÉÁÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓÃÅÑÏÍÔÏÐÏÕËÏÓ ÓÔÅÖÁÍÏÓÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇÌÏÉÑÁÓ ÐÁÍÁÃÉÙÔÇÓÌÏÕÓÏÕËÇÓ ÉÙÁÍÍÇÓÏÑÓÏÐÏÕËÏÓ ÉÙÁÍÍÇÓÐËÏÕÌÁÊÇÓ ÊÙÍÓÔÁÍÔÉÍÏÓÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓ×ÁÍÉÙÔÇ ÉÙÁÍÍÁ

Êáëëéôå÷íéêÞ äéåýèõíóç:FORWARD CREATIVE BUREAU210 9585645

DTP - ÃñáöéêÜ:Á×ÉËËÉÁ ÓÏÕËÔÁÍÁ

ÅéêïíïãñÜöçóç:ÊÁËÁÍÔÙÍÇÓ ÅËÅÕÈÅÑÉÏÓÆÏÕËÁÊÇÓ ÅÌÌÁÍÏÕÇËÔÓÉÏÌÐÁÍÉÄÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ

Copyright:Ç. ÌáíéáôÝáòÅêäïôéêÝò Åðé÷åéñÞóåéò Á.Å.ÈçóÝùò 50, ÊáëëéèÝáôçë. 210 9546555


195

36. ÄéáéñÝôåò êáé ðïëëáðëÜóéá

ëýóç

Ïé áñéèìïß ðïõ Ý÷ïõí ðïëëáðëÜóéï

ôïí áñéèìü 1.500 åßíáé ïé:

2, 3, 5, 150, 500

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò áôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 20

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 20

¢óêçóç á

Ðïéïé áðü ôïõò ðáñáêÜôù áñéèìïýò Ý÷ïõí ùò

ðïëëáðëÜóéï ôïí áñéèìü 1500;

2, 3, 5, 150, 500, 200, 1000, 800


196

ÄéáéñÝôåò êáé ðïëëáðëÜóéá

• ¸÷åé 4 ìáýñåò, 8 ìðëå êáé 12 êüêêéíåò Ýôóé þóôå

íá åðáíáëáìâÜíåôáé ìå ôïí êáíüíá:

2 ìáýñåò - 4 ìðëå - 6 êüêêéíåò

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò ãôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 20

• ¼ëá ìáæß ôá ìõñìÞãêéá êïõâÜëçóáí 72 óðüñïõò óå ìßá þñá,

äéüôé (2 + 3 + 7) ÷ 6 = 12 ÷ 6 = 72 .

• Ôï ìõñìÞãêé Á êïõâÜëçóå 12 óðüñïõò, äéüôé 2 ÷ 6 = 12.

Ôï ìõñìÞãêé Â êïõâÜëçóå 18 óðüñïõò, äéüôé 3 ÷ 6 = 18.

Ôï ìõñìÞãêé Ã êïõâÜëçóå 42 óðüñïõò, äéüôé 7 ÷ 6 = 42.

• Ôï ìõñìÞãêé Á Ý÷åé ìåôáöÝñåé 180 óðüñïõò = 12 ÷ 15

Ôï ìõñìÞãêé Â Ý÷åé ìåôáöÝñåé 270 óðüñïõò = 18 ÷ 15

Ôï ìõñìÞãêé Ã Ý÷åé ìåôáöÝñåé 630 óðüñïõò = 42 ÷ 15, äéüôé

Ý÷ïõí “åñãáóôåß” 1080 : 72=15 þñåò

A Â Ã

óõíÝ÷åéá áðÜíôçóçòÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 20


197

ÄéáéñÝôåò êáé ðïëëáðëÜóéá

¢óêçóç â

Óå Ýíá åñãïóôÜóéï, ï áñéèìüò ôùí åñãáôþí åßíáé ìåãáëýôåñïò ôïõ 130

êáé ìéêñüôåñïò ôïõ 200. Áí ï áñéèìüò ôùí åñãáôþí äéáéñåèåß ìå ôï 11,

äåí áöÞíåé õðüëïéðï. Áí ï áñéèìüò ôùí åñãáôþí äéáéñåèåß ìå ôï 5 Þ

ìå ôï 10, áöÞíåé õðüëïéðï 2. Ðüóïé åßíáé ïé åñãÜôåò ôïõ åñãïóôáóßïõ;

ëýóç

Ïé áñéèìïß ðïõ åßíáé ìåãáëýôåñïé ôïõ 130 êáé ìéêñüôåñïé ôïõ 200, ðïõ üôáí äéáéñåèïýí ìå ôï 11

áöÞíïõí õðüëïéðï 0, åßíáé:

132, 143, 154, 165, 176, 187, 198

Áðü áõôïýò ôïõò áñéèìïýò áõôüò ðïõ üôáí äéáéñåèåß ìå ôï 5 Þ ìå ôï 10 áöÞíåé õðüëïéðï 2 åßíáé ï 132.

¢ñá ïé åñãÜôåò åßíáé 132.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò äôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 21

Ïé áñéèìïß ïé ìåãáëýôåñïé ôïõ 60 êáé ìéêñüôåñïé ôïõ 100, ðïõ üôáí äéáéñåèïýí ìå ôï 8

äßíïõí õðüëïéðï 0, åßíáé ïé: 64, 72, 80, 88, 96.

Áðü áõôïýò ôïõò áñéèìïýò, áõôüò ðïõ äéáéñåßôáé êáé ìå ôï 6 êáé ìå ôï 7 êáé áöÞíåé õðüëïéðï

4 åßíáé ï 88.

¢ñá ôá ðáéäéÜ ôïõ ó÷ïëåßïõ åßíáé 88.


198

37. ÊñéôÞñéá äéáéñåôüôçôáò ôïõ 2, ôïõ 5 êáé ôïõ 10

Ï êõñéïò ÄçìÞôñçò ìðïñåß íá ÷ùñßóåé ôá ðáéäéÜ, óå ßóåò ïìÜäáò ÷ùñßò íá ðåñéóóåýåé

êáíÝíá ðáéäß, óôá ðáñáêÜôù áèëÞìáôá:

• ìðÜóêåô: óå 12 ïìÜäåò, ôùí 5 ðáé÷ôþí óå êÜèå ìßá áðü áõôÝò.

• âüëåú: óå 10 ïìÜäåò, ôùí 6 ðáé÷ôþí óå êÜèå ìßá áðü áõôÝò.




1.606 1.610 300 305 990 1.000

11.078 11.082 5.000 5.005 19.160 19.170


199


Ðåñéóóüôåñá ðïëëáðëÜóéá Ý÷åé ôï 2 êáé ëéãüôåñá ôï 10, äéüôé

ôá ðïëëáðëÜóéá:

• ôïõ 2 åßíáé: (1.000.000 – 1.000) : 2 = 499.500

• ôïõ 5 åßíáé: (1.000.000 – 1.000) : 5 =199.800

• ôïõ 10 åßíáé: (1.000.000 – 1.000) : 10 = 99.900

¢óêçóç â

Ðïéïò áñéèìüò, ðïõ äéáéñåßôáé áêñéâþò ìå ôï 10,

âñßóêåôáé ðéï êïíôÜ óôïõò áñéèìïýò:

7.714, 501, 237, 23.999

ëýóç

Ôï 10 åßíáé äéáéñÝôçò åíüò áñéèìïý, áí

ôï øçößï ôùí ìïíÜäùí åßíáé 0.

7.714 → 7710

501 → 500

237 → 240

23999 → 24000

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò åôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 23

ÊñéôÞñéá äéáéñåôüôçôáò ôïõ 2, ôïõ 5 êáé ôïõ 10


200

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò æôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 23


Áí ôï õðüëïéðï ìéáò äéáßñåóçò ìðïñåß íá åßíáé 0 Þ 1 Þ 2 Þ 3 Þ 4, ôüôå ï äéáéñÝôçò åßíáé ï

áñéèìüò 5.

•

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò óôôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 23

• To 450 äéáéñåßôáé ìå ôï 5, Üñá 450: 5 = 90

Ìðïñþ íá Ý÷ù 5 óåéñÝò ìå 90 öõôÜ ç êÜèå ìßá, 30 áðü êÜèå åßäïò.

• Ôï 450 äéáéñåßôáé ìå ôï 10, Üñá 450 : 10 = 45

Ìðïñþ íá Ý÷ù 10 óåéñÝò ìå 45 öõôÜ ç êÜèå ìßá, 15 áðü êÜèå åßäïò.

ÕðÜñ÷ïõí êáé Üëëïé äõíáôïß óõíäõáóìïß.


201

¢óêçóç â

Äýï áñéèìïß Ý÷ïõí ãéíüìåíï 4.050. Ôï ðçëßêï ôïõò åßíáé 50 êáé ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò 459. Ðïéïé åßíáé

ïé áñéèìïß áõôïß;

ëýóç

Ïé áñéèìïß áõôïß åßíáé ôï 450 êáé ôï 9, äéüôé:

450 ÷ 9 = 4.050

450 : 9 = 50

450 + 9 = 459

Ãéá íá êáôáëÞîïõìå óôïõò áñéèìïýò 450 êáé 9, êÜíáìå áíÜëõóç ôïõ áñéèìïý 4.050 óå ãéíüìåíï

ðáñáãüíôùí.

ÄçëáäÞ:

Ðáñáôçñïýìå üôé: 450 : 9 = 50 êáé 450 + 9 = 459

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò çôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 23

Ïé áñéèìïß, ðïõ ôï ãéíüìåíü ôïõò åßíáé ßóï ìå 96, ôï

ðçëßêï ôïõò åßíáé 6 êáé ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò 28, åßíáé ï

áñéèìüò 24 êáé ï áñéèìüò 4.



202


38. ÊïéíÜ ðïëëáðëÜóéá, Å.Ê.Ð.



203

ÊïéíÜ ðïëëáðëÜóéá, Å.Ê.Ð.


Ôñåéò áñéèìïß ðïõ Ý÷ïõí Å.Ê.Ð. ôïí áñéèìü 60 åßíáé ïé:

10, 12, 5

Ôñåéò áñéèìïß ðïõ Ý÷ïõí Å.Ê.Ð. ìéêñüôåñï áðü ôïí áñéèìü 50 åßíáé ïé:

5, 10, 25

¢óêçóç á

Ôá ðáéäéÜ åíüò ó÷ïëåßïõ êÜíïõí ðñüâåò ãéá ôçí ðáñÝëáóç. Ìðïñïýí üëïé ïé ìáèçôÝò íá óôïé÷é-

èïýí êáôÜ ôåôñÜäåò, åîÜäåò Þ ïêôÜäåò ÷ùñßò íá ðåñéóóåýåé êáíÝíá ðáéäß.

Ðüóá åßíáé ôá ðáéäéÜ ôïõ ó÷ïëåßïõ, üôáí ãíùñßæù ðùò ï áñéèìüò ôùí ðáéäéþí åßíáé ìåôáîý ôïõ 80

êáé ôïõ 100;

ëýóç

Ôï Å.Ê.Ð. (4, 6, 8) = 24

Ôá ðïëëáðëÜóéá ôïõ 24: 24, 48, 72, 96, 120, ...

¢ñá óýìöùíá ìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò ðïõ Ý÷ù,

êáôáëáâáßíù üôé ôï ó÷ïëåßï Ý÷åé 96 ðáéäéÜ.


Ôï Å.Ê.Ð. (3, 4, 6) = 12

Ôá ðïëëáðëÜóéá ôïõ 12: 12, 24, 36, ...

Ôá ðáéäéÜ ó’ áõôÞ ôçí ôÜîç åßíáé 24 (áöïý äåí õðÜñ÷åé ôÜîç ìå ðåñéóóüôåñá

áðü 30 ðáéäéÜ).


204

ÊïéíÜ ðïëëáðëÜóéá, Å.Ê.Ð.


ÓðÜñôç: 06:00 10:00 14:00 18:00 22:00

Áãñßíéï: 06:00 14:00 22:00

ÐÜôñá: 06:00 08:00 10:00 12:00 14:00

16:00 18:00 20:00 22:00

Ôá ëåùöïñåßá ãéá ôéò ôñåéò ðüëåéò, óôçí Ýîïäü

ôïõò, èá óõíáíôçèïýí óôéò: 06:00, 14:00, 22:00.

¢ñá ôñåéò öïñÝò

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò óôôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 25

• 15.000

• 15.000

• 15.000

• 17.500

• 22.500

¢óêçóç â

Íá âñåèïýí ôá êïéíÜ ðïëëáðëÜóéá ôùí áñéèìþí 2, 3, 4.

Íá âñåèåß ôï åëÜ÷éóôï êïéíü ðïëëáðëÜóéï ôùí 2, 3, 4 êáé íá ãñáöïýí ôá êëÜóìáôá 2

3,

3

4 êáé

1

2 óå

éóïäýíáìá êëÜóìáôá.

ëýóç

Ð2 = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28,

30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48

Ð3 = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42,

45, 48, ...

Ð4 = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ...

Ê.Ð. { 2, 3, 4 } = 12, 24, 36, 48

Å.Ê.Ð. { 2, 3, 4 } = 12

2 8

3 12=

3 9

4 12=

1 6

2 12=

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò æôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 25

Ê.Ð. { 5, 4, 10 } = 20, 40, 60

Å.Ê.Ð. { 5, 4, 10 } = 20

Éóïäýíáìá êëÜóìáôá:

2 8

5 20= ,

3 15

4 20= ,

7 14

10 20=


205

39. Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç åôåñþíõìùí êëáóìÜôùí


5 2 7

10 10 10+ =

5 2 3

10 10 10− =


Ôçí 1ç åâäïìÜäá Ýöôéáîáí ôï 1

12 ôïõ ðáæë, äçëáäÞ

5

60.

Ôçí 2ç åâäïìÜäá Ýöôéáîáí ôá 3

10 ôïõ ðáæë, äçëáäÞ

18

60.

¸öôéáîáí, ëïéðüí, (1ç - 2ç åâäïìÜäá) ôá: 5 18 23

60 60 60+ = ôïõ ðáæë.

• Ôï ìÝñïò ôïõ ðáæë ðïõ Ýìåéíå ãéá íá ôï ïëïêëçñþóïõí ôçí 3ç åâäïìÜäá åßíáé:

60 23 37

60 60 60− =

• Ôçí 1ç åâäïìÜäá ôá: 5

60

Ôçí 2ç åâäïìÜäá ôá: 18

60

Ôçí 3ç åâäïìÜäá ôá: 37

60


206

¢óêçóç á

Ç ¢ííá êáé ç ÅëÝíç ðÞñáí ìßá ôïýñôá. Ç ¢ííá ´Ýöáãå ôï 1

3 ôçò

ôïýñôáò êáé ç ÅëÝíç ôï 1

4 ôçò ôïýñôáò. Ðüóç ôïýñôá Ýöáãáí êáé ôá

äýï ðáéäéÜ ìáæß.

ëýóç

ÐñïóèÝôù ôá êïììÜôéá ðïõ Ýöáãáí.

Âñßóêù ôï Å.Ê.Ð. (3, 4) = 12

1 1 4 3 7

3 4 12 12 12+ = + =

¸öáãáí ôá 7

12 ôçò ôïýñôáò.


Ï Ãéþñãïò Ýöáãå ôï:

1 1 1 10 8 5 23

4 5 8 40 40 40 40+ + = + + = ôçò ðßôóáò.

¢óêçóç â

ÓõìðëÞñùóå ôá êåíÜ: • + =1 2

4 5• + + =

1 3 5

3 4 6

ëýóç

• Å.Ê.Ð.(4, 5) = 20

1 2 5 8 13

4 5 20 20 20+ = + =

• Å.Ê.Ð.(3, 4, 6) = 12

1 3 5 4 9 10 23

3 4 6 12 12 12 12+ + = + + =

Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç åôåñþíõìùí êëáóìÜôùí


207


• 1 2 3

3 7 10+ = åßíáé ëÜèïò

1 2 7 6 13

3 7 21 21 21+ = + = óùóôü.

• 1 2 7 10

3 7 10 20+ + = åßíáé ëÜèïò

1 2 7 70 60 147 277

3 7 10 210 210 210 210+ + = + + = óùóôü

• 5 3 2

6 4 2− = åßíáé ëÜèïò

5 3 10 9 1

6 4 12 12 12− = − = óùóôü

ÕðÜñ÷åé ëÜèïò, äéüôé ç áöáßñåóç äýï êëáóìÜôùí ãßíåôáé ìåôáôñÝðïíôáò ôá êëÜóìáôá óå ïìþíõ-

ìá êáé ü÷é áöáéñþíôáò ôïõò áñéèìçôÝò ãéá íá ðñïêýøåé ï áñéèìçôÞò êáé áöáéñþíôáò ôïõò ðáñï-

íïìáóôÝò ãéá íá ðñïêýøåé ï ðáñïíïìáóôÞò ôïõ áðïôåëÝóìáôïò.


1ç åðéëïãÞ ìå ãñÞãïñç åêôßìçóç:1 1

4 18+

2ç åðéëïãÞ ìå áêñéâÞ õðïëïãéóìü:2 4 1 4 5

114 7 7 7 7

+ = + = <

Ðñïôåßíù ôñßá äéáöïñåôéêÜ áèñïßóìáôá:2 1 1 5 8 12

, ,9 18 3 12 21 35+ + +

• 9 2 1 2 3 1 3 12 3

, ,20 5 20 5 10 10 7 35 35

− = − = − =



208

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò óôôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 27 Ôá

7

9 ôùí ÷ñçìÜôùí ðïõ å÷åé ç Ìáñßá åßíáé 70 .

• Íá õðïëïãßóåôå ðüóá ÷ñÞìáôá Ý÷åé.

ÐëÞñùóå ãéá Ýíá ðáé÷íßäé −7 3

9 12ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò.

• Ðüóá ÷ñÞìáôá ôçò ðåñßóóåøáí;

Ëýóç

• Ôá 7

9 ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò åßíáé 70 , ïðüôå ôï

1

9 åßíáé: 70 : 7 = 10 .

¢ñá ôï óýíïëï ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò, ôá 9

9 äçëáäÞ, åßíáé 9 ÷ 10 = 90

• Ôá 7 3 28 9 19

9 12 36 36 36− = − = ôùí ÷ñçìÜôùí ôçò êüóôéóå ôï ðáé÷íßäé,

äçëáäÞ :19 19χ90 1710x90 € € € 47,50€

36 36 36

= = =

¢ñá ôçò ðåñßóóåøáí: ( )90 47,50 € 42,50€− =

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò æôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 27 ÊÜèå ðáéäß Ýöáãå:

1 1 2 1 3 1

6 12 12 12 12 4+ = + = =

• Ï ìéêñüôåñïò áñéèìüò ôùí ðáéäéþí ðïõ ìðïñåß íá âñÝèçêáí óôï

ðÜñôé åßíáé 4.

• Ìßá Þôáí ç ðßôóá ó’ áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç.



Μαθηματικά Ε΄ 6.36. ΄΄ Διαιρέτες και πολλαπλάσια ΄΄

Education

Transcript of Μαθηματικά Ε΄ 6.36. ΄΄ Διαιρέτες και πολλαπλάσια ΄΄