ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΚΑΤΑ ΖΕΥΓΗ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ Δ. Καραμανώλης Επ. Καθηγητής

Η μέθοδος αυτή αναπτύχθηκε από τον Saaty ( 1980 ) και είναι γνωστή με την ονομασία ‘’Αναλυτική Διαδικασία Ιεράρχησης ‘’ (Analytic Hierarchy Process (AHP)). Περιλαμβάνει συγκρίσεις κατά ζεύγη και δημιουργεί έναν πίνακα λόγων. Παίρνει ως δεδομένα εισόδου τις συγκρίσεις κατά ζεύγη και παράγει τα σχετικά βάρη. Συγκεκριμένα, τα βάρη καθορίζονται με την κανονικοποίηση του ιδιοδιανύσματος που συνδέεται με τη μέγιστη ιδιοτιμή του πίνακα των αντίστροφων λόγων.

Έστω ότι επιθυμούμε να συγκρίνουμε ένα σύνολο n αντικειμένων κατά ζεύγη σύμφωνα με τα σχετικά τους βάρη. Ο αριθμός των συγκρίσεων θα είναι n(n-1)/2. Σημειώνουμε τα αντικείμενα με Α1,…, Αn και τα βάρη τους με w1,…, wn . Η σύγκριση κατά ζεύγη μπορεί να απεικονιστεί με έναν αλγεβρικό τετραγωνικό πίνακα A διαστάσεων nxn όπως παρακάτω:

Α1 Α2 … Αn

A1 w1/w1 w1/w2 … w1/wn A = A2 w2/w1 w2/w2 … w2/wn . . . . . . . . . . . . An wn/w1 wn/w2 … wn/wn

Στον πίνακα αυτό οι καταγραφές είναι θετικές και ικανοποιούν την αντίστροφη ιδιότητα aji = 1/aij δηλαδή κάθε στοιχείο του πίνακα στη θέση ji έχει το αντίστροφο του στη θέση ij . Σημειώνουμε ότι αν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα με το ανάστροφο του διανύσματος wT ≡ ( w1,…,wn ) παίρνουμε το διάνυσμα nw. Έτσι το πρόβλημα παίρνει τη μορφή

  Aw = nw (1)

Για πληρέστερη κατανόηση της μεθόδου θα παρουσιάσουμε αναλυτικά ένα παράδειγμα. Θεωρούμε τρείς βιοτόπους Α, Β, Γ και επιθυμούμε να τους αξιολογήσουμε και να τους ιεραρχήσουμε με βάση τρία κριτήρια, (s) το κριτήριο της σπανιότητας, (v) το κριτήριο της ποικιλότητας και (n) της φυσικότητας. Σε πρώτη φάση θα ιεραρχηθούν τα κριτήρια και σε δεύτερη φάση σε σχέση με τα κριτήρια οι βιότοποι όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Στόχος

Κριτήριο (β) Κριτήριο (α) Κριτήριο (γ)

Βιότοπος (Α) Βιότοπος (Β) Βιότοπος (Γ)

1.Ανάπτυξη του πίνακα σύγκρισης κατά ζεύγη μεταξύ των κριτηρίων. Η μέθοδος χρησιμοποιεί μια θεμελιώδη κλίμακα με τιμές από 1 μέχρι 9 για να ταξινομήσει τις σχετικές προτιμήσεις μεταξύ δύο κριτηρίων (πιν. 1). Υποθέτουμε ότι η σπανιότητα είναι μέτριας μέχρι ισχυράς σπουδαιότητας σε σχέση με το κριτήριο της ποικιλότητας, έτσι το αποτέλεσμα της σύγκρισης είναι η τιμή 4

 

Πίνακας 1. Κλίμακα τιμών για σύγκριση κατά ζεύγη  

Ένταση σπουδαιότητας Ορισμός  

1 ίσης σπουδαιότητας 2 ίσης → μέτριας σπουδαιότητας 3 μέτριας σπουδαιότητας 4 μέτριας → ισχυρής σπουδαιότητας 5 ισχυρή σπουδαιότητα 6 ισχυρής → πολύ ισχυρής

σπουδαιότητας 7 πολύ ισχυρή σπουδαιότητα 8 πολύ ισχυρής → ακραίας 9 ακραία  

Πίνακας 2. Σύγκριση κατά ζεύγη αξιολόγησης κριτηρίων

 

Κριτήριο Σπανιότητα Ποικιλότητα Φυσικότητα

Σπανιότητα 1 4

7  

Ποικιλότητα 1/4 1 5

  Φυσικότητα 1/7 1/5 1

2. Υπολογισμός βαρών των κριτηρίων. Αυτό το βήμα περιλαμβάνει την ακόλουθη διαδικασία: (α) άθροισμα των τιμών κάθε στήλης του πίνακα σύγκρισης κατά ζεύγη (πιν.3 βήμα 1), (β) διαίρεση κάθε στοιχείου του πίνακα με το συνολικό άθροισμα της στήλης στην οποία ανήκει το στοιχείο ( ο πίνακας που προκύπτει αναφέρεται ως πίνακας των κανονικοποιημένων συγκρίσεων κατά ζεύγη ) (πιν. 3 βήμα 2) και (γ) υπολογίζεται ο μέσος όρος των στοιχείων σε κάθε σειρά του κανονικοποιημένου πίνακα δηλαδή το άθροισμα των τιμών κάθε σειράς διαιρείται με το 3 ( ο αριθμός των κριτηρίων ). Ο μέσος όρος αυτός προβλέπει μια εκτίμηση των σχετικών βαρών των κριτηρίων που συγκρίθηκαν (πίν. 3 βήμα 3). Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αυτή, τα βάρη ερμηνεύονται ως ο μέσος όρος όλων των πιθανών τρόπων σύγκρισης των κριτηρίων

Πίνακας 3. Υπολογισμός βαρών των κριτηρίων. Βήμα1ο Βήμα 2ο Βήμα 3ο

Κριτήρια s v n s v N Βάρη

s 1,00 4,00 7,00 0,718 0,769 0,538 0,718 0,769 0,538 0,675 v 0,25 1,00 5,00 0,179 0,192 0,385 0,179 0,192 0,385 0,252

n 0,14 0,20 1,00 0,103 0,038 0,077 0,103 0,038 0,077 0,073 σύνολο 1,39 5,20 13,00 1,000 1,000 1,000 1,00

3. Υπολογισμός του λόγου συνέπειας. Στο βήμα αυτό διαπιστώνουμε αν οι συγκρίσεις μας είναι συνεπείς δηλαδή αν εμπεριέχουν το στοιχείο της αντικειμενικότητας. Αυτό περιλαμβάνει την ακόλουθη διαδικασία: (α) καθορισμός του διανύσματος του σταθμισμένου αθροίσματος πολλαπλασιάζοντας το βάρος 0,675 του πρώτου κριτηρίου (σπανιότητα) με την πρώτη στήλη του αρχικού πίνακα συγκρίσεων κατά ζεύγη κατόπιν το δεύτερο βάρος 0,252 (ποικιλότητα) με τη δεύτερη στήλη και το βάρος 0,073 του τρίτου κριτηρίου με την τρίτη στήλη του πίνακα ( πίνακας 4, βήμα 1), αθροίζονται τα γινόμενα κατά σειρές και (β) καθορίζεται το διάνυσμα συνέπειας διαιρώντας το διάνυσμα του σταθμισμένου αθροίσματος πάλι με τα βάρη των κριτηρίων.

Πίνακας 4. βήμα 1 βήμα 2 s 1x0,675 + 4x0,252 + 7x0,073 = 2,194 2,194/0,675 = 3,250 v 0,25x0,675 + 1x0,252 + 5x0,073 = 0,786 0,786/0,252 = 3,119 n 0,14x0,675 + 0,20x0,252 + 1x0,073 = 0,220 0,220/0,073 = 3,014

Στο βήμα 2 του πίνακα 4 τα στοιχεία του διανύσματος συνέπειας είναι οι τρείς ιδιοτιμές (λi) του αρχικού πίνακα. Με βάση τη μέση τιμή λάμδα (λ) των ιδιοτιμών εκτιμούμε τον

λ = 3

014,3119,3250,3 = 3,128

δείκτη συνέπειας CI η εκτίμηση του οποίου βασίζεται στην παρατήρηση ότι το λ είναι πάντοτε μεγαλύτερο η ίσο με τον αριθμό των κριτηρίων με την προϋπόθεση ότι το n είναι θετικό και έχουμε πίνακα αντιστρόφων λόγων, είναι δε λ = n αν ο πίνακας συγκρίσεων είναι συνεπής. Συνεπώς, λ – n μπορεί να θεωρηθεί ως το μέτρο του βαθμού ασυνέπειας και μπορεί να κανονικοποιηθεί όπως παρακάτω:

CI = 1n

nλ

= 13

3128,3

= 0,064

Ο δείκτης αυτός παρέχει το μέτρο απόκλισης από τη συνέπεια και παραπέρα μπορούμε να υπολογίσουμε τον λόγο συνέπειας (CR) ο οποίος καθορίζεται ως ακολούθως:

CR = RI

CI

58,0

064,0 = 0,11

όπου RI είναι ένας τυχαίος δείκτης ασυνέπειας που έχει εκτιμηθεί κατά τέτοιο τρόπο ώστε αν CR < 0,10 τότε είμαστε στα πλαίσια της αντικειμενικότητας και παραμένουν οι αρχικές μας συγκρίσεις ως έχουν, αν όμως CR ≥ 0,10 τότε σημαίνει ότι είμαστε ασυνεπείς στις αρχικές μας κρίσεις και τις αναθεωρούμε αλλάζοντας τις καταγραφές μέχρι να προκύψει πηλίκο < 0,10 οπότε και τις οριστικοποιούμε. Ο δείκτης RI παίρνεται από τον πίνακα 5 και ανάλογα με τον αριθμό των κριτηρίων που χρησιμοποιούμε π.χ στην περίπτωση του παραδείγματός μας για τα 3 κριτήρια ο δείκτης είναι 0,58. Στο παράδειγμα μας ο λόγος συνέπειας είναι > 0.10 που σημαίνει ότι θα πρέπει ν’ αλλάξουμε τις αρχικές μας συγκρίσεις.

Πίνακας 5. Τυχαίοι δείκτες ασυνέπειας (RI) για n = 1…15

n RI n RI n RI

1 0,00 6 1,24 11 1,51 2 0,00 7 1,32 12 1,48 3 0,58 8 1,41 13 1,56 4 0,90 9 1,45 14 1,57 5 1,12 10 1,49 15 1,59

Μετά την αλλαγή των αρχικών μας συγκρίσεων τα τελικά βάρη των κριτηρίων είναι 0,555 , 0,373 και 0,072 για το s , v , & n αντίστοιχα.

Ακολουθεί στη συνέχεια η ίδια διαδικασία σύγκρισης των βιοτόπων κατά ζεύγη σε σχέση όμως με τα κριτήρια και μετά τον έλεγχο της συνέπειας οριστικοποιήθηκαν τα κανονικοποιημένα βάρη.

1. Σε σχέση με το κριτήριο της σπανιότητας (s):

Βιότ. Α Βιότ. Β Βιότ. Γ Κανονικοποιημένα βάρη Βιότ. Α 1 5 9 0,743 Βιότ. Β 1/5 1 4 0,194 Βιότ. Γ 1/9 1/4 1 0.063

C.R =0,07 < 0.10 αποδεκτό

1. Σε σχέση με το κριτήριο της ποικιλότητας (v)

Βιότ. Α Βιότ. Β Βιότ. Γ Κανονικοποιημένα βάρη Βιότ. Α 1 6 4 0,691 Βιότ. Β 1/6 1 1/3 0,091

Βιότ. Γ 1/4 3 1 0,218 C.R = 0,05 < 0,10 αποδεκτό

3. Σε σχέση με το κριτήριο της φυσικότητας (n)

Βιότ. Α Βιότ. Β Βιότ. Γ Κανονικοποιημένα βάρη Βιότ. Α 1 4 1/5 0,194 Βιότ. Β 1/4 1 1/9 0,063

Βιότ. Γ 5 9 1 0,743 C.R = 0,07 < 0,10 αποδεκτό

Η ιεράρχηση των βιοτόπων προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα με στοιχεία τα βάρη τους με το διάνυσμα των βαρών των κριτηρίων όπως φαίνεται παρακάτω:

  Βιότ. Α 0,743 0,691 0,194 0,555   Βιότ. Β 0,194 0,091 0,063 x 0,373 =   Βιότ. Γ 0,063 0,218 0,743 0,072     Βιότ. Α 0,555 x 0,743 + 0,373 x 0,691 + 0,072 x 0,194 = 0,684   = Βιότ. Β 0,555 x 0,194 + 0,373 x 0,091 + 0,072 x 0,063 = 0,146   Βιότ. Γ 0,555 x 0,063 + 0,373 x 0,218 + 0,072 x 0,743 = 0,170