Διακριτα.Διαλέξεις.Γεωργιάδης

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Γιώργος Γεωργιάδης(σύμφωνα με τις παραδόσεις του Λευτέρη

Κυρούση)

Σημειώσεις του μαθήματος

Διάλεξη 1η

• Κανόνας ΑθροίσματοςΑν ένα γεγονός μπορεί να συμβει κατά m τρόπους και ένα άλλογεγονός μπορεί να συμβεί κατά n τρόπους, τότε υπάρχουν m+nτρόποι, κατά τους οποίους ένα από τα δυο γεγονότα μπορεί να συμβεί.

• Κανόνας ΓινομένουΑν ένα γεγονός μπορεί να συμβει κατά m τρόπους και ένα άλλο γεγονός μπορεί να συμβεί κατά n τρόπους, τότε υπάρχουν m•n τρόποι, κατά τους οποίους και τα δυο γεγονότα μπορεί να συμβούν.

Διατάξεις• r αντικειμένων επιλεγμένων από n αντικείμενα χωρίς επανατοποθέτηση:

• Έχει σημασία η σειρά.•Αντιμεταθέσεις r αντικειμένων:

Συνδυασμοί• r αντικειμένων επιλεγμένων από n αντικείμενα χωρίς επανατοποθέτηση:

• Δεν έχει σημασία η σειρά.

Διωνυμικοί Συντελεστές

• Για τον συντελεστή του :Από κάθε διώνυμο μπορούμε να πάρουμε ένα ‘x’ για να σχηματίσουμε το , μπορεί και όχι. Επομένως έχουμε n ευκαιρίες (όσα και τα διώνυμα) να πάρουμε k αντικείμενα ‘x’. Ο αριθμός των τρόπων που μπορούμε να πάρουμε k αντικείμενα από n χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά, είναι .

• Γενικά:

διώνυμο

Ιδιότητες Διωνυμικών Συντελεστών

Οι τρόποι που μπορώ να διαλέξω k αντικείμενα από n είναι ίσοι με τους τρόπους που μπορώ να διαλέξω τα (υπόλοιπα) n-k αντικείμενα από τα n.

Έστω ότι ξεχωρίζω ένα αντικείμενο από τα n+1. Αν πάρω k+1 αντικείμενα συνολικά, μπορώ να συμπεριλάβω και αυτό που ξεχώρισα ή όχι. Στην πρώτη περίπτωση πρέπει να πάρω τα υπόλοιπα k αντικείμενα από τα (υπόλοιπα) n, ενώ στην δεύτερη, πρέπει να πάρω και τα k+1 αντικείμενα από τα n.

1.

2.

3.

Ιδιότητες Διωνυμικών Συντελεστών(συν.)

Για να διαλέξω r αντικείμενα από n αρκεί να διαλέξω πρώτα ένα αντικείμενο, και τα υπόλοιπα r-1 αντικείμενα να τα διαλέξω από τα υπόλοιπα n-1. Το ‘πρώτο’ αντικείμενο μπορώ να το επιλέξω με n τρόπους, και τα υπόλοιπα r-1 με τρόπους. Επειδή όμως δεν έχει σημασία ποιο από τα r αντικείμενα είναι πρώτο (δηλαδή θα μπορουσε να είναι πρώτο οποιοδήποτε από τα υπόλοιπα r-1 αντικείμενα που επελέγησαν στον συνδυασμό, χωρίς να προκύπτει διαφορετικός συνδυασμός), διαιρώ με r.

4.

5.

Μετρήσεις αντικειμένων σε ομάδες• n αντικείμενα διαχωρισμένα σε t ομάδες, με πλήθος

στοιχείων q1,q2, … ,qt αντίστοιχα • Τα αντικείμενα κάθε ομάδας δεν είναι διακεκριμένα.

• Διατάξεις:

• Συνδυασμοί:

Υπάρχουν n! τρόποι να διατάξω n διακεκριμένα αντικείμενα. Eπειδή όμως τα αντικείμενα κάθε ομάδας δεν είναι διακεκριμμένα μεταξύ τους, διαιρώ με τον αριθμό των δυνατών διατάξεων κάθε ομάδας (q1!…qt!).

Μπορώ να επιλέξω το πρώτο αντικείμενο των n με (q1+1) τρόπους: είτε να μην το επιλέξω, είτε να το επιλέξω μια φορά, είτε δυο φορές, ..., είτε q1 φορές. Ομοίως για τα υπόλοιπα. Ο όρος ‘-1’ μπαίνει στο τέλος για να μην μετρήσω το ενδεχόμενο να μην επιλέξω κανένα αντικείμενο.

Διατάξεις με επανάληψη• r αντικειμένων επιλεγμένων από n αντικείμενα

Στην αρχή έχω n αντικείμενα από τα οποία να διαλέξω ένα. Μετά την επιλογή μου αυτή, τοποθετώ το αντικείμενο που διάλεξα μαζί με τα υπόλοιπα. Άρα την δεύτερη φορά έχω πάλι n αντικείμενα στην διάθεσή μου για να διαλέξω. Όμοια για κάθε μια από τις r επιλογές μου.

Συνδυασμοί με επανάληψη• r αντικειμένων επιλεγμένων από n αντικείμενα

Αν τώρα σε κάθε όρο προσθέσουμε (i-1), έχουμε μια γνησίως αύξουσα σειρά:

που οι όροι της είναι επιλεγμένοι αριθμοί από 1 έως n+r-1, και αντιστοιχεί στους συνδυασμούς χωρίς επανάληψη των (n+r-1)-ανά-r.

Έστω ότι τα n αντικείμενα μου είναι οι φυσικοί αριθμοί από το 1 έως το n. Αν διατάξουμε τους r αριθμούς που επιλέξαμε κατά αύξουσα σειρά, οι συνδυασμοί χωρίς επανάληψη μας δίνουν μια γνησίως αύξουσα σειρά:

Αντίστοιχα, οι συνδυασμοί με επανάληψη μας δίνουν μια αύξουσα σειρά:

Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές• Με πόσους τρόπους μπορούμε να διανείμουμε r αντικειμένα

(διακεκριμένα ή όχι) σε n υποδοχές.• Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Για το πρώτο αντικείμενο έχουμε n επιλογές ως προς το που θα το τοποθετήσουμε. Όμοια για το δεύτερο, αφού δεν απαγορεύεται να ρίξουμε δυο αντικείμενα στην ίδια υποδοχή, κ.ο.κ. . Άρα συνολικά μπορώ να τοποθετήσω τα r αντικείμενα στις n υποδοχές με τρόπους.

1. Τα αντικείμενα είναι διακεκριμένα και η σειρά στις υποδοχές δεν μετράει.

Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές (συν.)

Αρχικά διατάσσω τα r αντικείμενα. Θα προσομοιώσω τις n υποδοχές με (n+1)κάθετες γραμμές που θα τοποθετήσω ανάμεσα στα διατεταγμένα αντικείμενα. Αντικείμενα που βρίσκονται μεταξύ της i-στής και της (i+1)-στής γραμμής θα θεωρούμε ότι βρίσκονται στην i-στή υποδοχή.

2. Τα αντικείμενα είναι διακεκριμένα και η σειρά σε κάθε υποδοχή μετράει.

υποδοχέςΑπό τις n+1 γραμμές που τοποθέτησα, μόνο οι n-1 ορίζουν τις υποδοχές (μπορώ να αγνοήσω τις ακραίες). Ο συνολικός αριθμός αντικέιμένων που έχω είναι r+(n-1) (r αρχικά αντικείμενα και n-1 γραμμές), και μπορώ να τα διατάξω με (n+r-1)! τρόπους. Όμως τα n-1 αντικείμενα (οι γραμμές) δεν είναι διακεκριμένα, άρα έχω μόνο διαφορετικούς τρόπους.

Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές (συν.)

Όπως στην προηγούμενη περίπτωση, μόνο που αυτή τη φορά και τα r αντικείμενα δεν είναι διακεκριμένα, επομένως έχουμε μόνο διαφορετικούς τρόπους να τα διατάξουμε.

3. Τα αντικείμενα δεν είναι διακεκριμένα.



Κυρούση)


Διάλεξη 2η

Επανάληψη στη Συνδυαστική• Διατάξεις και Συνδυασμοί

Χωρίς επανάληψη: ΣυνδυασμοίΔιατάξεις

Με Επανάληψη: Συνδυασμοί

Διατάξεις

κατιόν παραγοντικό

ανιόν παραγοντικό

Επανάληψη στη Συνδυαστική (συν.)• Διώνυμο Νεύτωνα

διωνυμικοί συντελεστές

Διωνυμικοί Συντελεστές• Ιδιότητες: Τρίγωνο του Pascal:

Τρίγωνο του Pascal

Με την βοήθεια του αναδρομικού τύπου που μας βοήθησε να σχηματίσουμε το τρίγωνο του Pascal, παρατηρούμε ότι ένα στοιχείο του πίνακα ισούται με το άθροισμα του στοιχείου της προηγούμενης γραμμής και ίδιας στήλης με το στοιχείο της προηγούμενης γραμμής και προηγούμενης στήλης. Παρόμοια για το στοιχείο της προηγούμενης γραμμής και στήλης κ.ο.κ. Για παράδειγμα:

20 = 10 + 10 = 10 + 6 + 4 = 10 + 6 + 3 +1

Παρατηρούμε ότι αυτό το άθροισμα είναι το άθροισμα των στοιχείων της προηγούμενης στήλης του 20 , από την πρώτη γραμμή μέχρι την προηγούμενη γραμμή του 20. Δηλαδή:

• Κατακόρυφος Τύπος

ή αλλιώς

Τρίγωνο του Pascal (συν.)

Χρησιμοποιώντας πάλι τον αναδρομικό τύπο μπορούμε να καταλήξουμε σε μια διαφορετική από την προηγούμενη σχέση. Με βάση αυτόν τον τύπο, κάθε στοιχείο είναι το άθροισμα δυο στοιχείων της προηγούμενης γραμμής. Αν λοιπόν προσθέτουμε και αφαιρούμε εναλλάξ τα στοιχεία μιας γραμμής μέχρι μια στήλη, το άθροισμα αυτό θα είναι ίσο με το στοιχείο της τελευταίας στήλης και προηγούμενης γραμμής (τα πρόσημα εναλλάσσονται έτσι ώστε το δεξιότερο στοιχείο της γραμμής να λαμβάνεται θετικό).Για παράδειγμα:

20 – 15 + 6 – 1 = (10 + 10) – (10 + 5) + (5 + 1) – 1 = 10Δηλαδή:

• Οριζόντιος Τύπος

Κβαντικό Τάβλι• Κλασικά Ζάρια

Ζαριές: (ζάρι1,ζάρι2)(1,1)(1,1)(1,2) 36 ζαριές

...(6,6)

• Κβαντικά Ζάρια

Ζαριές:«άσσοι»«άσσος-δύο».... «εξάρες»

(τα ζάρια είναι μη διακεκριμμένα)

21 ζαριές

Κβαντικό Τάβλι (συν.)• Κλασικά Ζάρια • Κβαντικά Ζάρια

2 ζάρια

6 διαφορετικά κουτιά

2 ζάρια ίδια

6 διαφορετικά κουτιά

# δυνατών τρόπων ρίψης 2 ζαριών σε 6 κουτιά με επανάληψη = 62 = 36(διατάξεις με επανάληψη)

# δυνατών τρόπων ρίψης 2 ίδιων ζαριών σε 6 κουτιά με επανάληψη =

(συνδυασμοί με επανάληψη)

Κβαντικό Τάβλι (συν.)• Κλασικά Ζάρια • Κβαντικά ΖάριαΟι ζαριές έχουν διαφορετική πιθανότητα μεταξύ τους.

Π.χ.

Οι ζαριές έχουν ίδια πιθανότητα μεταξύ τους.

Άρα για να παίξω κβαντικό τάβλι, ορίζω21 αντικείμενα και σε κάθε «ζαριά» επιλέγω ένα με ίση πιθανότητα ανάμεσα στα 21.

1-1 1-2 1-3 6-6... ...

21 αντικέιμενα

Στοιχειώδη Σωματίδια• Τα στοιχειώδη σωματίδια θεωρούνται διακεκριμμένα.• k στοιχειώδη σωματίδια

n καταστάσεις(θεώρηση Maxwell-Boltzmann)

• Η πιθανότητα να έχω:t1 σωματίδια στην κατάσταση 1 &

...tn σωματίδια στην κατάσταση n

Πριν 1920

διαφορετικές καταστάσεις

Στοιχειώδη Σωματίδια (συν.)• Κβαντική αντίληψη• Τα στοιχειώδη σωματίδια θεωρούνται μη διακεκριμμένα.• Αντί για διαφορετικές καταστάσεις, έχουμε • Η πιθανότητα να έχω:

t1 σωματίδια στην κατάσταση 1 &...

tn σωματίδια στην κατάσταση nγιατί έχω μόνο έναν τρόπο ανάμεσα σε για να πάρω αυτά τα πλήθη σωματιδίων στις n καταστάσεις.

Μετά 1920



Κυρούση)


Διάλεξη 3η

Δυναμοσειρές

• Ουσιαστικά πρόκειται για γενίκευση πολυωνύμων:

•Ακτίνα σύγκλισης:

συγκλίνει

Γεννήτριες Συναρτήσεις• Έστω έχω ακολουθία: ή• Μπορώ να τη φανταστώ σαν το αποτέλεσμα μέτρησης συνδυαστικών ακτικειμένων που εξαρτάται από το k.

•Γεννήτρια Συνάρτηση είναι η δυναμοσειρά που αντιστοιχεί στην ακολουθία:

Ακολουθία

Γεν. Συν.

Ιδιότητες Γεννητριών ΣυναρτήσεωνΑκολουθίες Γενικός Όρος Γεν. Συν.

1

2

Ιδιότητες Γεννητριών Συναρτήσεων (συν.)Ακολουθίες Γενικός Όρος Γεν. Συν.

3

4

5

6

Ιδιότητες Γεννητριών Συναρτήσεων (συν.)Ακολουθίες Γενικός Όρος Γεν. Συν.

1

2

Ιδιότητα Αθροίσματος

Ιδιότητα Δεξιάς Μετατόπισης

7

Ιδιότητες Γεννητριών Συναρτήσεων (συν.)3

4

5

Ιδιότητα Παραγώγισης

Ιδιότητα Ολοκλήρωσης

Ιδιότητα Μερικών Αθροισμάτων

Ιδιότητες Γεννητριών Συναρτήσεων (συν.)6 Ιδιότητα Συμπληρωματικών Μερικών Αθροισμάτων

(βάσει των ιδιοτήτων τωνμερικών αθροισμάτων καιτης ολίσθησης)

Ιδιότητες Γεννητριών Συναρτήσεων (συν.)7 Ιδιότητα Συνέλιξης



Κυρούση)


Διάλεξη 4η

Γεννήτριες Συναρτήσεις•Παράδειγμα χρήσης γεννητριών συναρτήσεων:

–Να υπολογιστεί το άθροισμα χρησιμοποιώντας γεννήτριες συναρτήσεις.

Το άθροισμα εξαρτάται από τις μεταβλητές n, t, j. Θεωρώ την ακολουθία ως προς j, και γ.σ. την .

Είναι γνωστό όμως ότι η ακολουθία έχει γ.σ. τηνκαι σχετίζεται με την ως εξής:

Γεννήτριες Συναρτήσεις•Παράδειγμα χρήσης γεννητριών συναρτήσεων (συν.):

Υπολογίζουμε την ακολουθία ως εξής:Έστω η ακολουθία της γ.σ. και η ακολουθία της γ.σ. . Ισχύει: . Όμως η είναι η ακολουθία της μετατοπισμένη αριστερά κατά μια θέση, δηλαδή . Ομοίως για την ισχύει

. Τελικά:

Γεννήτριες Συναρτήσεις ως Απαριθμητές

•Έστω σ(j) μια συλλογή από συνδυαστικά αντικείμενα που εξαρτώνται από την παράμετρο j.•Ψάχνω να βρω το πλήθος των αντικειμένων της συλλογής, |σ(j)|.•Για τον σκοπό αυτό, σχηματίζω το άθροισμα για όλες τις δυνατές συλλογές.•Το πλήθος που αναζητώ θα εμφανιστεί σαν συντελεστής του xj

στο άθροισμα αυτό.

Παραδείγματα Απαριθμητών•Παράδειγμα 1:

•Παράδειγμα 2:

•Να βρεθεί ο αριθμός των συνδυασμών j αντικειμένων που επελέγησαν από nαντικείμενα.

Έστω σ(j) η επιλογή j αντικειμένων από n. Ψάχνω το |σ(j)|.

Πράγματι, ο συντελεστής του xj μας δίνει τον αριθμό των τρόπων που μπορώ να σχηματίσω μια συλλογή σ(j) (μια επιλογή j αντικειμένων από n αντικείμενα).

•Να βρεθεί ο αριθμός των τοποθετήσεων j μη διακεκριμένων αντικειμένων σε nδιακεκριμένες υποδοχές, έτσι ώστε κάθε υποδοχή να δεχτεί τουλάχιστον ένα αντικείμενο.

Παραδείγματα Απαριθμητών (συν.)•Παράδειγμα 2 (συν.):

Για να σχηματίσω το άθροισμα, αξιοποιώ το γεγονός ότι οι δυνάμεις του xαντιστοιχούν στις δυνατότητες που έχω για τα αντικείμενα σε κάθε υποδοχή. Π.χ. Το xr στην πρώτη υποδοχή αντιστοιχεί στην δυνατότητα να τοποθετήσω rαντικείμενα σ’αυτήν την υποδοχή, κ.ο.κ. .

Εφόσον αυτές οι δυνατότητες υπάρχουν για κάθε υποδοχή, τοποθετώ τον απαριθμητή κάθε υποδοχής σε μια παρένθεση και πολλαπλασιάζω:

Αν γράψουμε το παραπάνω αποτέλεσμα σαν άθροισμα ως προς j, ο συντελεστής του xj θα μας δώσει το ζητούμενο.

Παραδείγματα Απαριθμητών (συν.)•Παράδειγμα 3:

•Να βρεθεί ο αριθμός των τοποθετήσεων j μη διακεκριμένων αντικειμένων σε nδιακεκριμένες υποδοχές, έτσι ώστε κάθε υποδοχή να δεχτεί άρτιο αριθμό αντικειμένων.

Εφόσον απαιτώ άρτιο αριθμό αντικειμένων, η πρώτη υποδοχή μπορεί να δεχτεί κανένα, δύο, τέσσερα, κ.ο.κ. αντικείμενα, και ομοίως οι υπόλοιπες. Επομένως έχω:

Όμοια με το προηγούμενο παράδειγμα βρίσκω τον συντελεστή του xj.

Παραδείγματα Απαριθμητών (συν.)•Παράδειγμα 4:

•Να βρεθεί με πόσους τρόπους μπορούμε να μετατρέψουμε σε «ψιλά» ένα νόμισμα του ενός ευρώ.

Μικρότερα νομίσματα του ενός ευρώ είναι το μονόλεπτο, το δίλεπτο, το πεντάλεπτο, το δεκάλεπτο, το εικοσάλεπτο, και το πενηντάλεπτο. Τα συμβολίζω με μ, δ, π, δκ, ε και πν αντίστοιχα, και αποτελούν τα συνδυαστικά αντικείμενα που θα χρησιμοποιήσω. Θα φτιάξω συλλογές μ’αυτά και θα μετρήσω πόσες συλλογές μπορώ να φτιάξω που να έχουν άθροισμα 100 λεπτά (=1 €):

μονόλεπτα πενηντάλεπταδίλεπτα

Ο συντελεστής του μας δίνει αυτό που ζητάμε.

Εκθετικοί Απαριθμητές•Όταν έχουμε διατάξεις, χρησιμοποιούμε εκθετικές γεννήτριες συναρτήσεις σαν απαριθμητές.•Παράδειγμα 1:

•Να βρεθεί ο αριθμός των διατάξεων με επανάληψη j αντικειμένων επιλεγμένων από n αντικείμενα.

Εκθετικοί Απαριθμητές (συν.)•Παράδειγμα 2:

•Να βρεθεί ο αριθμός των τρόπων να ρίξουμε k διακεκριμένα αντικείμενα σε nδιακεκριμένες υποδοχές έτσι ώστε κάθε υποδοχή να δεχθεί τουλάχιστον ένα αντικείμενο.

Εκθετικοί Απαριθμητές (συν.)•Παράδειγμα 3:

•Να βρεθεί ο αριθμός των τρόπων να διαμερίσω ένα σύνολο από k διακεκριμένα αντικείμενα σε n υποσύνολα μη κενά και ανά δυο ξένα.

Αν θεωρήσουμε ότι τα n υποσύνολα αντιστοιχούν σε n υποδοχές, τότε οι απαιτήσεις για τα υποσύνολα να είναι ανά δυο ξένα και μη κενά μετατρέπονται στους περιορισμούς για τις υποδοχές να είναι διακεκριμένες και να έχουν τουλάχιστον ένα αντικείμενο αντίστοιχα.

Επομένως, ο αριθμός που ψάχνουμε είναι το αποτέλεσμα του προηγούμενου παραδείγματος (παρ. 2), με την διαφορά ότι αφού δεν μας ενδιαφέρει η σειρά των στοιχείων μέσα στα υποσύνολα (ή των αντικειμένων στις υποδοχές αντίστοιχα), θα πρέπει να διαιρέσουμε με n!. Άρα:

Εκθετικοί Απαριθμητές (συν.)•Παράδειγμα 3 (συν.):

Ο προηγούμενος αριθμός λέγεται και αριθμός Stirling δευτέρου είδους και συμβολίζεται με:

Για τους αριθμούς Stirling δευτέρου είδους ισχύει ο παρακάτω αναδρομικός τύπος:



Κυρούση)


Διάλεξη 5η

Αριθμοί Stirling Β’ Είδους• k διακεκριμένα αντικείμεναn μη διακεκριμένες υποδοχές

•

• (συμβολισμός)

• Ισχύει η παρακάτω αναδρομική σχέση:

= # τρόπων να τοποθετηθούν k διακεκριμένααντικείμενα σε n μη διακεκριμένες υποδοχές.

= # τρόπων να διαμερίσουμε το σύνολο 1,...,kσε n υποσύνολα (ξένα ανά δυο και μη κενά).

Αριθμοί Stirling Β’ Είδους (συν.)•Να υπολογιστεί ο αριθμός των τρόπων να διαμεριστεί το σύνολο 1,...,k ανεξαρτήτως του αριθμού των συνόλων που υπεισέρχονται στη διαμέριση.

Η εκθετική γεννήτρια συνάρτηση των (ως προς k) είναι: και άρα η εκθετική γεννήτρια συνάρτηση των είναι:

Δηλαδή η εκθετική γεννήτρια συνάρτηση του αριθμού των διαμερίσεων του συνόλου 1,...,k είναι .

Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού• : συνολικό πλήθος αντικειμένων• : ιδιότητες• : # αντικειμένων που ικανοποιούν την .• : # αντικειμένων που ικανοποιούν την και την και την .• : # αντικειμένων που δεν ικανοποιούν ούτε την ούτε την ούτε την .• = ;

Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού (συν.)

Απόδειξη: Θεωρώ ένα τυχόν αντικείμενο x.Διακρίνω τις εξής περιπτώσεις:1. Το x δεν έχει οποιαδήποτε ιδιότητα. Τότε το μετράμε μια φορά στο αριστερό

μέλος και μια φορά στο δεξιό.2. Το x έχει ακριβώς r από τις ιδιότητες . Τότε δεν το

μετράμε καμία φορά στο αριστερό μέλος. Στο δεξιό μέλος το μετράμε:

φορές

Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού (συν.)•Παράδειγμα 1:

•Συνάρτηση Euler:, (m,n)=ΜΚΔ(m,n)

•Να υπολογίσετε την συνάρτηση Euler με την μέθοδο εγκλεισμού-αποκλεισμού.

Ας υποθέσουμε ότι ισχύει:

# ακεραίων στο σύνολο 1,…,k που διαιρούνται από τον ρ1: # ακεραίων στο σύνολο 1,…,k που διαιρούνται από τους ρ1& ρ2:...

Θεωρία Polya•Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε από ένα bit σε κάθε κορυφή ενός κύβου;•Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να χρωματίσω άσπρους ή μαύρους τους κόμβους ενός δυαδικού δέντρου, όταν αυτό μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα;



Κυρούση)


Διάλεξη 6η

Θεωρία Polya

•Γενικό πρόβλημα: Μέτρηση των μη ισοδύναμων χρωματισμών μιας δομής η οποία υπόκειται σε ορισμένες συμμετρίες.

υποομάδα του συνόλου των αντιμεταθέσεων του G

σύνολο κορυφώνσύνολο χρωμάτων (αλφάβητο)χρωματισμός (μήνυμα)

Θεωρία Polya (συν.)• Συμμετρίες είναι γενικά ένα υποσύνολο των αντιμεταθέσεων του με τις εξής

ιδιότητες:1. Περιέχει την ταυτοτική αντιμετάθεση

(Έστω το υποσύνολο των αντιμεταθέσεων.Έστω η ταυτοτική αντιμετάθεση.)

2. Αν τότε3. Αν τότε

(1), (2) & (3) ≡

• Έστω .Η συμμετρία «δρα» επί του και προκύπτει ένας νέος χρωματισμός που τον συμβολίζουμε με .

(Σημείωση: = η κορυφή που θα έρθει στη θέση της )

Το σύνολο των αντιμεταθέσεων είναι ομάδα ως προς την πράξη της σύνθεσης.

Θεωρία Polya (συν.)• Έστω .

(ισοδύναμοι χρωματισμοί ως προς την ομάδα συμμετριών G)

= σχέση ισοδυναμίας. Είναι δηλαδή:1. Ανακλαστική2. Συμμετρική3. Μεταβατική

• Αντιμεταθέσεις: 1,2,3,...,8

Θεωρία Polya (συν.)• Θεώρημα: Οποιαδήποτε αντιμετάθεση μπορεί να γραφεί κατά

μονοσήμαντο τρόπο ως γινόμενο κυκλικών αντιμεταθέσεων ξένωνμεταξύ τους.

• Και άλλοι μαθηματικοί συμβολισμοί:

• Θεώρημα:

Αν τότε , αλλιώς .

άθροισμα άσσων κατά στήλες

άθροισμα άσσων κατά γραμμές



Κυρούση)


Διάλεξη 7η

Θεωρία Polya•Αρχή της Αναδιάταξης Αθροισμάτων (Αρχή του Lebesque)

– σύνολο από «πράγματα» (αντικείμενα)– σύνολο από αξίες (εφοδιασμένο με ιδιότητα πρόσθεσης)– απεικόνιση

Έστω ότι έχω κάποια πράγματα με μια αξία αντιστοιχισμένη σε κάθε ένα από αυτά. Το άθροισμα των αξιών όλων των αντικειμένων ισούται με το άθροισμα των γινομένωνκάθε αξίας με το πλήθος των αντικειμένων που έχουν αυτήν την αξία, για όλες τις αξίες.

Πιο απλά, για να βρούμε την αξία ενός συνόλου από κέρματα που αποτελούνται, για παράδειγμα, μόνον από πενηντάλεπτα, εικοσάλεπτα και δεκάλεπτα, μπορούμε αφ’ ενός να προσθέσουμε τις αξίες όλων των νομισμάτων, ένα προς ένα, εναλλακτικά όμως μπορούμε να μετρήσουμε τα πενηντάλεπτα, έστω ότι είναι , τα εικοσάλεπτα, έστω ότι είναι ,και τα δεκάλεπτα, έστω ότι είναι , και να υπολογίσουμε την συνολική αξία ως .

Λήμμα του Burnside

Π.χ: • χρώματα :• συμμετρίες : ανακάτεμα κλάδων και φύλλων

• Να βρεθούν οι μη ισοδύναμοι χρωματισμοί των κορυφών του δέντρου.

Λήμμα του Burnside (συν.)• Απόδειξη:

– Βοηθητικό Λήμμα:

Η συνάρτηση είναι:

Ένα προς ένα

Ισχύει:Τότε υπάρχει συνάρτηση:

(πολ/ζω με από δεξιά)(η υπάρχει από τα αξιώματα)

ΕπίΈστω:Όμως:

Λήμμα του Burnside (συν.)• Απόδειξη (συν.):

Θεωρία Polya (συν.)• Μεταβλητές

(Όσα είναι τα στοιχεία του C)

• Μονώνυμο

• Αν , τότε (Το αντίστροφο δεν ισχύει)

• Π.χ.:άσπρομαύρο

• πολυώνυμο

• πολυώνυμο• Το πλήθος των μη ισοδ. χρωματισμών που δεν περιέχουν το χρώμα 13:

πολυώνυμο

• Το πλήθος των μη ισοδ. χρωματισμών που περιέχουν το χρώμα 13 τουλάχιστον 2 φορές:

πολυώνυμο



Κυρούση)


Διάλεξη 8η

Θεωρία Polya• Θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε το πολυώνυμο•

•

όπου Μ το σύνολο όλων των μονωνύμων στις μεταβλητές

και από το λήμμα του Burnside.

Ακόμα:

Θεωρία Polya (συν.)• Θα δώσουμε μια καλύτερη μορφή στο άθροισμα

• Ως συγκεκριμένη περίπτωση παίρνουμε αυτή που έχει δυοκύκλους μήκους 3 και ένα κύκλο μήκους 4.

–|V|=2*3+1*4=10–Έστω ότι έχω δυο χρώματα με μεταβλητές x, y.

• Σε αυτήν την ειδική περίπτωση–Δυνατά μονώνυμα:

Θεωρία Polya (συν.)• Έστω ότι έχω bi κύκλους μήκους i, για i=1…n

• Δείκτρια συνάρτηση ή παράσταση δομής κύκλων.

• Τελικός τύπος:

Θεωρία Polya (συν.)Εφαρμογή• Έχω ένα κύβο και τοποθετώ 1 bit σε κάθε κορυφή του.• Θα υπολογίσω το άθροισμα των μονωνύμων των μη ισοδύναμων χρωματισμών.• οι μεταβλητές που αντιστοιχούν στα χρώματα.• οι μεταβλητές που αντιστοιχούν σε κύκλους μήκους 1,2,...,8 αντίστοιχα.• Ισχύει:

6 τρόπους να βάλω μια πλευρά κάτω.

4 τρόποι να έχω απέναντί μου μια πλευρά.

Θεωρία Polya (συν.)Συμμετρίες π

άξονες

ταυτοτικήκέντρααπέναντι πλευρώνμέσααπέναντι ακμώναπέναντι κορυφών

• Για να βρω πόσοι είναι συνολικά οι μη ισοδ. χρωμ. θέτω• Για να βρω πόσοι είναι οι μη ισοδ. χρωμ. με δυο φορές 0 και έξι φορές 1, βρίσκω τον συντελεστή του .

Διακριτα.Διαλέξεις.Γεωργιάδης

Documents

Transcript of Διακριτα.Διαλέξεις.Γεωργιάδης