Γεωμετρία Ρήμαν,γεωμετρία επιφάνειας, μετρικός...

18
Η γεωμετρία του Riemann (εσωτερική γεωμετρία, μετρική, μετρικός τανυστής, διαφορική γεωμετρία καμπυλότητα , πολλαπλότητες) . Γράφει ο Γιώργος Μπαντές μαθηματικός www.mpantes.gr. Η εσωτερική γεωμετρία των επιφανειών και η μετρική. …To ερώτημα για την ισχύ του 5 ου αξιώματος του Ευκλείδη, απ’ το οποίο η ιστορική εξέλιξη ξεκίνησε την επίθεσή της στον Ευκλείδη, φαίνεται σήμερα σαν ένα ατυχές σημείο εκκίνησης. Η γνώση η οποία ήταν αναγκαία να μας μεταφέρει πέρα απ’ το Ευκλείδειο οικοδόμημα, αποκαλύφτηκε κατά την άποψή μας απ’ τον Riemann… Weyl Πραγματικά, απ’ τον Πρόκλο μέχρι τον Lobatchewsky, αυτό που ήταν πάντα στο μικροσκόπιο της μαθηματικής έρευνας ήταν η Ευκλείδεια ευθεία. Η παραλληλία εξετάστηκε έτσι ή αλλιώς, χωρίς ποτέ να αμφισβητηθεί η «μετρική» του Ευκλείδειου χώρου, δηλαδή ο τρόπος με τον οποίο μετρούμε τις αποστάσεις σ’ αυτόν, δηλ. το Πυθαγόρειο θεώρημα, αν και οι έννοιες της μετρικής και της ευθείας αλληλοκαθορίζονταν. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία η απόσταση s δύο σημείων Α(χ,ψ) και Β(χ΄,ψ΄) δίνονταν από τον τύπο s 2 =(χ-χ΄) 2 +(ψ- ψ΄) 2 . Ακόμα από το τρίτο αξίωμα του Ευκλείδη γνωρίζαμε ότι η α π ό σ τ α σ η στο επίπεδο (χώρο) όπως κι αν οριστεί, πρέπει να εξασφαλίζει το αμετάβλητο του μ ή κ ο υ ς για ένα ευθύγραμμο τμήμα που μετακινείται από το ένα μέρος στο άλλο (άρθρο, τα παράδοξα της Ευκλείδειας γεωμετρίας). Τα μήκη όμως αναφέρονται σε σώματα, (ο διαβήτης ενδεικτικός για τον Ευκλείδη), και είχαμε λοιπόν από τότε, μια γεωμετρική και μια φυσική περιγραφή του μήκους 1
  • Upload

    -
  • Category

    Documents

  • view

    1.039
  • download

    1

description

O Ρήμαν αμφισβήτησε τον τρόπο με τον οποίο μετρούμε τις αποστάσεις, δηλαδή το Πυθαγόρειο θεώρημα , όπως ο Λομπατσέφσκι το αξίωμα της παραλληλίας...μια πολλαπλότητα είναι ένας συνεχής χώρος ο οποίος τοπικά παρουσιάζεται ως Ευκλείδειος. Μπορεί να παρουσιάζει στρέψεις , κάμψεις και παραμορφώσεις οποιασδήποτε μορφής αρκεί να παραμένει συνεχής....

Transcript of Γεωμετρία Ρήμαν,γεωμετρία επιφάνειας, μετρικός...

Η γεωμετρία του Riemann

(εσωτερική γεωμετρία, μετρική, μετρικός τανυστής, διαφορική γεωμετρία

καμπυλότητα , πολλαπλότητες) .

Γράφει ο Γιώργος Μπαντές μαθηματικός www.mpantes.gr.

Η εσωτερική γεωμετρία των επιφανειών και η μετρική.

…To ερώτημα για την ισχύ του 5ου αξιώματος του Ευκλείδη, απ’ το οποίο η ιστορική

εξέλιξη ξεκίνησε την επίθεσή της στον Ευκλείδη, φαίνεται σήμερα σαν ένα ατυχές σημείο

εκκίνησης. Η γνώση η οποία ήταν αναγκαία να μας μεταφέρει πέρα απ’ το Ευκλείδειο

οικοδόμημα, αποκαλύφτηκε κατά την άποψή μας απ’ τον Riemann… Weyl

Πραγματικά, απ’ τον Πρόκλο μέχρι τον Lobatchewsky, αυτό που ήταν

πάντα στο μικροσκόπιο της μαθηματικής έρευνας ήταν η Ευκλείδεια ευθεία. Η

παραλληλία εξετάστηκε έτσι ή αλλιώς, χωρίς ποτέ να αμφισβητηθεί η

«μετρική» του Ευκλείδειου χώρου, δηλαδή ο τρόπος με τον οποίο μετρούμε

τις αποστάσεις σ’ αυτόν, δηλ. το Πυθαγόρειο θεώρημα, αν και οι έννοιες της

μετρικής και της ευθείας αλληλοκαθορίζονταν.

Στην Ευκλείδεια γεωμετρία η απόσταση s δύο σημείων Α(χ,ψ) και

Β(χ΄,ψ΄) δίνονταν από τον τύπο s2=(χ-χ΄)2+(ψ-ψ΄)2. Ακόμα από το τρίτο

αξίωμα του Ευκλείδη γνωρίζαμε ότι η α π ό σ τ α σ η στο επίπεδο (χώρο)

όπως κι αν οριστεί, πρέπει να εξασφαλίζει το αμετάβλητο του μ ή κ ο υ ς για

ένα ευθύγραμμο τμήμα που μετακινείται από το ένα μέρος στο άλλο (άρθρο,

τα παράδοξα της Ευκλείδειας γεωμετρίας). Τα μήκη όμως αναφέρονται σε

σώματα, (ο διαβήτης ενδεικτικός για τον Ευκλείδη), και είχαμε λοιπόν από

τότε, μια γεωμετρική και μια φυσική περιγραφή του μήκους στον Ευκλείδειο

χώρο. Αυτή η θεώρηση του Ευκλείδη είναι η μήτρα των απόψεων που θα

εμπλέξουν τη φυσική με τη γεωμετρία είκοσι τρεις αιώνες αργότερα.

Ο Ρήμαν αμφισβήτησε τον τρόπο με τον οποίο μετρούμε τις αποστάσεις,

δηλαδή το Πυθαγόρειο θεώρημα, όπως ο Λομπατσέφσκυ το αξίωμα

παραλληλίας.

Η ιστορία αυτή ξεκινάει από τη θεωρία των επιφανειών του Γκάους.

1

Στο σχήμα δίπλα βλέπουμε μια «λεία» καμπυλωμένη επιφάνεια, στα

μαθηματικά τη λέμε διαφορίσιμη. Η ιδέα είναι το πώς θα εγκαταστήσουμε μια

γεωμετρία πάνω σε αυτή, πώς θα μετρούμε μήκη, γωνίες, εμβαδά, πώς θα

είναι η «ευθεία» της, δηλαδή η γραμμή με το ελάχιστο μήκος που θα συνδέει

δύο σημεία της, όπως ακριβώς κάναμε στο επίπεδο, χωρίς δηλαδή αναφορά

στον περιβάλλοντα χώρο. Αυτό ονομάζεται εσωτερική γεωμετρία της

επιφάνειας, οι ιδιότητές της εσωτερικές ιδιότητες, και η «εσωτερική αυτή

άποψη» άργησε να ωριμάσει.

Πράγματι η ανάπτυξη του απειροστικού λογισμού κατά τον 17ο αιώνα

μας επέτρεψε να μελετήσουμε συστηματικά τη γεωμετρία των επιφανειών, με

απίθανα αποτελέσματα, αν και οι επιφάνειες αρχικά θεωρούνταν

εμβαπτισμένες στον Ευκλείδειο τρισδιάστατο χώρο, ο οποίος τις δάνειζε τις

αναγκαίες γεωμετρικές έννοιες. Η μεγαλύτερη συνεισφορά προς την

«εσωτερική» πράγματι γεωμετρία των επιφανειών, ήταν από το Γκάους με το

«αξιοσημείωτο θεώρημα» Theorema Egregium ένα θεώρημα στα θεμέλια

της διαφορικής γεωμετρίας, που αναφέρεται στην καμπυλότητα k των

επιφανειών (η καμπυλότητα αυτή είναι η βασικότερη ιδιότητα των επιφανειών

και είναι ένα μέγεθος που μας δείχνει το πόσο αποκλίνει η επιφάνεια από το

επίπεδο ή η γραμμή από την ευθεία):

η Γκαουσιανή καμπυλότητα μιας επιφάνειας είναι μια εσωτερική

αναλλοίωτη της επιφάνειας, μπορούσε δηλαδή να καθοριστεί με μετρήσεις

πάνω στην ίδια την επιφάνεια χωρίς αναφορά στον τρισδιάστατο χώρο, και

είναι η ίδια για όλες τις ισομετρικές επιφάνειες δηλαδή για τις επιφάνειες που

προκύπτουν από μία δοθείσα με παραμόρφωση ομαλή (όχι τσαλάκωμα ή

σχίσιμο) και χωρίς τέντωμα, δηλαδή ήταν μια βασική εσωτερική ιδιότητα όλων

αυτών των επιφανειών.

2

Όταν επάνω στις καμπυλωμένες επιφάνειες χρειάστηκε η εισαγωγή

συντεταγμένων για να αναφέρουμε τα αποτελέσματα της εσωτερικής μας

γεωμετρίας, αυτές ήταν αναγκαστικά καμπυλόγραμμες (Γκαουσιανές) και τότε

προέκυψε από το διαφορικό λογισμό ότι τα διαφορικά τους και μόνο αυτά

διατηρούσαν το διανυσματικό τους χαρακτήρα. Εδώ βρίσκεται η απαρχή της

διαφορικής γεωμετρίας και αργότερα των υποθέσεων Ρήμαν. Οι μετατοπίσεις

χάνουν το διανυσματικό τους χαρακτήρα. Τώρα διανύσματα είναι οι

απειροστές μετατοπίσεις. Όμως οι απειροστές μετατοπίσεις πάνω στην

επιφάνεια ισοδυναμούν με ευθύγραμμες μετατοπίσεις στο χώρο και τα

απειροστά τμήματα μιας καμπυλωμένης επιφάνειας μπορούν να θεωρηθούν

επίπεδες επιφάνειες κα να ταυτιστούν με το εφαπτόμενο επίπεδο σε αυτήν.

Δηλαδή «τοπικά» η γεωμετρία των επιφανειών είναι επίπεδη, και να πάλι ο

Δούρειος ίππος για να κατακτήσουμε τη μετρική της καμπυλωμένης

επιφάνειας, όπως για το Λομπατσέφσκυ ήταν η ορισφαίρα. Για να δώσουμε

μία έκφραση για το μήκος επάνω στην επιφάνεια, η οποία θα είναι

αναλλοίωτη σε κάθε σύστημα συντεταγμένων (απαιτείται λοιπόν ο

διανυσματικός χαρακτήρας των μετατοπίσεων) θα πρέπει αυτή να είναι

απειροστή έκφραση! Θα είναι το γνωστό Πυθαγόρειο θεώρημα για τις

απειροστές μετατοπίσεις, δηλαδή εκφρασμένο στις καμπυλόγραμμες

συντεταγμένες, αλλά σε διαφορική μορφή. Αυτό είναι η μετρική της

επιφάνειας, δηλαδή το μέτρο της απειροστής απόστασης δύο σημείων

επάνω στην επιφάνεια. Όλα τότε επάνω στην επιφάνεια, το μήκος, η

διεύθυνση, η γωνία κλπ ορίζονται μέσω της μετρικής αυτής, δηλαδή μέσω της

τοπικής επιπεδότητας.

3

Παράδειγμα οι πολικές συντεταγμένες συνδέονται με τις Καρτεσιανές με

τις σχέσεις

χ=ρσυνθ. y=ρημθ και τα διαφορικά τους

dχ=συνθdρ-ρημθdθ dy=ημθdρ+ρσυνθdθ

Και το Πυθαγόρειο θεώρημα σε διαφορική μορφή σε πολικές

συντεταγμένες δηλαδή η μετρική του επιπέδου σε πολικές συντεταγμένες

από

ds2=dx2+dy2 … (1) γίνεται ds2=dρ2+ρ2dθ….(2)

…οι τύποι του ds2 των καμπυλόγραμμων συτεταγμένων μας παρέχουν τα

στοιχεία για τη μελέτη της εσωτερικής γεωμετρίας της επιφάνειας και είναι αμετάβλητα

για κάθε περαμόρφωση της επιφάνειας εκτός από σχίσιμο ή τσαλάκωμα. Από εδώ

προκύπτει το ενδιαφέρον όλων των θεωρημάτων που μπορούν να εκφραστούν

αναλυτικά σε όρους μόνο των συντεταγμένων επιφανείας και των συντελεστών της

μετρκής gik…..Civita)

όπου τα gik, οι συντελεστές της μετρικής ονομάζονται μετρικός

τανυστής του χώρου, έχει ιδιαίτερες μαθηματικές ιδιότητες, τη μορφή πίνακα

νχν όπου ν η διάσταση του χώρου και είναι η ψυχή της μετρικής γι αυτά που

λέει ο Civita.

(στο παράδειγμα για τον τύπο (1) οι gik είναι

g11=g22=1, g12=g21=0

και για τον τύπο (2) g11=1, g22=ρ2, g12=g21=0)

Η μαθηματική προσέγγιση των τύπων αυτών της μετρικής, είναι στο

πεδίο της διαφορικής Γεωμετρίας.

Θα εκφράσουμε μόνο το νόημα τους:

Ο τύπος (2) (οι άλλοι ανάλογα) δίνει την απειροστή απόσταση

μεταξύ των σημείων Α(ρ,θ) και Α΄(ρ+dρ, θ+dθ). Η ολοκλήρωση του

τύπου (2) δίνει την απόσταση δύο σημείων ΑΒ.

Οι πληροφορίες μας λοιπόν για την επιφάνεια ( χώρο) , προέρχονται

απ’ τη γεωμετρία των απειροστών της τμημάτων .

Ο Weyl γράφει: ‘…η βασική επιταγή της Ευκλείδειας γεωμετρίας για την

απόσταση είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αν όμως θεωρήσουμε την ισχύ του

νόμου αυτού μόνο για την περίπτωση που τα δύο σημεία είναι σε απειροστή

απόσταση τότε μπαίνουμε στην περιοχή της γεωμετρίας του Ρήμαν. ….Η

Ευκλείδεια γεωμετρία είναι το κατάλληλο εργαλείο για την έρευνα της ευθείας

4

γραμμής και του επιπέδου και η ανάπτυξή της επιτεύχθηκε απ’ την ενασχόλησή της

με τέτοια προβλήματα . Καθώς όμως περνούμε στη διαφορική γεωμετρία , είναι

φυσικό και εύλογο να ξεκινήσουμε απ’ τις ιδιότητες των απειροστών, που

μελετήθηκαν απ’ το Riemann….’Weyl’

Η άποψη αυτή της θεωρίας των επιφανειών, επεκτάθηκε από το Ρήμαν

σε χώρους με μεγαλύτερη διάσταση από δύο, σε αυτό που λέμε σήμερα

γεωμετρία του Ρήμαν, και αυτό περιγράφηκε για πρώτη φορά στην περίφημη

διάλεξη «περί των υποθέσεων που βρίσκονται στα θεμέλια της γεωμετρίας».

Οι πολλαπλότητες Ρήμαν .

Η μαθηματική περιγραφή του καμπυλωμένου χώρου αρχίζει (αλλά δεν

τελειώνει) με την εισαγωγή της πολλαπλότητας. Μια πολλαπλότητα είναι

ένας συνεχής χώρος, ο οποίος τοπικά παρουσιάζεται ως Ευκλείδειος. Είναι

ένας όρος που μπορεί να χρησιμοποιείται αντί του «χώρος». Η επιφάνεια μιας

σφαίρας είναι μια πολλαπλότητατα διάστασης δύο, ο τρισδιάστατος χώρος

πολλαπλότητα βαθμού τρία, ο χωρόχρονος της σχετικότητας μια

πολλαπλότητα διάστασης τέσσερα κλπ. Ουσιαστικά κάθε πολλαπλότητα

μπορεί να παραμετροποιηθεί κατά ένα συνεχή τρόπο, ο αριθμός των

ανεξάρτητων παραμέτρων μας δίνει τη διάσταση της πολλαπλότητας (οι

συντεταγμένες για το χώρο). Συνολικά η πολλαπλότητα μπορεί να

παρουσιάζει στρέψεις κάμψεις και παραμορφώσεις οποιασδήποτε μορφής

αρκεί να παραμένει συνεχής.

( για μικρά μήκη, η επιφάνεια της γης είναι επίπεδη, όμως αν

θεωρήσουμε τμήματα μεσημβρινών, τότε τα αποτελέσματα δεν είναι

Ευκλείδεια).

5

Οι ιδέες του Riemann είναι μια εξέλιξη των ιδεών του Gauss

μέσω της διαφορικής γεωμετρίας. Τι εξέλιξη όμως; Η καμπύλωση των

διδιάστατων επιφανειών συμβαίνει κατά την τρίτη διάσταση και γίνεται έτσι

πραγματική. Η καμπύλωση όμως του τριδιάστατου χώρου; Αυτή είναι μια

μαθηματική φαντασίωση του Ρήμαν. (αν δεν υπάρχει κάτι νοητό πίσω από τα

φαινόμενα δεν υπάρχει επιστήμη για κανένα πράγμα…και πάλι Αριστοτέλης).

Η γενική έκφραση της μετρικής στις πολλαπλότητες οσωνδήποτε

διαστάσεων είναι η έκφραση

ds2= gikdxidxk…….(3)

όπου τα gik δίνουν ακόμα και την καμπυλότητα του χώρου μέσω του

τανυστή Ρήμαν.

Προσέχουμε ότι αν σε έναν χώρο, υπάρχει ένα σύστημα συντεταγμένων

για το οποίο τα g ij είναι σταθερά, τότε ο χώρος είναι επίπεδος.

(τανυστικός λογισμός www . mpantes . gr ). Ακόμα: η καμπυλότητα δεν

εξαρτάται από τις συντεταγμένες, αλλά από τη μετρική, ( το μετρικό

τανυστή).

Συστήματα αναφοράς και γεωμετρία.

Χρησιμοποιούμε τα συστήματα αναφοράς για τη δική μας ευκολία, την

ακρίβεια και την οικονομία της σκέψης. Αλλά τα συστήματα αναφοράς και οι

συντεταγμένες τους δεν είναι θεμελιώδη για τη φύση. Το θεμελιώδες είναι η

γεωμετρία δηλαδή η μετρική. Τα ίδια κλασσικά Καρτεσιανά συστήματα όταν

χρησιμοποιηθούν στον καμπυλωμένο χώρο θα βγάλουν στην επιφάνεια τα

συμπτώματα της καμπυλότητας, δηλαδή της μη-Ευκλείδειας μετρικής. Έτσι

περιγράφει η μαθηματική ανάλυση.

Δεν είναι εύκολο να απελευθερωθείς από την ιδέα ότι η συντεταγμένες

πρέπει να έχουν μια άμεση μετρική σημασία …Αινστάιν

Πράγματι ο νέος τρόπος του Ρήμαν της μέτρησης των αποστάσεων σε

καμπυλωμένο χώρο με καμπυλότητα κ, αλλά σε Καρτεσιανές συντεταγμένες,

είναι ο τύπος (4)

6

με k το νέο στοιχείο, η καμπυλότητα του χώρου, που στην Ευκλείδεια

περίπτωση είναι μηδέν. H (4) είναι η διαφορική έκφραση του ισομορφισμού

που καθιερώνει η στερεογραφική προβολή της σφαίρας στο επίπεδο.

Ο αντίστοιχος τύπος στην Ευκλείδεια γεωμετρία είναι ο

ds2=dx2+dy2+dz2 το γνωστό πυθαγόρειο θεώρημα (κ=0) και η διαφορά

των δύο τύπων είναι βασική: το πυθαγόρειο θεώρημα μας λέει ότι η

απόσταση των δύο σημείων Α και Α΄ είναι σταθερή οπουδήποτε στο

χώρο ενώ ο (4) εξαρτά την απόσταση των σημείων αυτών απ’ την θέση

τους στο χώρο, (τα χ,y,z) του τύπου. Το Ευκλείδειο μήκος άλλο είναι εδώ

και άλλο εκεί, όχι όπως θεώρησε ο Ευκλείδης βασιζόμενος στη διαίσθηση της

άμεσης εμπειρίας όπου τα σώματα είναι στερεά (rigid). Όμως ο νέος

ορισμός του (4) έχει την παρακάτω συνέπεια :

Αν θα μπορούσαμε μ ε κ ά π ο ι ο τ ρ ό π ο να διαπιστώσουμε μια

μεταβολή του μήκους των σωμάτων κατά τη μετακίνηση (ένα ισοδύναμο είναι

η καμπύλωση της φωτεινής ακτίνας) τι θα έπρεπε να υποθέσουμε;

Προφανώς έχουμε να επιλέξουμε: ή ζούμε σε έναν Ευκλείδειο κόσμο, αλλά τα

σώματα παραμορφώνονται κατά τις μετακινήσεις, ή θα πρέπει να μετρούμε

αλλιώς τις αποστάσεις λαμβάνοντας υπ’ όψη την καμπυλότητα του χώρου

στον τύπο (4) και τα σώματα παραμένουν ίδια για τη νέα γεωμετρία.

7

Δηλαδή ή κρατούμε τη γεωμετρία Ευκλείδεια και αλλάζουμε τη φυσική,

ή κρατούμε τη φυσική και αλλάζουμε τη γεωμετρία. Η επιστήμη διάλεξε το

δεύτερο, με τη γενική σχετικότητα του Αϊνστάιν, και το πείραμα το

επαλήθευσε!

Η μεταμόρφωση της γεωμετρίας (διάλεξη του Ρήμαν)

Η επέκταση της θεωρίας των επιφανειών στο χώρο, που

πραγματοποίησε ο Ρήμαν, ήταν φυσικό να προκαλέσει αλλαγές στις

υποθέσεις της γεωμετρίας. Είναι το περιεχόμενο της περίφημης διάλεξης του

Ρήμαν του 1854, η οποία είναι σταθμός στις απόψεις μας για το φυσικό

χώρο, την καμπυλότητά του και τη γεωμετρία του (Περί των υποθέσεων που

βρίσκονται στα θεμέλια της γεωμετρίας, μεταφρασμένη στο «τρία κείμενα και

μια διάλεξη που άλλαξαν τον κόσμο, www.mpantes.gr).

Ο χώρος γίνεται πολλαπλότητα (manifold), (γράφει, η πολλαπλότητα

επιδέχεται ποικίλες μετρικές σχέσεις και ο χώρος είναι μια ειδική περίπτωση

μιας τρισδιάστατης πολλαπλότητας), έχει καμπυλότητα και δεν είναι άπειρα

εκτεινόμενος. Αυτό θυμίζει τη μετάβαση απ’ το επίπεδο στην καμπυλωμένη

επιφάνεια. Η μετρική του χώρου, ο τρόπος δηλαδή που μετρούμε αποστάσεις,

μπορεί να μεταβάλλεται, καθώς δεν είναι σύμφυτος μ’ αυτόν, (το χώρο), αλλά

καθορίζεται από τις gij συνεχείς συναρτήσεις του χώρου, που είναι οι

συνιστώσες του μετρικού τανυστή .

Αναδείχτηκε η σπουδαιότητα της διάκρισης ανάμεσα στο ‘απεριόριστο’

και στο ‘άπειρο’ και οι συνέπειες της διάκρισης αυτής στο χώρο: η ευθεία

Riemann σε έναν καμπύλο χώρο, δεν έχει αρχή και τέλος (απεριόριστη) αλλά

είναι κλειστή και επομένως έχει πεπερασμένο μήκος. Αυτό αποδεικνύεται με

ολοκλήρωση του τύπου (4) από το 0 ως το άπειρο για y=z=0. Κάτι που

κινείται πάνω σ’ αυτήν ποτέ δεν θα σταματήσει, αφού δεν υπάρχει τελευταίο

σημείο πάνω σ’ αυτήν, αλλά θα επιστρέψει στο σημείο εκκίνησης.

Το άπειρο γράφει ο Riemann αναφέρεται σε σχέσεις μέτρησης και το

απεριόριστο σε σχέσεις έκτασης. Η σχέση του απεριόριστου του Riemann και

του άπειρου του Ευκλείδη είναι προφανής: το άπειρο είναι και απεριόριστο

δηλ. η μία έννοια περιέχει την άλλη.

8

Γράφει ο Bonola: ‘…τελικά το αξίωμα που δίνει στην ευθεία άπειρο μήκος

και που σιωπηρά περιέχεται στο έργο των προηγούμενων γεωμετρών είναι για

τον Riemann ένα θέμα για συζήτηση, όπως αυτό των παραλλήλων. Αυτό που

κρατάει πέρα από κάθε συζήτηση είναι το απεριόριστο του χώρου. Η ιδιότητα

αυτή είναι συμβατή με την υπόθεση ότι η ευθεία είναι άπειρη (ανοικτή) καθώς

και με την υπόθεση ότι είναι όχι άπειρη (κλειστή)……’

Όμως η μεγαλοφυία του Riemann έγκειται στο ότι απέδωσε τη μετρική

του χώρου σε παράγοντες έξω απ’ αυτόν, και στο ερώτημα της προέλευσης

της καμπυλότητας λέει: ‘το ερώτημα της ισχύος της γεωμετρίας στο απείρως

μικρό είναι ταυτόσημο με το ερώτημα της προέλευσης των μετρικών σχέσεων

στο χώρο. Το κομβικό σημείο του δόγματός μας είναι ότι σε μια συνεχή

πολλαπλότητα οι μετρικές σχέσεις επιβάλλονται απ’ έξω.’ Πράγματι, ο Αϊνστάιν

αργότερα συνέδεσε το μετρικό τανυστή με την κατανομή των μαζών στο

χώρο, και ο Ρήμαν καταλήγει: «όμως αυτή η αλληλεξάρτηση των πραγμάτων

μακριά από τον έλεγχο παραδοσιακών προκαταλήψεων μας οδηγεί στο πεδίο

μιας άλλης επιστήμης, της φυσικής όπου το αντικείμενο της εργασίας αυτής

δεν μας επιτρέπει να επεκταθούμε»1

Το σημείο αυτό είναι πέρα από διαφορική γεωμετρία και μετρικούς

τανυστάς, είναι μια πρόβλεψη υψηλής πνευματικής σύλληψης. Μας λέει, αν

μας επιτραπεί η μεταφορά, ότι ο χώρος είναι ζωντανός, αναπνέει και

αλληλεπιδρά με τα σώματα μέσα του, αποκτώντας άλλες ιδιότητες εδώ κι

άλλες εκεί . Ο κρυφός αυτός κόσμος αποκαλύπτεται από τις σχέσεις του που

δεν μπορεί να μην έχει με τον άμεσο κόσμο δίπλα μας. Ήταν Ευκλείδειος

αλλά τοπικά!

1« Περί των υποθέσεων στα θεμέλια της γεωμετρίας»

9

Σήμερα γνωρίζουμε ότι η πρόβλεψη αυτή δικαιώθηκε απ’ το έργο του

Einstein με τον οποίο κλείνει και το πρόβλημα της μετρικής του φυσικού μας

χώρου. Αφού ο Αϊνστάιν συνέθεσε το χωρόχρονο (τετραδιάστατη

καμπυλωμένη πολλαπλότητα, στην οποία ο τρισδιάστατος χώρος

καμπυλώνεται κατά τη διάσταση του χρόνου) και μετρώντας τις αποστάσεις

σε αυτόν με τον τρόπο του Ρήμαν, καθορίζοντας έτσι την τροχιά των

φωτεινών ακτίνων (γεωδαισιακές, (αφού ο τρόπος μέτρησης των

αποστάσεων καθορίζει και τη μορφή της ευθείας) τότε τα πολυπόθητα

φαινόμενα απόκλισης από την Ευκλείδεια γεωμετρία φανερώθηκαν. Ήταν τα

καθημερινά και διπλανά μας φαινόμενα της βαρύτητας, (καμπύλωση των

φωτεινών ακτίνων σε πεδίο βαρύτητας) τα οποία είχαμε αποδώσει σε

δυνάμεις ξένες προς τη γεωμετρία, και ποτέ δεν είχαμε υποπτευθεί ότι ήταν τα

αποτέλεσμα αποκλίσεων από την Ευκλείδεια γεωμετρία που ψάχναμε μάταια.

Κρατήσαμε τη γεωμετρία Ευκλείδεια και γεμίσαμε το χώρο με δυνάμεις, για να

καλύψουμε την αλλαγή της μετρικής δηλαδή της Ευκλείδειας ευθείας, στη

συνέχεια αλλάξαμε τη γεωμετρία και οι δυνάμεις εξαφανίστηκαν. Η φυσική

παρέμεινε αυτή των αδρανειακών συστημάτων. Όλα τα ερμήνευε η νέα

μετρική του χώρου, ο οποίος απέκτησε καμπυλότητα από τις μάζες μέσα σε

αυτόν. Ο Ρήμαν τώρα γίνεται προφήτης.

Ένα μοντέλο της ελλειπτικής γεωμετρίας του Ρήμαν.

10

Οι επιφάνειες (χώροι) με σταθερή καμπυλότητα έχουν μελετηθεί

διεξοδικά και κατατάσσονται σε τρεις ομάδες, κ=0 (επίπεδο, ευκλείδεια

γεωμετρία), κ<0 (ψευδοσφαίρα, υπερβολική γεωμετρία , κ>0 (σφαίρα

ελλειπτική γεωμετρία ). Ο Ρήμαν ερμηνεύει σαν χώρο της ελλειπτικής

γεωμετρίας του (σταθερή θετική καμπυλότητα), την επιφάνεια μιας σφαίρας,

προτείνοντας ότι είναι δυνατόν να κατασκευαστεί σε αυτήν μια εσωτερική

γεωμετρία, με «ευθείες» τους μέγιστους κύκλους της σφαίρας και «χώρο» το

σύνολο των σημείων της, που δεν είναι ούτε Ευκλείδεια, ούτε υπερβολική,

μέσω των παρακάτω αξιωμάτων:

1. από δύο σημεία περνάει τουλάχιστο μία ευθεία (όταν είναι

αντιδιαμετρικά, είναι άπειρες. Δεν ισχύει το πρώτο αξίωμα του Ευκλείδη.

2. η ευθεία είναι κλειστή και πεπερασμένου μήκους (ο μέγιστος κύκλος

της σφαίρας). Δεν ισχύει το δεύτερο αξίωμα του Ευκλείδη σε χώρους

σταθερής θετικής καμπυλότητας.

3. επειδή η ευθεία θεωρείται κλειστή, την πρωταρχική σχέση «μεταξύ»

του 2ου αξιώματος της Ευκλείδειας γεωμετρίας την αντικαθιστούμε με τη σχέση

του «διαχωρισμού». Πράγματι για τρία σημεία ενός κύκλου, ποιο άραγε είναι

μεταξύ των άλλων; Η έννοια του διαχωρισμού αποκτάει περιεχόμενο από μια

σειρά πέντε αξιωμάτων.

4. είναι φανερό ότι το τρίτο αξίωμα του Ευκλείδη ισχύει αφού η

απόσταση των άκρων ενός τμήματος (το μήκος) είναι το ακτινικό Ευκλείδειο

μήκος του, και το τέταρτο αξίωμα του Ευκλείδη ισχύει πάλι , αφού ο μέγιστος

κύκλος της σφαίρας δεν παρουσιάζει γωνιακά σημεία.

5. δύο οποιεσδήποτε ευθείες του «επιπέδου» τέμνονται σε δύο ακριβώς

σημεία. Άρα δεν ισχύει το αξίωμα παραλληλίας του Ευκλείδη, δεν υπάρχουν

παράλληλες ευθείες σε χώρους σταθερής θετικής καμπυλότητας.

Στη γεωμετρία αυτή ξεκινήσαμε από τη (θετική) καμπυλότητα και

καταλήξαμε στο αξίωμα των παραλλήλων ενώ στη γεωμετρία του

Λομπατσέφσκυ ξεκινήσαμε από το αξίωμα των παραλλήλων και φτάσαμε

στην (αρνητική) καμπυλότητα. Εδώ το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου

είναι μεγαλύτερο από δύο ορθές (αλλά μικρότερο του 3π), και δεν υπάρχει

ομοιότητα. Ένα Ευκλείδειο μοντέλο της ελλειπτικής γεωμετρίας δύo

διαστάσεων υπάρχει στο βιβλίο «η αλήθεια της γεωμετρίας www . mpantes . gr )

11

Γιώργος Μπαντές μαθηματικός www.mpantes.gr

Για να κατανοήσουμε τη θεμελίωση της Ρημάνειας γεωμετρίας, μια

μαθηματική αυτοψία της διαφορικής έκφρασης του Ευκλειδειανισμού για τις

απειροστές περιοχές επάνω σε επιφάνεια-ειδική περίπτωση πολλαπλότητας-

είναι η παρακάτω, (την οποία ο αναγνώστης μπορεί και να παραλείψει,

Τανυστικός λογισμός www . mpantes . gr )

Μαθηματική αυτοψία .

Έστω (y1 ,y2 ,y3 ) οι Καρτεσιανές συντεταγμένες ενός σημείου στο χώρο. Μια επιφάνεια S

ορίζεται γενικά σαν ο τόπος του σημείου του οποίου οι συντεταγμένες είναι συναρτήσεις δύο

ανεξάρτητων παραμέτρων . Δηλαδή οι εξισώσεις μιας επιφάνειας είναι του τύπου

όπου τα u1, u2 είναι παράμετροι. Με άλλα λόγια κάθε σημείο στην επιφάνεια καθορίζεται

μοναδικά από δύο αριθμούς u1, u2 που θα τους ονομάζουμε συντεταγμένες του σημείου στην

επιφάνεια.

Η μεγάλη ανακάλυψη του Γκάους στην

έρευνά του για τις επιφάνειες είναι ο ορισμός της

απόστασης δύο γειτονικών σημείων της επιφάνειας με

όρους της επιφάνειας και μόνο, μια βασική έννοια της

εσωτερικής γεωμετρίας. Αυτό προϋποθέτει ότι οι

συντεταγμένες πάνω στην επιφάνεια θα πρέπει να

σχετίζονται με τα γνωστά Ευκλείδεια συστήματα για να

μπορέσει η γεωμετρία να «μεταφερθεί» από αυτά,

στην επιφάνεια.

Αυτό όμως εισάγει μια βασική παραδοχή για

την επιφάνεια: ότι αυτή τοπικά είναι επίπεδη. Δηλαδή μια μικρή περιοχή γύρο από ένα σημείο

ταυτίζεται σχεδόν με το εφαπτόμενο επίπεδο σε αυτήν , τόσο περισσότερο όσο πλησιέστερα στο

σημείο. Έτσι τα απειροστά τμήματα των Γκαουσιανών συντεταγμένων καμπύλων θεωρούνται

ευθύγραμμα και τα μήκη τους μετρούνται σα να βρίσκονται στον Ευκλείδειο χώρο.

Έστω Μ, Α δύο γειτονικά σημεία στην επιφάνεια με Γκαουσιανές συντεταγμένες επιφανείας τις

uα , uα +duα αντίστοιχα (σx.4.2). Θα συμβολίσουμε με yr και yr+dyr τις Καρτεσιανές συντεταγμένες των

Μ και Α΄ θεωρούμενα σημεία του εφαπτομένου επιπέδου, όπου το Α΄ είναι η προβολή του Α στο

εφαπτόμενο επίπεδο στο Μ. Η απόσταση ΜΑ (της γεωδαισιακής) όσο μικρότερη είναι τόσο τείνει να

ταυτιστεί με την απόσταση μεταξύ των προβολών τους ΜΑ΄ πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο, λόγω της

τοπικής επιπεδότητας της επιφάνειας.

Έτσι οι ποσότητες που καθορίζονται με μέτρηση μήκους στο εφαπτόμενο επίπεδο

μεταφέρονται, ώστε να ανήκουν στην εσωτερική γεωμετρία της επιφάνειας. Η δυνατότητα να θεωρούμε

12

ένα μικρό τμήμα της επιφάνειας σαν επίπεδο είναι η βάση του ορισμού όλων των εννοιών της

εσωτερικής γεωμετρίας, και το υπόβαθρο της μετέπειτα έννοιας της πολλαπλότητας.

Από την (1) έχουμε

α=1,2

Αν ds είναι η στοιχειώδης απόσταση από το Μ ως το Α ή από το Μ ως το Α΄ έχουμε για το

δεύτερο

Και από την (2) έχουμε

2

όπου

Παρατηρούμε ότι το είναι συνάρτηση των uα και είναι συμμετρικό ως προς τα α, β.

Επίσης το ds είναι αναλλοίωτο ως Ευκλείδειο μήκος, άρα από την (2) η

3

είναι αναλλοίωτη μορφή για κάθε τιμή του ανταλλοίωτου διανύσματος duα . Δηλαδή τοπικά η

γεωμετρία της επιφάνειας είναι επίπεδη. Συνεπώς ο γνωστός μας νόμος του πηλίκου μας δίνει ότι το

είναι διπλός συναλλοίωτος τανυστής , τον οποίο ονομάζουμε θεμελιώδη ή μετρικό τανυστή της

επιφάνειας και το στοιχειώδες μήκος πάνω στη γεωδαισιακή, η μετρική της επιφάνειας, δίνεται από

την (3). Στον Ευκλείδειο τρισδιάστατο χώρο με τις ευθύγραμμες συντεταγμένες, τα gik μας επέτρεψαν

να εκφράσουμε το μήκος και τη γωνία σε όρους ανεξάρτητους του συστήματος αναφοράς. Στην μελέτη

της επιφάνειας, το ρόλο αυτό θα παίξει ο τανυστής επιφάνειας, που τώρα εκφράζει το απειροστό

μήκος, τη γωνία και την καμπυλότητα, χωρίς αναφορά σε κάτι ‘έξω’ από την επιφάνεια, και ανεξάρτητα

της ‘παραμόρφωσης ‘ της επιφάνειας, που γίνεται χωρίς τσαλάκωμα ή σχίσιμο. . Όλη η γεωμετρία της

επιφάνειας εκφράζεται με το μετρικό τανυστή , ο οποίος είναι εξαρτώμενος από το σύστημα αναφοράς,

το οποίο εξαρτάται από την υπάρχουσα καμπυλότητα της επιφάνειας , η οποία καθιστά το σύστημα

μοναδικό.

2 Η σχέση αυτή είναι η τανυστική γραφή του Πυθαγορείου θεωρήματος στο τυχόν σύστημα αναφοράς. Αν έχουμε Καρτεσιανέ συντεταγμένες τότε γίνεται το γνωστό ds 2 =dx 2+dy 2

3 Η έκφραση αυτή είναι η γνωστή «πρώτη θεμελιώδης μορφή» του Γκάους.

13

Πηγές .

Τρία κείμενα και μια διάλεξη που άλλαξαν τον κόσμο (Γιώργος Μπαντές

www . mpantes . gr )

Η αλήθεια της γεωμετρίας (ομοίως)

Non-Euclidean geometry (R. Bonola Dover)

Geometry relativity and the fourth dimension (R.Rucker Dover)

Γενική σχετικότητα (Bernard F.Schutz Κωσταράκη)

Διαφορική γεωμετρία Martin M.Lipschutz (Shaum’s outline series)

Concepts of modern mathematics (Ian Stewart, Dover)

Τανυστικός λογισμός (Γιώργος Μπαντές www.mpantes.gr).

14