Γενικό Λύκειο Νεστορίου Τάξη : Γ΄ Λυκείου

Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηµατικός ☺

Τµήµα: Γ΄ Κατεύθυνσης ∆ιαγώνισµα :2ο Θέµα: Συναρτήσεις Παρασκευή 14/12/2012 ∆ιάρκεια 3 ώρες ΘΕΜΑ 1ο Α. Έστω f, g :ℜ→ℜ δύο περιττές συναρτήσεις. Να αποδείξετε ότι η

συνάρτηση fοg είναι περιττή. (Μονάδες 5)

Β. Έστω f, g :ℜ→ℜ δύο γνησίως φθίνουσες συναρτήσεις.

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση fοg είναι γνησίως αύξουσα.

(Μονάδες 5)

Γ. Αν ( )( ) 2 1g f x x= −� και ( )2

xg x

x=

− , να βρεθεί η συνάρτηση f.

(Μονάδες 7) ∆. Αν ( )( ) 24 14 13f g x x x= − +� και ( ) 2 3g x x= − , να βρεθεί η

συνάρτηση f. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ 2ο Α. ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) 32 1xf x e −= − .

α) να εξετάσετε αν η f είναι «1-1». (Μονάδες 4) β) να εξετάσετε αν η f αντιστρέφεται. (Μονάδες 2) γ) αν η f αντιστρέφεται να βρείτε την αντίστροφή της. (Μονάδες 4) δ) να βρεθεί το πεδίο ορισµού και το σύνολο τιµών της f. (Μονάδες 2) Β. ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) ( )3ln 1 2f x x= − − .

α) να εξετάσετε αν η f είναι «1-1». (Μονάδες 4) β) να εξετάσετε αν η f αντιστρέφεται. (Μονάδες 2) γ) αν η f αντιστρέφεται να βρείτε την αντίστροφή της. δ) να βρεθεί το πεδίο ορισµού και το σύνολο τιµών της f. (Μονάδες 2) ΘΕΜΑ 3ο Α. Θεωρούµε τη συνάρτηση f , η οποία είναι γνησίως µονότονη και διέρχεται απ’ τα σηµεία Α(1,2005) και Β(-2,1). α) Να βρείτε το είδος της µονοτονίας της (Μονάδες 4) β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. (Μονάδες 2)

β) Να λύσετε την εξίσωση: ( )( )1 22004 8 2f f x−− + − = − . (Μονάδες 4)

Β. Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) ( )2

2 2f x x= + − µε x≥2.

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι «1-1». (Μονάδες 5) β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί ο τύπος της 1f − . (Μονάδες 5) γ) Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και 1f − . (Μονάδες 5)

Γενικό Λύκειο Νεστορίου Τάξη : Γ΄ Λυκείου

Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηµατικός ☺

ΘΕΜΑ 4ο Α. Θεωρούµε τη συνάρτηση f , η οποία είναι γνησίως µονότονη στο ℜ και διέρχεται απ’ τα σηµεία Α(1,5) και Β(5,-2). α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. (Μονάδες 5)

β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση fοf είναι γνησίως αύξουσα. (Μονάδες 5)

γ) Να λύσετε την ανίσωση : ( )( ) 2xf f e < − . (Μονάδες 5)

Β. Θεωρούµε τη συνάρτηση g : (0,+∞)→ℜ, η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και η γραφική της παράσταση διέρχεται απ’ το σηµείο Α(1,-2) . Αν η συνάρτηση ( ) ( )lnf x x g x= − για κάθε x>0.

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. (Μονάδες 5) β) Να λύσετε την ανίσωση : ( )22ln 2x g x< + . (Μονάδες 5)