Έλλειψη

•Ορισμός

•Βασικοί τύποι

•Ιδιότητες

Έλλειψη1. Ορισμός

Ορισμός

Έστω τα σημεία Ε1 και Ε2. Το σύνολο των σημείων των οποίων το άθροισμα των αποστάσεών τους από τα Ε1 και Ε2 είναι σταθερό και ίσο με 2α βρίσκονται πάνω σε μια καμπύλη που ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε1 και Ε2.

Έλλειψη1. Ορισμός

Πώς μπορούμε να βρούμε τα σημεία μιας έλλειψης;

Έλλειψη1. Ορισμός

Πώς μπορούμε να βρούμε τα σημεία μιας έλλειψης;

Ε1 Ε2

Έλλειψη2. Βασικοί τύποι

Βασικά Χαρακτηριστικά Έλλειψης

1. Εστίες: Ε1(-γ,0) και Ε2(γ,0)

2. Μεγάλος Άξονας ΑΑ΄=2α

3. Μικρός Άξονας ΒΒ΄=2β

4. Εστιακή Απόσταση Ε1Ε2=2γ

5.

6. Εξίσωση:

7. Εκκεντρότητα:

ΑΑ΄

2α

Β

Β΄

2β22

12

2

2

2

yx

1

Ε2

Ε1

Έλλειψη2. Βασικοί τύποι

Βασικά Χαρακτηριστικά Έλλειψης

1. Εστίες: Ε1(0,-γ) και Ε2(0,γ)

2. Μεγάλος Άξονας ΑΑ΄=2α

3. Μικρός Άξονας ΒΒ΄=2β

4. Εστιακή Απόσταση Ε1Ε2=2γ

5.

6. Εξίσωση:

7. Εκκεντρότητα:

Α

Α΄

2β

ΒΒ΄2α

22

12

2

2

2

yx

1

Έλλειψη2. Βασικοί Τύποι

Εκκεντρότητα

Όπως είδαμε η εκκεντρότητα ορίζεται με βάση τον τύπο:

Είναι προφανές ότι οι τιμές αυτού του αριθμού κινούνται στο διάστημα [0, 1]. Εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι ισχύει επίσης η σχέση

Παρατηρούμε ότι όσο η εκκεντρότητα αυξάνεται (δηλαδή πηγαίνει στην τιμή 1, η έλλειψη τείνει να εκφυλιστεί σε ευθύγραμμο τμήμα. Όσο η εκκεντρότητα μειώνεται (τείνει στο 0), η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος.

21

Έλλειψη2. Βασικοί Τύποι

Εξίσωση εφαπτομένης

Η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης με εξίσωση

στο σημείο Μ(x1,y1), δίνεται από την εξίσωση

Η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης με εξίσωση

στο σημείο Μ(x1,y1), δίνεται από την εξίσωση

12

2

2

2

yx

121

21

yyxx

12

2

2

2

yx

121

21

yyxx

Έλλειψη3. Ιδιότητες

Ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης

Έλλειψη3. Ιδιότητες

Εφαρμογή της ανακλαστικής ιδιότητα της έλλειψης στην ιατρική - Λιθοτριψία

Έλλειψη3. Ιδιότητες

Εφαρμογή της ανακλαστικής ιδιότητα της έλλειψης στην ιατρική - Λιθοτριψία

Έλλειψη3. Ιδιότητες

Εφαρμογή της ανακλαστικής ιδιότητα της έλλειψης στην ιατρική - Λιθοτριψία