ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Ασκήσεις στις Συναρτήσεις Επιµέλεια: Θανάσης Κοπάδης Μαθηµατικός

1

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Α. Η έννοια της συνάρτησης 1. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = 2χ2-χ-1. α) Να υπολογίσετε τις τιµές f(0) , f(-1) , f(h+1). β) Να λύσετε την εξίσωση f(χ) = 0. γ) Να λύσετε την ανίσωση f(χ) > 0. 2. Έστω η συνάρτηση f(χ) = 2lnχ+3 , χ>0

α) Να βρείτε τις τιµές: f(1) , f(e) , f(e2) , f(e

1)

β) Αν 1004e

β

α= , να δείξετε ότι: f(α)-f(β) = 2008.

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(χ) = 0 3. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = eχ-1 – 2. α) Να βρείτε τις τιµές: f(1) , f(2) , f(0). β) Να λύσετε την εξίσωση f(χ)=0. γ) Να λύσετε την ανίσωση f(χ)≤0. 4. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = ηµχ+ 3συνχ.

Να υπολογίσετε τις τιµές f(0) και f(3

π2 )

5. Έστω η συνάρτηση χe1

συνχ f(χ)+

= .

Nα αποδείξετε ότι: f(χ)+f(-χ) = συνχ , για κάθε χєR.

6. ∆ίνεται η συνάρτηση χ

1

e1

χ f(χ)

+

= , χ≠0.

Να αποδείξετε ότι: f(χ)-f(-χ) = χ , για κάθε χ≠0.


2

Β. Πεδίο ορισµού συνάρτησης 7. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων:

α) f(χ) = χ2+2χ-3 β) 1-χ

1 f(χ)= γ) 1χ f(χ) 2 +=

δ) χ-2 f(χ)= ε) 2χ-4

1 f(χ) = στ) 21χ f(χ) 2 +−=

ζ) )χ

1-χln( f(χ) = η) f(χ) = ln(1-2χ) θ) lnχ f(χ) =

ι) f(χ) = ln(χ2-3χ+2) ια) 1-lnχ

1 f(χ) = ιβ) 1e f(χ) χ −=

8. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων:

α) 26χ-3χ

1χ f(χ)

+= β) 23χ-2χ

ηµχ f(χ) 2 += γ)

2e

χ f(χ)χ −

=

δ) 3χ

2

1χ

1 f(χ)

++

−=

9. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων:

α) 1χ2χ- f(χ) 2 ++= β) 3e f(χ) χ −=

γ) 65χχ

1 f(χ)

2 +−= δ) 10-χ17χ8χ f(χ) 23 +−=

10. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: α) f(χ) = ln(χ-1) β) f(χ) = ln(2-χ2) γ) f(χ) = ln(eχ-1)

δ) f(χ) = ln(e2χ-1)+3ln(e2χ- eχ) ε) 1)-ln(lnχ1-χ

χln f(χ)

2

−=

στ) 23e-e f(χ) χ2χ += ζ) lnχ-χln

χ f(χ) 2=


3

11. ∆ίνεται η συνάρτηση

=−

≠+

=

1χ αν , 3α

1χ αν , 1-χ

13χ

f(χ)2

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f β) Να βρείτε το α ώστε f(-1) = f(1) Γ. Πράξεις µεταξύ συναρτήσεων 12. ∆ίνονται οι συναρτήσεις: f(χ) = χ+1 και g(χ) = χ2+2χ-3 Να βρείτε τους τύπους και τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων:

α) h(χ) = (f+g)(χ) β) h(χ) = (f·g)(χ) γ) χ))(g

f( h(χ) =

δ) h(χ) = ln[g(χ)] ε) g(χ) h(χ) = στ) h(χ) = eg(χ)

13. ∆ίνονται οι συναρτήσεις: 1-χ f(χ) = και 1χ g(χ) += .

Να βρείτε τις συναρτήσεις f+g , f·g , g

f.

14. Aν f(χ) = ln(χ2-1) και g(χ) = lnχ , να βρείτε τις συναρτήσεις f+g και f·g.

15. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f(χ) = χ2-1 και 1χ g(χ) −= .

Να βρείτε τις συναρτήσεις f

g , fg ,

g

f 22

2⋅ .

16. Αν χ f(χ) = και 2-χ

9χ g(χ)

2 −= . Να βρείτε τις συναρτήσεις:

f-g , g

f.


4

∆. Γραφική παράσταση συνάρτησης 17. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων: α) f(χ) = 2χ+1 β) f(χ) = -3χ γ) f(χ) = 4 δ) f(χ) = χ2+2 ε) f(χ) = -2χ2-3 στ) f(χ) = 2(χ-1)2 ζ) f(χ) = (χ+1)2 η) f(χ) = (χ+2)2-1 θ) f(χ) = χ2+4χ-1

ι) 2χ

1 f(χ) += ια)

2-χ

1 f(χ) = ιβ)

3-χ

12χ f(χ)

+=

18. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων: α) f(χ) = eχ β) f(χ) = eχ+1 γ) f(χ) = eχ +2 δ) f(χ) = lnχ ε) f(χ) = lnχ +2 στ) f(χ) = ln(χ-1) 19. Να βρεθούν οι τιµές των α και β , ώστε η γραφική παράσταση της f(χ) = χ2-2αχ+β να διέρχεται από τα σηµεία Α(-1,3) και Β(1,7). 20. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων µε τους άξονες:

α) f(χ) = χ4-8χ2-9 β) 1χ

4-χ f(χ)

+= γ) f(χ) = 2lnχ+1

δ) f(χ) = e2χ - eχ+1 ε) f(χ) = 2ηµχ- 3 στο [0,2π) 21. Να βρεθούν οι τιµές του χ για τις οποίες οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων βρίσκονται πάνω από τον άξονα χ΄χ: α) f(χ) = ln(χ2-4)-ln(χ-4) β) f(χ) = χ2·eχ +2χ·eχ 22. Να βρείτε τις τιµές του χ για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g:

α) f(χ) = χ-1 και 2χ

χ g(χ)

2

+= β) f(χ) = ln(eχ +2) και g(χ) = 2χ


5

23. Έστω η συνάρτηση 2)-ln(χ-1 f(χ)= . α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f β) Να βρείτε το λ ώστε το σηµείο Μ(λ,3) να ανήκει στη γραφική παράσταση της f

γ) Να αποδείξετε ότι : χ)ef(22χ-1 =+

Ε. Όριο συνάρτησης 24. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

α) ]3)-χ(2-3χ[lim 2010

2χ⋅

→ β) ]1)χχ(2)-συνχ[(lim 21821

0χ++⋅

→

γ) 3

2

2χ 23χ

2χχlim

+

+→ δ) )

ηµχ

χ-συνχ1(lim

2

πχ

+→

ε) lnχ)e2(lim χ

1χ+

→ στ) e)]-[ln(χlim 2

eχ→

25. Αν 3f(χ)limαχ

=→

και 2g(χ)limαχ

=→

, να υπολογίσετε τα

παρακάτω όρια:

α) 3g(χ)][2f(χ)limαχ

+→

β) g(χ)-f(χ)f(χ)

limαχ→

γ) 2

αχf(χ)]-[g(χ)lim

→ δ) χ)](g

f(χ)

g(χ)[lim 2

αχ+

→

26. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

α) 4-χ

12-χ-χlim

2

4χ→ β) 2-χ-χ

1χlim

21χ

+−→

γ) 4χ-χ

16χlim

2

2

4χ

−→


6


α) χ-χ

25χ3χlim

3

2

1χ

++−→

β) 65χ-χ

67χ-χlim

2

3

2χ +

+→

γ) 45χ-χ

5-χ3χχlim

2

23

1χ +

++→

δ) 34χ-χ

23χ-χlim

4

3

1χ +

+→


α) )1-χ

3

1-χ

1(lim

31χ−

→ β) )

χ-4

2χ

χ-2

1(lim

22χ−

→

γ) )χ-χ

1

1-χ

1(lim

21χ−

→ δ) )

2χ-χ

4

2-χ

χ(lim

22χ−

→


α) 1-χ

1χlim

1χ

−→

β) 1-χ

12-3χlim

1χ

−→

γ) χ

χ-1χ1lim

0χ

−+→

δ) 2-3χ

1-χlim

1χ +→


α) 1-2-χ

9-χlim

2

3χ→ β) χχ

χ33χlim

2

2

0χ +

+−+

→

γ) 35χ

13-χlim

4χ −+

−

→ δ) 1χ-2

2χ-5lim

1χ −

−

→


7


α) 1χ

χ23χ-1lim

21χ −

+−→

β) 8χχ3

2-χ-χlim

2

2

1χ ++−→

γ) 8χ

8χ3χ32lim

3

2

2χ +

−−+

−→ δ) 1χ

1χ33χlim

1χ −

+−+

→


α) 1χ

2ηµχ-2χ-χηµχlim

21χ −

+→

β) 1e1χ-e-χe

limχ

χχ

0χ −

+→

33. ∆ίνεται η συνάρτηση f µε 3f(χ)lim3χ

=→

. Να βρείτε τα

παρακάτω όρια:

α) 3-f(χ)

9-(χ)flim

2

3χ→ β) 3f(χ)-(χ)f

3-2f(χ)-(χ)flim

2

2

3χ→

γ) 3-f(χ)

21f(χ)lim

3χ

−+→

δ) 3-χ

9-3f(χ)-3f(χ)χf(χ)lim

3χ

+→

34. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = χ2-2χ-3. Να υπολογίσετε τα όρια:

α) 1χ

f(χ)lim

1χ +−→ β) 332χ

f(χ)lim

3χ −+→

γ) 1χ

f(1)-f(χ)lim

1χ −→ δ) h

f(1)-h)f(1lim

0h

+→


8

Ζ. Συνέχεια συνάρτησης


=

≠=

1χ αν , 7

1χ αν , 1-χ

2-3χ-5χ f(χ)

2

Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο χ0 = 1.


=+

>=

1χ αν , 12α

1χ αν , 1-χ

2-3χ-1 f(χ)

Να βρείτε το α ώστε η f να είναι συνεχής στο χ0 = 1.


=

<<−=

1χ αν , α-4α

1χ0 αν , 1χ

χ-χ

f(χ)2

3

Να βρείτε το α ώστε η f να είναι συνεχής στο χ0 = 1.


=

≠−

+

=

1χ αν , 2-λ

1χ , 1χ

7-6χχ

f(χ)

2

α) Να βρείτε τα f(0) και f(2)

β) Να βρείτε το 1-χ

7-χ6χlim

2

1χ

+→

γ) Να βρείτε το λ ώστε η f να είναι συνεχής στο χ0 = 1.


9


=

≠<−

=

2χ αν , 4

1

2χ0 , 1χ

lnχ-χlnχ

f(χ)

2

α) Να βρείτε το f(χ)lim2χ→

β) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο 2.


=

≠−

++

=

1χ αν , α

1χ , 1χ

3βχχ

f(χ)

2

Να βρείτε τις τιµές των α,βєR ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σηµείο Μ(2,-1) και να είναι συνεχής στο χ0 = 1. 41. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σηµείο Α(-1,2) , να υπολογίσετε το

5χ2

χ)(χf(χ)lim

2

-1χ +−

+⋅→ .

Η. Εύρεση παράγωγου συνάρτησης στο σηµείο χ=χ0 42. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης: α) f(χ) =3χ+2010 στο χ0 = 1 β) f(χ) = χ2+2χ στο χ0 = 2

γ) χ

2 f(χ) = στο χ0 = 1

δ) χ f(χ) = στο χ0 = 4 ε) f(χ) = χ3+χ στο χ0 = 0


10

Θ. Εύρεση παραγώγου συνάρτησης 43. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων:

α) f(χ) = χ5 β) f(χ) = χ-6 γ) 3

2

χ f(χ) =

δ) f(χ) = 4χ-2 ε) χ2 f(χ) = στ) 3 2χ f(χ) = 44. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων:

α) f(χ) = χ3+3χ2-2χ+2010 β) 2χχ2

1χ

3

1χ

4

1 f(χ) 234 ++++=

γ) f(χ) = 5χ2+lnχ δ) f(χ) = χ2+2ηµχ-3συνχ+1 45. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων: α) f(χ) = (χ+1)(χ-2) β) f(χ) = (χ-1)(χ2+1)

γ) f(χ) = (χ2+χ+1)eχ δ) lnχχ f(χ) ⋅= ε) f(χ) = χ2·ηµχ στ) f(χ) = χ3·lnχ 46. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων:

α) 2-χ

1χ f(χ)+

= β) 2-χ

χ f(χ)

2=

γ) χ

lnχ f(χ) = δ)

lnχ-χ

lnχχ f(χ)+

=

ε) 2χ

4 f(χ)

2 += στ)

συνχ

ηµχχ f(χ)+

=

ζ) 2

χ

χ

e f(χ) = η)

συνχ-ηµχ

συνχηµχ f(χ)

+=

47. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων: α) f(χ) = (3χ2+1)(1-eχ) β) f(χ) = 3χ2eχ – ηµχlnχ

γ) 1χ

χ f(χ)

2

+= δ) χ

2

2e

3χ f(χ) =


11

48. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων: α) f(χ) = (χ2+1)3 β) f(χ) = (ηµχ+συνχ)2

γ) f(χ) = (2χ+3)1004 δ) f(χ) = (χeχ+1)3

ε) 3)

χ

1(χ f(χ) += στ) f(χ) = συν3χ

49. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων:

α) 1χ f(χ) 2 += β) ηµχ f(χ) =

γ) 2χe f(χ) χ += δ) 1χχ f(χ) 24 ++=

ε) χ f(χ) = στ) 2χ

1χ f(χ)

+

+=

50. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων:

α) χ

1

e f(χ) = β) χe f(χ) −=

γ) χe f(χ) = δ)

1χ2χ2

e f(χ) +−=

ε) χee f(χ) = στ)

συνχ-ηµχe f(χ) = 51. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων: α) f(χ) = ln(2χ+5) β) f(χ) = ln(χ2+1)

γ) )χ

1ln(χ f(χ) += δ) f(χ) = ln(lnχ)

ε) f(χ) = ln(2ηµχ+3) στ) f(χ) = ln[ln(lnχ)] 52. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων: α) f(χ) = ηµ(2χ+1) β) f(χ) = ηµ(χ2+1) γ) f(χ) = ηµ(συνχ) δ) f(χ) = συν(ηµχ)

ε) f(χ) = συν(χ+1)2 στ) χσυν f(χ) =


12

53. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων: α) f(χ) = ηµ3χ β) f(χ) = συν3χ γ) f(χ) = ηµ2(2χ+1) δ) f(χ) = ηµ2(συνχ) ε) f(χ) = ηµ3(χ2) στ) f(χ) = συν2(2χ2+5χ-1) 54. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων:

α) 3eχ f(χ) χ +⋅= β) 3χln

2χ f(χ)

2 +=

γ) ηµ2χ

1)-ln(χ f(χ) = δ) )1χ(e f(χ) 2-2χ +⋅=

55. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων:

α) χ-χ

-χχ

ee

e-e f(χ)

+= β) f(χ) = (χ+1)·ln(χ+1)-χ

γ) 2χ

1χ

e f(χ) +

+

= δ) 3-χ

2χ f(χ)

+=

56. Να υπολογίσετε το f΄(χ0) στις περιπτώσεις:

α) 1χ

χ f(χ)+

= , στο χ0 = 1

β) f(χ) = χ+ηµχ , στο χ0 = 4

π

γ) f(χ) = χ·lnχ , στο χ0 = e2

δ) χχ f(χ) 2 += , στο χ0 = 1 ε) f(χ) = χ·eχ , στο χ0 = 0 57. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = χ2·eχ +2ηµχ α) Να βρείτε τους τύπους των συναρτήσεων f΄ , f΄΄ β) Να υπολογίσετε τους αριθµούς f΄(0) , f΄΄(0)


13

58. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = χ2·e-χ α) Να βρείτε τις συναρτήσεις f΄(χ) , f΄΄(χ) β) Να λύσετε την εξίσωση f΄(χ) = 0

γ) Να υπολογίσετε το όριο: 2-χf΄(χ)

lim2χ→

59. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = (χ2-3χ+3)·eχ , χєR. α) Να βρείτε τους τύπους των συναρτήσεων f΄ , f΄΄

β) Να υπολογίσετε το όριο: 1-4χ

f΄΄(χ)-f΄(χ)lim

2

2

1χ→

Η. Να αποδειχθεί ή να βρεθούν παράµετροι ώστε να ισχύει µια σχέση µε παραγώγους 60. ∆ίνεται η συνάρτηση f µε f(χ) = e2χ . Να δείξετε ότι ισχύει: 2f΄(χ) – f΄΄(χ) = 0 , για κάθε χєR. 61. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = ηµ2χ. Να δείξετε ότι ισχύει f΄΄(χ) + 4f(χ) = 2 , για κάθε χєR. 63. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = ηµχ - χ·συνχ. α) Να βρείτε τον τύπο της f΄΄ β) Να αποδείξετε ότι ισχύει: f΄΄(χ) + f(χ) = 2ηµχ , για κάθε χєR. 64. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = e-χ ·ηµχ. Να αποδείξετε ότι ισχύει: f΄΄(χ) + 2f΄(χ) + 2f(χ) = 0 , για κάθε χєR. 65. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = χ·ηµ(lnχ). Να αποδείξετε ότι ισχύει: χ2f΄΄(χ) - χf΄(χ) + 2f(χ) = 0.


14

66. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = eλχ . Να βρείτε τις τιµές του λ ώστε να ισχύει: 2f΄΄(χ) – f΄(χ) = 3f(χ). 67. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = e-µχ . Να βρείτε τις τιµές του µ ώστε να ισχύει: f΄΄(χ) +3f΄(χ) = 4f(χ).

68. ∆ίνεται η συνάρτηση 22 -χχ ee f(χ) += , χєR.

α) Να δείξετε ότι: f΄(χ) + 4χ3f(χ) = χf΄΄(χ).

β) Να βρείτε το όριο: χ

f΄(χ)lim

0χ→

69. ∆ίνεται η συνάρτηση χχ2

e f(χ) −= , χєR. α) Να δείξετε ότι: (4χ2+1)f(χ) = 2f΄(χ) + f΄΄(χ).

β) Να βρείτε το όριο: 20χ χ

f(χ)-f΄΄(χ)2f΄(χ)lim

+→

.

Θ. Εφαπτοµένη γραφικής παράστασης συνάρτησης f 70. Nα βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτοµένων των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων , στα σηµεία των οποίων δίνονται οι αντίστοιχες τετµηµένες: α) f(χ) = χ2-3χ+2 , στο χ0 = 3

β) 1χ

2-χ f(χ)+

= , στο χ0 = 3

γ) χ-2 f(χ) = , στο χ0 = 1 δ) f(χ) = χ+ηµχ , στο χ0 = π

ε) 3χ

2-χ

e f(χ) += , στο χ0 = 2 στ) f(χ) = χ·lnχ , στο χ0 = e

ζ) lnχ f(χ) = , στο χ0 = e


15

71. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = ηµχ - χ·συνχ , χєR. α) Να βρείτε τον τύπο της f΄΄ β) Να δείξετε ότι ισχύει f΄΄(χ) + f(χ) = 2ηµχ , για κάθε χєR. γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής

παράστασης της f στο σηµείο της Α( )2

πf(,

2

π).

δ) Να βρείτε το όριο: χ

ηµχ-f(χ)f΄(χ)lim

0χ

+→

73. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής

παράστασης της f µε χ

1χ f(χ) += στο σηµείο της µε τεταγµένη 2.

74. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = 2χ2 + lnχ –α , χ>0. α) Να βρείτε το α ώστε η Cf να διέρχεται από το σηµείο Α(1,1) β) Για α=1 , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της Cf στο σηµείο Α. 75. Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύουν f(2) = f΄(2) = 4 και 3g(1) = 2g΄(1) = 6 , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της

γραφικής παράστασης της συνάρτησης g(χ)

f(g(χ)) h(χ) = στο χ0 = 1.

76. ∆ίνεται η συνάρτηση 2χ2

χ f(χ)

2

+−= . Να βρείτε την εξίσωση

της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f που: α) έχει συντελεστή διεύθυνσης 2 β) σχηµατίζει µε τον άξονα χ΄χ γωνία 45° γ) είναι παράλληλη µε την ευθεία 3χ+ψ-1=0 δ) είναι παράλληλη στον άξονα χ΄χ


16

77. Σε κάθε µια από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης που είναι παράλληλη στην αντίστοιχη ευθεία: α) f(χ) = χ2-χ , ψ=3χ+2009 β) f(χ) = eχ+1 , ψ=χ+2 γ) f(χ) = lnχ , -χ+2ψ+1=0 78. Σε κάθε µια από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης που είναι παράλληλη στην αντίστοιχη ευθεία:

α) f(χ) = χ2+χ , ψ= 3χ2

1+−

β) f(χ) = lnχ , ψ=-χ+2

γ) 1χ

2χ f(χ)+

+= , ψ=4χ+1

79. Σε κάθε µια από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της οποίας η γωνία που σχηµατίζει µε τον άξονα χ΄χ είναι η ω. α) f(χ) = χ2-χ , ω=45°

β) 2

χ f(χ)

2

= , ω=60°

γ) χ

1 f(χ) = , ω=135°

80. Σε κάθε µια από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε την εφαπτοµένη της Cf που διέρχεται από το αντίστοιχο σηµείο: α) f(χ) = χ2-3χ+2 , Α(2,-1) β) f(χ) = χ2-3χ+4 , Α(1,-2) γ) f(χ) = eχ , Α(0,0)

81. ∆ίνεται η συνάρτηση 1-χ62

χ5

3

χ f(χ)

23

+−= .

Να βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της f που οι εφαπτοµένες σε αυτά είναι παράλληλες στον άξονα χ΄χ. Στην συνέχεια να βρείτε και τις εξισώσεις των εφαπτοµένων αυτών.


17

82. Να βρείτε τα σηµεία των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων στα οποία οι εφαπτοµένες είναι οριζόντιες: α) f(χ) = χ3-2χ2+χ+2008 , χєR. β) f(χ) = 3ln(eχ+2)-χ , χєR. 83. Έστω η συνάρτηση f(χ) = αχ2-βχ , χєR. Nα βρείτε τα α και β ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α(1,2) να σχηµατίζει γωνία 45° µε τον άξονα χ΄χ. 84. Να βρείτε την τιµή του α ώστε η εφπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(χ) = αχ(1-χ) στο σηµείο Ο(0,f(0)) να σχηµατίζει µε τον άξονα χ΄χ γωνία 60°. 85. Έστω η συνάρτηση f(χ) = χ4+αχ3+βχ2 , χєR. Να βρείτε τα α και β ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σηµείο Μ(1,11) και η εφαπτοµένη της στο σηµείο αυτό να έχει κλίση ίση µε 16.

86. Αν 1χ

1f(χ)

+= και g(χ) = χ2-χ+1 , να δείξετε ότι οι Cf και Cg

έχουν στο σηµείο Α(0,1) κοινή εφαπτοµένη η οποία και να βρεθεί. 87. Να βρείτε τους αριθµούς α και β αν είναι γνωστό ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(χ) = χ2+αχ+1 και g(χ) = 2χ2+χ+β έχουν κοινή εφαπτοµένη στο σηµείο µε τετµηµένη ίση µε 1. 88. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = ln(χ2+β) + α , χєR. Να βρείτε τους α,β ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α(1,f(1)) να είναι η ευθεία ψ=χ-1.


18

89. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = ln(2χ-χ2)+αχ+β. α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης β) Να βρείτε την παράγωγο f΄(χ) γ) Να βρείτε τις τιµές των α και β ώστε η ευθεία ψ=2χ-1 να εφάπτεται της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α(1,f(1)). 90. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει: 3f(χ3) = f(χ2)+14χ , για κάθε χєR , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της Cf στο σηµείο Α(1,f(1)). 91. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη για κάθε χ>0 και ισχύει: f(χ2)+f(χ3) = 5lnχ+4 , για κάθε χ>0 , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της Cf στο σηµείο Α(1,f(1)). 92. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = α2χ2+αχ+1. Να βρείτε για ποιες τιµές του α η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α(1,f(1)) είναι παράλληλη προς την ευθεία µε εξίσωση ψ=3χ+1. 93. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = eχ+β+α , α,β,χєR. Να υπολογίσετε τις τιµές των α,β ώστε η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο Μ(1,2) να σχηµατίζει γωνία 45° µε τον άξονα χ΄χ. 94. ∆ίνονται οι συναρτήσεις f(χ) = lnχ και g(χ) = χ2+3χ. α) Να βρείτε την εφαπτοµένη της καµπύλης της f στο σηµείο µε χ0=1 και τη γωνία που σχηµατίζει µε τον άξονα χ΄χ. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εφαπτοµένη εφάπτεται και στην καµπύλη της g.


19

95. ∆ίνεται η συνάρτηση βχ

αχ f(χ)+

+= , χ≠-β

Να υπολογίσετε τα α,β ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής

παράστασης της f στο σηµείο Α(2,0) να έχει κλίση λ = 3

1

96. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης της συνάρτησης f(χ) = χ2 η οποία διέρχεται από το σηµείο Α(-1,-3) Ι. Ρυθµός µεταβολής συνάρτησης 97. Να βρείτε τον ρυθµό µεταβολής των παρακάτω συναρτήσεων: α) f(χ) = 3χ+1 , για χ=0

β) χ

2- f(χ) = , για χ=1

γ) t

5-23t f(t) += , για t=2

δ) f(t) = t2+t·et , για t=0 98. Υποθέτουµε ότι t ηµέρες µετά από την έναρξη µιας διαφηµιστικής καµπάνιας οι πωλήσεις S(t) ενός προϊόντος δίνονται από την συνάρτηση: S(t) = -3t2+32t+100. α) Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής των πωλήσεων για t=2 β) Πότε ο ρυθµός µεταβολής των πωλήσεων θα είναι ίσος µε 129; 99. Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής των αποστάσεων των σηµείων Α(1,2) και Β(χ,0) ως προς χ , όταν χ=1 100. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = χ·lnχ και ε η εφαπτοµένη ευθεία στην καµπύλη της f στο σηµείο Μ(α,f(α)) , α>1. Να βρείτε: α) Την εξίσωση της ε β) Τα σηµεία τοµής Α και Β της ε µε τους άξονες γ) Το ρυθµό µεταβολής του εµβαδού του τριγώνου ΟΑΒ ως προς α , όταν α=e.


20

101. Η ακτίνα ενός κύκλου αυξάνεται σύµφωνα µε τον τύπο:

3

1t R(t)+

= . Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του εµβαδού του

κύκλου όταν t=3. 102. H θέση ενός υλικού σηµείου , το οποίο εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση δίνεται από τον τύπο: S(t) = t·(t-9)2 , όπου το t µετριέται σε δευτερόλεπτα και το S σε µέτρα. α) Να βρείτε την ταχύτητα σε χρόνο t β) Ποια είναι η επιτάχυνση τη χρονική στιγµή t=2 sec; γ) Πότε το σηµείο είναι (στιγµιαία) ακίνητο; δ) Πότε το σηµείο κινείτε στη θετική και πότε στην αρνητική κατεύθυνση; ε) Να βρείτε το ολικό διάστηµα που έχει διανύσει το σηµείο στη διάρκεια των πρώτων 4 s. IA. Μονοτονία – Ακρότατα συνάρτησης 103. Nα εξετάσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f(χ) = 3χ+4 β) f(χ) = 3χ2-1 γ) f(χ) = -χ2+3χ+ln2 δ) f(χ) = χ3-6χ2+9χ+1

στ) 1-χ3χ3

χ- f(χ) 2

3

++= ζ) f(χ) = -χ3+3χ2+1

η) f(χ) = 2χ3+3χ2-5 θ) f(χ) = 2χ3-6χ+5

ι) 1χ4χ23

χ f(χ) 2

3

+++= ια) f(χ) = -χ3+3χ2+1

ιβ) f(χ) = -3χ3+3χ2-χ+2 ιγ) 1-χ18χ2

9-χ

3

2

4

χ- f(χ) 23

4

++=

104. Nα εξετάσετε ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις:

α) 1χ

2χ f(χ)

2 += β)

3χχ

3χ f(χ)

2 +−=

γ) χe

χ f(χ) = δ) χ

2

e

χ f(χ) =


21


α) χ

1χ f(χ) += β) 2-χ

42-χ f(χ) +=

γ) χ

2χ-1 f(χ) 2 −= δ) 1-χ

χ f(χ)

2=


α) f(χ) = 2χe-χ + (χ-1)2 β) 2

χχ)lnχ-(χ f(χ)

22 +=

107. Να µελετήσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα: (1) f(χ) = 2χ2-4χ+100 (2) f(χ) = χ3-χ2+5χ+1

(3) f(χ) = 2χ3-9χ2+12χ+1 (4) 1χ2χ2

1-χ

3

2

4

χ f(χ) 23

4

++−=

(5) f(χ) = χ3-9χ2+15χ+3 (6) f(χ) = χ4-2χ2

(7) 3χ

4χ f(χ)

2 += (8)

χ

2χ f(χ) 2 +=

(9) 2χ

1-χ f(χ) = (10)

2χ

1χ f(χ)+

+=

(11) 2χ1

1 f(χ)+

= (12) 2χ-4 f(χ) =

(13) 2χ f(χ) 2 += (14) χ1χ2 f(χ) −+=

(15) 1χχ f(χ) += (16) 56χχ 2

e f(χ) +−=

(17) -χχ e3e f(χ) += (18)

χ

1χ

e f(χ)+

= (19) f(χ) = χlnχ (20) f(χ) = ln(χ2-χ+1)

(21) 2χ

21

-lnχ f(χ) = (22) f(χ) = 2συνχ+6χ+1


22

108. ∆ίνεται η συνάρτηση 1χχ2

αχ

3

1 f(χ) 23 +++= .

Να βρείτε τις τιµές του αєR ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα στο R.

109. ∆ίνεται η συνάρτηση 1χ

αχ f(χ)

2 += .

Να βρείτε τις τιµές του αєR ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα στο R. 110. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = αχ3+βχ2+3χ+β , χєR. Να βρεθούν οι τιµές των α και β για τις οποίες η f δέχεται ένα τοπικό µέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο για χ=1 και χ=3 αντίστοιχα. 111. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = αχ3+βχ2+12χ+1 , χєR για την οποία είναι γνωστό ότι παρουσιάζει ακρότατα για χ=1 και χ=2. α) Να βρείτε τα α,βєR β) Για τις τιµές των α,β που βρήκατε να προσδιορίσετε το είδος των ακροτάτων. 112. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = -χ4+4α3χ+β , α>0. Αν η f παρουσιάζει µέγιστο ίσο µε 8 για χ=1 , να βρείτε τις τιµές των α,βєR. 113. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = 2χ3-3χ2-12χ+α , χєR α) Να βρείτε την f΄(χ) β) Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα γ) Να βρείτε το α ώστε η f να έχει µέγιστο ίσο µε 2008. 114. Αν για την παραγωγίσιµη συνάρτηση f ισχύει: f3(χ)+3f(χ) = eχ – e-χ +2008χ , για κάθε χєR. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R.


23

115. ∆ίνεται η συνάρτηση lnχ

χ f(χ) = .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f β) Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα γ) Να δείξετε ότι : 20092008 < 20082009 116. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = eχ -χ-1 , χєR. α) Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία

β) Να δείξετε ότι: 23ee 23 −>− 117. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = eχ +χ , χєR. α) Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία

β) Να βρείτε τις τιµές του λєR αν ισχύει: 22λλ λ-λ2e-e

2

<

118. ∆ίνεται η συνάρτηση f µε 1χ

1χ f(χ)

++=

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f β) Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία

γ) Αν 1<α<β , να δείξετε ότι: 1lnα1

1lnβ1

lnβ-lnα+

−+

<

119. ∆ίνεται η συνάρτηση f µε χ

1lnχ f(χ) +=

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f β) Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα

γ) Αν 0<α<β , να δείξετε ότι: 2αβ

βαln(αβ) ≥

++


24

120. ∆ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο 2χ

e f(χ)

χ

+= , χє(-2,+∞)

α) Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα.

β) Να δείξετε ότι : e

2

2β

e

2α

e βα

≥+

++

121. Έστω η συνάρτηση f µε f(χ) = χ2+λχ+λ , λєR. α) Να βρείτε την ελάχιστη τιµή της f β) Να βρείτε για ποια τιµή του λ η ελάχιστη τιµή της f γίνεται µέγιστη. 122. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = -χ2+4αχ+α-1 , χєR. Να βρεθεί το α ώστε το µέγιστο της f να γίνεται ελάχιστο. 123. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = (χ-4)·eχ α) Να βρείτε τις f΄(χ) , f΄΄(χ) β) Να βρείτε το σηµείο της Cf στο οποίο η εφαπτοµένη έχει τη µικρότερη κλίση και πόση είναι αυτή. 124. ∆ίνεται η συνάρτηση f µε f(χ) = χ2 + 8lnχ , χ>0 α) Να βρείτε τις f΄(χ) και f΄΄(χ) β) Να βρείτε σε ποιο σηµείο της Cf η εφαπτοµένη έχει την ελάχιστη κλίση. 125. ∆ίνεται η συνάρτηση f µε: f(χ) = 2eχ-α-χ2 , χєR. Να βρείτε το χ ώστε ο ρυθµός µεταβολής της f ως προς χ να είναι ο ελάχιστος δυνατός , καθώς και την ελάχιστη αυτή τιµή του ρυθµού µεταβολής.


25

126. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = χ3+3χ2-9χ+α2-4α , αєR α) Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό µέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο. β) Να βρείτε την τιµή του α ώστε το τοπικό µέγιστο να είναι τριπλάσιο του τοπικού ελαχίστου. γ) Να βρείτε αν υπάρχει τιµή του χ για την οποία ο ρυθµός µεταβολής της f γίνεται ελάχιστος. ΙΒ. Προβλήµατα µεγίστου – ελαχίστου 127. Να βρείτε το σηµείο της ευθείας ψ=3χ-2 που είναι πλησιέστερο στην αρχή των αξόνων. 128. Να βρείτε δύο αριθµούς χ και ψ µε σταθερό άθροισµα 10 , που να έχουν το µεγαλύτερο γινόµενο. 129. Από όλα τα ορθογώνια µε περίµετρο 14 να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου που έχει το µεγαλύτερο εµβαδόν. 130. Η τιµή εισιτηρίου των αστικών λεωφορείων σε µια πόλη είναι σταθερή τα τελευταία 5 χρόνια στα 50 λεπτά. Το κόστος µεταφοράς ανά επιβάτη στη διάρκεια των 5 χρόνων προσεγγίζεται

από τον τύπο της συνάρτησης t

16 t f(t) 2 += , όπου tє(0,5] ο

χρόνος. α) Πότε το κέρδος είχε αύξηση και πότε µείωση; β) Να βρείτε τη χρονική στιγµή , κατά την οποία πραγµατοποιήθηκε το µέγιστο κέρδος. γ) Πόσο είναι αυτό το κέρδος; 131. Η θετική αντίδραση ενός οργανισµού σε ένα φάρµακο δίνεται από τον τύπο της συνάρτησης: f(χ) = χ2(α-χ) , όπου α>0 σταθερά και χ η ηµερήσια δόση του φαρµάκου(σε mg). Ποια είναι η ενδεδειγµένη ποσότητα δόσης του φαρµάκου , ώστε να έχουµε τη µεγαλύτερη θετική αντίδραση του οργανισµού;


26

132. Η ενέργεια που καταναλώνει ένας µικροοργανισµός που κινείται µέσα στο αίµα ενός ασθενούς µε ταχύτητα υ , προσεγγίζεται από τον τύπο της συνάρτησης:

]75035)-υ(2[2

1 E(υ) 2 +=

α) Με ποια ταχύτητα πρέπει να κινηθεί , για να καταναλώσει τη µικρότερη ενέργεια; β) Πόση είναι η ελάχιστη ενέργεια;

Επαναληπτικά Θέµατα

133. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = συνχ+ηµχ α) Να αποδείξετε ότι f(χ) + f΄΄(χ) = 0 β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α(0,1) γ) Να βρείτε το λєR για το οποίο ισχύει η σχέση:

2)2

πf(2)

2

πλf΄( =−

(2ο Θέµα 2001)


2χ f(χ)+

= .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της

β) Να υπολογίσετε το όριο f(χ)lim3χ→

γ) Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της f δ) Να βρεθούν οι εφαπτοµένες της καµπύλης της συνάρτησης f που είναι παράλληλες στην ευθεία ψ=2χ+5 (2ο Θέµα 2002)


27


χ f(χ) 2 −=

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f β) Να αποδείξετε ότι f΄(χ)<0 για κάθε χ του πεδίου ορισµού της

γ) Να υπολογίσετε το 1)f(χ)][(χlim-1χ

+→

δ) Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Ο(0,f(0)) µε τον άξονα χ΄χ. (3ο Θέµα 2003)

136. ∆ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο 3χ

3χ4χ f(χ)

2

−

+−=

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f

β) Να υπολογίσετε το όριο f(χ)lim3χ→

(2ο Θέµα 2004) 137. ∆ίνεται η συνάρτηση µε τύπο f(χ) = χeχ + 3 , όπου χ πραγµατικός αριθµός. α) Να αποδείξετε ότι : f΄(χ) = f(χ) + eχ – 3

β) Να υπολογίσετε το όριο χχ

e - f΄(χ)lim

2

χ

0χ −→

(2ο Θέµα 2007)

138. ∆ίνεται η συνάρτηση µε τύπο χe

1-χ f(χ)= , χєR.

α) Να υπολογίσετε το όριο 1χ

f(χ)elim

2

χ

1χ −→

β) Να αποδείξετε ότι : eχ f΄(χ) = 2-χ γ) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(χ) (2ο Θέµα 2008)


28

139. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = χ3-6χ2+αχ-7 , όπου α πραγµατικός αριθµός για την οποία ισχύει: 2f΄΄(χ) + f΄(χ) +15 = 3χ2 , χєR. α) Να δείξετε ότι α=9

β) Να βρείτε το όριο 1χ

f΄(χ)lim

21χ −→

γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f , η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ψ=-3χ (3ο Θέµα 2009) 140. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = λχ3-6χ+µ , λ,µєR .

Αν 2λ

1

1χ

1-χ3χlim

2

2

1χ−=

−

−+→

και το µέγιστο της συνάρτησης f

είναι ίσο µε 9 α) Να δείξετε ότι λ=2 β) Να δείξετε ότι µ=5 γ) Να βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της f όπου η εφαπτοµένη (ε) είναι παράλληλη στον χ΄χ δ) Να βρείτε για ποια τιµή του χ ο ρυθµός µεταβολής της f γίνεται ελάχιστος. (2ο ΟΕΦΕ 2006) 141. ∆ίνεται η συνάρτηση f(χ) = χ2 + lnχ α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της β) Να υπολογίσετε την παράγωγό της γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα

δ) Να υπολογίσετε το όριο 1χ

3-χf΄(χ)lim

1χ −→

(2ο ΟΕΦΕ 2007)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Documents

Transcript of ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ