κυκλοειδής

gkalios.blogspot.com

Γιώργος Γκάλιος

188

Γ

Α

Αο Κ

8.2.7 ΕΚΚΡΕΜΕΣ ΜΕ ΠΕΡΙΟ∆Ο ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΤΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ

Α. Η κυκλοειδής καµπύλη είναι «ισόχρονη». Ο Γαλιλαίος θεωρούσε ότι η περίοδος του εκκρεµούς είναι ανεξάρτητη της γωνίας 0θ

από την οποία άρχιζε η ταλάντωση. Αντιµετώπιζε δηλαδή την κυκλική τροχιά που διαγράφει το εκκρεµές ως καµπύλη ισοχρόνου (ή ταυτοχρόνου). Η κίνηση του εκκρεµούς είναι ισοδύναµη µε την ολίσθηση χωρίς τριβές µιας σηµειακής µάζας στο

εσωτερικό µιας σφαιρικής λείας επιφάνειας. Έτσι, ο Γαλιλαίος θεωρούσε (λανθασµένα) ότι αν το σωµατίδιο του διπλανού σχήµατος ξεκινήσει χωρίς αρχική ταχύτητα από το σηµείο Αο φθάνει στο κατώτερο σηµείο Γ στον ίδιο χρόνο που θα έκανε αν ξεκινούσε από το σηµείο Α ή οποιοδήποτε άλλο

σηµείο του τόξου �0Α Γ ! Ο Huygens ανακάλυψε ότι ο

ισχυρισµός του Γαλιλαίου περί ισόχρονων ταλαντώσεων στο απλό εκκρεµές ήταν αναληθής. Στη συνέχεια αναζήτησε µια καµπύλη που να έχει την ιδιότητα του ισόχρονου και προσπάθησε να κατασκευάσει ένα εκκρεµές* του οποίου όµως η

τροχιά της µάζας που ταλαντώνεται να έχει την µορφή αυτής της καµπύλης και όχι της κυκλικής. Ισοδύναµα, µπορούµε να αναζητήσουµε µια καµπύλη στην οποία ο χρόνος ολίσθησης ενός σώµατος χωρίς τριβές µέχρι το κατώτερο σηµείο της να είναι ανεξάρτητος από το σηµείο εκκίνησης. Έστω ( )=y y x µια τέτοια καµπύλη, κατά µήκος της οποίας η περίοδος των ταλαντώσεων ενός σώµατος είναι ανεξάρτητη του πλάτους, όπως στην απλή αρµονική ταλάντωση. Αφήνουµε σε ένα τυχαίο σηµείο Α(x,y) της καµπύλης µια σηµειακή µάζα να ολισθήσει χωρίς τριβές κατά µήκος της καµπύλης.

* Στον 17ο αιώνα οι ναυτικές δυνάµεις προσέφεραν µεγάλα χρηµατικά ποσά σε όποιον θα

έβρισκε µια αξιόπιστη µέθοδο υπολογισµού του γεωγραφικού µήκους στη θάλασσα. Ο

προσδιορισµός όµως του γεωγραφικού µήκους απαιτούσε ένα χρονόµετρο ακριβείας που να

λειτουργεί µέσα σε ένα κινούµενο πλοίο ώστε να δίνει την ώρα του λιµανιού από το οποίο

ξεκίνησε. Ο Huygens σκόπευε να κατασκευάσει ένα τέτοιο χρονόµετρο. Αρχικά κατασκεύασε

ένα ρολόι µε το κλασικό εκκρεµές αποδεικνύοντας ότι η περίοδός του εξαρτάται από το

πλάτος του.

Στη συνέχεια κατασκεύασε εκκρεµές του οποίου το σφαιρίδιο διέγραφε µια καµπύλη

διαφορετική της κυκλικής έτσι ώστε η περίοδος να είναι ανεξάρτητη του πλάτους! Η

κατασκευή του ήταν περίπλοκη, αλλά η βασική της ιδέα ήταν η χρήση κατάλληλων ελασµάτων

που άλλαζαν το µήκος του εκκρεµούς, όπως δείχνει το σχήµα. Για την ιστορία αναφέρουµε

ότι οι προσπάθειες κατασκευής «ναυτικού» χρονοµέτρου συνεχίστηκαν µέχρι τον 18ο αιώνα.

Το 1759 ένας ξυλουργός, ο John Harrison τελειοποίησε ένα εξαιρετικά ακριβές ρολόι (όχι

ρολόι – εκκρεµές) δίνοντας πρώτος αξιόπιστη λύση στον προσδιορισµό του γεωγραφικού

µήκους.



189

y=yHxL

AHx,yL

0

Για να προσοµοιάζει η κίνηση µε αυτήν του αρµονικού ταλαντωτή (να είναι δηλαδή ανεξάρτητη της αρχικής θέσης - πλάτους) θα πρέπει η βαρυτική δυναµική ενέργεια που έχει το σωµατίδιο, να έχει την µορφή της δυναµικής ενέργειας του αρµονικού ταλαντωτή:

21 2 1 2

2 2= ⇒ = ⇒ =

mg y ds mgD s mg y s

D dy D y

όπου �=s OA . Το στοιχειώδες µήκος τόξου γράφεται

( )22 2 2 1= + ⇒ = −ds dx dy dx dy ds dy

και δεδοµένου ότι 20

1 2 1 2

2 2= =

ds mg g

dy D y yω, µε 2

0 =D

mω , θα έχουµε

( )202

0

1 2 12

= − ⇒ = −∫g

dx dy x g y dyy

ωω

Το ολοκλήρωµα υπολογίζεται αν θέσουµε: 204r g ω= και (1 cos )y r θ= − , οπότε sindy r dθ θ=

Μετά από πράξεις θα έχουµε

1 cossin

1 cosx r d

θθ θ

θ+

=−∫

Χρησιµοποιώντας τις τριγωνοµετρικές σχέσεις του ηµίσεως τόξου παίρνουµε

2 1 cos2 cos ( 2) 2

2 2x r d r d

θθ θ θ = = + ⇒

∫ ∫

( sin )x r Cθ θ= + +

Αν απαιτήσουµε να ισχύει ( 0) 0x θ = = τότε ισχύει 0C = . Έτσι, η καµπύλη που ικανοποιεί την συνθήκη του «ισοχρόνου» εκφράζεται µέσω των παραµετρικών εξισώσεων:

( sin )

(1 cos )

= +

= −

x r

y r

θ θθ

και ονοµάζεται κυκλοειδής καµπύλη. Το γράφηµα της κυκλοειδούς φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Ένας απλός τρόπος «σχεδίασης» αυτής της καµπύλης είναι να παρακολουθήσουµε την διαδροµή που διαγράφει σηµείο της περιφέρειας ενός τροχού που κυλίεται κατά µήκος µιας ευθείας χωρίς ολίσθηση. Κάθε πλήρης περιστροφή του τροχού παράγει µια νέα κυκλοειδή, εφαπτόµενη της αρχικής.

2r

πr−πr 0



190

Αναστρέφοντας την καµπύλη που δηµιουργεί η κύλιση του τροχού και τοποθετώντας το ελάχιστό της στην θέση (0,0) παίρνουµε την κυκλοειδή καµπύλη που παριστάνουν οι παραµετρικές εξισώσεις που προσδιορίσαµε. Β. Η περίοδος ταλάντωσης κατά µήκος της κυκλοειδούς καµπύλης. Από οποιοδήποτε σηµείο της κυκλοειδούς κι αν αφήσουµε να ολισθήσει ένα σώµα, ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει στο κατώτερο σηµείο Ο είναι πάντα ο ίδιος. Ο χρόνος που απαιτείται µέχρι το σώµα να επιστρέψει στην αρχική θέση µετά από µια πλήρη ταλάντωση είναι η περίοδος της ταλάντωσης και ανεξάρτητος από το πλάτος της. Σύµφωνα µε τα προηγούµενα εφόσον δείξαµε ότι το σωµατίδιο κατά µήκος της κυκλοειδούς εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε γωνιακή ταχύτητα 0ω ,

και ισχύει 204r g ω= , θα έχουµε 0 4

g

rω = ⇒ 4

rT

gπ= . Στη συνέχεια θα

αποδείξουµε την σχέση αυτή ξανά για να δείξουµε έναν γενικότερο τρόπο υπολογισµού της περιόδου του απλού εκκρεµούς.

y=yHxL

A0Hx0,y0L

AHx,yL

0

Εργαζόµαστε ως εξής: Θεωρούµε στοιχειώδες µήκος τόξου

( )22 2 2 1= + ⇒ = + ⇒ds dx dy ds dx dy dx 21 ( )′= +ds dx y x

Για ένα σώµα που ολισθαίνει από την αρχική θέση ( )0 0 0,Α x y , κατά µήκος µιας

καµπύλης χωρίς τριβές, θα ισχύει η αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας:

[ ] [ ]20 0

1( ) 2 ( )

2− = ⇒ = −mg y y x m g y y xυ υ

και για την ταχύτητα

0( )− −= ⇒ =

d s s dsdt

dtυ

υ

όπου �0 0=s OA και �=s OA [θεωρούµε ως αρχή των τόξων την θέση (0,0)].

Συνδυάζοντας τις 3 τελευταίες εξισώσεις έχουµε

[ ]

2

0

1 ( )

2 ( )

′+= − ⇒

−

y xdt dx

g y y x [ ]0

0 2

0

1 ( )

4 2 ( )

′+= = −

−∫x

y xTt dx

g y y x

οπότε

[ ]

0 2

00

1 ( )4

2 ( )

′+=

−∫x

y xT dx

g y y x



191

Η τελευταία εξίσωση ισχύει για οποιαδήποτε µορφή καµπύλης ( )=y y x .

Για παράδειγµα, αν η καµπύλη είναι ένα κοίλο ηµικύκλιο µε κέντρο το σηµείο (0, )ℓ

στον άξονα y και ακτίνα ίση µε ℓ (όπως στο απλό εκκρεµές), θα έχει εξίσωση:

2 2( ) = − −ℓ ℓy x x

Χρησιµοποιώντας τις παραµετρικές εξισώσεις, sin= ℓx θ και cos= ℓy θ , έχουµε

(1 cos )= −ℓy θ , 1

tan′ = = =dy dy

ydx d dx d

θθ θ

και cos= ℓdx dθ θ

Έτσι,

0

00

42 cos cos

=−∫ℓ d

Tg

θθ

θ θ

και σύµφωνα µε την ανάλυση της §8.2 παίρνουµε την εξ. (8.9) που δίνει την περίοδο του εκκρεµούς. Στην περίπτωση της κυκλοειδούς έχουµε:

(1 cos )= +dx r dθ θ , 1 sin

1 cos′ = = =

+dy dy

ydx d dx d

θθ θ θ

, 0 0(1 cos )= −y r θ

οπότε

[ ]

0

2

00

sin1

1 cos4 (1 cos )

2 cos cos

+ + = +−∫

x

T r dgr

θθ

θ θθ θ

και µετά από πράξεις

( )( ) ( )

0 0

2 200 0 0

cos 21 cos4 4

cos cos sin 2 sin 2

r rT d d

g g

θ θθθ

θ θθ θ θ θ

+= =

− −∫ ∫

Θέτοντας 01 sin2

kθ

= και 2

uθ= , έχουµε

( )0

0 22

2 200

arcsin sincos8 8

1 sin

k ur u rT k du k

g g kk u

θθ

= = ⇒ −∫

Όµως ( ) ( )

00 2

2

2 200

arcsin sin arcsin 1cos0

21 sin

k uudu

k k kk u

θθπ

= = − = −∫

και 4r

Tg

π=

Έτσι, αν το σωµατίδιο αφεθεί να ολισθήσει από ένα τυχαίο σηµείο της κυκλοειδούς καµπύλης, ο χρόνος που απαιτείται ώστε να επιστρέψει αρχική του θέση δίνεται από την παραπάνω εξίσωση. Παρατηρούµε ότι ένα κλασικό απλό εκκρεµές που ταλαντώνεται σε µικρές γωνίες έχει περίοδο ίση µε την περίοδο της κυκλοειδούς, όταν έχει µήκος 4r=ℓ . Στο σχήµα

2r

πr−πr 0

4r

−4r 4r



192

βλέπουµε την ηµικυκλική τροχιά (πράσινη καµπύλη) που ακολουθεί ένα τέτοιο εκκρεµές µαζί µε την αντίστοιχη κυκλοειδή (µαύρη καµπύλη). Βέβαια οι ταλαντώσεις του εκκρεµούς πρέπει να γίνονται γύρω από το µηδέν.

Γ. Η κυκλοειδής καµπύλη είναι και η «βραχυστόχρονη». Το 1696 ο Johann Bernoulli έθεσε στους µαθηµατικούς της εποχής του το εξής πρόβληµα: Έστω δυο δεδοµένα σηµεία Α και Γ σε ένα κατακόρυφο επίπεδο. Να βρεθεί η καµπύλη την οποία πρέπει να διαγράψει µια σηµειακή µάζα υπό την επίδραση της βαρύτητας, έτσι ώστε ξεκινώντας από το Α χωρίς αρχική ταχύτητα να φτάσει χωρίς τριβές στο Γ στον ελάχιστο χρόνο. Ο Γαλιλαίος στα τέλη του 16ου – αρχές του 17ου αιώνα πειραµατιζόµενος µε κεκλιµένα επίπεδα και σωλήνες µεταφοράς νερού σε σχήµα τόξων, διαπίστωσε ότι η κίνηση κατά µήκος ενός κυκλικού τόξου διαρκεί λιγότερο από την κίνηση κατά µήκος της αντίστοιχης χορδής. Ήταν όµως η διαδροµή του κυκλικού τόξου η συντοµότερη δυνατή; Ο ίδιος δεν πρόλαβε να δώσει την σωστή απάντηση που είναι πάλι η κυκλοειδής καµπύλη. Λύσεις στο πρόβληµα Bernoulli έδωσαν οι Leibniz, de l’ Hospital, Jacob Bernoulli (αδερφός του Johann) και πιθανώς ο ίδιος ο Νεύτωνας µε ψευδώνυµο. Η ευφυέστερη όλων ίσως ήταν η λύση που δόθηκε από τον ίδιο τον Johann Bernoulli που χρησιµοποίησε τη αρχή του Fermat, ότι το φως όταν κινείται µεταξύ δυο σηµείων διασχίζει τη διαδροµή που απαιτεί το ελάχιστο χρονικό διάστηµα. Εδώ θα αποδείξουµε ότι η κυκλοειδής καµπύλη είναι η «βραχυστόχρονη» χρησιµοποιώντας την βασική αρχή του λογισµού των µεταβολών*: Θεωρούµε την ποσότητα ( ), ,f y y x′ που είναι µια συνάρτηση των συναρτήσεων ( )y y x= ,

( )y y x′ ′= και της µεταβλητής x . Το ολοκλήρωµα

( ), ,x

xI f y y x dx

Γ

Α

′= ∫

παίρνει την ελάχιστη (ή µέγιστη) τιµή όταν ικανοποιείται η εξίσωση Euler – Lagrange:

0f d f

y dx y

∂ ∂− = ′∂ ∂

Έστω ( )y y x= η εξίσωσης της τροχιάς που ακολουθεί σηµειακή µάζα όταν κινείται υπό την επίδραση της βαρύτητας µεταξύ δυο σηµείων Α και Γ. Ξεκινώντας από το

* Τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την κυκλοειδή οδήγησαν στην ανάπτυξη του λογισµού

των µεταβολών και την διατύπωση της κλασικής µηχανική µέσω των εξισώσεων Lagrange

και Hamilton.

( )y y x=

(0,0)Α

y

x

( , )x yΓ ΓΓ



193

σηµείο Α το σωµατίδιο χωρίς αρχική ταχύτητα σε µια τυχαία θέση θα έχει ταχύτητα:

2 ( )gy xυ = . Το στοιχειώδες µήκος τόξου µιας καµπύλης ( )y y x= γράφεται

21 ( )′= +ds dx y x

και ο χρόνος που απαιτείται για να διανυθεί το στοιχειώδες τόξο (βλέπε προηγούµενα) είναι

21 ( )

2 ( )

y xdsdt dx

gy xυ′+

= = *

Ο συνολικός χρόνος για την µετάβαση από το σηµείο Α στο σηµείο Γ κατά µήκος της καµπύλης ( )y y x= θα δίνεται από το ολοκλήρωµα:

21 1 ( )

( )2

x

x

y xt dx

y xg

Γ

Α

′+= ∫

Για να είναι ο χρόνος αυτός ελάχιστος πρέπει το ολοκλήρωµα 21 ( )

( )

x

x

y xI dx

y x

Γ

Α

′+= ∫

να παίρνει την ελάχιστη τιµή. Αυτό συµβαίνει όταν ικανοποιείται η εξίσωση Euler – Lagrange:

0f d f

y dx y

∂ ∂− = ′∂ ∂

µε 21 ( )

( , )( )

y xf y y

y x

′+′ = . Ισχύουν: 2

3 2

1

2

yf

y y

′+∂= −

∂ και ( χρειάζεται προσοχή!):

( ) ( )( )

2

3 23 2 2 22 1 1

f y f yd f dy dy y y

dx y y dx y dx y y y y

′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′′ ′ ′′ ∂= + = − + ′ ′∂ ∂ ∂ ′+ ′ +

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση Euler – Lagrange παίρνουµε µετά από πράξεις:

( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 0 1 2 0 1 1 0y y y y y y y y y y y ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′+ + = ⇒ + + = ⇒ + + + = ⇒

( ) ( )2 21 0 1C y

y y y y C dy dxy

−′ ′ ′+ = ⇒ + = ⇒ =

Κάνοντας την αντικατάσταση 2(1 cos ) 2 siny C Cθ θ= − = ,

µετά από πράξεις παίρνουµε:

( )sinx C θ θ= −

η οποία µαζί µε την (1 cos )y C θ= − αποτελούν την παραµετρική έκφραση κυκλοειδούς που σε κανονικούς άξονες έχει στραµµένα τα κοίλα προς τα κάτω (όπως η κυκλοειδής που δηµιουργεί ο τροχός που κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο). Εµείς όµως θεωρούµε τον άξονα y να έχει τα θετικά προς τα κάτω. Έτσι, η διαδροµή που αντιστοιχεί στον ελάχιστο χρόνο για την µετάβαση από το Α στο Γ, είναι η κυκλοειδής του παρακάτω σχήµατος (µαύρη καµπύλη). Στο ίδιο σχήµα βλέπουµε για

* Τώρα δεν υπάρχει αρνητικό πρόσηµο διότι η αρχή µέτρησης του τόξου θεωρείται το αρχικό

σηµείο Α(0,0)!



194

σύγκριση το τεταρτοκύκλιο (πράσινη καµπύλη) που έχει ως χορδή το ευθύγραµµο τµήµα ΑΓ.

A

ΓHxΓ,yΓL

x

y

κυκλοειδής

Documents

Transcript of κυκλοειδής