1

ΘΕΜΑ Α

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

A1. Η ταχύτητα διάδοσης ενός αρμονικού κύματος εξαρτάται από: α. το πλάτος του κύματος. β. τις ιδιότητες του μέσου διάδοσης. γ. την ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του μέσου διάδοσης. δ. τη συχνότητα του κύματος.

Μονάδες 5 A2. Το πλάτος της ταλάντωσης κάθε σημείου ελαστικού μέσου στο οποίο σχηματίζεται στάσιμο κύμα:

α. εξαρτάται από τη χρονική στιγμή β. εξαρτάται από τη θέση του σημείου γ. εξαρτάται από τη θέση και τη χρονική στιγμή δ. είναι το ίδιο για όλα τα σημεία του μέσου

Μονάδες 5 Α3. Η αρχή της επαλληλίας των κυμάτων:

α. παραβιάζεται μόνο όταν τα κύματα είναι τόσο ισχυρά, ώστε οι δυνάμεις που ασκούνται στα σωματίδια του μέσου να μην είναι ανάλογες των απομακρύνσεων. β. ισχύει μόνο όταν συμβάλλουν πολύ ισχύρα κύματα, όπως αυτά που προέρχονται από μια έκρηξη γ. ισχύει μόνο όταν τα κύματα που συμβάλλουν, προέρχονται από πηγές που βρίσκονται σε φάση δ. δεν ισχύει, όταν συμβάλλουν περισσότερα από δύο κύματα

Μονάδες 5

Α4.Σε φθίνουσα μηχανική ταλάντωση της οποίας το πλάτος μειώνεται εκθετικά με το χρόνο, για ορισμένη τιμή της σταθεράς απόσβεσης, η περίοδος της ταλάντωσης με την πάροδο του χρόνου:

α. αρχικά αυξάνεται και στη συνέχεια ελαττώνεται β. διατηρείται σταθερή γ. μειώνεται γραμμικά δ. μειώνεται εκθετικά

Μονάδες 5

5/01/2019

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ(ΘΕΡΙΝΑ)(ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ)

ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ –ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ- ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

2

Α5. Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη.

α. Σε μια ελαστική κρούση δυο σφαιρών, μέρος της ενέργειας του συστήματος μεταφέρεται στο περιβάλλον με τη μορφή θερμότητας.

β. Όταν ένα σώμα που εκτελει απλή αρμονική ταλάντωση, διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, η κινητική του ενέργεια μηδενίζεται.

γ. Συμβολή στην επιφάνεια ενός υγρού συμβαίνει μόνο όταν οι πηγές που παράγουν τα κύματα είναι συμφασικές.

δ. Η ενέργεια των τρέχοντων κυμάτων που σχηματίζουν ένα στάσιμο κύμα, εγκλωβίζεται ανάμεσα στους δεσμούς.

ε. Όταν ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δυο απλές αρμονικές ταλάντώσεις που εξελίσσονται πάνω στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με ίσες συχνότητες, τότε η σύνθετη ταλάντωση που προκύπτει είναι επίσης απλή αρμονική ταλάντωση.

Μονάδες 5 Α1. β, Α2. β, Α3. α, Α4. β

Α5. α. Λ, β. Λ, γ. Λ, δ. Σ, ε. Σ

ΘΕΜΑ Β

Β1. Το άκρο Α oριζόντιας χορδής ΟΑ μήκους L, που ταυτίζεται με τον θετικό άξονα Οx, είναι ακλόνητα στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ το άκρο Ο (x0=0) είναι ελεύθερο να ταλαντώνεται. Με κατάλληλη διεργασία δημιουργείται στη χορδή στάσιμο κύμα με συνολικά 4 κοιλίες. Ένα υλικό σημείο Λ της χορδής απέχει από το άκρο Α απόσταση , , ενώ ένα άλλο

υλικό σημείο Κ απέχει από το άκρο Ο απόσταση . Ο λόγος των μέγιστων ταχυτήτων της ταλάντωσης των σημείων Κ και Λ είναι ίσος με :

α. β. γ.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες 2

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 6

Β1. Σωστή απάντηση η β. Το μήκος της χορδής είναι:

Η θέση του σημείου Λ είναι:

Για το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Λ ισχύει:

3

Αντίστοιχα, για το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Κ ισχύει:

Ο λόγος των μέγιστων ταχυτήτων είναι:

Β2. Σώμα αμεληταίων διαστάσεων μάζας m = 1 kg είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k και εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση πολύ μικρής απόσβεσης με την βοήθεια ενός τροχού, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Όταν η συχνότητα περιστροφής του τροχού είναι f1, η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από την θέση ισορροπίας του είναι:

x= 0,8ημ (6t) (S.I) Στο παρακάτω διάγραμμα παριστάνεται η μεταβολή του πλάτος ταλάντωσης του σώματος σε συνάρτηση με το συχνότητα περιστροφής του τροχού.

i) Για την συχνότητα f1 ισχύει: α. f1 = fo β. f1 > fo γ. f1 < fo

Επιλέξτε την σωστή απάντηση Μονάδες 1

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 3

ii) Η σταθερά k του ελατηρίου είναι ίση με:

α. k =24 mN β. k = 36

mN γ. k =18

mN

Επιλέξτε την σωστή απάντηση Μονάδες 1

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 3

B2. i) Σωστή απάντηση η α.

fo f

A(m)

0,8

0

m

K f

Τ

4

Από το διάγραμμα προκύπτει ότι το πλάτος της ταλάντωσης κατά τον συντονισμό ειναι ίσο με Αmax= 0,8m. Όμως από τη δεδομένη εξίσωση για την ταλάντωση του σώματος, παρατηρούμε ότι το πλάτος της ταλάντωσης του είναι Α=Αmax= 0,8m, άρα το σύστημα βρίσκεται σε συντονισμό. Συνεπώς f1=fo. ii) Σωστή απάντηση η β.

Από την δεδομένη εξίσωση προκύπτει ότι

ωο=2πfo ή 6= 2πfo ή Hzπ3fo

όπου fo η ιδιοσυχνότητα του συστήματος.

Όμως mk

2π1fo ή

1k

2π1

π3 ή 6k ή

mN36k

Β3. Δύο σώματα με μάζες m1= m και m2= m23 κινούνται χωρίς τριβές στο

ίδιο οριζόντιο επίπεδο και σε κάθετες διευθύνσεις με ταχύτητες υ1= 2υ και υ2= υ (όπως στο σχήμα) και συγκρούονται πλαστικά. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος, που μετατρέπεται σε θερμότητα είναι ίσο με:

α. %11600 β. %

11300 γ. %

11800

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες 2

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 7

Β3. Σωστή απάντηση η α.

Έστω V

η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση

x

m1

m2

1

2

y

πριν y΄

x΄

y

m1+m2

V

xV

yV

μετά

x΄

y΄

x

5

Αναλύουμε την ταχύτητα V

στις συνιστώσες xV

και yV

που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα και εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής κατ’ άξονα.

Στον άξονα xx΄:

( μετά)x,( πριν)x, pp

ή x2111 Vmmυm ή

x232 Vmmυ m

ή

x252 mVmυ ή υV

54

x (1)

Στον άξονα yy΄:

( μετά)y,( πριν)y, pp

ή y2122 Vmmυm ή

y23

23 Vmmυ m

ή

y25

23 mVmυ ή υV

53

y (2)

Το μέτρο της ταχύτητας V

του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση υπολογιζεται με τη βοήθεια των (1) και (2), από τη σχέση:

2y

2x VVV ή

2

53

54

υυV

2

ή υV

Η θερμότητα Q που παράγεται κατά την κρούση είναι ίση με την απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος, συνεπώς για το ζητούμενο ποσοστό ισχύει:

100%ολ( πριν)

ολ( μετά)ολ( πριν)

ΚΚ-Κπ% ή ) 100%1

ολ( πριν)

ολ( μετά)

ΚΚπ% ( ή

) 100%

21

21

)(

21

1222

211

221

υmυm

Vmmπ%

( ή ) 100%

23

214

21

25

21

122

2

mυυm

υmπ%

( ή

) 100%

234

25

1

(π% ή ) 100%1151 (π% ή 100%

116π% ή %

11600π%

ΘΕΜΑ Γ

Στην επιφάνεια ενός υγρού διαδίδονται δυο πανομοιότυπα εγκάρσια αρμονικά κύματα μήκους κύματος λ. Τα κύματα δημιουργούνται από δυο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1 και Π2 που βρίσκονται στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα της επιφάνειας του υγρού. Οι πηγές αρχίζουν την χρονική στιγμή t = 0 να εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση. Ένα υλικό σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού απέχει από την πηγή Π1 απόσταση r1 = 1 m και από την πηγή Π2 απόσταση r2, με r2 > r1. Στο διάγραμμα του σχήματος παριστάνεται γραφικά η απομάκρυνση του υλικού σημείου Σ από την θέση ισορροπίας του, σε συνάρτηση με τον χρόνο.

6

Σχήμα 1

Γ1. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος των δύο κυμάτων και την απόσταση r2.

Μονάδες 4 Γ2. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του, μετά τη συμβολή των δυο κυμάτων σε αυτό.

Μονάδες 4 Γ3. Η υπερβολή ενισχυτικής συμβολής στην οποία βρίσκεται το υλικό σημείο Σ τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ στο σημείο Ζ. Πόσο απέχει το σημείο Ζ από το μέσο Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ;

Μονάδες 6 Γ4. Αν τα σημεία Π1 και Π2 απέχουν μεταξύ τους απόσταση d = 2,25 m, σε πόσα σημεία οι υπερβολές ενίσχυτικής συμβολής τέμνουν την ευθεία y′y που είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ και περνά από το Λ;

Μονάδες 6 Γ5. Να υπολογίσετε την ελάχιστη συχνότητα ταλάντωσης των δυο πηγών, ώστε να παραμένουν σύγχρονες, και στο σημείο Σ να έχουμε αποσβεστική συμβολή.

Μονάδες 5 Γ1. Από το διάγραμμα προκύπτει ότι οι χρόνοι άφιξης των δύο κυμάτων στο σημείο Σ από τις πηγές Π1 και Π2 είναι t1= 0,2 s και t2 = 0,4 s αντίστοιχα και ότι το πλάτος των κυμάτων που συμβάλλουν είναι ίσο με Α = 0,2 m. Επίσης από το διάγραμμα προκύπτει για την περίοδο ταλάντωσης του σημείου Σ ισχύει:

Τ = 0,4- 0,2 = 0,2s. Για την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων ισχύει:

1

1

trυ ή υ = 5

sm , άρα το μήκος κύματος είναι ίσο με

Τυλ ή λ = 1m.

Για την απόσταση του Σ από την πηγή Π2 ισχύει:2

2

trυ ή

r2 = 2m. Γ2. Μετά τη συμβολή στο Σ θα ισχύει

7

Σχήμα 2

)

2λrr2π(ft)ημ

2λrr2Ασυν(2πy 2121

Σ ή

y = -0,4ημ(10πt-3π) (S.I) για 0,4st Επειδή 2ΑA'Σ , στο σημείο Σ τα δύο κύματα συμβάλλουν ενισχυτικά. Γ3. Τα σημεία Σ και Ζ ανήκουν στην ίδια υπερβολή άρα ικανοποιούν την ίδια εξίσωση. Αν 1 και 2 οι αποστάσεις του Ζ από τις πηγές Π1 και Π2 αντίστοιχα θα ισχύει: r1 – r2 = 1 - 2 ή 1 - 2 = -1 Όμως 1 = d/2 –x και 2 = d/2+x, άρα d/2 –x - d/2 – x = -1 ή -2x = -1 ή x =0,5 m Γ4. Για ένα τυχαίο σημείο της ευθεία ΚΛ που ανήκει σε υπερβολή ενισχυτικής συμβολής θα ισχύει:

Nλdd 21 (1) όπου d1 και d2 οι αποστάσεις του σημείου από τις πηγές Π1 και Π2 αντίστοιχα και ddd 21 (2) Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει

dNλ2d1 ή 2d

2λNd1 .

Όμως dd0 1 ή d2d

2λN0 ή

λdN

λd

ή 2,25N2,25

Οι δεκτές τιμές του Ν είναι 1,0,1,22,:N . Συνεπώς ο αριθμός των ζητούμενων σημείων είναι 5 σημεία, άρα και 5 υπερβολές ενίσχυσης. Απ’ αυτές, όπως φαίνεται στο σχήμα 2 βρίσκονται αριστερά και δυο δεξιά της μεσοκάθετου στο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τις δυο πηγές, άρα η ευθεία yy΄ τέμνεται από δυο υπερβολές σε τέσσερα σημεία. Γ5. Για να είναι το σημείο Σ, σημείο αποσβεστικής συμβολής θα πρέπει να ισχύει:

2λ1)(2Nr -r 21 με Ν=0,1,2,3,.....

Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής για την παραπάνω σχέση προκύπτει

fυ1)(2Nr -r 21 ή

21 r -r1)υ(2Nf

2

όπου υ η ταχύτητα διάδοσης των δυο κυμάτων Η ελάχιστη συχνότητα ταλάντωσης των δυο πηγών, ώστε στο σημείο Σ να έχουμε αποσβεστική συμβολή, προκύπτει από την παραπάνω σχέση αν θέσουμε Ν=0. Τότε:

2,5Hzr -r

υf21

min 2

ΘΕΜΑ Δ

Δυο σώματα και με μάζες και αντίστοιχα συνδέονται με λεπτό αβαρές και μη εκτατό νήμα ενώ ισορροπούν πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης

8

. Το σώμα είναι δεμένο στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Το σώμα απέχει από την βάση του κεκλιμένου επιπέδου απόσταση . Αρχικά το ελατήριο είναι επιμηκυμένο κατά από το φυσικό του μήκος. Τη χρονική στιγμή , κόβουμε το νήμα και το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς

.

Δ1. Να υπολογιστεί η σταθερά του ελατηρίου.

Μονάδες 5

Δ2. Να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας της ταλάντωσης του σε συνάρτηση με το χρόνο. Θεωρούμε ως θετική φορά, από τη βάση προς την κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου.

Μονάδες 5

Δ3. Να υπολογιστεί η απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της δυναμικής ενέργειας της

ταλάντωσης του όταν διέρχεται από την θέση

Μονάδες 5

Δ4. Αν το σώμα φθάνει στη βάση του κεκλιμένου επίπεδου τη χρονική στιγμή που το έχει αποκτήσει για φορά μέγιστη κινητική ενέργεια, να βρεθεί η απόσταση .

Μονάδες 5

Δ5. Συνδέουμε πάλι τα σώματα και επαναφέρουμε το σύστημα στην αρχική του κατάσταση. Εκτρέπουμε και τα δύο σώματα προς τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου έτσι ώστε το νήμα να παραμένει τεντωμένο και στη συνέχεια τα αφήνουμε ελεύθερα. Το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς . Να βρεθεί το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης ώστε το νήμα να παραμένει τεντωμένο.

Μονάδες 5

Δίνονται και

Α

9

Δ1. Στη θέση ισορροπίας του συστήματος (Αρχική Θ.Ι) για το σώμα ( ) ισχύει: .

Επειδή το νήμα είναι αβαρές ισχύει: . Για το σώμα ισχύει:

Δ2. Από τη στιγμή που κόβεται το νήμα, το σώμα αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση γύρω από μια νέα θέση ισορροπίας (ΝΘΙ) άρα ισχύει : Τη χρονική στιγμή , το σώμα ξεκινά από την ακινησία, συνεπώς βρίσκεται σε ακραία θέση της ταλάντωσής του, της οποίας το πλάτος είναι . Για την κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης του σώματος Σ1 ισχύει

m1

m2

xw1

xw2

yw1

yw2

1N

2N

T

T

F

Θ.Φ.Μ Αρχική Θ.Ι

xw1

yw1

1N

m1 F

Α

Τελική Θ.Ι

m2 xw2

2N

10

Θεωρόντας ως θετική φορά, από τη βάση προς την κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου, είναι:

Για την ταχύτητα ταλάντωσης του σώματος Σ1, ισχύει:

(S.I) Δ3. Για το ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης ισχύει:

Από τη διατήρηση της ενέργειας της ταλάντωσης :

Τελικά Δ4. Μετά την κοπή του νήματος στο σώμα Σ2 ασκούνται το βάρος του και η κάθετη δύναμη

. Ισχύει ότι: .

H περίοδος της ταλάντωσης του σώματος είναι: . Το σώμα αποκτά μέγιστη κινητική ενέργεια όταν διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, και για δεύτερη φορά τη χρονική στιγμή

Συνεπώς, για το ζητούμενο διάστημα ισχύει:

Δ5. Όταν πάλι το σύστημα εκτελεί α.α.τ τότε κάθε σώμα έχει την δική του σταθερά επαναφοράς αλλά την ίδια κυκλική συχνότητα. Έτσι για το

είναι . Για την ταλάντωση του ισχύει

Για να μην χαλαρώσει το νήμα και να παραμένει τεντωμένο, πρέπει

.

Η μεγαλύτερη δυνατή απομάκρυνση που ταυτίζεται με το πλάτος της ταλάντωσης του

συστήματος είναι: