S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 77

4.7. Presjeci

Neka je dana ravnina ρ i figura F (uglato ili oblo tijelo, ploha). Presjekfigure F je skup svih tocaka te figure koje leze na ravnini ρ. Ta se ravnina nazivapresjecna ravnina. Presjek je ravninski poligon ili krivulja.

Ovdje cemo razmotriti dvije metode konstruiranja presjeka. Jedna se temeljina upotrebi stranocrta, a druga na upotrebi perspektivne kolineacije ili afinosti.

Neka je dana piramida ABCV cija bazalezi u ravnini σ1. Oznacimo presjekte piramide s ravninom σ2 s A1B2C3,pri cemu A1 lezi na bridu AV itd.Trokuti ABC i A1B1C1 su centralno-perspektivni, tj. spojnice pridruzenihtocaka AA1, BB1, CC1 prolaze jed-nom tockom V . Prema Desarguesovomteoremu ta dva trokuta su i osnoper-spektivni, tj. tocke u kojima se si-jeku pridruzene stranice su kolinearne.Drugim rijecima tocke, AB ∩ A1B1,AC ∩ A1C1 i BC ∩ B1C1 leze na jed-nom pravcu, a to je upravo presjecnicaravnina σ1 i σ2, jer svaka od tocaka lezina pravcu iz σ1 i na pravcu iz σ2.

Paralelnim projiciranjem ova Desarguesova konfiguracija nece promijeniti in-cidencijske veze, tj. paralelnim projiciranjem na ravninu projekcije trokuta ABC iA1B1C1 ostaju i centralnoperspektivne (s centrom u projekciji tocke V ) i osnoper-spektivne s osi koja je projekcija osi s = σ1∩σ2. Oznacimo te projekcije s apostrofom′. Prisjetimo li se perspektivne kolineacije u ravnini, vidimo da su trokuti A′B′C ′ iA′

1B′1C1 perspektivno kolinearni s centrom u V ′ i osi s′.

Ako kao paralelno projiciranje odaberemo ortogonalno projiciranje na tlocrtnu(nacrtnu) ravninu, tada imamo zakljucak da su tlocrti (nacrti) baze piramide ipresjecnog trokuta perspektivno kolinearni. Uz to, ako baza piramide lezi u π1 (π2),tada je os perspektivne kolineacije prvi (drugi) trag presjecne ravnine, a centarkolineacije je tlocrt (nacrt) vrha piramide.

Kad je vrh piramide beskonacno daleka tocka, tj. kad se radi o prizmi, tadase umjesto o perspektivnoj kolineaciji radi o perspektivnoj afinosti.

Prvo cemo promotriti presjek prizme s projicirajucom ravninom.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 78

Primjer 4.45. Pravilnu sesterostranu prizmu ABCDEFA1B1C1D1E1F1 presije-cimo ravninom ρ(−7,∞, 7), pri cemu je baza prizme u ravnini π1, srediste baziopisane kruznice je S(−3, 3, 0), polumjer kruznice je r = 2.5, visina prizme je 7, avrh A i srediste S imaju isti nacrt. Nacrtajmo pravu velicinu presjecnog poligona,te mrezu prizme s ucrtanom presjecnom linijom. (Predlozak 4.45.)

Rjesenje.

Nacrti svih tocaka ravnine ρ leze na drugom tragu r2 te ravnine, pa tako i nacrtpresjecnog poligona lezi na r2. Brid AA1 sijece ravninu ρ u tocki 1. Njezin je nacrt

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 79

presjek traga r2 i nacrta brida A′′A′′1. Brid BB1 sijece ravninu ρ u tocki 2. Njezin je

nacrt presjek traga r2 i nacrta brida B′′B′′1 . Analogno se odrede nacrti 3′′, 4′′, 5′′, 6′′

svih drugih presjecnih tocaka bocnih bridova i ravnine ρ. Buduci da je prizmauspravna, tlocrti tocaka 1, 2, . . . , 6 su ujedno tocke A′, B′, . . . , F ′. Zakljucimo, tlocrtpresjecnog sesterokuta je 1′2′3′4′5′6′, a nacrt je duzina 5′′2′′.

Pravu velicinu presjecnog poligona dobit cemo prevaljivanjem ravnine ρ prekodrugog traga u ravninu π2. Buduci da se radi o drugoprojicirajucoj ravnini, postupakrotiranja je nesto skracen u odnosu na postupak rotiranja opce ravnine. Naime,rotirana se tocka nalazi na okomici na trag r2 udaljena od traga onoliko kolikoje njezin tlocrt udaljen od osi 1x2. Na slici prava velicina presjecnog poligona jesesterokut (1)(2) . . . (6).

Mreza prizme sastoji se od pravokutnika sa stranicama duljine v = 7 i 6a =6 · 2.5 sto je u stvari polozeno pobocje prizme i dva pravilna sesterokuta. Presjecnuliniju ucrtavamo u mrezu tako da ucrtamo tocke 1, 2, . . . , 6. Pri tome je |1F | =|1′′F ′′| itd. Slika je nacrtana u mjerilu 2:1.

U sljedecem primjeru cemo promotriti presjek trostrane piramide s projici-rajucom ravninom.

Primjer 4.46. Trostranu piramidu ABCV presijecimo ravninom σ(−1,∞, 0.6),ako je A(2, 5, 0), B(5.5, 3, 0), C(1, 1, 0), V (2.5, 3.2, 5). Nacrtajmo pravu velicinupresjecnog trokuta, te mrezu piramide s ucrtanom presjecnom linijom. (Predlozak4.46.)

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 80

Rjesenje. Postupamo slicno kao u prethodnom primjeru. Brid AV sijece rav-ninu σ u tocki 1, njezin nacrt je presjek traga s2 i nacrta A′′V ′′. Brid BV sijeceravninu σ u tocki 2, njezin nacrt je presjek traga s2 i nacrta B′′V ′′. I konacnobrid CV sijece ravninu σ u tocki 3, njezin nacrt je presjek traga s2 i nacrta C ′′V ′′.Tlocti tocaka 1, 2, 3 nalaze se na tlocrtima odgovarajucih bridova. Primijetimo dase ordinala tocke 1′′ i tlocrt A′V ′ sijeku pod malim kutom pa je odredivanje tocke1′ neprecizno. Zato cemo se posluziti cinjenicom da su tlocrt baze A′B′C ′ i tlocrtpresjecnog trokuta 1′2′3′ perspektivno kolinearni s osi s1 i centrom V ′. Spojimoli tocke A′ i B′, presjecemo tu spojnicu s osi s1, te spojimo tu presjecnu tocku s2′ dobivamo pravac koji presjecen s A′V ′ daje tocku 1′. Pravu velicinu presjecnogtrokuta dobivamo prevaljivanjem ravnine σ oko drugog traga.

Mreza piramide se sastoji od baze i pobocja kojega cine tri trokuta ABV ,BCV i ACV . Kako odrediti velicine bocnih bridova piramide? Promotrimo upiramidi pravokutni trokut AV V ′. Duljina katete V V ′ jednaka je duljini visine

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 81

piramide (u ovom zadatku v = 5), a duljina druge katete AV ′ ocitava se iz tlocrta,tj. |AV ′| = A′V ′|. Brid AV je hipotenuza tog trokuta. Analogno vrijedi za ostalebocne bridove. Ovu pomocnu konstrukciju takoder izvodimo na slici gdje su vecnacrtani tlocrt i nacrt (trokut V 0V ′0A0). Na bridu AV polozaj tocke 1 dobijemopovlacenjem paralele s osi 1x2 kroz tocku 1′′. Sad imamo odredene sve stranicetrokuta koji se javljaju u mrezi te je mrezu i presjecnu liniju moguce konstruirati.

U sljedecem zadatku promatramo presjek trostrane piramide s opcom ravni-nom.

Primjer 4.47. Trostranu piramidu ABCV presijecimo ravninom σ(−1, 3, 0.6), akoje A(2, 5, 0), B(5.5, 3, 0), C(1, 1, 0), V (2.5, 3.2, 5). (Predlozak 4.47.)

Rjesenje. 1. nacin. Konstruirat cemo presjek upotrebom stranocrta. Prvonacrtajmo danu piramidu i tragove ravnine σ. Stranocrtnu ravninu π3 postavitcemo tako da je os 1x3 okomita na prvi trag ravnine s1. Zamijetimo da su u tlocrtusvi bridovi vidljivi, a u nacrtu je osim konture vidljiv i brid A′′V ′′.

Konstruirajmo stranocrt piramide ABCD te treci trag s3 ravnine σ (pomocutocke W ). Promotrimo sada samo tlocrt i stranocrt. U tom sustavu ravnina π1 i π3

ravnina σ je projicirajuca ravnina, pa postupamo kao u primjeru 4.46.. Treci trags3 sijece bridove A′′′V ′′′, C ′′′V ′′′ i B′′′V ′′′ u tockama 1′′′, 3′′′ i 2′′′ redom. Stranocrtpresjecnog trokuta je duzina 1′′′2′′′.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 82

I konacno, na ovoj sljedecoj slici, iz stranocrta presjecnog trokuta rekonstruiralismo tlocrt, te nacrt. Kako? Okomica na 1x3 iz 1′′′ sijece brid A′V ′ u tocki 1′ i takoredom. Potom povlacenjem ordinale tlocrta 1′ do brida A′′V ′′ dobivamo i nacrt 1′′.Treba pripaziti upravo kod crtanja nacrta tocke 1, jer se ordinala i brid A′′V ′′ sijekupod malim kutom, pa je presjek neprecizan. Stoga je bolje na tu ordinalu nanijetivisinu nacrta tocke 1 koja je vidljiva u stranocrtu tocke 1.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 83

2. nacin. U ovoj konstrukciji primijenit cemo cinjenicu da su tlocrt A′B′C ′ itlocrt presjecnog trokuta 1′2′3′ perspektivno kolinearni s centrom V ′ i osi s1. Prvoodredimo jedan vrh presjecnog trokuta, na primjer, tocku 1. Nju dobivamo pres-jekom pravca V A s ravninom σ. Radi se o polozajnom zadatku. Pravcem AVpolozimo projicirajucu ravninu α ciji se prvi trag podudara s A′V ′. Presjek ravninaσ i α je pravac q, koji pak presjecen s pravcem AV daje tocku 1.

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 84

.

Sad tocku 2′ konstruiramo kao perspektivno kolinearnu sliku tocke B′ koristecipar pridruzenih tocaka A′ 7→ 1′. Tocku 3′ konstruiramo kao centralno kolinearnusliku tocke C ′ koristeci par pridruzenih tocaka B′ 7→ 2′. Nacrte tocaka pronalazimopomocu povlacenja ordinala do odgovarajucih bridova.

Prokomentirajmo i vidljivost linija. U tlocrtu svi su bridovi vidljivi i povlacimoih punom linijom. Buduci da se duzina 23 nalazi na pobocki CBV koja je u nacrtunevidljiva, slijedi da se duzina 2′′3′′ u nacrtu ne vidi i povlacimo je isprekidanomlinijom.

Primjer 4.48. Cetverostranu kosu prizmu ABCDEFGH kojoj baza lezi u π2

presijecimo ravninom ρ(10.5, 7, 11). Vrhovi prizme su A(1.5, 0, 2.5), B(3.5, 0, 1),C(5.5, 0, 2), D(3, 0, 3.5), E(4, 5.5, 6). (Predlozak 4.48.)

S. Varosanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 85

Rjesenje. Zadatak cemo rijesiti metodom afinosti. Presijecemo li ravninuρ pravcem AE dobivamo tocku 1 na bridu AE. Tocku 3 na bridu CG dobivamopomocu perspektivne afinosti koristeci par pridruzenih tocaka A′′ 7→ 1′′ i cinjenicu dasu nacrt baze i nacrt presjecnog poligona afino perspektivni likovi obzirom na afinostcija os je drugi trag ravnine ρ, a zrake afinosti su paralelne s bocnim bridovimaprizme.