Tercer Examen Sumativo Cepuns 2012 III – Trigonometría

69. En la figura adjunta se cumple que: 34BCAB =

Calcular : Ctg θ – Csc φa) 0 b) 13/12 c) 4/3 d) 3/4 e) 12/13

SOLUCIÓN: ejercicio 69

kakaa

k

º.36036045

º.360

=

=−=− βα

; K = 2

Por el dato del ángulo mayor

º720º740º472

º37005º2360

=∴

<<

<<

aa

a

Calculando el menor ánguloº28804

)º720(44=

=

aa

70. Dos barcos parten al mismo tiempo de un punto A, siguiendo rumbos NE ¼ N y E ¼ SE, cuando el primero recorre ( )22 − millas observa al segundo con dirección SE1/4E. calcular la distancia que separa a los barcos en ese instante.

a) 2 millas b) 4 millas c) 6 millas d) 8 millas e) 1 milla SOLUCIÓN: ejercicio 69

2

4

441

)12(21

2

2

22

22

22

±=

=∴

=

=−

+=+

tgatgb

atgbtg

bCtgaCtgbctgaCsc

bctgaCsc

71. El máximo valor que puede tomar el producto: Sen ( x + 20º). Sen ( x + 80º)a) – ¼ b) ¼ c) 2/3 d) ¾ e) 4/5

CLAVE

c

CLAVE

a

72. La solución general de la ecuación: Senx + Cosx = 1 , es:

a) ( ) ZkK k ∈−−+ ,44

1 πππ b) ( ) ZkK k ∈−+ ,3

12

ππ c) ( ) ZkK k ∈+−+ ,

441 πππ

d) ( ) ZkK k ∈−+ ,4

16

ππ e) ( ) ZkK k ∈−+ ,

21

2ππ

SOLUCIÓN: ejercicio 71Reemplazar:

βαβα

−=+=

BA

Tenemos:

71

3.21232

.12

=+−=

+−

=

β

β

tg

tgBtgAtgBtgAtg

Ósea queda el triangulo siguiente:

Calcular:

025

725

17

2cos27

=

−

=

−=

K

senK ββ

Rpta. 0

73. Dada la función : f(x) = 2sen2x + 1 Entonces :

1) El rango f(x) es : [ ]3;1−2) El dominio de f(x) es : R3) El periodo f(x) es : 2π

De las afirmaciones anteriores, son verdaderas: a) 1 y 3 b) 2 y 3 c) 1 y 2 d) sólo 1 e) Todas

SOLUCIÓN: ejercicio 72 recordar: 1cos22 =+ xxsen ; 1cos22 =+ xxsen

Si:

nxsenx

xsenxn

x

ntgxx

1cos.

cos.

cos1

sec

2

2

=

=

=

Resolver:

( )( )

( ) ( )( )

( )

.21

2

1

21

11

cos.21

11

coscos.1

coscoscos.cos

coscos

2

3

22

3

33

Rptann

nn

nn

n

n

xsenxn

xsenxxsenx

xsenxxxsenxxsenxsenx

xsenxxxsen

−+∴

−

+

=−

+

−

+=

−+

−++−=

−−

CLAVE

b

CLAVE

c

74. El valor de la función

−=

125

512 arctgarctgSenF

a) 1 b) -1 c) 0 d) ½ e) -½

SOLUCIÓN: ejercicio 73Si : πθ <<0 , calcular el máximo de :

−=2θθ ctgctgE

Rec: θθθ ctgCtg +=

csc2

( )θ

θθθcsc

csc−=

+−=E

ctgctgE

El máximo es -1 Rpta.

75. una torre vertical de h metros esta en el lado de una colina que hace un angulo “α” con la horizontal, como se muestra en la figura. La diferencia de los cuadrados de las longitudes de los alambres, que estan fijados a ¾h metros en ambos lados de la base de la torre y en el extremos superior, es igual a: a) 232 aa − b) aa 32 − c) aa 23 5 + d) 323 aa − e) aa 22 +

SOLUCIÓN: ejercicio 74

Si: senx +cos x = a ⇒

( )

21cos.

cos.21cos

2

2

22

−=

=+

=+

axsenx

axsenxaxsenx

Calcular : cos 3x – sen 3x Sabemos que:

xsensenxxsen 3433 −=xxx cos3cos43cos 3 −=

( ) ( )2233 . yyxxyxyx +−+=+Reemplazando:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

33

22

22

33

33

23326

32

12432

114

:cos3cos.coscos4

cos3cos443cos34

aaaaa

aaaaaa

doreemplazanxsenxxsenxxxsenxsenx

xsenxxsenxxsensenxxxCos

−=−−

−

+−=−

−−

+−−++

+−+

−−−

Rpta 323 aa −

CLAVE

d

CLAVE

CLAVE

b

76. Desde un punto en el terreno se observa una torre con un angulo de elevacion “α” y desde la mitad de la distancia entre el punto y la torre el angulo de elevación es complemento del anterior. Hallar tg α . a) 232 aa − b) aa 32 − c) aa 23 5 + d) 323 aa − e) aa 22 +

76. Desde un punto en el terreno se observa una torre con un angulo de elevacion “α” y desde la mitad de la distancia entre el punto y la torre el angulo de elevación es complemento del anterior. Hallar tg α . a) 232 aa − b) aa 32 − c) aa 23 5 + d) 323 aa − e) aa 22 +

76. Desde un punto en el terreno se observa una torre con un angulo de elevacion “α” y desde la mitad de la distancia entre el punto y la torre el angulo de elevación es complemento del anterior. Hallar tg α . a) 232 aa − b) aa 32 − c) aa 23 5 + d) 323 aa − e) aa 22 +