Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com

3o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

(μέχρι και συνέπειες Θ.Μ.Τ.) 04/02/2017

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο

0x , τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

7 μονάδες

Α2. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Rolle του Διαφορικού Λογισμού;

4 μονάδες

Α3. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0x του πεδίου

ορισμού της;

4 μονάδες

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Αν οι συναρτήσεις ,f g είναι παραγωγίσιμες στο 0x , τότε και η συνάρτηση

⋅f g είναι παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0′ ′ ′⋅ = ⋅f g x f x g x

β) Ισχύει ότι ( ) 13 3 −′ = ⋅x xx , για κάθε ∈ℝx

γ) Για κάθε 0≠x ισχύει ότι ( ) 1ln ′ =x

x

δ) Αν 1>a , τότε lim 0→−∞

=x

xa

ε) Κάθε συνάρτηση f , για τη οποία ισχύει ( ) 0′ =f x για κάθε

( ) ( )0 0, ,∈ ∪x a x x β , είναι σταθερή στο ( ) ( )0 0, ,∪a x x β

10 μονάδες

ΘΕΜΑ B

Δίνεται η συνάρτηση ( )2 1 , 0

1 , 0

− + ≤=

− + >

x xf x

x x

B1. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση f

8 μονάδες

Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com

B2. Να εξετάσετε αν για τη συνάρτηση f ικανοποιούνται οι υποθέσεις του

Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο [ ]1,1−

8 μονάδες

B3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f η οποία διέρχεται από το σημείο 5

0,4

Α

9 μονάδες

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται συνάρτηση : →ℝ ℝf παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει:

( )( ) ( )( )1 4′+ + =f x x f x x , για κάθε ∈ℝx και ( )0 1=f

Γ1. Να δείξετε ότι ( ) 24 1= + −f x x x , ∈ℝx

7 μονάδες

Γ2. Να υπολογίσετε το όριο ( ) ( )( )lim 1→+∞

− −x

f x xλ για τις διάφορες τιμές του

∈ℝλ

6 μονάδες

Γ3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης f που σχηματίζει γωνία 3

4=

πω με τον άξονα ′x x

6 μονάδες

Γ4. Να δείξετε ότι υπάρχει ( )0 2,2∈ −x τέτοιο, ώστε

( ) ( ) ( )3 40 0 0 0 04 16 ′ ′− = −x f x f x x f x

6 μονάδες

ΘΕΜΑ Δ

Έστω : →ℝ ℝf μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ , με ( ) 0′ ≠f x

για κάθε ∈ℝx , η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω σχέσεις:

● ( ) ( )( )2−′′ ′=xf x e f x , για κάθε ∈ℝx

● ( )2 0 1 0′ + =f και

Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com

● ( )0 ln 2=f

Δ1. Να δείξετε ότι ( ) 11

′ + =+

x

x

ef x

e , ∈ℝx

6 μονάδες

Δ2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση ′f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ (3 μονάδες) και

στη συνέχεια ότι ( ) ( ) ( )2 2 1 4− > + − +f x f x f x για κάθε ∈ℝx (3 μονάδες)

6 μονάδες

Δ3. Να δείξετε ότι ( ) ( )ln 1 −= + xf x e , ∈ℝx

5 μονάδες

Δ4. α. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f

4 μονάδες

β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή

της 1−f

4 μονάδες

Καλή Επιτυχία

Θανάσης Κοπάδης

Μαθηματικός