1

3.3 Idealna zavojnica induktivnosti L u električnom krugu sa naponskim izvorom

prostoperiodičnog napona

Analizu ponašanja potrošača električne energije, u električnom krugu, unutar kojeg

djeluje idealni naponski izvor, čiji se napon u ( t ), mijenja u skladu sa prostoperiodičnom

zakonitošću u ( t ) = Um sin ( wt + θu ), nakon što je razmotren potrošač sa

najjednostavnijom strukturom – dakle potrošač, koji se može dovoljno dobro predstaviti

linearnim, vremenski nepromjenljivim, aktivnim otporom R ( LVNR ), uobičajno je

nastaviti putem razmatranja promjena, koje se dešavaju ukoliko se takav potrošač

zamjeni, bilo idealiziranom, linearnom, vremenski nepromjenljivom električnom

zavojnicom, induktivnosti L, (LVNL), bilo idealiziranim, linearnim, vremenski

nepromjenljivim električnim kondenzatorom, kapacitivnosti C, (LVNC).

Na slici 3.9, šematski je prikazan elementarni električni krug, sa električnom zavojnicom

(LVNL), kao potrošačem i idealnim naponskim izvorom sinusoidalnog napona:

u ( t ) = Um sin ( wt + θu ), kao generatorom.

Slika 3.9 Električni krug, sa električnom zavojnicom (LVNL) kao potrošačem i idealnim

naponskim izvorom sinusoidalnog napona: u ( t ) = Um sin ( wt + θu ), kao

generatorom.

Označimo li sa i ( t ) električnu struju, koja se uspostavlja u električnom krugu sa slike

3.9, tada se uz pomoć jednačine dinamičke ravnoteže, koja važi u svakom trenutku t,

može pisati da je:

d i ( t )

u ( t ) = L · ——— = uL ( t ), (3.25)

d t

odakle se lako određuje električna struja , i ( t ), u obliku,

i ( t ) = ( Um /(wL )) · sin ( wt + θu - π /2). (3.26)

Simbolom uL ( t ), označen je pad napona na LVNL zavojnici, nastao tokom savladavanja,

pripadajuće joj, elektromotorne sile samoindukcije eL , definisane relacijom:

d i ( t )

eL = - L · ——— (3.27)

2

d t

Elektromotorne sile samoindukcije eL i pripadajući električni napon, u ( t ), idealnog

naponskog izvora (u ( t ) = Um sin ( wt + θu )), zadovoljavaju , saglasno II

Kirchhoffovom zakonu, relaciju:

u ( t ) + eL ( t ) = 0 (3.28)

Prethodno uspostavljene relacije, (3.25) do (3.28), omogućavaju izvođenje slijedećih

zaključaka:

1. U električnom krugu sa slike 3.9, uspostavljena električna struja i ( t ), fazno

zaostaje, za ugao od π /2 radijana, u odnosu na pad napona uL ( t ) , nastao na

analiziranoj zavojnici, tokom prolaska upravo te struje.

2. S druge strane, indukovana elektromotorna sila samoindukcije, eL ( t ), fazno

zaostaje, u odnosu na tu električnu struju i ( t ) , takođe za ugao od π /2 radijana,

zbog čega su električni napon u ( t ) i indukovana elektromotorna sila

samoindukcije, eL ( t ), gledano međusobno, u opziciji.

3. Na osnovu izraza, koji određuje maksimalnu vrijednost električne struje i ( t ),

Im = ( Um /(wL )), proizilazi da proizvod wL , ima prirodu električnog otpora,

zbog čega se u elektrotehnici on i naziva induktivnim električnim otporom.

Induktivni električni otpor se formalno, obično obilježava sa simbolom XL = wL .

Na slici 3.10, je grafički prikazana vremenska promjena: električne struje i ( t ), kroz

LVNL zavojnicu, te pada električnog napona uL ( t ), koji nastaje na istoj električnoj

zavojnici, upravo zbog prolaska električne struje i ( t ).

Slika 3.10 Grafički prikaz vremenske promjene električne struje i ( t ), kroz LVNL

zavojnicu, te pada električnog napona uL ( t ), koji nastaje na toj električnoj

zavojnici, upravo tokom prolaska električne struje i ( t ), kroz nju, za slučaj

kada je θu = π /2 radijana.

3

Trenutna električna snaga p ( t ) , koju angažuje LVNL zavojnica, u analiziraom

električnom krugu, određuje se pomoću relacije (3.29)

p ( t ) = u ( t ) · i ( t ) = uL ( t ) · i ( t ) , (3.29)

što uz uvažavanje ranije utvrđenih relacija: da je pad napona uL ( t ) = Um sin ( wt + θu ),

a električna struja i ( t ) = ( Um /( wL )) · sin ( wt + θu - π /2), rezultira novom relacijom za

trenutnu vrijednost električne snage, u obliku (3.30):

p ( t ) = uL ( t ) · i ( t ) = −Um Im ( sin ( wt + θu ))· (cos ( wt + θu ) ) =

1

= − ( Um )2 · ——— · ( sin 2 · ( wt + θu )) (3.30)

2( wL )

Trenutni oblik električne snage, angažovane od strane LVNL zavojnice, pokazuje da se ta

snaga mijenja po sinusoidalnom zakonu i to sa frekvencijom, koja je tačno dva puta veća

od frekvencije, sa kojom svoje promjene doživljavaju napon izvora i električna struja,

koja se usmjerava kroz zavojnicu.

Srednja vrijednost trenutne električne snage p ( t ), određena je relacijom (3.31)

Psr = (1/ T ) ∫T

0

p ( t ) · dt = 0 (3.31)

koja pokazuje da se na osnovu električne snage, angažovane pomoću LVNL zavojnice,

ne može obavljati koristan rad.

Trenutna vrijednost električne energije, angažovane tokom vremenskog intervala ( 0, t ),

određena je relacijom (3.32),

W = ∫t

0

p ( t ) · dt (3.32 )

U skladu sa relacijama (3.31) i (3.32), može se zaključiti da postoje intervali ( kada je

trenutna vrijednost električne snage p ( t ) pozitivna ) tokom kojih se električna snaga

usmjerava iz upotrebljenog naponskog izvora ka LVNL zavojnici (koja je akumulira u

sebi kao vlastitu magnetnu energiju), ali i intervali ( kada je trenutna vrijednost električne

snage p ( t ) negativna), tokom kojih se električna snaga usmjerava od LVNL zavojnice,

ka naponskom izvoru.

Ovakvo oscilovanje, ili njihanje električne snage, ne samo u smislu promjene njene

amplitude, nego i u smislu promjene smjera njenog toka , tumači se kao svojevrsna

reakcija LVNL zavojnice, na preduzetu akciju-djelovanje naponskog izvora.

Energija koja se angažuje tokom upravo opisanih procesa, stoga i ima atribut reaktivna,

odnosno označava se kao reaktivna energija.

Maksimalni iznos trenutne vrijednosti električne snage, angažovane od strane LVNL

zavojnice, p ( t ), koji iznosi : QL = − (( Um )2 / ( 2·( wL ))) u elektrotehnici se naziva

4

induktivna reaktivna snaga. Treba naglasiti da je algebarski predznak u izrazu za

induktivnu reaktivnu električnu snagu, uslovne prirode, ali se mora uvijek imati na umu

da je predznak induktivne reaktivne električne snage, po pravilu suprotan od predznaka

kapacitivne reaktivne električne snage.

3.4 Idealni električni kondenzator kapacitivnosti C, u električnom krugu sa

naponskim izvorom prostoperiodičnog napona

Elementarnu analizu ponašanja potrošača električne energije, u električnom krugu, unutar

kojeg djeluje idealni naponski izvor, čiji se napon u ( t ), mijenja u skladu sa

prostoperiodičnom zakonitošću u ( t ) = Um sin ( wt + θu ), nakon što je razmotren

potrošač sa najjednostavnijom strukturom – dakle potrošač, koji se može dovoljno dobro

predstaviti linearnim, vremenski nepromjenljivim, aktivnim otporom R ( LVNR ), a

potom i potrošač predstavljen idealiziranom, linearnom, vremenski nepromjenljivom

električnom zavojnicom, induktivnosti L, (LVNL), uobičajno je nastaviti putem

razmatranja promjena, koje se dešavaju ukoliko se takav potrošač predstavi idealiziranim,

linearnim, vremenski nepromjenljivim električnim kondenzatorom, kapacitivnosti C,

(LVNC).

Na slici 3.11, šematski je prikazan elementarni električni krug, sa električnim

kondenzatorom (LVNC), kao potrošačem i idealnim naponskim izvorom sinusoidalnog

napona: u ( t ) = Um sin ( wt + θu ), kao generatorom.

Slika 3.11 Električni krug, sa električnim kondenzatorom (LVNC) kao

potrošačem i idealnim naponskim izvorom sinusoidalnog napona:

u ( t ) = Um sin ( wt + θu ), kao generatorom.

Označimo li sa i ( t ) električnu struju, koja se upostavlja u električnom krugu sa slike

3.11, a sa uC ( t ), pad napona koji nastaje na (LVNC) kondenzatoru, upravo zbog

prolaska te struje kroz provodnike, koji povezuju elektrode kondenzatora sa ostatkom

razmatranog električnog kruga, tada se uz pomoć jednačina dinamičke ravnoteže, koje

važe u svakom trenutku t, može pisati da je:

5

d uC ( t )

u ( t ) = uC ( t ); i ( t ) = C · ——— (3.33)

d t

odakle se lako određuje električna struja , i ( t ), u obliku,

i ( t ) = ( Um (wC )) · sin ( wt + θu + π /2). (3.34)

Simbolom uC ( t ), označen je pad napona na LVNC kondenzatoru , nastao tokom

savladavanja protivljenja raspoloživog dielektrika, da se provede njegova polarizacija.

Taj pad napona na LVNC kondenzatoru uC ( t ) i pripadajući električni napon idealnog

naponskog izvora, u ( t ) , (u ( t ) = Um sin ( wt + θu )), zadovoljavaju , saglasno sa II

Kirchhoffovim zakonom, relaciju:

- u ( t ) + uC ( t ), = 0 (3.35)

Uvede li se termin kontraelektromotorna sila, eC ( t ), za veličina kojom se iskazuje

protivljenje dielektrika kondenzatora, da se izvrši njegova polarizacija (kada je

nepolarizovan) ili pak depolarizacija ( ukoliko je već polarizovan), relacija (3.35) se

može transformisati i u oblik (3.36).

u ( t ) + eC ( t ), = 0 (3.36)

Uspostavljene relacije, (3.33) do (3.36), omogućavaju da se izvedu slijedeći zaključci:

1. U električnom krugu sa slike 3.11, uspostavljena električna struja i ( t ), fazno

prednjači, u odnosu na pad napona uC ( t ), za ugao od π /2 radijana ( nastao na

analiziranom kondenzatoru, upravo tokom prolaska te struje).

2. Kontraelektromotorna sila, eC ( t ), s druge strane, fazno prednjači, u odnosu na tu

električnu struju i ( t ) , takođe za ugao od π /2 radijana, zbog čega su električni

napon, u ( t ) i kotraelektromotorna sila, eC ( t) , međusobno gledano, u opziciji.

3. Na osnovu izraza, koji određuje maksimalnu vrijednost električne struje i ( t ),

Im = ( Um (wC )), proizilazi da izraz ( 1 / wC ), ima prirodu električnog otpora, pa

se u elektrotehnici on i naziva kapacitivnim električnim otporom. Kapacitivni

električni otpor formalno, se obično obilježava sa simbolom: XC = ( 1 / wC ) .

Korisno je naglasiti da ukoliko se ne analiziraju prelazni procesi , odnosno prelazna

stanja, pri uspostavljanju struje kroz, LVNL zavojnicu, ili pak prelazni procesi pri

uspostavljanju električnog napona između elektroda LVNC kondenzatora, tada treba

birati početni fazni stav napona naponskog izvora, tako da i električna struja kroz LVNL

zavojnicu i električni napon između elektroda LVNC kondenzatora, startaju od nulte

vrijednosti, u trenutku kada započne njihovo izlaganje dejstvu tog naponskog izvora.

Ovakvi zahtjevi nametnuti su fizikalnim osobinama pobrojanih elemenata, koje su takve

da se električna struja kroz LVNL zavojnicu ne može skokovito mijenjati, kao ni napon

između elektroda LVNC kondenzatora.

6

Na slici 3.12, je grafički prikazana vremenska promjena električne struje i ( t ), kojom se

puni, ili prazni razmatrani električni kondenzator, i pada električnog napona uC ( t ), koji

nastaje na tom istom električnom kondenzatoru, upravo zbog prolaska električne struje

i ( t ), kroz njega, a uz uvažavanje prethodnih napomena.

Slika 3.12 Grafički prikaz vremenske promjene električne struje i ( t ) i pada električnog

napona uC ( t ), koji nastaje na tom električnom kondenzatoru, upravo tokom

prolaska električne struje i ( t ), kroz njega i to za slučaj θu = 0 radijana.

Trenutna električna snaga p ( t ) , koju angažuje LVNL zavojnica u analiziraom

električnom krugu, određuje se pomoću relacije (3.29)

p ( t ) = u ( t ) · i ( t ) = uL ( t ) · i ( t ) (3.36)

što uz uvažavanje ranije utvrđenih relacija: da je pad napona uC ( t ) = Um sin ( wt + θu ),

a električna struja i ( t ) = ( Um ( wC )) · sin ( wt + θu + π /2), rezultira novom relacijom za

trenutnu vrijednost električne snage u obliku (3.37).

p ( t ) = uL ( t ) · i ( t ) = Um Im ( sin ( wt + θu ))· (cos ( wt + θu ) ) =

1

= ( Um )2 · ( wC ) —— · ( sin 2 · ( wt + θu )) (3.37)

2

Trenutni oblik električne snage, angažovane od strane LVNC kondenzatora, pokazuje da

se ta snaga mijenja po sinusoidalnom zakonu i to sa frekvencijom, koja je tačno dva puta

veća od frekvencije, sa kojom svoje promjene doživljavaju napon izvora i električna

struja, koja se usmjerava kroz kondenzator.

Srednja vrijednost trenutne električne snage p ( t ), određena je relacijom (3.38)

Psr = (1/ T ) ∫T

0

p ( t ) · dt = 0 (3.38)

koja pokazuje da se na osnovu električne snage, angažovane pomoću LVNC

kondenzatora, ne može obavljati koristan rad.

7

Trenutna vrijednost električne energije, angažovane tokom vremenskog intervala ( 0, t ),

određena je relacijom (3.39),

W = ∫t

0

p ( t ) · dt (3.39 )

U skladu sa relacijama (3.37) i (3.38), može se zaključiti da postoje intervali ( kada je

trenutna vrijednost električne snage p ( t ) pozitivna ) tokom kojih se električna snaga

usmjerava iz upotrebljenog naponskog izvora ka LVNC kondenzatoru (koji je akumulira

u sebi kao vlastitu elektrostatsku energiju), ali i intervali ( kada je trenutna vrijednost

električne snage p ( t ) negativna), tokom kojih se električna snaga usmjerava od LVNC

kondenzatora, ka naponskom izvoru.

Ovakvo oscilovanje, ili njihanje električne snage, ne samo u smislu promjene njene

amplitude, nego i u smislu promjene smjera njenog toka , tumači se kao svojevrsna

reakcija LVNC kondenzatora, na novonastalu aktivnost - iskazanu putem djelovanja

naponskog izvora.

Energija koja se angažuje tokom opisanih procesa, stoga i ima atribut reaktivna, odnosno

označava se kao reaktivna energija.

Maksimalni iznos trenutne vrijednosti električne snage, angažovane od strane LVNC

kondenzatora, p ( t ), koji iznosi : QC = (( Um )2 · ( wC )) / 2 u elektrotehnici se naziva

kapacitivna reaktivna snaga. Treba naglasiti da je algebarski predznak u izrazu za

kapactivnu reaktivnu električnu snagu, uslovne prirode, ali se mora imati na umu da je

predznak kapactivne reaktivne električne snage, uvijek suprotan od predznaka

induktivne reaktivne električne snage.

3.5 Realna zavojnica induktivnosti L u električnom krugu sa naponskim izvorom

prostoperiodičnog napona

Ponašanje realna zavojnica induktivnosti L, kada se nađe u električnom krugu sa

naponskim izvorom prostoperiodičnog napona u ( t ) = Um sin ( wt + θu ), može se

dovoljno dobro predstaviti na osnovu razmatranja serijskog spoja linearnog, vremenski

nepromjenljivog, aktivnog otpora R ( LVNR ) i idealizirane, linearne, vremenski

nepromjenljive električne zavojnice, induktivnosti L, (LVNL), kada se takav spoj izloži

djelovanju idealnog naponskog izvora, sa sinusoidalnim naponom u ( t ) .

Na slici 3.13, šematski je prikazan električni krug, u kojem je potrošač, iskazan kao

serijski spoj ( LVNR ) aktivnog otpornika i (LVNL) zavojnice, izlažen djelovanju

idealnog naponskog izvora sinusoidalnog napona: u ( t ) = Um sin ( wt + θu ), koji

očigledno ima ulogu generatora.

Označimo li sa i ( t ) električnu struju, koja se upostavlja u električnom krugu sa slike

3.13, a sa uL ( t ) i uR ( t ), padove napona, koji nastaje na (LVNL) zavojnici, odnosno na

( LVNR) aktivnom otporniku, respektivno, i to upravo zbog prolaska te iste struje, i ( t ), tada se uz pomoć jednačina dinamičke ravnoteže, koje važe u svakom trenutku t, za

predočenu električnu šemu ( one proizilaze iz II Kirchhoffovog zakona), može pisati da je:

8

d i ( t )

u ( t ) = uR ( t ) + uL ( t ); uL ( t ) = L · ——— (3.40)

d t

Slika 3.13 Električni krug, u kojem se potrošač, iskazan kao serijski spoj ( LVNR )

aktivnog otpornika i (LVNL) zavojnice, izlaže djelovanju idealnog

naponskog izvora sinusoidalnog napona: u ( t ) = Um sin ( wt + θu ).

Na osnovu relacija predočenih sa (3.40), potom se može formirati i jednačina (3.41):

d i ( t )

u ( t ) = Um sin ( wt + θu ) = R · i ( t ) + L · ——— (3.41)

d t

koja, u skladu sa Teorijom diferencijalnih jednačina, pripada klasi linearnih nehomogenih

diferencijalnih jednačina I reda, sa konstantnim koeficijentima. Uz uvažavanje početnog

uslova: i ( 0 ) = 0, lako se pokazuje da je rješenje jednačine (3.41), ona električna struja ,

i ( t ), koja ima slijedeći oblik vlastite promjene:

i ( t ) = Im · sin ( wt + θu – φL) - Im · (sin ( θu – φL) ) · e- ( R / L ) · t (3.42)

Nije teško primjetiti da se takva električna struja i ( t ), praktično sastoji od dvije

komponente, odnosno da ima osnova pisati, kako je: i ( t ) = iS ( t ) + iP ( t ).

Pri tome je komponenta iS ( t ) = Im · sin ( wt + θu – φL), ona električna struja, koja se

javlja i održava tokom ustaljenog, dakle stacionarnog režima rada analiziranog kruga ,

dok se komponenta iP ( t ) = - Im · (sin ( θu – φL) ) · e- ( R / L ) · t , pojavljuje samo u

trenutcima uspostavljanja analizirane električne struje i ( t ), te traje kraće, ili duže

vrijeme. S obzirom, da struja iP ( t ), obavezno, nakon nekog vremena, iščezava, ona se u

elektrotehnici i označava kao struja prelaznog režima u radu analiziranog kruga.

Saglasno Teoriji diferencijalnih jednačina, proizilazi da električna struja i ( t )

predstavlja ono partikularno rješenje diferencijalne jednačine (3.41), koje se dobije iz

opšteg rješenja iste te diferencijalne jednačine, kada se uvažava navedeni početni uslov:

i ( 0 ) = 0 ( opšte rješenje bilo koje nehomogene diferencijalne jednačine, jednako je zbiru

opšteg rješenja, koje je utvrđeno za homogeni dio analizirane jednačine ( u predmetnom

slučaju to je komponenta: iP ( t )) i bilo kojeg partikularnog rješenja cijelokupne,

nehomogene diferencijalne jednačine ( u predmetnom slučaju to je komponenta iS ( t ))).

Simboli, upotrebljeni u prethodnim relacijama poglavlja 3.5, imaju slijedeća značenja :

9

Im = ( Um / ZL ); ZL = ( R2 + ( w·L)2)( 1 / 2 ) ; φL = arctg ( ( w L ) / R )

Simbolom ZL = ( R

2 + ( w·L)2 )( 1 / 2 ), označena je ukupna električna otpornost analiziranog R-L električnog kruga, kojoj se vrlo često pridružuje i znatno kraći naziv –

induktivna impendansa.

Ugao φL, φL = arctg ( ( w L ) / R ), iskazuje fazni pomjeraj struje i ( t ), u odnosu na

električni napon u ( t ) i zajedno sa uglom θu, značajno utiče na tok uspostavljanja

električne struje i ( t ) u električnom krugu čija je šema prikazana na slici 3.13.

1. Ukoliko je ugao Ө, određen relacijom Ө = ( θu – φL), jednak nuli, ili je pak pak

taj ugao Ө, takav da vrijedi relacija Ө = ± π, tada je komponenta iP ( t )

( kojom se opisuje struja prelaznog režima, unutar integralnog izraza za

električnu struju i ( t )) jednaka nuli u bilo kojem trenutku vremena t, pa se

prema grafičkim prikazima sa slike 3.14, odmah uspostavlja stacionarni režim

električne struje jer vrijede odnosi:

i ( t ) = iS ( t ) = Im · sin ( wt + θu – φL) = Im · sin ( wt + Ө )

Slika 3.14 Grafički prikaz uspostavljanja stacionarnog režima električne struje, i ( t ), u

uslovima kada je: Ө = 0, slika lijevo, odnosno kada je: Ө = ± π, slika desno.

2. Ukoliko je ugao Ө, određen relacijom Ө = ( θu – φL), takav da važi relacija:

Ө = ( π / 2 ), ili je pak ugao Ө, takav da vrijedi relacija Ө = - ( π / 2 ), tada je

komponenta iP ( t ) ( kojom se opisuje struja prelaznog režima, unutar

integralnog izraza za električnu struju i ( t )) maksimalno izražena, pa u nekom

trenutku vremena t, koji se desi prije uspostavljanja stacionarnog režima

električne struje i ( t ), prema grafičkim prikazima sa slike 3.15, ona može i vrlo

značajno povečati iznos amplitude ukupne struje i ( t ).

i ( t ) = ± Im · sin ( wt + π / 2) ± ( - Im ) · e- ( R / L ) ·· t

10

Slika 3.15 Grafički prikaz uspostavljanja stacionarnog režima električne struje, i ( t ), u

uslovima kada je: Ө = ( π / 2 ), slika lijevo, odnosno kada je: Ө = - ( π / 2 ),

slika desno.

Na slici 3.16 je dat grafički prikaz uspostavljanja stacionarnog režima električne struje,

i ( t ), u uslovima kada je fazni stav Ө, takav da ima neku vrijednost između njegovih

graničnih vrijednosti koje su prikazane na slikama 3.14 i 3.15.

Slika 3.16 Grafički prikaz uspostavljanja stacionarnog režima električne struje, i ( t ), u

uslovima kada je fazni stav Ө, takav da ima neku vrijednost između njegovih

graničnih vrijednosti koje su prikazane na slikama 3.14 i 3.15.

Trenutna električna snaga p ( t ) , koju angažuje realna zavojnica, u analiziranom

električnom krugu sa slike 3.13, određuje se pomoću relacije (3.43)

p ( t ) = u ( t ) · i ( t ) = ( uL ( t ) + uR ( t ) ) · i ( t ) , (3.43)

11

Uobičajno je analizirati trenutnu električnu snagu p ( t ), u uslovima kada se uspostavila

stacionarna vrijednost struje i ( t ).

U skladu sa ovim ograničenjima i uz uvažavanje ranije utvrđenih relacija: da je napon

u ( t ) = Um sin ( wt + θu ), a električna struja i ( t ) = ( Um /( ZL )) · sin ( wt + θu – φL),

moguće je uspostaviti novu relaciju za trenutnu vrijednost električne snage, p ( t ), u

obliku (3.44):

p ( t ) = u ( t ) · i ( t ) = Um Im ( sin ( wt + θu ))· (sin ( wt + θu – φL) ) =

1

= ( Um )2 · ——— · ( cos φL- cos (2 · ( wt + θu ) – φL )) (3.44)

2·( ZL )

Trenutni oblik električne snage, angažovane od strane realne zavojnice, pokazuje, prema

relaciji (3.44), da ta snaga ima dvije komponente: jednu koja nije funkcija vremena i

drugu koja je harmonijska funkcija vremena i to dvostruko veće frekvencije nego napon

naponskog izvora, ili pak uspostavljena struja i ( t ).

Srednja vrijednost trenutne električne snage p ( t ), određena je relacijom (3.45)

Psr = (1/ T ) ∫T

0

p ( t ) · dt = ( Um )2 · ( 1 / (2·ZL) ) · ( cos φL ) (3.45)

i određuje onaj dio električne snage, angažovane pomoću realne zavojnice, koji se

nepovratno transformiše u toplotu, po osnovu Jouleovih gubitaka na aktivnom otporu R.

Takva snaga, naziva se i aktivnom električnom snagom, a formalno označava simbolom

P.

Ukoliko se umjesto maksimalnih vrijednosti napona Um i električne struje Im = ( Um / ZL ),

uvedu efektivne vrijednosti istog napona ( U ) i iste struje ( I ), ( Um = ( 2 )1/ 2

U ), tada se

aktivna električna snaga P može izraziti i u obliku:

Psr = (1/ T ) ∫T

0

p ( t ) · dt = P = ( U· I ) · ( cos φL ) (3.46)

Druga komponenta trenutne vrijednosti električne snage izražene sa relacijom (3.44),

koja je harmonijska funkcija vremena i to dvostruko veće frekvencije nego napon

naponskog izvora, ili pak uspostavljena struja i ( t ), može se dodatno razvložiti, na dvije

subkomponente :

- subkomponentu (- UI ( cos φL ) cos (2 · ( wt + θu ) ))

-subkomponentu (- UI ( sin φL ) sin (2 · ( wt + θu ) ))

Prva subkomponenta (- UI ( cos φL ) cos (2 · ( wt + θu ) )) predstavlja dio trenutne snage,

p ( t ), koji oscilira oko stalne vrijednosti ( U· I ) · ( cos φL ), odnosno oko aktivne snage

P.

Druga subkomponenta (- UI ( sin φL ) sin (2 · ( wt + θu ) )), je dio trenutne snage, p ( t ),

čija je amplituda određena relacijom (- UI ( sin φL ) i primarno označava snagu koja

oscilira između naponskog izvora i induktivne komponente realne zavojnice. S obzirom

12

da se ova električna snaga ne može konvertovati u koristan rad, nego samo služi za

izgradnju, ili razgradnju magnetnog polja zavojnice, ona ima prirodu reaktivne snage.

Formalno se označava simbolom Qi = (- UI ( sin φL )), jasno ukoliko se odnosi na

induktivni element. Reaktivna snaga Qi i aktivna snaga P, zajedno, po osnovu relacije

(3.47), određuju prividnu snagu S, na koju uvijek mora biti dimenzioniran naponski izvor

u električnom krugu sa slike 3.13:

S = ( P 2 + Qi

2 )

(1/ 2) (3.47)

Jedinica mjere za aktivnu električnu snagu je W ( Watt), za reaktivnu električnu snagu,

jedinica mjere je VAr ( volt-amper reaktivni), dok se prividna električna snaga izražava u

VA ( volt-amper)

Trenutna vrijednost električne energije, angažovane tokom vremenskog intervala ( 0, t ),

određena je relacijom (3.48),

W = ∫t

0

p ( t ) · dt (3.48)

3.6 Realni kondenzator kapacitivnosti C, u električnom krugu sa naponskim

izvorom prostoperiodičnog napona

Ponašanje realnog kondenzatora kapacitivnosti C, kada se nađe u električnom krugu sa

naponskim izvorom prostoperiodičnog napona u ( t ) = Um sin ( wt + θu ), može se

dovoljno dobro predstaviti na osnovu razmatranja serijskog spoja linearnog, vremenski

nepromjenljivog, aktivnog otpora R ( LVNR ) i idealiziranog, linearnog, vremenski

nepromjenljivog električnog kondenzatora, kapacitivnosti C, (LVNC), kada se takav spoj

izloži djelovanju idealnog naponskog izvora, sa sinusoidalnim naponom u ( t ) .

Na slici 3.17, šematski je prikazan električni krug, u kojem je potrošač, iskazan kao

serijski spoj ( LVNR ) aktivnog otpornika i (LVNC) kondenzatora, pri čemu je takav spoj,

izlažen djelovanju idealnog naponskog izvora sinusoidalnog napona:

u ( t ) = Um sin ( wt + θu ), koji očigledno ima ulogu generatora.

Označimo li sa i ( t ) električnu struju, koja se upostavlja u električnom krugu sa slike

3.17, a sa uC ( t ) i uR ( t ), padove napona, koji nastaje na (LVNC) kondenzatoru, odnosno

na ( LVNR) aktivnom otporniku, respektivno, i to upravo zbog prolaska te iste struje,

i ( t ), tada se uz pomoć jednačina dinamičke ravnoteže, koje važe u svakom trenutku t,

za predočenu električnu šemu ( one proizilaze iz II Kirchhoffovog zakona), može pisati

da je:

d uC ( t )

u ( t ) = uR ( t ) + uC ( t ); i ( t ) = C · ——— (3.49)

d t

13

Slika 3.17 Električni krug, u kojem se potrošač, iskazan kao serijski spoj ( LVNR )

aktivnog otpornika i (LVNC) kondenzatora, izlaže djelovanju idealnog

naponskog izvora, sinusoidalnog napona: u ( t ) = Um sin ( wt + θu ).

Na osnovu relacija predočenih sa (3.49), potom se može formirati i jednačina (3.50):

d uC ( t )

u ( t ) = Um sin ( wt + θu ) = uC ( t ) + RC · ——— (3.50)

d t

koja, u skladu sa Teorijom diferencijalnih jednačina, pripada klasi linearnih nehomogenih

diferencijalnih jednačina I reda, sa konstantnim koeficijentima.

Uz uvažavanje početnog uslova: uC ( 0 ) = 0, dakle pretpostavke da (LVNC) kondenzator,

u trenutku priključenja analiziranog realnog kondenzatora, na odabrani naponski izvor,

nije raspolagao sa električnim nabojem na svojim elektrodama, lako se pokazuje da je

rješenje jednačine (3.50), onaj električni napon na (LVNC) kondenzatoru, koji ima

slijedeći oblik vlastite promjene:

uC ( t ) = - UCm · cos ( wt + θu – φC) + UCm · (cos ( θu – φC) ) · e- ( 1 / RC) · t (3.51)

Nije teško primjetiti da se takav električni napon uC ( t ), praktično sastoji od dvije

komponente, odnosno da ima osnova pisati, kako je: uC ( t ) = uCS ( t ) +uCP ( t ).

Pri tome je komponenta, uCS ( t ) = - UCm · cos ( wt + θu – φC), onaj električni napon, koji

se javlja i održava tokom ustaljenog, dakle stacionarnog režima rada analiziranog kruga ,

dok se komponenta: uCP ( t ) = UCm · (cos ( θu – φC) ) · e- ( 1 / RC) · t, pojavljuje samo u

trenutcima uspostavljanja analiziranog električnog napona uC ( t ), te traje kraće, ili duže

vrijeme. S obzirom, da električni napon uCP ( t ), obavezno, nakon nekog vremena,

iščezava, on se u elektrotehnici i označava kao napon prelaznog režima, za (LVNC)

kondenzator, u radu analiziranog kruga.

Saglasno Teoriji diferencijalnih jednačina, proizilazi da električni napon uC ( t )

predstavlja ono partikularno rješenje diferencijalne jednačine (3.50), koje se dobije iz

opšteg rješenja iste te diferencijalne jednačine, kada se uvažava navedeni početni uslov:

u C ( 0 ) = 0 ( opšte rješenje bilo koje nehomogene diferencijalne jednačine, jednako je

zbiru opšteg rješenja, koje je utvrđeno za homogeni dio analizirane jednačine

( u predmetnom slučaju to je komponenta uCP ( t ) ) i bilo kojeg partikularnog rješenja

cijelokupne, nehomogene diferencijalne jednačine ( u predmetnom slučaju to je

komponenta uCS ( t ). )).

Simboli, upotrebljeni u prethodnim relacijama poglavlja 3.6, imaju slijedeća značenja :

14

UCm = ( Um / (wCZC )); ZC= ( R2 + ( 1/ (w·C)2))(1/2); φC = - arctg ( 1 / (wCR ))

Simbolom ZC = ( R

2 + ( 1/ (w·C)2))(1/2), označena je ukupna električna otpornost analiziranog R-C električnog kruga, kojoj se vrlo često pridružuje i znatno kraći naziv –

kapacitivna impendansa.

Ugao φC, φC = - arctg ( 1 / (wCR )), iskazuje fazni pomjeraj struje i ( t ), u odnosu na

električni napon u ( t ) i zajedno sa uglom θu, značajno utiče na tok uspostavljanja

električnog napona uC ( t ) u električnom krugu, čija je šema prikazana na slici 3.17.

1 Ukoliko je ugao Ө, određen relacijom Ө = ( θu – φC), takav da ima vrijednost:

Ө = ± ( π /2 ), tada je komponenta uCP ( t ) ( kojom se opisuje napon na

kondenzatoru u prelaznom režimu, unutar integralnog izraza za električni napon

uC ( t )) jednaka nuli, u bilo kojem trenutku vremena t, pa se prema grafičkim

prikazima sa slike 3.18, odmah uspostavlja stacionarni režim električnog napona

uC ( t ), jer vrijede odnosi:

uC ( t ) = uCS ( t ) = - UCm · cos ( wt + θu – φC)

Slika 3.18 Grafički prikaz uspostavljanja stacionarnog režima električnog napona, uC ( t ) ,

u uslovima kada je: Ө = ( π /2 ),, slika lijevo, odnosno kada je: Ө = - ( π /2 ),

slika desno.

2 Ukoliko je ugao Ө, određen relacijom Ө = ( θu – φC), takav da važi relacija:

Ө = 0, ili je pak ugao Ө, takav da vrijedi relacija Ө = ( π ), , tada je komponenta

uCP ( t ) ( kojom se opisuje napon prelaznog režima na kondenzatoru, unutar

integralnog izraza za električni napon uC ( t ) ) maksimalno izražena, pa u nekom

trenutku vremena t, koji se desi prije uspostavljanja stacionarnog režima

električnog napona uC ( t ) , prema grafičkim prikazima sa slike 3.19, on može i

vrlo značajno povečati iznos amplitude ukupnog napona uC ( t ).

uC ( t ) = - ( ± UCm · cos ( wt ) ) ± UCm · e- ( 1 / RC) ·t

15

Slika 3.19 Grafički prikaz uspostavljanja stacionarnog režima električnog napona, uC ( t ) ,

u uslovima kada je: Ө = 0,, slika lijevo, odnosno kada je: Ө = ( π ), slika

desno.

Na slici 3.20 je dat grafički prikaz uspostavljanja stacionarnog režima električnog napona,

uC ( t ), u uslovima kada je fazni stav Ө, takav da ima neku vrijednost između njegovih

graničnih vrijednosti koje su prikazane na slikama 3.18 i 3.19.

Slika 3.20 Grafički prikaz uspostavljanja stacionarnog režima električnog napona, uC ( t ),

u uslovima kada je fazni stav Ө, takav da ima neku vrijednost između

njegovih graničnih vrijednosti, koje su prikazane na slikama 3.18 i 3.19.

Trenutna električna snaga p ( t ) , koju angažuje realni kondenzator, u analiziranom

električnom krugu sa slike 3.17, određuje se pomoću relacije (3.52)

p ( t ) = u ( t ) · i ( t ) = ( uC ( t ) + uR ( t ) ) · i ( t ) , (3.52)

Uobičajno je analizirati trenutnu električnu snagu p ( t ), u uslovima kada se uspostavila

stacionarna vrijednost struje i ( t ).

U skladu sa ovim ograničenjima i uz uvažavanje ranije utvrđenih relacija: da je napon

u ( t ) = Um sin ( wt + θu ), a električna struja i ( t ) = ( Um /( ZC )) · sin ( wt + θu – φC),

16

moguće je uspostaviti novu relaciju za trenutnu vrijednost električne snage, p ( t ), u

obliku (3.53):

p ( t ) = u ( t ) · i ( t ) = Um Im ( sin ( wt + θu ))· (sin ( wt + θu – φC) ) =

1

= ( Um )2 · ——— · ( cos φC- cos (2·( wt + θu ) – φC )) (3.53)

2·( ZC )

Trenutni oblik električne snage, angažovane od strane realnog kondenzatora, pokazuje,

prema relaciji (3.53), da ta snaga ima dvije komponente: jednu koja nije funkcija

vremena i drugu koja je harmonijska funkcija vremena i to dvostruko veće frekvencije

nego napon naponskog izvora, ili pak uspostavljena struja i ( t ).

Srednja vrijednost trenutne električne snage p ( t ), određena je relacijom (3.54)

Psr = (1/ T ) ∫T

0

p ( t ) · dt = ( Um )2 · ( 1 / (2·ZC) ) · ( cos φC ) (3.54)

i određuje onaj dio električne snage, angažovane pomoću realnog kondenzatora, koji se

nepovratno transformiše u toplotu, po osnovu Jouleovih gubitaka na aktivnom otporu R.

Takva snaga, naziva se i aktivnom električnom snagom i formalno označava simbolom P.

Ukoliko se umjesto maksimalnih vrijednosti napona Um i električne struje Im = ( Um / ZC ),

uvedu efektivne vrijednosti istog napona ( U ) i iste struje ( I ), ( Um = ( 2 )1/ 2

U ), tada se

aktivna električna snaga P može izraziti i u obliku:

Psr = (1/ T ) ∫T

0

p ( t ) · dt = P = ( U· I ) · ( cos φC ) (3.55)

Druga komponenta trenutne vrijednosti električne snage izražene sa relacijom (3.53),

koja je harmonijska funkcija vremena i to dvostruko veće frekvencije nego napon

naponskog izvora, ili pak uspostavljena struja i ( t ), može se razviti na dvije

subkomponente :

- subkomponentu (- UI ( cos φC ) cos (2 · ( wt + θu ) ))

-subkomponentu ( -UI ( sin φC ) sin (2 · ( wt + θu ) ))

Prva subkomponenta (- UI ( cos φ ) cos (2 · ( wt + θu ) )) predstavlja onaj dio trenutne

snage, p ( t ), koji oscilira oko stalne vrijednosti ( U· I ) · ( cos φC ), odnosno oko aktivne

snage P.

Druga subkomponenta (- UI ( sin φC ) · sin (2 · ( wt + θu ) )), je onaj dio trenutne snage, p ( t ), čija je amplituda određena relacijom (- UI·( sin φC ) i primarno označava snagu

koja oscilira između naponskog izvora i kapacitivne komponente realnog kondenzatora. S

obzirom da se ova električna snaga ne može konvertovati u koristan rad, nego samo služi

za izgradnju, ili razgradnju elektrostatskog polja prisutnog kondenzatora, ona ima

prirodu reaktivne snage.

Formalno se označava simbolom QC = (- UI ( sin φC )), jasno kada se odnosi na

kapacitivni element.

17

Zbog ograničenja ( - π /2 ) < φC < 0, reaktivna snaga QC ima suprotan znak u odnosu na

reaktivnu snagu Qi .

Reaktivna snaga QC i aktivna snaga P, zajedno, po osnovu relacije (3.56), određuju

prividnu snagu S, na koju mora biti uvijek dimenzioniran naponski izvor u električnom

krugu sa slike 3.17:

S = ( P 2 + QC

2 )

(1/ 2) (3.56)

Zedinica mjere za aktivnu električnu snagu je W ( Watt), za reaktivnu električnu snagu

QC jedinica mjere je VAr ( volt-amper reaktivni), dok se prividna električna snaga

izražava u VA ( volt-amper)

Trenutna vrijednost električne energije, angažovane tokom vremenskog intervala ( 0, t ),

određena je relacijom (3.57),

W = ∫t

0

p ( t ) · dt (3.57)