Samoindukcija, meñuindukcija i RLC krugovi

Samoindukcija

-električni krug na slici-zatvaranjem sklopke S, struja ne postiže trenutno vrijednost ε/R – zbog elektromagnetske indukcije-porastom struje u krugu, raste mag. tok kroz krug i inducira se ems (napon) u krugu čiji je smjer suprotan uzroku svog nastanka (bateriji) – zbog toga je smjer inducirane struje takav da se njeno mag. polje opire promjeni toka mag. polja kroz krug – struja postepeno raste do max. iznosa

-ova pojava naziva se samoindukcija-ems inducirana na taj način naziva se samoinducirana ems (εL)

Pokus: Ostvarimo strujni krug prema slici.

Što se dogaña kada uključimo struju kroz žarulje?

Žarulja 2 se upali s malim zakašnjenjem! Zašto?

Za to je odgovorna zavojnica.

Objašnjenje:

Prolaskom struje kroz zavojnicu stvara se mag. polje oko nje. Mijenjanjem jakosti struje (uključenje – isključenje) � Mijenja se i mag. polje oko zavojnice. � Zakon elektromagn. indukcije (zavojnica u promjenjivom mag. polju). � U zavojnici se inducira EMS. Pojava se zove samoindukcija.

Smjer inducirane struje je takav da ona svojim poljem nastoji spriječiti promjenu mag. toka.

Inducirana EMS samoindukcije je:

Magnetsko polje oko zavojnice je proporcionalno jakosti struje kroz nju.

Budući su ΦΦΦΦ i B takoñer proporcionalni (ΦΦΦΦ = SB) �

L

dN

dtε Φ= −

Magnetski tok je takoñer proporcionalan jakosti struje kroz zavojnicu.

LIΦ =L = koeficijent samoindukcije (samoinduktivitet)

L

dIL

dtε = −

Za zavojnicu od N namotaja � N LI

d dIN L

dt dt

Φ =Φ =

LLdI

dt

ε= −

[ ] VsL H

A= = henri

Izračunaj koeficijent samoindukcije torusnezavojnice.

Primjer:

Od prije:

Tok kroz presjek zavojnice S �NI

BS Sl

µΦ = =

N LIΦ =

2

NI NIB

r lµ µ

π= =

N LIΦ =N

LI

Φ=

N NIL S

I lµ=

2N SL

lµ=

Meñuindukcija2 zavojnice, jedna blizu druge � Promjena struje u prvoj (primarnoj) uzrokuje induciranu elektromotornu silu u drugoj (sekundarnoj). Pojava se zove meñuindukcija ili uzajamna indukcija.

Kako odrediti iznos induciranog napona u drugoj zavojnici?

Kako odrediti iznos induciranog napona u drugoj zavojnici?

Neka je:l = duljina prve zavojniceS = Površina presjeka prve zavojniceN1 = Broj namotaja prve zavojniceN2 = Broj namotaja druge zavojniceµµµµ = Permeabilnost jezgre zavojnice

Promjenjiva struja I1 stvara mag. tok koji prolazi i kroz drugu zavojnicu. � U drugoj zavojnici se inducira EMS:

22 2

dN

dtε Φ= −

Tok = ? 2 1 BSΦ = Φ = Φ = 1 1N IS

lµΦ =

1 12 2

N IdN S

dt lε µ = −

1 2 1SN N dI

l dt

µ= − 12

dI

dtε ∼

M = Koeficijent meñusobne indukcije (meñuinduktivnost)

1 2 12

SN N dI

l dt

µε = − 12

dI

dtε ∼ 1

2

dIM

dtε = −

2

1

MdI

dt

ε= −

Meñuinduktivnost je jednaka omjeru EMS inducirane u jednom krugu i brzine promjene struje u drugom krugu.

[ ] (henri)/

VM H

A s= =

1 2SN NM

l

µ= Meñuinduktivnost – Ovisi isključivo o gemetriji zavojnica.

Struja u LR kruguPromjena jakosti struje kroz zavojnicu. �

Inducirana EMS samoindukcije:

Zatvaranje strujnog kruga. � Porast struje (od 0 do I). � U zavojnici se inducira EMS (suprotnog smjera od εεεε).

Lε

L RIε ε+ =

I

2. Kirchoffovo pravilo �

� Uključivanje struje u strujnom krugu sa zavojnicom nije trenutno.

L

dIL

dtε = −

Promatramo strujni krug u kojem se nalaze otpornik R i zavojnica induktivnostiL.

(Uz pretpostavku RL = 0)

dIL RI

dtε − = dI

L RIdt

ε= − : RL dI

IR dt R

ε= −

Granice integracije?

Uvodimo supstituciju:

L dII

R dt R

ε= −

x IR

ε= − dx dI

dt dt= − L dx

xR dt

− =

dx Rdt

x L= − ∫

0 0 /t I x Rε= ⇒ = ⇒ =/t t I I x R Iε= ⇒ = ⇒ = −

/

/ 0

R I t

R

dx Rdt

x L

ε

ε

−

= −∫ ∫ ( ) ( )ln / ln /R

R I R tL

ε ε− − = −

/ln

/

R I Rt

R L

εε

− = − /

/

Rt

LR I

eR

εε

−− =

1/

Rt

LI

eRε

−− = 1

/

Rt

LI

eRε

−= −

Nakon dovoljno dugo vremena �

1/

Rt

LI

eRε

−= − 1

Rt

LI eR

ε − = −

1

za 0

Rt

LR

tL

EXP e

et EXP

−= =

→ ∞⇒ →

t = 0 ���� I = I0 = εεεε/R 0 1R

tLI I e

− = −

/0 01 1

t t

L RI I e I e τ− −

= − = −

τ τ τ τ = L/R = vremenska konstanta= vrijeme potrebno da struja

dostigne 63,2% svoje konačne vrijednosti (t = ττττ)

( )10 01 0,632I I e I−= − =

Koliko vremena treba da struja padne na polovicu prvobitne vrijednosti?

1/ 2

00 1

2

tII I e τ

− = = −

τ τ τ τ = L/R = vremenska konstanta/0 01 1

t t

L RI I e I e τ− −

= − = −

0

2

I

1/ 2 11

2

t

e τ−

= −1/ 2 1

2

t

e τ−

= ln

1/ 2 1ln

2

t

τ− = 1/ 2

1ln

2t τ= − ( )1/ 2 ln1 ln 2t τ= − −

1/ 2 ln 2t τ= ⋅ 1/ 2 0,693t τ= ⋅ Polovično vrijeme porasta

1/ 2t

Utjecaj induktivnosti na prekid struje u LR krugu

Isključimo prekidač. � Otpor postaje beskonačno velik. Kako se mijenja struja?

Promatramo situacije kada zatvorimo P2!� Prekid struje s izvorom jer je on kratko spojen.

L RIε =2. Kirchoffovo pravilo �

dIL RI

dt− = L dI

dtR I

− = ∫

0 0

I t

I

L dIdt

R I− =∫ ∫

0

lnI R

I tI L

= −0

lnI R

tI L

= −

0

Rt

LI I e−

= /0 0

t t

L RI I e I e τ− −

= =

Isključimo prekidač svjetla. � Iskrenje (Zbog Lenzova pravila). Nastaje inducirana struja koja nastoji "zadržati" struju prije isključenja.

/0 0

t t

L RI I e I e τ− −

= =

Odakle zavojnici sposobnost stvaranja struje?

Zavojnica kojom teče struja ima energiju.

Energija zavojnice je pohranjena u njenom magnetskom polju.

Inducirana struja će teći sve dok postoji mag. polje.

τ τ τ τ = L/R= vrijeme potrebno da struja

padne na 37% svoje početne vrijednosti (t = ττττ)

I0/2

1/ 2t

0,37·I0

Zadatak: a) Odredi vremensku konstantu kruga na slici.b) Izračunaj struju u trenutku t=2ms i nacrtaj graf

ovisnosti I(t).c) Usporedi pad napona na otporniku i zavojnici.

a)

b)

c)

-u trenutku t=0 kada zatvorimo prekidač, krugom još ne teče struja i stoga je pad napona na otporniku VR=0, a pad napona na zavojnici (induktoru) jednak je naponu baterije (ems baterije=12 V) jer se zavojnica opire promjeni mag. toka -s prolaskom vremena, inducirana ems na zavojnici slabi i krugom poteče struja koja sve više raste; stoga je i pad napona na otporniku sve veći (VR) dok pad napona na zavojnici biva sve manji (VL)

-vrijedi: VR + VL = ε (=12 V)

Energija u magnetskom polju zavojnice

Energija koju daje izvor za vrijeme dt.

Inducirana struja će teći sve dok postoji mag. polje.

L RIε ε+ =

dIL RI

dtε − = Idt dq⋅ =

2Idt RI dt LIdIε = +

Dio energije pretvoren u Jouleovu toplinu.

Energija magnetskog polja zavojnice.

i LdE dQ dE= +

(II Kirch. pravilo)

Ukupna energija spremljena u mag. polju kruga struje, kad se struja povećala od 0 = do I dobiva se inetgracijom:

2Idt RI dt LIdIε = +

Prekidanjem strujnog kruga, mag. energija zavojnice se pretvara u unutrašnju energiju (toplinu) u otporniku sve dok ne iščezne i struja postane nula.

Energija magnetskog polja zavojnice.

2

2L

LIE =LdE LIdI= ∫

i LdE dQ dE= +

Gustoća energije u magnetskom polju zavojnice

Ubacimo izraze za koeficijent samoindukcije i izraz za struju iz mag. polja zavojnice.

Energija magnetskog polja zavojnice.2

2L

LIE =

0

IB N

lµ=

2

0

N SL

lµ=

2

2L

LIE =

22

00

2L

N S Bl

l NE

µµ

=

0

BlI

Nµ=

2

0

1

2LE B Slµ

=

Gustoća energije je energija/volumen �LE

wSl

=

2

0

12

B Sl

wSl

µ=

2

02

Bw

µ= Vrijedi općenito za bilo koje mag. polje

u prostoru!

Nabijanje kondenzatora u RC krugu

Prije toga, pogledajmo ponašanje kondenzatora u str. krugu. Da li je nabijanje kondenzatora trenutno?

Kako će se ponašati strujni krug gdje su zajedno kapacitet i zavojnica?

Nabijanje kondenzatora:

Zatvorimo prekidač: � c RU Uε = +

; ; c R

q dqU U IR I

C dt= = =

q dqR

C dtε = +

dqRC C q

dtε= −

C⋅

uz x C qε= −

dxRC x

dt− =

dx dq

dt dt= −

1dxdt

x RC= −

Vremenska konstanta

1dxdt

x RC= − ∫ 2

1

1ln

0

x tx t

x RC= −

uz x C qε= −

0 0t q x Cε= ⇒ = ⇒ =t t q q x C qε= ⇒ = ⇒ = − 1

lnC q

tC RC

εε

− = −

1t

RCC q

eC

εε

−− =1

tRCC q Ceε ε

−− =

1t

RCq C Ceε ε−

= −1

1t

RCq C eε−

= −

RCτ =

1t

q C e τε−

= −

I0

1t

q C e τε−

= −

1td

I C edt

τε−

= −

dqI

dt=

1 t

I C e τετ

−=

0

t

I I e τ−

=

Izbijanje kondenzatora u RC kruguDa li je izbijanje kondenzatora trenutno?

Nabijemo kondenzator, a zatim zatvorimo prekidač P2.

Izbijanje kondenzatora preko otpora. �

0 c RU U= +

; ; c R

q dqU U IR I

C dt= = =

0q dq

RC dt

= +

0dq

RC qdt

+ =

C⋅

1dqdt

q RC= − ∫

0

1ln

0

q tq t

q RC= −

0

1ln

qt

q RC= −

1

0 0

tt

RCq q e q e τ− −

= =

Ovisnost struje izbijanja?

1

0 0

tt

RCq q e q e τ− −

= =

dqI

dt= 0

tdI q e

dtτ

− =

0tq

I e τ

τ−

= −

0

t

I I e τ−

= −

Energija pohranjena u kondenzatoru

Energija koju daje izvor za vrijeme dt.

Energiju daje izvor. Troše je R i C.

C RU Uε = + qIR

Cε = +

Idt dq⋅ =

2 qIdt RI dt dq

Cε = +

Dio energije pretvoren u Jouleovu toplinu.

Energija kondenzatora

i CdE dQ dE= +

q dqR

C dtε = +

Ukupna energija? Kada naboj dostigne konačnu vrijednost, struja pada na nulu � dQ = 0

C

qdE dq

C= ∫

2

2C

qE

C=

Izbijanje kondenzatora u LC strujnom krugu

Nakon nabijanja kondenzatora, struja prestane teći.

Energiju daje izvor. Troše je L i C.

Zatvorimo prekidač P2 �

Nabijeni kondenzator šalje struju kroz zavojnicu. � Inducirana EMS u zavojnici.

L CUε = dI qL

dt C− =

2

2uz

dI d dq d q

dt dt dt dt = =

2

20

d q q

dt LC+ =

Diferencijalna jednadžba drugog reda. Da li smo nešto slično već vidjeli?

2

20

d xx

dtω+ =Isti tip jednadžbe kao kod harmoničkog oscilatora:

Rješenje:

0 cosq q tω= 1uz

LCω =

Naboj se mijenja periodički (sinusoidalno)!

Isti tip jednadžbe kao kod harmoničkog oscilatora:

2

20

d q q

dt LC+ =

2

20

d xx

dtω+ =

cosx A tω=

Rješenje našeg problema �:

0 cost

q qLC

=

Dobili smo oscilatorni krug gdje se energija električnog polja kondenzatora pretvara u energiju mag. polja zavojnicei obrnuto.

Koliko dugo traju te oscilacije?

Da nema otpora vodova (žica), trajalo bi vječno. Zbog otpora, oscilacije su gušene. Takoñer, sistem zrači energiju u obliku elektromagnetskih valova (za dovoljno velike frekvencije).

1

LCω = Frekvencija titranja LC kruga.

(svojstvena, vlastita, prirodna)

2

20

d q q

dt LC+ =

1

2 LCν

π=

tzv. THOMSONOVA FORMULA (FREKVENCIJA)

Kako se mijenja struja izbijanja?

0 cost

q qLC

=

12T LCπ

ν= = Period titranja.

0 cosdq d t

i qdt dt LC

= =

0 sinq t

iLC LC

= − sinm

ti

LC= −

Struja se mijenja po zakonu kosinusa � izmjenična struja(obilježavamo malim slovom i)

qu

C=

0 cost

q qLC

=

Grafički:

sin sinm m

ti i i t

LCω= − = −

0 cosq t

uC LC

= cosmu tω=

Pomak u fazi izmeñu struje i napona za ππππ/2:

sinmi i tω= −

cosmu u tω=

( )cos / 2mi i tω π= +

Struja brza za ππππ/2 ispred napona!

Usporedba elektromagnetskog i mehaničkog titranja

LC strujni krug elastična opruga bez trenja

Titranje energije izmeñu kondenzatora (E) i zavojnice (B) analogno je titranju elastične opruge (pretvorba potencijalne u kinetičku energiju i obratno).

E=

B=

⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒

-ukupna energija pohranjena u LC strujnom krugu je konstantna

max cosQ Q tω= max sinI I tω= −

.U const= =

-sva energija na C ili L

Izbijanje kondenzatora u RLC strujnom krugu

Nakon nabijanja kondenzatora, zatvorimo prekidač P �

L CiR Uε = +

L

C

diL

dtq

UC

ε = −

=

2

2uz

di d dq d q

dt dt dt dt = =

2

20

d q R dq q

dt L dt LC+ + =

Diferencijalna jednadžba drugog reda. Teorija diferencijalnih jednadžbi daje rješenje:

22

2

1cos

4

Rt

Lm

Rq q e t

LC L

− = −

Argument funkcije kosinus je realan �

2

2

1

4

R

LC L>

22

2

1cos

4

Rt

Lm

Rq q e t

LC L

− = −

Oscilacije naboja su gušene, amplituda eksponencijalno opada. � PRIGUŠENO titranje

Tko uzrokuje gušenje? LC krugu smo dodali otpornik R �Koeficijent gušenja je R/2L. Dodani otpornik igra ulogu trenja u mehaničkim sistemima.

Kutna frekvencija titranja: 2

2

1

4

R

LC Lω = −

2

2

12

4R

TLC L

π= −

Slučaj R << 2L � 2T LCπ= Ista relacija kao u LC krugu (Thomson)

Slučaj 1:

U ovisnosti vrijednosti unutar uglate zagrade imamo 3 slučaja:

2

2

1

4

R

LC L>

22

2

1cos

4

Rt

Lm

Rq q e t

LC L

− = −

Grafički prikaz oscilacija naboja i struja u RLC krugu:

Amplitude naboja(crno) i struje(crveno) opadaju po envelopama.

Slučaj 1:

2

2

1

4

R

LC L=

22

2

1cos

4

Rt

Lm

Rq q e t

LC L

− = −

Slučaj 2:

Naboj više ne oscilira, nema titranja. Naboj monotono pada prema: 2

Rt

Lmq q e

−=

Struja pada po istom zakonu.

Tzv. KRITIČNO APERIODIČNO izbijanje.2

0

Rt

LQ Q e−

=

2

2

1

4

R

LC L<

22

2

1cos

4

Rt

Lm

Rq q e t

LC L

− = −

Slučaj 3:

Argument funkcije kosinus je imaginaran. �

Izbijanje kondenzatora je APERIODIČNO(izboj u jednoj eksponencijalnoj krivulji).