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ANALYSE SPECTRALE DE SIGNAUX PÉRIODIQUES Quelques applets variés sur la synthèse de Fourier ou la décomposition de Fourier : http://www.falstad.com/fourier/ http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Elec/Fourier/fourier1.html http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/syntfour.html

I. DÉCOMPOSITION D’UN SIGNAL PÉRIODIQUE EN SÉRIE DE FOURIER

I.1 Série de Fourier

a) Terme fondamental – Termes harmoniques

Tout signal périodique du temps s(t), de période TS, de pulsation 2S

STπω = , de fréquence 1

SS

fT

= , possédant un

nombre fini de discontinuités par période est décomposable en série de Fourier :

( )0 01 1

( ) ( cos sin ) cos , avec entiern S n S n S nn n

s t a a n t b n t c c n t nω ω ω ϕ∞ ∞

= =

= + + = + +∑ ∑

0a est le terme constant 1 1cos sinS Sa t b tω ω+ est le terme fondamental (de même pulsation que le signal) cos sinn S n Sa n t b n tω ω+ est le terme harmonique de rang n (de pulsation n Sω ).

Remarque : Le terme cos sinn S n Sa n t b n tω ω+ peut se mettre sous la forme cos( )n S nc n tω ϕ+ , avec :

2 20 0 2 2 2 2

, , cos , sin et tan .n n nn n n n n n

nn n n n

a b bc a c a b

aa b a bϕ ϕ ϕ

−= = + = = = −

+ +

/2

0/2

1( ) ( )d , le terme constant est la valeur moyenne de ( ) sur la période S

S

S

T

STS T

a s t s t t s t TT −

= = ∫

/2

/2

2 ( ) cos( )dS

S

T

n SS T

a s t n t tT

ω−

= ∫ ; /2

/2

2 ( )sin( )dS

S

T

n SS T

b s t n t tT

ω−

= ∫

b) Signal s(t) pair ou impair

s(t) pair : s(–t) = s(t) ⇒ bn = 0 pour tout n > 0 s(t) impair : s(–t) = – s(t) ⇒ an = 0 pour tout n ≥ 0

c) Spectre de Fourier Il s’agit de l’ensemble des coefficients cn que l’on représente

graphiquement en fonction de la fréquence f.

Exemple du signal purement sinusoïdal, d’amplitude A : ( ) cos(2 )Ss t A π f t=

cn

ffu 2fu 3fu 4fufS 2fS 3fS 4fS

cn

0 f

A

fS

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I.2 Signaux périodiques usuels

a) Signal créneau

s(t) = - A pour ,02

STt ∈ −

; s(t) = + A pour 0,2

STt ∈

.

Le signal est impair, donc an = 0 0n∀ ≥ /2

/2

2 ( )sin( ) dS

S

T

n SS T

b s t n t tT

ω−

= ∫ , [ ] ( )0

/2/2

0

1 1cos( )4 4 2sin( ) dS

S

nT

S Tn S

S S S

n tA A Ab n t tT T n n

ωω

ω π

− − = = =∫

Soit : 2

2 1

2 : 042 1 :

(2 1)

p

p

n p bAn p bpπ+

= = = + = +

; d’où : 0

sin(2 1)4( )2 1

s

p

p tAs tp

ωπ

∞

=

+=

+∑ .

Expérimentalement, on envoie sur un analyseur de spectre numérique un signal créneau de fréquence fs = 1 kHz et d’amplitude E0 = 1 V. Il effectue un algorithme de FFT (transformée de Fourier rapide) qui permet de visualiser instantanément le spectre à l’écran. Interprétation : • On a un spectre de raies discret puisque le signal est périodique de période TS. • On n’observe que les harmoniques impairs de fréquences 1 kHz, 3 kHz, 5 kHz,… • Cette décroissance lente en 1/n est caractéristique des signaux qui possèdent des discontinuités en certains points.

On dit que le spectre est riche en harmoniques.

cn

0

c / 31

c / 5 1

u(t)

t

A

0

-A

c = A/1 4 π

f2

ST−

2ST

fS 3fS 5fS

Signal créneau de fréquence 1 kHz

Spectre du signal (coefficients cn)

1 kHz : le fondamental 3 kHz

5 kHz

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b) Signal triangulaire

( )

( )

pour ;0 , 1 42

pour 0; , 1 42

S

S

S

S

T tt s t AT

T tt s t AT

∈ − = +

∈ = −

Le signal s(t) est pair, on a donc : bn = 0 0n∀ > , sa valeur moyenne est nulle donc : a0 = 0

( ) ( ) ( )2 2

02

2 4cos d 1 4 cos d

S S

S

T T

n S STS S S

A ta s t n t t n t tT T T

ω ω−

= = −

∫ ∫

L’intégrale se calcule en faisant une intégration par parties :

( ) ( ) ( )22 2

2

000

4 1 4 4 41 4 sin sin d cos 1 ( 1)² ²

S S

S

T TT

nn S S S

S S S S S S S

A t Aa n t n t t A n tT T n n T nT n

ω ω ωω ω ω π

= − + = − = − − ∫

On a donc : 2

2

2 1

2 : 0

82 1:²(2 1)

p

p

n p a

An p apπ+

= =

= + = +

; d'où ( ) ( )( )22

0

cos 2 182 1

s

p

p tAs tp

ωπ

∞

=

+=

+∑

À l’analyseur de spectre, on obtient le graphe suivant : Le signal triangulaire est continu, il possède seulement deux discontinuités de pente par période. On observe une décroissance plus rapide du spectre en 1/n2 avec uniquement les harmoniques impairs. Le spectre d’un signal triangulaire contient moins d’harmoniques que le spectre d’un signal créneau, on dit que ce spectre est moins riche en harmoniques.

Signal triangulaire de fréquence 1 kHz

3 kHz

5 kHz Spectre du signal (coefficients cn)

1 kHz : le fondamental

u t( )

t0

A

-A

s(t)

2sT

−2

sT

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II.SYNTHÈSE DE FOURIER

II.1 Signal continu Soit s tFn ( ) la série de Fourier d’un signal périodique continu s t( ) , limitée à ses n premiers termes. Lorsque n tend vers l’infini, s tFn ( ) tend vers s t( ) . Lors de la synthèse d’un tel signal, la somme des premiers harmoniques s tFn ( ) suffit pour

le représenter de façon satisfaisante, comme on peut le voir sur les graphes ci-dessous où les signaux présentent, cependant, une discontinuité de pente.

Une bande passante limitée suffira généralement à la transmission d’un signal périodique continu. En effet, si un signal périodique ne présente que des discontinuités de pente, l’amplitude cn des raies de son spectre de fréquence décroît

rapidement (au moins en 12n

).

y=triangle(1000,0.5) y=triangle(1000,0.5) y1=harm(y,1,1) y1=harm(y,3,3)

y=triangle(1000,0.5) y=triangle(1000,0.5) y1=harm(y,1,3) y1=harm(y,1,21)

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L’équipe de recherche « Analyse-Synthèse » de l’IRCAM (Institut de Recherche et de Coordination Acoustique Musique) dirigé par Xavier Rodet présente des exemples de solo et de chœurs virtuels à cette adresse http://recherche.ircam.fr/equipes/analyse-synthese/Bastille-K/index.html et même l’air de la reine de la nuit de l’opéra « la flûte enchantée » de Mozart http://recherche.ircam.fr/equipes/analyse-synthese/peeters/PSOLA/AUDIO/reine.aiff et enfin quelques explications sur les machines à chanter

http://mediatheque.ircam.fr/articles/textes/Depalle95c/

II.2 Signal discontinu Soit un signal s t( ) présentant une discontinuité en t = t0. En un point de discontinuité, l’écart entre les graphes de s tFn ( )0 et de s t( )0 est irréductible, quel que soit le nombre n d’harmoniques considéré.

y=creneau(1000,0.5) y= creneau (1000,0.5) y1=harm(y,1,1) y1=harm(y,3,3)

y=creneau(1000,0.5) y= creneau (1000,0.5) y1=harm(y,1,3) y1=harm(y,1,21)

Cet effet, connu sous le nom de phénomène de Gibbs est illustré ci-dessous pour un signal carré et pour une rampe périodique. Le dépassement peut être important. On peut démontrer * qu’il est de 17,89 % pour ces signaux. Lorsqu’un signal périodique présente des discontinuités, l’amplitude cn des raies de son spectre de fréquence décroît

lentement (généralement en 1n

). Un signal discontinu exige une bande passante très large pour sa transmission.

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* Par exemple, la somme partielle des n premiers termes du signal créneau 2π-périodique unitaire est : 14 sin(2 1)( )

2 10

n p xs xn ppπ

− += ∑

+=.

Le maximum de Gibbs est situé au premier zéro de la dérivée de cette somme :

(2 1)1 14 4 2 sin(2 )' ( ) cos(2 1) 0sin( )0 0

e i p xn n nxs x p xn xp pπ π π+

− − = + = = =∑ ∑ = =

, soit pour 2nx

nπ

= .

On obtient alors : (2 1) (2 1)sin sin1 14 22 2( ) (2 1)2 10 0

2

n

p pn nn ns xn pp np p

n

π ππ

ππ π

+ +− −

= =∑ ∑ ++= = ; et

0

2 sin( ) d 1,1789797444...lim ( )n nn

x xx

s xπ

π→∞= =∫