3. Ondas sonoras

3-1

3. ONDAS SONORAS Algunas de las ondas discutidas en el capítulo anterior están dentro de la

categoría de ondas elásticas en las cuales la perturbación del medio, sea ésta una deformación, una presión ó un desplazamiento de un volumen, se propaga con una velocidad que depende de las propiedades elásticas del medio, Estas ondas elásticas son también llamadas ondas sonoras ó sonido. En lenguaje popular, el sonido está relacionado con la sensación auditiva. Siempre que una onda elástica que se propaga a través de un gas, líquido ó sólido alcanza nuestro oído, produce vibraciones en la membrana auditiva y el proceso se conoce como audición. Nuestra sistema nervioso produce sensación auditiva solo para frecuencias comprendidas entre 16-20.000 Hz. Fuera de estos límites, el sonido no es audible, aunque a las ondas elásticas correspondientes se les sigue llamando sonido. La física de las ondas elásticas de frecuencia por encima de 20 KHz se denomina ultrasónica. La ciencia que se ocupa de los métodos de generación, recepción y propagación del sonido se llama acústica. Utilizando el aparato físico-matemático desarrollado en capítulos anteriores para los fenómenos ondulatorios, nos centraremos en éste en el análisis de las ondas sonoras conceptuadas como ondas de presión en un gas.

3.1 Ondas sonoras

A continuación estudiaremos las ondas elásticas que se producen en un gas

debido a las variaciones de presión. El sonido es el ejemplo más importante de este tipo de ondas. Sean p0 y ρo la presión y la densidad del gas en condiciones de equilibrio, iguales en todo el volumen del mismo. Si la presión del gas se modifica, un volumen elemental Adx, figura 3.1, se pone en movimiento debido a una fuerza

neta no nula. En consecuencia la sección A se desplaza una distancia ξ, al coincidir el desplazamiento con la dirección de propagación tendremos ondas longitudinales, y A´ se desplaza ξ ́ de modo que el espesor del volumen elemental después de la deformación es dx+(ξ´-ξ)=dx+dξ de forma análoga al caso de las ondas elásticas en una barra. Sin

embargo, debido al cambio de volumen, la densidad del gas cambia porque éste es más compresible. La masa del volumen elemental en equilibrio es ρ0Adx y la masa del volumen perturbado es ρA(dx+ξ). El principio de conservación de la masa requiere que ambas masas sean iguales, es decir

AdxddxA 0)( ρξρ =+ [3.1]

y despejando ρ

Figura 3.1. Onda de presión en una columna de gas

3. Ondas sonoras

3-2

x∂∂

+=

ξρ

ρ1

0 [3.2]

Como en general x∂∂ξ es pequeño y utilizando el desarrollo en serie de

potencias queda

)1(0 x∂∂

−=ξ

ρρ [3.3]

La presión p está relacionada con la densidad ρ por la ecuación de estado

−+=

0

00 ρ

ρρκpp [3.4]

donde κ recibe el nombre de módulo de compresibilidad. Usando [3.3] para eliminar ρ-ρ0 tenemos

x

pp∂∂

−=ξ

κ0 [3.5]

ecuación que relaciona la presión en cualquier punto del gas con la deformación longitudinal en dicho punto. Necesitamos ahora la ecuación de movimiento del

volumen elemental; la masa es ρ0Adx y su aceleración 2

2

t∂∂ ξ . La fuerza neta

resultante es (p-p´)A=-Adp con lo que la ecuación del movimiento es

2

2

0 txp

∂∂

−=∂∂ ξ

ρ [3.6]

que junto a la ecuación [3.5] conducen a

2

2

02

2

xt ∂∂

=∂∂ ξ

ρκξ

[3.7]

con lo que el desplazamiento cumple la ecuación de ondas y la velocidad del desplazamiento producido por la perturbación de la presión del gas es igual a

0ρ

κ=v [3.8]

3. Ondas sonoras

3-3

De la teoría cinética de gases se deduce que MRTγ

ρκ =

0 donde γ es una

constante que depende del gas que para el aire toma un valor de 1.4, R es la constante universal de los gases R=8,314 J/mol.K y M es la masa molar del gas que para el aire vale M=29x10-3 kg/mol. Por tanto la velocidad de propagación de las ondas sonoras únicamente depende de la T absoluta según la ecuación

MRT

vγ

= [3.9]

Combinando las ecuaciones [3.5] y [3.6] podemos verificar que la presión p

del gas también verifica la ecuación de ondas

2

2

02

2

xp

tp

∂∂

=∂∂

ρκ

[3.10]

Esta es la razón por la cual a las ondas elásticas en un gas se les llama ondas de presión. El sonido es simplemente una onda de presión que a su vez consistente en una onda elástica longitudinal en un gas. La velocidad de propagación del sonido en el aire a 0 ºC es aproximadamente igual a 332 m/s.

Un razonamiento análogo al expuesto lleva a que la velocidad de las ondas sonoras en un líquido viene dada por la ecuación [3.11] donde Q es el módulo de compresibilidad del líquido y ρ0 su densidad. En el agua a 0ºC la velocidad de propagación es alrededor de 1500 m/s

0ρ

Qv = [3.11]

3.1.1 Ondas sonoras armónicas: Una posible solución de las ecuaciones [3.7] ó [3.10] es una onda sonora armónica generada por ejemplo por un diapasón ó por un altavoz que vibra con movimiento armónico simple. La fuente vibrante hace que las moléculas de aire próximas oscilen con MAS alrededor de sus posiciones de equilibrio. Estas moléculas chocan con otras próximas haciéndolas oscilar, y por tanto propagando la onda sonora. El desplazamiento de las moléculas de su posición de equilibrio viene dado por )(0 wtkxsen −= ξξ [3.12]

Estos desplazamientos se verifican a lo largo de la dirección de movimiento de la onda y dan lugar a variaciones de densidad y presión de aire, compresiones y enrarecimientos, tal y como se muestra en la figura 3.2. Los gráficos muestra como

3. Ondas sonoras

3-4

la presión está desfasada 90º respecto al desplazamiento; allá donde el desplazamiento es cero el cambio de densidad, y por tanto presión, es un máximo ó un mínimo. La onda de presión viene dada, a partir de [3.5] y [3.12], por

)2(0πω −−∆=∆ tkxsenpp [3.13]

donde ∆p representa el cambio de presión y ∆p0 es el valor máximo de este cambio. A partir de las ecuaciones anteriores puede deducirse que el máximo cambio de presión ∆p0, está relacionada con la máxima amplitud de desplazamiento ξo por la ecuación

0000 ξωρκξ vkp ==∆ [3.14]

En el lenguaje popular el sonido está relacionado con la sensación auditiva. Siempre que una onda elástica que se propaga a través de un gas, un líquido ó un sólido alcance nuestro oído, produce vibraciones en la membrana auditiva;

estas vibraciones provocan una reacción del nervio auditivo y el proceso se conoce como audición. Nuestro sistema auditivo produce sensación solo para frecuencias comprendidas entre 16 Hz y 20.000 Hz recibiendo el nombre de ultrasonidos por encima de esta frecuencia. 3.2 Intensidad de las ondas sonoras En el capítulo 2 vimos como expresar la densidad de energía del movimiento ondulatorio en función de la amplitud del desplazamiento, ecuación [2.23]. Particularizando para ondas sonoras obtenemos que

0

2

20

2 ρvp

u∆

= [3.15]

y por tanto la intensidad de la onda sonora, que es igual a la densidad de energía multiplicada por la velocidad, será igual a

Figura 3.2. Onda sonora armónica mostrando: a) desplazamiento de las moléculas de aire respecto al equilibrio, b) y c) posiciones de moléculas antes y con la onda sonora, d) densidad del aire y e) cambio de presión proporcional a la densidad

3. Ondas sonoras

3-5

0

20

2 ρvp

I∆

= [3.16]

Recuerdese que por definición, la intensidad es la energía que atraviesa por segundo la unidad de superficie colocada de forma normal a la dirección de propagación y es medida en Wm-2. El producto densidad ρ0 por velocidad de propagación v recibe el nombre de impedancia ó resistencia acústica Z, midiéndose en ohmios acústicos vZ 0ρ= [3.17]

de tal forma que la ecuación [3.14] queda igual a

Zp

ωξ 0

0∆

= [3.18]

Evidentemente y según [3.17] la impedancia acústica depende del medio y así, por ejemplo es del orden de 4000 veces mayor en el agua que en el aire. Para una misma excitación ∆p0 recibida, al aumentar Z, la amplitud del desplazamiento ξ0 se hace menor. 3.2.1 Intensidad de ondas esféricas en un fluido. Consideremos una onda de presión en un fluido homogéneo e isótropo. Observemos como mientras la onda

esférica se propaga, figura 3.3, el frente de ondas se extiende continuamente creciendo con r2. Esto sugiere que la amplitud de la onda de presión debe disminuir a medida que la distancia a la fuente aumenta, ya que actúa sobre un área mayor. Este resultado está confirmado experimental y teóricamente y arroja, si el fluido es isótropo, para la

onda de presión la ecuación

)(1

0 vtrfr

pp −=− [3.19]

donde aparece el factor geométrico r

1 , que no aparecía en una onda plana, y que

explica que la presión disminuye con la distancia a la fuente. La velocidad de propagación viene dada por la misma expresión obtenida para las ondas planas. Un caso particularmente interesante es el de una onda armónica esférica de presión expresada por

Figura 3.3. Onda de presión esférica

3. Ondas sonoras

3-6

)(0 tkrsenrp

p ω−∆

=∆ [3.20]

La amplitud de la onda de presión es rp0∆ y disminuye con la distancia a la

fuente. Considerando este hecho calculemos la intensidad de la onda esférica. A partir de la ecuación [3.15] la densidad de energía viene dada por

2

02

20

2

20

20

221

rvp

ru

ρξωρ ∆

== [3.21]

que disminuye con r2. Este resultado es compatible con la conservación de la energía ya que si la energía que fluye a través de cada superficie esférica debe ser la misma, y el área de la esfera varía con r2, esto implica que la densidad de energía debe variar con r-2. La intensidad de una onda esférica, promedio de energía que atraviesa la unidad de área en la unidad de tiempo, es igual a

22

0

20

42 rP

rvp

vuIπρ

=∆

== [3.22]

con vpP

0

202

ρπ∆= potencia media del foco igual a la energía emitida por el foco

sonoro por segundo y en todas las direcciones. Es decir, en una onda esférica la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente, resultado que encuentra muchas aplicaciones tanto en acústica como en óptica. 3.2.2 Absorción de ondas sonoras. Otros factores que motivan la disminución de la intensidad de las ondas sonoras al propagarse por un medio son la disipación de energía en forma de calor debido a la viscosidad del medio, ó la perdida de energía por difusión al aparecer fenómenos de reflexión de ondas en partículas en suspensión en el medio tales como nieve ó lluvia en el aire. Todos estos fenómenos provocan una atenuación de la intensidad de la onda según la ecuación )exp(0 xII α−= [3.23]

donde α recibe el nombre de coeficiente de absorción. Para medios con un coeficiente de viscosidad η, el coeficiente de absorción α depende de la frecuencia f de la onda sonora de la forma

3

22

316

vf

ρηπ

α = [3.24]

3. Ondas sonoras

3-7

3.3 Ondas sonoras estacionarias

Un tubo de organo es un ejemplo familiar de ondas estacionarias en columnas de aire donde al soplar a través de la boquilla se producen, para ciertas frecuencias naturales de resonancia, ondas sonoras estacionarias debido a la reflexión en el otro extremo.

En un tubo de organo abierto, la presión en ambos extremos es igual a la

presión atmosférica y no varía. Por tanto, existe un nodo de presión en los dos extremos del tubo que como vimos en el capítulo 2 corresponde a un antinodo de desplazamiento, como se muestra en la figura 3.4.a, al estar ambas ondas desplazadas 90º. Nuestras condiciones de contorno correspondientes a antinodos

son ξ=máximo ó 0=∂∂

xξ para x=0 y x=L.

Introduciendo estas condiciones en la ecuación de ondas general de una

onda armónica estacionaria senwtkxBAsenkxtx )cos(),( +=ξ queda

senwtBsenkxkxAkx

)cos( −=∂∂ξ

[3.25]

Haciendo x=0 y x=L

0)0( ===∂∂

tkAsenxx

ωξ

∀t, implica que A=0

0)( =−==∂∂

wtkBsenkLsenLxxξ

∀t, implica kL=nπ

y por tanto llegamos a

nL2

=λ [3.26]

y las frecuencias de las ondas estacionarias

,...3,2,2 111 fff

Ln

vf n =

==

νλ

[3.27]

y por tanto las frecuencias posibles comprenden todos los armónicos correspondientes al tono fundamental de frecuencia L

vf 21 = . En la figura 3.4.a se

muestran en líneas de trazos la distribución de amplitud para los tres primeros armónicos.

3. Ondas sonoras

3-8

Analicemos ahora el caso de un tubo de organo con el extremo opuesto al de la boquilla cerrado, figura 3.4.b. Ahora en el extremo cerrado debemos tener un nodo en el desplazamiento, ξ=0 para x=L. Aplicando estas condiciones de contorno obtenemos 0cos),( == kLsenwtBtLξ ∀t, y esto implica coskL=0, es decir

2

)12(π

+= nkL (pasando a longitud de onda) 12

4+

=n

Lλ [3.28]

con la frecuencia correspondiente

,....5,3,4

)12( 111 fffLv

nf =+= [3.29]

Los modos de vibración son ahora los armónicos impares de fundamental

Lvf 41 = . Por tanto, para longitudes iguales, la frecuencia fundamental de un tubo

cerrado es la mitad de la de un tubo abierto.

(a) (b)

Figura 3.4.a) Onda de desplazamiento estacionaria en una columna de aire abierta en uno de sus

extremos. b) Onda de desplazamiento estacionaria en una columna de aire cerrada

3. Ondas sonoras

3-9

En general, los instrumentos musicales son mucho más complicados que un simple tubo. Esto provoca que, cuando por ejemplo un oboe y un clarinete tocan la misma nota, por ejemplo Sol, suenen de forma muy diferente. Ambas notas tienen el mismo tono, que es una sensación fisiológica de la altura de la nota, muy correlacionada con su frecuencia. Sin embargo, las notas difieren en lo que se denomina cualidad del tono ó timbre. La razón fundamental para la diferencia del timbre es que, aunque el oboe y el clarinete están produciendo vibraciones con la misma frecuencia fundamental, cada uno de ellos está también produciendo armónicos cuyas intensidades relativas dependen del instrumento y de la forma en que se toque. En la figura 3.5 se muestran

los gráficos de las variaciones de presión en función del tiempo para un diapasón, un clarinete y un oboe que tocan la misma nota. La forma de onda para un diapasón es prácticamente una onda sinusoidal pura, lo cual no ocurre para los instrumentos. Las formas de onda pueden analizarse descomponiéndolas en los armónicos. Dicho análisis recibe el nombre de análisis armónico ó de Fourier. La figura 3.6 muestra una representación de las intensidades relativas de los armónicos de las formas de onda de la figura 3.5.

Figura 3.6. Intensidades relativas de los armónicos de las formas de onda de la figura anterior

Figura 3.5. Ondas de presión para un diapasón,

clarinete y oboe, todos con la misma frecuencia

fundamental, 440 Hz, y la misma intensidad

aproximada

3. Ondas sonoras

3-10

3.3.1 Ondas sonoras estacionarias en una caja. Analicemos ahora el caso de una onda sonora confinada en una caja rectangular de dimensiones Lx, Ly y Lz. Sabemos que la presión del aire dentro de la caja debe cumplir la ecuación de ondas

),(),( 22

2

2

trpvt

trp rr∇=

∂∂

[3.30]

y que las condiciones de contorno impuestas por el problema obligan a que el desplazamientos en las paredes de la caja sean cero, es decir, dado el desfase de π/2 entre desplazamiento y presión, los cambios de presión en las paredes deben ser máximos

00

=∂∂

==

Lxxxx

p 0

0=

∂∂

==

Lyyyy

p 0

0=

∂∂

==

Lzzzz

p [3.31]

Con estas condiciones de contorno, la solución a la ecuación de ondas en forma de onda sonora armónica estacionaria toma la forma

= − z

Ln

yL

nx

Ln

Aetrpz

z

y

y

x

xti πππω coscoscos),(r

[3.32]

con nx, ny y nz números enteros y donde las componentes del vector de ondas k

r son

=

z

z

y

y

x

x

Ln

L

n

Ln

kπππ

,,r

[3.33]

Utilizando la relación que liga frecuencia con vector de ondas, ω=vk, llegamos a que las frecuentas f permitidas dentro de la caja son aquella que cumplen la ecuación

222

2),,(

+

+

=

z

z

y

y

x

xzyx L

nL

n

Lnv

nnnf [3.34]

De nuevo llegamos a una ecuación que muestra que son solo posibles ciertas

frecuencias de oscilación de las ondas sonoras dentro de la caja, denominadas frecuencias naturales de oscilación, y que dependen básicamente de las dimensiones de la caja y que están caracterizadas por tres números enteros (nx , ny , nz). También se observa como estas frecuencias permitidas no son múltiplos unas

3. Ondas sonoras

3-11

de otras. El hecho de que las frecuencias naturales están relacionadas armónicamente no es cierta en tres dimensiones.

Las condiciones de contorno dadas por [3.31] consideran que la caja es

perfectamente rígida, hecho que no se cumple en las cavidades reales donde es posible un cierto desplazamiento de las partículas de la pared respecto a su posición de equilibrio y caracterizado por un término de amortiguamiento. Este hecho conlleva un cierto relajamiento en las posibles frecuencias dentro de la caja que a continuación pasamos a estimar. Consideremos la existencia en la caja de una fuerza externa F0cosωt que provoca ondas sonoras armónicas, por ejemplo un altavoz, y que las paredes no son perfectamente rígidas existiendo un témino de disipación de energía. Si las paredes fuesen perfectamente rígidas, solo cuando la frecuencia de la fuerza externa coincidiese con una de las frecuencia naturales de la caja tendríamos resonancia y la onda sonora podría propagarse. Sin embargo, en las paredes de la caja y debido a esta fuerza externa, la presión responderá a un movimiento oscilatorio armónico con un término de amortiguamiento dado por la ecuación diferencial.

)cos(0202

2

wtFpdtdp

bdt

pdm =++ ω [3.35]

Este problema ya lo hemos tratado en el capítulo 1 y sabemos que en este

caso tenemos una oscilación armónica forzada amortiguada con una solución en el estado estacionario dada por

[ ])(

4)()(

21

22220

2

0

βωγωω

++−

= wtsenmF

tp [3.36]

Cada vez que el altavoz emita con una frecuencia ω coincidente con una de

las frecuencias naturales ω0 tendremos resonancia en la caja y el sonido se propagará. Por otro lado, y dada la no rigidez de las paredes, en un intervalo alrededor de la frecuencia de resonancia es posible la existencia de ondas sonoras con una amplitud que decae según nos alejamos de la resonancia. Este intervalo viene caracterizado por la anchura ∆ω a mitad del pico de resonancia, situado en ω0 , y cumpliéndose que

γω

ωω

2

0

=∆

=∆

Q

[3.37]

3. Ondas sonoras

3-12

3.4 Propagación del sonido Las ondas sonoras pueden reflejarse y refractarse siguiendo las leyes generales que ya vimos en el capítulo anterior y dando lugar a fenómenos curiosos al propagarse en la atmósfera debidos al hecho de que el aire no está en reposo, ni su temperatura es constante. En otras palabras, el aire no puede considerarse un medio homogeneo. Todos estos fenómenos se explican teniendo en cuenta la ley de la refracción que pone de manifiesto que los rayos sonoros se curvan siempre hacia el medio en que es menor la velocidad de propagación.

Fijemos la atención primeramente en lo que sucede cuando una onda sonora marcha a favor ó en contra del viento. Cabe pensar en un simple arrastre de las ondas sonoras por el viento, pero generalmente el efecto sobre el alcance del sonido es mucho más considerable de lo que el arrastre puede justificar. Ello se debe a que la velocidad del viento, en general, aumenta con la altura, y por consiguiente, si la onda avanza a favor de viento, figura 3.7.a, resulta que el rayo sonoro, normal a las superficies de onda esféricas, se curva hacia abajo adquiriendo una trayectoria descendente y aumentando su alcance. Un efecto contrario ocurre cuando la onda sonora va contra el viento, figura 3.7.b.

Por otro lado, hemos demostrado que la velocidad de la onda sonora aumenta

proporcionalmente a la raiz cuadrada de la temperatura. Por lo tanto, en la atmósfera donde, en general, la temperatura va disminuyendo con la altura ocurrira lo mismo con la velocidad de propagación del sonido y los rayos sonoros se desviarán ordinariamente hacia capas altas, figura 3.7.c. Los rayos sonoros ascendentes pueden encontrar inversiones térmicas, figura 3.7.d, en cuyo caso invierten su curvatura siendo devueltos hacia el suelo y justificando la existencia de amplias zonas de silencio entre el foco y el observador.

Figura 3.7. Refracción de una onda sonora propagándose en la atmósfera en diferentes situaciones:

a) y b) a favor y en contra del viento, c) y d) con diferentes situaciones térmicas

3. Ondas sonoras

3-13

Al incidir la onda sonora sobre la superficie de limitación de dos medios vimos en el capítulo anterior como parte de la onda será reflejada y parte transmitida. El conocido fenómeno del eco es fácilmente explicado aplicando la reflexión de las ondas sonoras en las superficies de separación de medios. Debe tenerse en cuenta que el oido no separa sonidos recibidos con intervalos inferiores a 0,1 segundo, de modo que la mínima distancia a que debe estar colocado un obstáculo para dar lugar a la percepción del eco es 1,0.3332 =≈ vtl y ml 17≈ .

En cuanto a la energía transmitida de la onda sonora, y siguiendo el

razonamiento descrito en el apartado 2.9, los coeficientes de tranmisión y reflexión al incidir la onda sobre la superficie de separación de dos medios de impedancia acústica Z1 y Z2 vienen dados, para incidencia normal, por las ecuaciones

21

21

21

12

ZZZZZZ

Z

+−

=

+=

R

T [3.38]

Debe recordarse que estos coeficientes relacionaban la amplitud incidente

con la transmitida y la reflejada. Generalmente estamos más interesados en analizar las intensidades transmitidas y reflejadas que las amplitudes. Esto lleva a la definición de los factores de transmisión t, razón de la intensidad transmitida e incidente y reflexión r, razón de la intensidad reflejada e incidente, como

i

r

i

t

IIII

=

=

r

t [3.39]

Recordando que la intensidad se relaciona con la densidad de energía y

amplitud según 20

2

21 ξρω vuvI == podemos escribir los factores de transmisión t y

reflexión r en función de las impedancias acústicas de los medios Z1 y Z2 como

2

2

)1(4

1

)1(4

ss

ss

+−=

+=

r

t

[3.40]

donde s es la razón de impedancias 1

2Z

Zs = . Por tanto si s es casí igual a la unidad

(Z2≈Z1), la energía incidente pasa casi integramente al segundo medio, mientras que

3. Ondas sonoras

3-14

si s es muy grande (Z2>>Z1) ó muy pequeño (Z2<<Z1) casi toda la intensidad será reflejada en la superficie de separación y devuelta al medio incidente. Así, por ejemplo, cuando una onda sonora procedente del aire, Z1=420 ohmios acústicos, penetra en el agua, Z2=16x105 ohmios acústicos, s=3880 y el factor de transmisión t=0,001. Únicamente la milésima parte de la energía sonora incidente procedente del aire penetrará en el agua y el 99,9% será reflejada.

3.5 Pulsaciones ó batidos

Consideremos la interferencia entre dos ondas sonoras armónicas con igual amplitud de presión p0 y de frecuencia ligeramente distintas ω1 y ω2. En un punto del espacio, por ejemplo nuestro oído, a igual distancia de las fuentes, la onda resultante vendrá dada por tsenptsenpp 2010 ωω ∆+∆=∆ [3.41]

e introduciendo la frecuencia media 2

21 ωωω

+=m y la diferencia de frecuencias

21 ωωω −=∆ , y utilizando identidades trigonométricas llegamos a

tsentpp mωω )21

cos(2 0 ∆∆=∆ [3.42]

y su representación gráfica se muestra en la figura 3.8. El oído percibe una frecuencia angular media ωm con una amplitud que oscila con frecuencia

ω∆21 dando lugar a unos batidos ó

pulsaciones en el sonido. Puesto que la intensidad del sonido es proporcional al cuadrado de la amplitud, el sonido será fuerte siempre que haya amplitud máxima ó mínima con lo que la frecuencia angular del batido ó pulsación será ∆ω y la frecuencia del mismo

∆f=∆ω/(2π). El oido puede detectar hasta 15-20 batidos por segundo; por encima de estas frecuencias las fluctuaciones de la intensidad son demasiado rápidas para ser detectadas por el oido humano. El fenómeno descrito se utiliza a menudo para comparar una frecuencia desconocida con otra conocida, como cuando se utiliza un diapasón para afinar la cuerda de un piano. Los pianos se afinan haciendo sonar al mismo tiempo el diapasón y la nota del piano y actuando sobre la cuerda hasta que las pulsaciones desaparecen, momento en el que la diferencia en frecuencia de los dos generadores de sonido es muy pequeña.

Figura 3.8. Pulsaciones generadas por la interferencia de dos ondas sonoras de frecuencias cercanas

3. Ondas sonoras

3-15

3.6 El efecto Doppler Cuando la fuente de ondas y el observador están en movimiento relativo con respecto al medio material en el cual la onda de propaga, la frecuencia de las ondas observadas es diferente de la frecuencia de las ondas emitidas por la fuente. Este fenómeno se constata fácilmente en ondas sonoras, caso de la sirena de un coche ó del silbato de un tren pasando cerca de un observador.

Supongamos que tenemos una fuente de ondas moviéndose hacia la derecha con velocidad vs a través de un medio en reposo tal y como se esquematiza en la figura 3.9. Estudiando la fuente en varias posiciones 1, 2 ,3, 4, …, notamos que después de un tiempo t, contado a partir de que la fuente estaba en la posición 1, las ondas emitidas en las varias posiciones ocupan las esferas 1, 2, 3, 4, …, las cuales no son concéntricas. La separación entre las ondas es menor del lado en el cual el cuerpo se está moviendo y mayor del lado opuesto. Para un observador en reposo a cualquier lado, esto corresponde respectivamente a una menor y a una mayor longitud de onda efectiva o a una mayor y una menor frecuencia. Si además el observador está en movimiento con velocidad vo, las ondas lo alcanzarán con diferente velocidad observando una longitud de onda aún menor si se acerca por la derecha ya que va al encuentro de las ondas.

Figura 3.9.a) Fuente de ondas sonoras en movimiento respecto al medio. b) Efecto Doppler en la

superficie de un líquido

Para obtener la relación entre la frecuencia f de las ondas producidas por la

fuente y la frecuencia f´ registrada por el observador hagamos el siguiente razonamiento basado en la figura 3.10 en donde fuente y observador se desplazan sobre la misma recta. Supongamos que en el instante t=0, cuando la distancia entre fuente y observador es l, la fuente

Figura 3.10. Efecto Doppler con fuente y observador en movimiento relativo

3. Ondas sonoras

3-16

emite una onda que llega al observador en un tiempo t; durante ese tiempo el observador ha recorrido la distancia vot y la distancia total recorrida por la onda en el tiempo t es l+vot; si v es la velocidad de propagación de la onda en el medio, está distancia es también vt con lo que

o

o

vvlt

tvlvt

−=

+= [3.43]

En t=τ la fuente está en A´y la onda emitida en aquel instante alcanzará al observador en el tiempo t´medido desde el mismo origen de tiempos que el primero. La distancia total recorrida por la onda desde el tiempo en que fue emitida en A´hasta que fue captada por el observador es (l-vsτ)+vot´. El tiempo real de viaje de la onda es t´-τ y la distancia recorrida es v(t´-τ) con lo que

o

s

os

vvvvl

t

tvvltv

−−+

=

+−=−τττ

)(´

´)´( [3.44]

El intervalo de tiempo registrado por el observador entre las ondas emitidas por la fuente en A y en A´es

ττo

s

vvvv

tt−−

=−= ´´ [3.45]

Ahora bien, si f es la frecuencia de la fuente, el número de ondas emitido por ella en el tiempo τ es fτ. Estas ondas las recibe el observador en el tiempo τ´ y por tanto la frecuencia que el observa es

s

o

vvvv

fff−−

==´

´ττ

[3.46]

relación que liga la frecuencia f de la fuente y la f´medida por el observador cuando ambos se están moviendo según la dirección de propagación.

Cabe puntualizar los signos de las velocidades en la ecuación [3.46] remarcando entonces que cuando el emisor se acerca al receptor vs es negativa y si el emisor se aleja del receptor vs estará con signo positivo. En cuanto a la velocidad del receptor, si este se aleja del emisor v0 estará con signo negativo y si se acerca al receptor v0 será de signo positivo en la ecuación.

3. Ondas sonoras

3-17

3.6.1 Onda de Match. Un caso especial se presenta cuando el observador está en reposo pero la fuente se mueve con una velocidad mayor que la velocidad de propagación en el medio v. Entonces, en un tiempo dado la fuente avanza más rápido que el frente de ondas; por ejemplo, si en un tiempo t la fuente se mueve desde A hasta B, tal y como se indica en la figura 3.11, su onda emitida en A ha viajado hasta A´. La superficie tangente a todas las sucesivas ondas es un cono cuyo eje es la recta sobre la que se mueve la fuente y cuya apertura, ángulo de Match, está dada por

sv

vsen =α [3.47]

El movimiento ondulatorio resultante es entonces una onda cónica que se propaga como se indica en la figura 3.11, denominada onda de Mach ú onda de choque, y transporta una gran cantidad de energía, grandes variaciones de presión, concentrada en la superficie del cono.

Figura 3.11. Onda cónica ó de Match causada cuando la velocidad de la fuente es mayor que la

velocidad de propagación de la onda

Para ver más claramente como en dos dimensiones el lugar geométrico de las

ondas circulares para vs>v actúa como un frente de ondas recto concentrado, consideremos los instantes de llegada de las ondas circulares sucesivas a un punto P alejado de la fuente móvil. Supongamos que una onda parte de S0, figura 3.12,

3. Ondas sonoras

3-18

cuando t=0 y que sucesivas ondas parten de Sn para t=nT. Los tiempos de llegada de estas ondas a P vienen dados por

vr

nTt

vr

t

nn +=

= 00

[3.48]

Luego

vrr

nTtt nn

−−=− 0

0 [3.49]

Dado que la fuente está alejada del observador asumimos que el ángulo S0PSn es muy pequeño y podemos hacer r0-rn ≈ xncosθ = nTvscosθ. Con esta aproximación

−=−

vv

nTtt sn

θcos10 [3.50]

Evidentemente si vs<v, tn es siempre mayor

que t0, es decir las ondas llegan en el mismo orden en que se emitieron. Pero si vs>v, la secuencia de tiempos depende de θ. En particular existe un valor de θ para el que todos los frentes de onda llegan a P en el mismo instante. Llamando a este ángulo θ0 tenemos

sv

v=0cosθ [3.51]

Este valor de ángulo θ es el complementario del ángulo de Match α y define la dirección perpendicular al frente de ondas recto a lo largo de la cual viaja esta región de concentración de los elementos de las ondas circulares

En estos términos puede entenderse la onda de choque responsable del sonido repentino y violento que escuchamos cuando un avión supersónico pasa cerca de nosotros, denominada estampido sónico. Supongamos que un avión se está moviendo a una velocidad mayor que la del sonido y tenemos a un observador en el punto P, figura 3.13. Trazamos una línea desde P formando un ángulo θo con la dirección de movimiento del avión que intersectará a la misma en S0. Un tiempo r0/v después de que el avión pase por S0, P recibirá repentinamente la acumulación de los elementos de onda que han sido generados por el avión en una distancia corta

S0 Sn

vs

P

r0

rn

xn

θ

Figura 3.12 Ondas que llegan a un

punto distante P procedentes de un

foco que se mueve de S0 a Sn

3. Ondas sonoras

3-19

desde S0 en adelante pero que alcanzan a P simultáneamente. En este instante el avión ha recorrido una distancia vsr0/v más allá de S0. Posteriormente a que la acumulación de ondas sonoras pasa por P, existirá una llegada continua de ondas normales que pueden ser demasiado débiles para apreciarse. Estas ondas también se observan en la estela que dejan los botes que se mueven con mayor velocidad que la de las ondas superficiales sobre el agua como se aprecia en la figura 3.14.

S0 S´

P

vs

r0

θ0

θ0

α

α

Figura 3.13. En la dirección θ0 se acumulan ondas procedentes del foco S en el punto de observación

P

Figura 3.14. Ondas en una cubeta experimental

producidas por un foco que se mueve a mayor

velocidad que la de la propagación de las ondas

en el agua. La envolvente de los frentes de onda

forma un cono con el foco en su vértice

3. Ondas sonoras

3-20

Problemas

1. A una frecuencia de 400 Hz, el sonido más débil que se puede escuchar corresponde a una amplitud de presión de 8x10-5 Nm-2. Encontrar la correspondiente amplitud de desplazamiento. (Densidad del aire=1,29 kg/m3). Graficar con estos valores las correspondientes ondas de desplazamiento y presión.

2. Una onda sonora plana que se propaga en el aire a 20º C viene dada por la expresión )100016,9(10 6 txsen πξ −= − . Calcular la velocidad de transmisión del sonido, la impedancia acústica del medio, la onda de presión asociada y la intensidad de la onda sonora.

3. El diafragma de un altavoz de 30 cm de diámetro vibra con una frecuencia de 1 kHz y una amplitud de 0,020 mm. Suponiendo que las moléculas de aire próximas al diafragma tienen ésta misma amplitud de vibración, determinar la amplitud de presión justo enfrente del diafragma, la intensidad sonora en esta posición y la potencia acústica irradiada. Si el sonido se irradia uniformemente en la semiesfera anterior, determinar la intensidad a 5 m del altavoz

4. Un alfiler de 0,1 g de masa cae desde una altura de 1m. Asumiendo que el 0,05 % de su energía se convierte en un pulso sonoro de duración 0,1 s estimar cual es la distancia máxima en la que puede oirse la caida del alfiler. Tomar como intensidad sonora mínima audible 10-8 W/m2.

5. Determinar que longitud debería tener el tubo más corto y el más largo de un órgano capaz de generar todo el rango de sonidos audibles suponiendo que los tubos estuvieran abiertos por un extremo.

6. Dos altavoces enfrentados entre si a una distancia de 90 cm están accionados por un oscilador común de audio a 680 Hz. Localizar los puntos entre los altavoces a lo largo de la línea que los une para los cuales la intensidad del sonido es máxima y mínima.

7. Una fuente sonora está situada en el punto A de coordenadas (0,0) y otra en B (0, 2,4 m) y ambas emiten a igual frecuencia y en fase. Un observador situado en P (40,0) nota que al caminar a lo largo del eje y y cualquiera que sea el sentido que tome, la intensidad del sonido disminuye. ¿Cúal es la frecuencia mínima y máxima de emisión que justifica este hecho?

8. Cuando se golpea un diapasón de 440 Hz al mismo tiempo que se pulsa la cuerda de una guitarra que debe dar la nota Sol, se escuchan 3 pulsaciones por segundo. Después de que la cuerda de la guitarra se tensa un poco más para aumentar su frecuencia, las pulsaciones aumentan a 6 por segundo. ¿Cuál es la frecuencia de la cuerda de la guitarra con la tensión final?

9. Demostrar las ecuaciones 3.28 y 3.30 para los coeficientes y factores de transmisión y reflexión en ondas sonoras. Tener en cuenta que en la superficie de separación de los dos medios debe haber continuidad en la presión.

3. Ondas sonoras

3-21

10. La frecuencia de la bocina de un coche parado es 400 Hz. Determinar la frecuencia y longitud de onda observada por un receptor estacionario si el coche se mueve con una velocidad de 122 km/h.

11. La relación entre la frecuencia de una nota y la frecuencia del semitono por encima de ella en la escala diatónica es 15:16. ¿Qúe velocidad tiene un coche si su bocina disminuye en un semitono al pasar frente a un observador parado?

12. Dos alumnos con diapasones vibrantes de 440 Hz pasean alejándose uno del otro con la misma velocidad. ¿Con qué rapidez deberán andar para oír una frecuencia de batido de 2 Hz, consecuencia de la superposición de las ondas de los dos diapasones?.

13. Un alumno se mueve a lo largo de un pasillo llevando un diapasón que vibra a 512 Hz. El sonido se refleja en la pared del pasillo enfrente del alumno, de manera que éste oye 4 batidos por segundo. ¿Con qué velocidad se está moviendo el alumno?

14. En un tiempo t=0, un avión supersónico se encuentra sobre un punto P volando hacia el este a una altura de 15 km. El estampido sónico se oye en el punto P cuando el avión está a 22 km al este de dicho punto. ¿Cuál es la velocidad del avión supersónico?

15. Un radar emite microondas con una frecuencia de 2 GHz. Cuando las ondas son reflejadas por un coche en movimiento, la frecuencia del paquete de ondas debido a la superposición de la onda que emite el radar y la reflejada por el coche es de 293 pulsaciones por segundo. Calcule la velocidad del coche.

16. Una sonda de efecto Doppler emite ondas sonoras con una frecuencia de 2 MHz que se tranmiten con una velocidad en el cuerpo humano de 1540 m/s. Sabiendo que la densidad de la sangre es 1.16 veces la de la grasa, calcular que porcentaje de la intensidad de la onda se refleja en una superficie entre grasa y sangre. Si la sangre se aleja con una velocidad radial de 0,1 m/s, ¿qué cambio en la frecuencia se medirá?