Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnticas

Ondas Electromagnticas

Electricidad, Magnetismo y luz

Una primera consecuencia fundamentalde la corriente de desplazamiento es quelos campos elctricos y magnticos soncapaces de propagarse en forma de onda,cuya velocidad en el vaco fue calculadapor Maxwell, c =

1

00 . Cuando Maxwell

reemplaz los valores de la permitividad y lapermeabilidad del vaco, conocidos usandoexperimentos con bobinas y condensadores,obtuvo que c 3 108m

s. La velocidad

de la luz en el vaco!

Basado en esto, Maxwell propuso que la luzes una onda electromagntica.

Figura 1. James Clerk Maxwell

Generacin de Ondas Electromagnticas

Las ecuaciones de Maxwell muestran que se genera una onda electromagntica cuando cargaselctricas son aceleradas. Si las cargas elctricas se mueven con velocidad constante no segenera una onda, an cuando existe un campo elctrico y un campo magntico.

Para que haya una onda electromagntica debe haber flujo de energa a travs de lasuperficie de radio infinito.

El espectro electromagntico

Atendiendo a su longitud de onda, la radiacin electromagntica recibe diferentes nombres, yvara desde los energticos rayos gamma (con una longitud de onda del orden de picmetros)hasta las ondas de radio (longitudes de onda del orden de kilmetros), pasando por el espectrovisible (cuya longitud de onda est en el rango de las dcimas de micrmetro). El rangocompleto de longitudes de onda es lo que se denomina el espectro electromagntico.

Figura 2.

Figura 3. Espectro electromagntico

Flujo de energa

Sabemos (potencial 16) que la densidad de energa debida a los campos elctricos ymagnticos es:

uE=02E~

2(x~ ) uB=

B~2

20

Las ecuaciones de Maxwell muestran que hay un flujo de energa. En efecto, consideremosun volumen V rodeado por una superficie cerrada S. La variacin temporal de la energaelectromagntica en V es:

V

d3x

(0E~ .

E~

t+

1

0B~ .

B~

t

)=

V

d3x

(1

0E~ .(~ B~ ) 1

0B~ .(~ E~ ))=

10

V

d3x~ (E~ B~ )= 10

S

d S~ .(E~ B~ )

Vector de Pointing S~ . Mide el flujo de energa electromagntica a travs de la superficie S.

S~ =1

0E~ B~

(E B)i,i= ijk(EjBk),i= ijk(Ej,iBk+EjBk,i)=(~ E~ ).B~ (~ B~ ).E~

Ondas Electromagnticas planas

Figura 4. Frente de onda de una onda plana. La flecha indica la direccin de k~ .

Matemticamente, una onda plana es una solucin de la ecuacin de onda de la siguienteforma:

u(x~ , t)=aei(k~ x~ t)

dnde i es la unidad imaginaria, k~ es el vector de onda, es la frecuencia angular y a es laamplitud compleja. La solucin fsica es usualmente encontrada tomando la parte real de laexpresin. La onda se propaga en la direccin de k~ .

Sea

E~ =E~0ei(k~ x~ t) B~ =B~0e

i(k~ x~ t)

~ E~ =0 k~ .E~0=0 (1)~ B~ =0 k~ .B~0=0 (2)

~ E~ + B~t

=0~ k~ E~0B~0=0~ (3)

~ B~ 00E~

t=0~ k~ B~0+00E~0=0~ (4)

Ecuaciones (1,2) dicen que E~0,B~0 son perpendiculares a k~ . La onda es transversal.

Ecuacin (3) es:

B~0=1

k~ E~0 (5)

Esto es E~0B~0.Reemplacemos (5) en (4):

k~ (1

k~ E~0

)+00E~0=0~ k

~ 2

E~0+00E~0=0~

k=

1

00 = c (6)

Ecuacin (6) es la velocidad de la onda electromagntica.

ax(bxc)= a.cb a.bc

ijk(E0)k,j= ijkE0k,j=(E0)i

El vector de Poynting promediado en unciclo es:

=1

20Re(E0B0)=

120c

|E0|2

Figura 5.

Una estacin de radio rada una ondasinuodal con potencia promedio de 50 kW.Suponiendo que la estacin emite con lamisma potencia en todas direcciones(pocorealista). Encontrar Emax, Bmax detectadaa 100km de la antena.

La potencia por unidad de rea en el

hemisferio esP

2R2. Esto coincide con el

vector de Poynting:1

20c|E0|2= P2R2 . E0=

P0c

R2

=

5 104 4 107 3 1081010

= 2

1, 5 102 = 2.45 102V /m; B0 =E0

c=

2.45 1023 108 = 8.17 1011T

Flujo del Campo Magntico y Presin de Radiacin

As como hay densidad y flujo de energa del campo electromagntico, usando las ecuacionesde Maxwell, se puede mostrar que el campo elctromagntico tiene una densidad de momentumlineal y flujo de momentum lineal:

dp

dV=

EB

0c2=

S

c2

p es el momentum. El flujo de momentum por unidad de rea es:

1

A

dp

dt=S

c=EB

0c

Este flujo de momentum es la razn de la Presin de Radiacin.

Figura 6. Al centro de este gas interestelar hay un

grupo de estrellas que ejerce una fuerte presin de

radiacin sobre el gas. Durante los ltimos millones

de aos, la presin de radiacin cre esta burbuja de

dimetro 70 aos-luz.

Cuando luz incide sobre una superficie yes absorbida totalmente , su momentum setransfiere a la superficie. La presin ejercidasobre la superficie, es la fuerza por unidad derea. Por consevacin de momentum: prad=Sav

c=

0c.

Si la luz se refleja totalmente, conservacinde momentum implica que: prad =

2Savc

=2

0c.

Ondas Electromagnticas estacionarias

Figura 7.

Dado que en en el plano y z hay unconductor perfecto, el campo elctrico seanula all. La onda se refleja en el plano yz. Por o tanto la amplitud es la suma dedos ondas viajeras idnticas movindose en

direcciones opuestas:

Ey(x, t) = Emax(cos (kx t) +cos (kx+t))Bz(x, t) = Bmax(cos (kx t) cos (kx+t))

Usando la identidad cos (A B) =cos A cos B sen A sen B, obtenemos:Ey(x, t) = 2Emax sen(kx)sen(t), Bz(x,t)=2Bmaxcos(kx)cos(t)Planos nodales campo elctrico: Ey(x, t) =

0, sen(kx)= 0, kx=n, nZ, xn=n

2

Planos nodales campo magntico:

cos (kxn) = 0, kxn =(n +

1

2

), xn =(

n+1

2

)2

Ondas electromagnticas en una cavidad

Para tener una cavidad agregamos unasuperficie conductora en x = L. Sobre lasegunda superficie conductora Ey = 0. Porlo tanto:

L=n

2n=

2L

nfn=n

c

2LFigura 8. Un microondas tpico crea una onda

estacionaria de = 12.2cm. Esta onda es absorbida

fuertemente por el agua en los alimentos. Dado que

la onda tiene nodos separados por /2 = 6.1cm,

la bandeja debe rotar. De otro modo la parte del

alimento que est situada en un nodo permanecera

fra.

Polarizacin

Notemos que B~ se conoce si se sabe E~ . Pero E~ es arbitrario excepto por ser perpendiculara k~ . Los vectores perpendiculares a k~ forman un plano. Para especificar un vector de esteplano, necesitamos dos vectores l.i. Este nuevo grado de libertad de la onda electromagnticase llama polarizacin. Hay dos estados de polarizacin, correspondientes a los dos vectoresl.i. del plano.

Figura 9.

Si el campo elctrico oscila en una direccin fija, la onda est polarizada linealmente.

Propiedades de las ondas electromagnticas

1. La onda es transversal. Esto es E~0k~ , B~0k~ . Adems E~0B~0. La direccin depropagacin (vector de Poynting) es E~ B~ .

2.E~ = c B~ .

3. La onda se mueve en el vaco a la velocidad de la luz c.

4. Las ondas electromagnticas no necesitan un medio para propagarse. Recordemos que lasondas mecnicas necesitan un medio para propagarse. Problema del ter.

5. Tienen un grado de libertad llamado Polarizacin

Figura 10.

Derivacin de la Ecuacin de ondas

~ E~ + B~

t=0~ , ~ (~ E~ )+

(~ B~ )t

=0~ , ~ (~ E~ )+ 002E~t2

=0~

~ B~ 00E~

t=0~ , ~ (~ B~ ) 00

(~ E~ )t

=0~ , ~ (~ B~ )+ 002B~t2

=0~

Usando la identidad (Demustrela!):

~ (~ A~ )=~ (~ .A~ )~ 2A~Vemos que E~ y B~ satisfacen la ecuacin de onda, dado que ~ .A~ =0 en los dos casos:

~ 2E~ + 002E~

t2=0~

~ 2B~ + 002B~

t2=0~

Las dos ondas tiene la misma velocidad de propagacin:

c=1

00

Ondas electromagnticas en la materia

En presencia de la materia con permitividad y permeabilidad tenemos que:

E= vB B= vE

Por lo tanto v=1

.

Definimos el ndice de refraccin por n=c

v.