2bach cc-select modelos 2016-GEOM …iesaricel.org/rafanogal/bachillerato/2bach-mat2-16-17...2º...

2º BACHILLERATO B – MATEMÁTICAS II – RESOLUCIÓN EJERCICIOS DE GEOMETRÍA SELECTIVIDAD 2016 (Profesor: Rafael Núñez)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 1

1 Considera el plano π de ecuación x + 2y + z = 1. (a) [1 punto] Halla el punto de π más próximo al punto (3, 1, 2). (b) [1’5 puntos] Determina la ecuación de un plano paralelo a π que forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área 6 .

Resolución (a) El punto más próximo a P(3,1, 2) es el punto Q (proyección ortogonal de P sobre )

1º ) Hallamos la recta r que pasa por P y es perpendicular a

2º ) Calculamos el punto de corte, Q, entre r y

π

π

π

x 3

1º ) (1,2,1) ; P(3,1,2) r r : y 1 2 , con Rrz 2

d n

= + λ

= = ∈ → = + λ λ∈π = + λ

��

2º ) Hallamos Q resolviendo el sistema formado por las ecuaciones paramétricas de r y la ecuación de :

3 2(1 2 ) (2 ) 1 3 2 4 2 1 6 7 1 1.

x 3 1 x 2

Luego y 1 2( 1) y 1 . Por tan to, Q(2, 1,1)

z 2 1 z 1

π

+ λ + + λ + + λ = → + λ + + λ + + λ = → λ + = →λ = −

= − =

= + − → = − − = − =

m

m

m

m

b) planos paralelos a :x 2y z m, con m R

Triángulo ABC:

x

eje X: y 0 A eje X 2.0 0 m m A(m,0,0)

z 0

x 0m m

eje Y: y B eje Y 0 2 0 m B 0, ,02 2

z 0

x 0

eje Z: y 0 C eje Z 0 2.0 m m

z

π→π + + = ∈

=λ

= =π →λ+ + = →λ= ⇒ =

= =λ =π → + λ+ = →λ= ⇒

=

=

= =π → + +λ= →λ= =λ

∩

∩

∩

2 2 2 22 2

212 2

2

C(0,0,m)

m 1m, ,0 ( m,0,m) Área (ABC) x2 2

m m m 1 m mx m 0 , m , ; 6 Área (ABC) , m ,

2 2 2 2 2 2m 0 m

m 2 :x 2y z 21 6 m 66 m m 4

2 2 4 m 2 :x

AB AC AB AC

i j k

AB AC

⇒

= − = − =

= − = = =

−

= → π + + == = ⇒ = ⇒

=− → π

��

��

��

2y z 2

+ + =−


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 2

2 Sea r la recta que pasa por los puntos A(1,1,0) y B(3,−1,1) y s la recta dada por 2 1

1

x yy z+ = −

+ = −

a) [1’25 puntos] Halla la ecuación general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo a las rectas dadas. b) [1’25 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas del plano que pasa por B y es perpendicular a s.

Resolución

) (0,0,0) .

(3, 1,1) (1,1,0) (2, 2,1)

int sec , 1 2 0 (2, 1,1)

0 1 1

Observese que como

= = − − = −

= = −

��

��

��

��

r s

r

s

r

a El plano que nos piden pasa por el punto O y es paralelo a y a

Como s viene dada como er ción de dos planos

d d

d AB

i j k

d

d�� ,

. :

2 2 1 ( 1,0,2) : 1(x 0) 0(y 0) 2(z 0) 0 : x 2z 0

2 1 1π π π= = − = − ⇒ − − + − + − = → − + =

−

��

��

��

��

s

r s

r s

hay un único plano que pasa por O y es paralelo

a y a Su vector normal es

x

d

d d

i j k

n d d

) ,

(2, 1,1)

También (3, 1,1). Por tanto, la ecuación normal sería :

´: 2(x 3) 1(y 1) 1(z 1) 0 ´: 2 x y z 8 0.

π

π

π π

= = −

−

− − + + − = → − + − =

�� s

b Como el plano debe ser perpendicular a la recta s un vector normal de

es

debe contener al punto B

Para obte

n d

2 x y z 8 0 , , ; :

8 2 . tan , ´: , ,

8 2

λ µ

λλ µ π µ λ µ

λ µ

− + − = = =

=

= − + = ∈ = − +

ner unas ecuaciones paramétricas podemos resolver la ecuación

x y sustituyendo y despejando z obtenemos

x

z Por to y con R

z


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 3

3 Considera el punto P(1,0,5) y la recta “r” dada por 2 0

1

y zx+ =

=

(a) [1 punto] Determina la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a “r”. (b) [1’5 puntos] Calcula la distancia de P a la recta “r” y el punto simétrico de P respecto a “r”.

Resolución ) . ,

0 1 2 (0,2, 1)

1 0 0

También (1,0,5). Por tanto, la ecuación normal sería :

: 0(x 1)

π

π

π

π

= = = −

− +

��

�� r

a Sea el plano que buscamos Como el plano debe ser perpendicular a la recta r

un vector normal de es

debe contener al punto P

i j k

n d

2(y 0) 1(z 5) 0 : 2 z 5 0π− − − = → − + =y

( )

b) Pr imero hallamos el punto de corte,Q, entre r y , resolviendo

y 2z 0y 2z 0

el sistema formado por las ecuaciones de r y la ecuación de : x 1 x 1,2y z 5 0 .2

2y z 5 0

y 2z 0; sumando las ecuaciones : 5y 10 0

4y 2z 10 0

π

+ =+ =

π = → = − + = − + =

+ =+ =

− + =

2 2 2

y 2; luego, 2 2z 0 z 1

x 1

y 2 . Por tan to, Q(1, 2,1);

z 1

dist(P,r) dist(P,Q) 2. 2 0 ( 1) ( 2) dist(P,r) 2 5 u

Para calcular el punto simétrico, P (́x, y,z), d

PQ (0, 2, 4) (0, 1, 2)

→ = − − + = → =

=

= − − =

= = = = = + − + − ⇒ =− − − −��

e P respecto de r podemos usar que Q es el puntomedio del

segmento PP .́ Por tanto, 2 (x 1, y 0, z 5) 2(0, 2, 4) (0, 4, 8)

Igualando las componentes y despejando se obtiene : x 1 , y 4, z 3. Luego, P (́1, 4, 3)

PP´ PQ= ⇒ − − − = − − = − −

= = − = − − −

��


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 4

4 Considera las rectas “r” y “s” dadas por: x 1 2

r : y 1

z 1

= + λ

= − λ =

2 1

:1

x ys

z+ = −

= −

(a) [1’5 puntos] Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuación del plano que las contiene. (b) [1 punto] Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas “r” y “s”, calcula su área.

Resolución ) (2, 1, 0) ; (1,1,1) r

1 2 0 (2, 1, 0) ; y 0, x 1, z 1. B( 1, 0, 1) s .

0 0 1

omo ( ) .

tan , tán en el mismo plano (son coplanarias)

= − ∈

= = − = = − = − ⇒ − − ∈

= ∉ ⇒ ≠ ⇒

��

��

��

��

r

s

r s

a A

Para

C y A s no cumple sus ecuaciones r s r s

Por to r y s es

Plano qu

d

i j k

d

d d �

( ): A; , ; ( 2, 1, 2)

2 1 0 (2, 4, 4) (1, 2, 2)

2 1 2

Luego :1(x 1) 2(y 1) 2(z 1) 0 : x 2 y 2 z 1 0

π

π

π

π π

= − − −

= = − = − −

− − −

− + − − − = ⇒ + − − =

��

��

��

r

r

e las contiene

Un vector normal de es x

d AB AB

i j k

n d AB �

´

) ( , ) ( , )

H a llam os ´ (1,1,1)

´: 2 (x 1) 1(y 1) 0 (z 1) 0 ´: 2 x y 1 0

´ ( , )

2 x y 1 0

´ 2 1

1

ππ

π π

π

π

= =

− ⊥ → =

− − − + − = ⇒ − − =

− = ⇒ = =

− − == ⇒ + = −

= −

��

��∩

∩

r

b L a m ed id a d e l la do d e l cuad rado es L d is t r s d is t A s

e l p la no r qu e pa sa po r A

D espu és P s L d is t A s

P s x y

z

n d

AP

( )

( ) ( ) ( )2 22

2

2 2

3 31 1, , 1 , , 15 5 5 5

368 84 4, , 2 ( 2 )5 5 5 5 5

36 36( )

5 5

− −⇒ = = = − ⇒ −

− −− −= − → = + + − =

= = =

��

x y z P

Á rea cuad rado L u

AP AP


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 5

5 Considera un paralelogramo de vértices consecutivos A, B, C y D siendo A(1,0,−1), B(3,2,1) y C(−7,1,5). (a) [0’75 puntos] Determina las coordenadas del punto D. (b) [1 punto] Calcula el área del paralelogramo. (a) [0’75 puntos] Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.

Resolución

) ( , , ). log ,

(x 1, y 0, z 1) ( 10, 1, 4)

Igualando las componentes y despejando : x 9, y 1, z 3 ( 9, 1, 3)

= ⇒ − − + = − −

= − = − = ⇒ − −

�� a Sea D x y z Por ser un parale ramo

D

AD BC

2

) ( log ) ; 2 2 2 ( 10, 28, 18)

10 1 4

( log ) ( 10, 28, 18) 1208 34,76

= = = − −

−

= − − = ≅

��

�� b Sabemos que A parale ramo x x

A parale ramo u

i j k

DC DA DC DA

( )) log : A; ,

( 10, 28, 18) (5, 14, 9)

Luego : 5(x 1) 14(y 0) 9(z 1) 0 : 5 x 14 y 9 z 4 0

π

π

π

π π

= = − − −

− − − + + = ⇒ − + + =

��

�� c Plano que contiene al parale ramo

Un vector normal de es x

DC DA

n DC DA �


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 6

6 Considera el punto P(1,0,−1) y el plano π de ecuación 2x − y + z + 1 = 0. (a) [1’25 puntos] Halla el simétrico del punto P respecto al plano π. (b) [1’25 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene al punto P, es perpendicular al plano

π y es paralelo a la recta dada por 2 1

3

x yz− =

=

.

Resolución

a) 1º ) Hallamos la ecuación de la recta s que pasa por P

x 1 2

(2, 1,1) ; P(1,0, 1) r s : y , con Rsz 1

2º ) Hallamos Q resolviendo el sistema formado por las ecuaciones paramétricas de s y la ecuación de :

2(1

d n

⊥ π

= + λ

= = − − ∈ ⇒ = −λ λ∈π = − + λ

π

��

( )( )

( )( )

12 ) ( ) ( 1 ) 1 0 6 2 0 .3

1 1x 1 2 x3 31 1 1 1 4Luego y y . Por tan to, Q , ,3 3 3 3 3

41 zz 1 33

3º ) Para calcular el punto simétrico, P (́x, y,z), de P respecto de podemos usar que Q es el punto medio

del seg

−+ λ − −λ + − + λ + = → λ + = →λ =

−= + = − −= − → =

−− = = − + π

( ) ( )( )

2 1 1 4 2 2mento PP .́ Por tanto, 2 (x 1, y 0, z 1) 2 , , , ,3 3 3 3 3 3

5 51 2 1 2Igualando las componentes y despejando se obtiene : x , y , z . Luego, P´ , ,3 3 3 3 3 3

PP´ PQ − − − −= ⇒ − − + = =

− −− −= = =

��


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 7

x 2y 1b) Sea ´ el plano que buscamos y r : , 1 2 0 ( 2, 1,0) (2,1,0)rz 3

0 0 1

Como ni es paralelo ni perpendicular a (2, 1,1) r y son secantes (no perpendiculares)r

i j k

d

d n

− =π = − = − −

=

= − ⇒ ππ

��

��

��

�

´ ´ Tomamos x 2 1 1 ( 1,2,4)r´´ r r´ 2 1 0

Como además P(1,0, 1) ´ ´: 1(x 1) 2(y 0) 4(z 1) 0 ´: x 2 y 4z 5 0

i j kn nn n d

n d

π ⊥ π⇒ ⊥ π π = = − = − πππ ⇒ ⊥ π

− ∈π⇒ π − − + − + + = ⇒ π − + + + =

��

��

�

7 Sea “r” la recta dada por 1

1

x zy+ =

= −

y sea “s” la recta definida por x 2

y 2

z 2 2

= + λ

= = + λ

a) [1’75 puntos] Comprueba que las rectas r y s se cruzan y halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s. b) [0’75 puntos] Calcula la distancia entre r y s.

Resolución

a) 1 0 1 ( 1,0,1) ; A(0, 1,1) r ; (1,0,2) ; B(2,2,2) s; (2,3,1)r s0 1 0

i j k

d d AB= = − − ∈ = ∈ =

��

��

Se cruzancuando los vectores , y son l.i. ; veámos si lo son :r s

1 0 1

det , , 1 0 2 9 0 , y son l.i., luego r y s se cruzanr s r s2 3 1

d d AB

d d AB d d AB

− = = ≠ ⇒

��

��


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 8

t r s

s t

x

x

Sea t la recta que las corta perpendicularmente. (0,3,0)

pasa por B(2,2,2) y su vector normal es ( 2,0,1) : 2(x 2) 0(y 2) 1(z 2) 0

pasa por A(0, 1,1) y su vector normal es

α

= =

α = = − ⇒ α − − + − + − =

β −

d d d

n d d

n

��

��

� (0,1,0 )

r tx (1,0,1) :1(x 0) 0(y 1) 1(z 1) 0

2x z 2 0t :x z 1 0

β = ⇒β − + + + − =

− + + =

+ − =

d d

��

( )) or el método de la :

det , ,, ,( , )

1 0 1 (0, 3, 0) ( ,

1 0 2

= = =

= − = ⇒

��

��

��

��

r sr s

r s r s

r s

b P altura del paralelepípedo

Volumen del paralelepípedodist r s

Área de la base x x

x dist r s

d d ABd d AB

d d d d

i j k

d d2 2 2

9 9 9) 3

(0,3,0) 30 3 0= = = =

+ +u


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 9

8 Considera un rectángulo de vértices consecutivos A, B, C y D siendo A(1,1,0) y B(2,2,1). Sabiendo que la recta r que contiene a los puntos C y D pasa por el origen de coordenadas se pide: a) [0’75 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas de r. b) [1 punto] Calcula el área del triángulo ABC. c) [0’75 puntos] Determina las coordenadas del punto D.

Resolución

) (0, 0, 0) (1,1,1) r :

λλλ

=

∈ = = ⇒ = =

�� r

x

a O r y y

z

d AB

( )( )

( , , )) y c)

( , , )

5 5 5 5(c 2,c 2,c 1).(1,1,1) 0 c 2 c 2 c 1 0 c , ,3 3 3 3

2 2 2 2( 1, 1, 0).(1,1,1) 0 1 1 0 , ,3 3 3 3

1( )

2

∈ ⇒

∈ ⇒

⊥ ⇒ − − − = → − + − + − = → = ⇒

⊥ ⇒ − − − = → − + − + = → = ⇒

=

��

��

Como C r C c c cb

Como D r D d d d

Como C

Como d d d d d d d D

Área ABC Áre

BC AB

AD AB

( )

2

1 1 1 1 1 2( ) . . . (1,1,1) . , ,3 3 32 2 2

1 1 18 3 2 2( ) 3 6

2 3 6 6 2

− −= = =

= = = =

�� a ABCD base altura

Área ABC u

AB BC


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 10

9 Considera el punto A(1,−1,1) y la recta “r” dada por x 1 2

y 1

z 1

= + λ

= − λ =

(a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto simétrico de A respecto a “r”. (b) [1 punto] Determina la ecuación del plano que contiene a “r” y pasa por A.

Resolución

( )

) (1, 1,1)

(2, 1, 0) : 2( 1) 1( 1) 0( 1) 0 : 2 3 0

, , : 2(1 2 ) (1 ) 3 0

21 2. 59 32 25 2 0 1 . , , ,15 5 5 5

1

π

π

π π

π λ λ

λ λ

⊥ −

= = − ⇒ − − + + − = ⇒ − − =

+ − − − =

= +

− = ⇒ = ⇒ = −

=

�� r

a Calculamos el plano r que pasa por A

x y z x y

Hallamos el punto de corte M entre y r

x

y Luego M

z

P

n d

( ) ( ), ´(x, y, z),

8 8 164.́ Por tanto, 2 ( 1, 1, z 1) 2 , , 0 , , 05 5 5 5

:

´ = ⇒ − + − = =

=

�� ara calcular el punto simétrico A de A respecto de r podemos usar que M es el punto medio

del segmento AA x y

Igualando las componentes y despejando se obtiene x

AA AM

( )13 1311 11, , 1. , ´ , ,15 5 5 5= =y z Luego A

b) Para det erminar el plano vamos a tomar un punto del plano y dos vectores l.i. paralelos al plano

x 1 2

Como r : y 1 , B(1,1,1) r,

z 1

Punto de : A(1, 1,1)El plano vendría det erminado por

Vectores : (2, 1,0) y (rd BA

α

= + λ

= −λ ∈ =

α −α

= − =��

0, 2,0) (0,1,0)

Una ecuación vectorial de sería : : (x, y,z) (1, 1,1) (2, 1,0) (0,1,0)

−

α α = − + λ − +µ

�


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 11

10 [2’5 puntos] Calcula la distancia entre las rectas dadas por las siguientes ecuaciones.

x = y = z y x 1

y 3

z

= + µ

= + µ = −µ

Resolución x y z

a)r : x y z r : (1,1,1) ; A(0,0,0) rr1 1 1

(1,1, 1) ; B(1,3,0) s; (1,3,0)s

d

d AB

= = ⇒ = = = ∈

= − ∈ =

��

��

Se cruzancuando los vectores , y son l.i. ; veámos si lo son :r s

1 1 1

det , , 1 1 1 4 0 , y son l.i., luego r y s se cruzanr s r s1 3 0

d d AB

d d AB d d AB = − = ≠ ⇒

��

��

( )

2 2 2

det , ,, ,( , )

4 4 41 1 1 ( 2, 2, 0) ( , ) 2

( 2,2,0) 8( 2) 2 01 1 1

= = =

= = − ⇒ = = = =− − + +−

��

��

��

��

r sr s

r s r s

r s

Volumen del paralelepípedodist r s

Área de la base x x

x dist r s u

d d ABd d AB

d d d d

i j k

d d


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Página 12

11 [2’5 puntos] Determina el punto de la recta 1

12 3

x zr y

−≡ = + = que equidista de los planos

3 0x y zπ ≡ + + + = y x 3

´ y

z 6

= − + λ

π ≡ = −λ + µ = − −µ

Resolución

´

Un punto genérico de la recta es P(x,y,z) P(1 2 , 1 ,3 )

Ponemos ´ en forma implícita : A( 3,0, 6) ´ ; (1, 1,0) y (0,1, 1) son vectores paralelos a ´

x 1 1 0 (1, 1, 1) :́1(x 3) 1(y 0) 1(z

0 1 1

u v

i j k

n u vπ

= + λ − + λ λ

π − − ∈π = − = − π

= = − = ⇒π + + − + +

−

��

��

��

( )

6) 0 :́ x y z 9 0

x y z 3 x y z 9 3 9 (imposible)x y z 3 x y z 9

dist(P, ) dist(P, )́ ó3 3

x y z 3 x y z 9

2x 2y 2z 12 0 x y z 6 0 1 2 ( 1 ) 3 6 0 6 6 0 1

Por tan to, P 1 2( 1), 1 ( 1),3( 1) P( 1,

= ⇒π + + + =

+ + + = + + + → =+ + + + + +

π = π ⇒ = ⇒ + + + = − − − −

+ + + = ⇒ + + + = ⇒ + λ + − + λ + λ + = ⇒ λ + = ⇒λ = −

+ − − + − − ⇒ − −2, 3)−

12 Considera el plano π de ecuación 6x − my + 2z = 1 y la recta r dada por 1 1 2

3 2 1x y z− + +

= =− −

a) [1 punto] Calcula m en el caso en que la recta r es perpendicular al plano π. b) [1’5 puntos] ¿Existe algún valor de m para el que la recta r esté contenida en el plano π?

Resolución

( 3,2, 1) ; (6, m,2)rd n= − − = −π��

3 2 1a) r m 4r 6 m 2

d n− −

⊥ π⇔ ⇔ = = ⇔ =π −

��

b) r . 0 3.6 2.( m) ( 1).2 0 m 10r rPara m 10, :6x 10y 2z 1

A(1, 1, 2) r pero A , pues 6.1 10( 1) 2( 2) 1 (A no cumple la ecuación de )

Por tanto para m 10 , r . Luego, no existe ningún valor

d n d n⊂ π⇒ ⊥ ⇒ = ⇒− + − + − = ⇒ = −π π= − π + + =

− − ∈ ∉π + − + − ≠ π

= − π

��

� de m para el cual r ⊂ π

2bach cc-select modelos 2016-GEOM …iesaricel.org/rafanogal/bachillerato/2bach-mat2-16-17...2º...

Documents

Transcript of 2bach cc-select modelos 2016-GEOM …iesaricel.org/rafanogal/bachillerato/2bach-mat2-16-17...2º...