1

2. Review Kalkulus

2

Limit & Kemenerusan

Definisi 1:Misalkan f(x) terdefinisi di dalam himpunan S yang beranggotakan bilangan riil. Fungsi f dikatakan memiliki limit L pada x = a, yang ditulis:

Lim x a f(x) = L

jika diberikan sembarang ε > 0, terdapat δ >0 sedemikian sehingga untuk x elemen S, 0 < | x-a| < δ mengisyaratkan bahwa |f(x) – L| < ε

3

Limit & Kemenerusan (Cont.)

Definisi 2:Misalkan fungsi f terdefinisi di dalam himpunan S yang beranggotakan bilangan riil dan misalkan a elemen S. Maka, f dikatakan menerus (continuous) di x = a jika

Lim x a f(x) = f(a)

Fungsi f dikatakan menerus di dalam himpunan S jika f menerus untuk setiap x elemen S.

4

Teorema Nilai Antara

Definisi :

Misalkan f menerus di dalam selang [a,b] dan L adalah sembarang bilangan riil di antara f(a) dan f(b). Maka, terdapat nilai c dengan a<c<b sedemikian sehingga f(c) = L.

5

Turunan Fungsi

Definisi :Misalkan f terdefinisi di dalam selang terbuka yang mengandung a. Maka, f dikatakan dapat diturunkan di x = a jika

Lim x a (f(x) – f(a)) / (x-a) = f’(a)

Notasi f’(a) disebut turunan (derivative) f di x = a. Bentuk turunan yang ekivalen ialah dengan memisalkan x = a +h, sehingga

Lim x a (f(x+h) – f(a)) / h = f’(a)

6

Teorema Rolle

Definisi

Misalkan f menerus di dalam selang [a,b] dan f’(x) ada untuk semua a<x< b. Jika f(a) = f(b) = 0, maka terdapat nilai c dengan a<c<b, sedemikian sehingga f’(c) = 0.

7

Teorema Nilai Rata-rata

Definisi :

Misalkan f menerus didalam selang [a,b] dan f’(x) ada untuk semua a<x<b. Jika f(a) <> f(b)<>0, maka terdapat nilai c, dengan a<c<b, sedemikian sehingga

f’(c) = (f(b)-f(a))/b-a = m

8

Integral

Teorema Dasar Pertama :Jika f menerus di dalam selang [a,b], maka terdapat fungsi F, yang disebut antiturunan dari f, sedemikian sehingga

a∫b f(x) dx = F(b) – F(a), yang dalam hal ini F’(x) = f(x).

Teorema Dasar Kedua :Jika f menerus didalam selang [a,b] dan a<x<b, maka

d/dx a∫x = f(t) =f(x)

9

Aturan Cramer

Diberikan 2 buah persamaan linier ax1 + bx2 = ecx1 + dx2 = f

Dengan syarat ad- bc <> 0. Solusi sistem persamaan linier tersebut dicari sebagai berikut :

[ax1 + bx2 = e] x d adx1 + bdx2 = ed[cx1 + dx2 = f ] x -b -bcx1 - bdx2 = -bf

dx1 - bcx1 = ed – bf

Sehingga didapatkan :x1 = (ed-bf)/(ad-bc) dan kemudian x2 = (af-ec)/(ad-bc)

10

Deret Taylor

Digunakan sebagi alat untuk dapat membuat fungsi hampiran.

Teorema :

Misalkan f dan semua turunannya , f’,f’’,’’’,…menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan x0 elemen [a,b], maka untuk nilai-nilai x disekitar x0 dan x elemen [a,b], f(x) dapat diperluas ke dalam deret Taylor :

f(x) = f(x0)+(x-x0)/1!f’(x0)+(x-x0)2/2!f’’(x0)+ (x-x0)3/3!f’’’(x0)+ … +(x-x0)m/m!f(m)(x0) + …

Jika x = x0 + h < == > x – x0 = h , maka f(x) dapat ditulis :

f(x) = f(x0)+h/1!f’(x0)+h2/2!f’’(x0)+ h3/3!f’’’(x0)+ … +hm/m!f(m)(x0) + …

11

Deret Taylor Cont.

Karena panjang deret taylor tidak terbatas, maka deret ini dapat dipotong sampai suku tertentu :

f(x) = f(x0)+h/1!f’(x0)+h2/2!f’’(x0)+ h3/3!f’’’(x0)+ … +hm/m!f(m)(x0) + O(hm+1)

O(hm+1) menyatakan orde galat, dengan persamaan : O(hm+1) = f(m+1)(c)hm+1/(n+1)! , x0<c<x

Sehingga deret taylor yang sudah dipotong dinyatakan : f(x) = Pm + Rm(x)

dimana Pm = k = 0Σm ( f(k) (x0)(h)k / k! ) dan

Rm(x) = O(hm+1) = f(m+1)(c)hm+1/(n+1)! , x0<c<x