Matemática D

1-) a) Pelo Teorema de Tales, temos:

8 = x → x= 40 3 5 3

b) Pelo Teorema de Tales, temos:

12 = x → x= 21 4 7

2-) Pelo Teorema de Tales, temos:

4 = 10 → 48=10x → x= 4,8 x 12 Gabarito D. 4,8 =12 → 48y=36:12 → y=9 3,6 y X + y = 4,8 +9 = 13,8 3-) Pelo Teorema de Tales, temos: x = 15 x = 5 11 3 6 → x = 6 . 5 → x = 6 5 5 5

4-) Pelo Teorema de Tales, temos:

a+b+c = a → 45 = a → a= 9 15 3 15 3

45 = b → b = 15 15 5 45 = c → c = 21 15 7 5-) Pelo Teorema de Tales, temos: X+y = x 14 8 , como x + y = 42 , temos 42 = x → x= 24 14 8

x + y = y → y = 18 14 6 Gabarito C

x-y → 24 – 18 = 6

6-) Pelo Teorema de Tales , temos:

x = 40 + x 200 250] Gabarito A 250 x = 200 x + 8000 50 x = 8000 x= 160

7-) Pelo Teorema de Tales, temos:

480 = x → 480 = x → 480.30 = x → x = 48 30 + 60 +90+120 30 300 30 300 480 = y → 480 . 60 = y → y = 96 300 60 300 480 = z → 480 . 90 = z → z = 144 300 90 300 480 = w → 480 .120 = w → w = 192 300 120 300

8-) Gabarito D

Altura

9-) Gabarito D

Bissetriz

10-) Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é

180°. E que o suplemento de um ângulo α é 180-α

Temos que 180-86 = 94

Sendo  = x 94+43+x=180

x+ 180 - 137

x = 43

Como AB é bissetriz do angulo  = x, temos 94 + α + x = 180 2 94 + α + 43 =180 2 α =180 – 94 – 21,5 α = 64,5 Gabarito D

11-) Note que AM é mediana do ∆ ABC que é retângulo, e a medida da mediana de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa é igual à metade da hipotenusa.

Portanto:

AM=BM=MC e então ∆ ABM é isóscele e também BAM = ABM =x No ∆ AHM temos 40 + 90 + AMH = 180 AMH = 50. Gabarito B Assim, no ∆ ABM, 50+2x=180 2x = 130 X= 65 12) Pelo teorema de Tales, temos: 4,5 6,2

x y= e sabemos que x + y = 6, portanto y = 6 – x

4,5 6,2

x y=

4,5(6-x) = 6,2x 45(6 x) 62x

10 10270 45x 62x

270 107x

270x

107x 2,...

−=

− =

=

=

=

13) D

Temos A = 40°, B = 50° em um triângulo ABC. Portanto, C = 90°, pois A + B + C = 180°. Note que as alturas relativas aos vértices A e B são os catetos do triângulo ABC, portanto o ângulo formado entre eles é 90°.

15) B Temos ∆ ABC retângulo em A e AM mediana. A medida da mediana de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa é igual à metade da

hipotenusa. Assim, AM = MC. Então ∆ ABC é retângulo e ABC = 60°. Logo, MAC = 30°.

Como R é bissetriz do ângulo  = 90°, temos: BAR = RAM + 30° 45° = RAM + 30°

16) D

Usando a semelhança entre os triângulos ABC e ADE, temos:

x 6

x 5 88x 6x 30

2x 30

x 15

=+

= +

=

=

Aplicando o teorema da bissetriz no triângulo ABC, temos: 8 20

6 y

8y 120

y 15

=

=

=

Logo, x + y = 30

17) D

Teorema da bissetriz interna:

12 8

x y

12y 8x

8xy

122x

y3

=

=

=

=

Teorema da bissetriz externa: 12 8

x y z z

12z 8z 8y 8z

4z 8x 8y

=+ +

= + +

= +

z 2x 2y

2xz 2x 2.

310x

z3

= +

= +

=

5 x2x

xBC x y 133¨10x 10 xz 2CE

3 3

++

= = = =

18) C

AH• sai do vértice e forma um ângulo de 90° ao lado oposto, logo AH é altura.

AD• divide o ângulo  ao meio, logo AD é bissetriz.

AM• sai do vértice e intercepta o lado oposto em seu ponto médio, logo

AM é mediana.

• m é uma reta que divide o lado ao meio e forma 90° com o lado BC , portanto m é mediatriz. 19) 31

01) (Verdadeiro). E é o baricentro deste triângulo. Como a semi-reta AE

����

passa pelo baricentro então ela intercepta o lado BC em seu ponto médio.

02) (Verdadeiro). Como CM parte de um vértice do triângulo e divide o

lado oposto ao meio, então CM é mediana. 04) (Verdadeiro). E está na intersecção de duas medianas, logo é o baricentro do triângulo. 08) (Verdadeiro). A base do triângulo AEM é metade da base do triângulo ABC. Como E é baricentro a altura do triângulo menor está

para a do maior assim como 1 está para 3. Logo, H

h3

=

Área do triângulo ABC

B H.b.h 2 3A A

3 2

B.H 1A .

2 6↓

= ⇒ =

=

16) (Verdadeiro).

Veja que os triângulo ABM e ACM têm as suas bases congruentes e também a mesma altura, portanto suas áreas são iguais.

20) B

Pitágoras: 2 2 2

2

2

30 15 h

300 225 h

h 675

h 15 3

= +

= +

=

=

302

2

OA .15 3 10 33

= =

Como o triângulo ABC é equilátero, OA OB OC= = , logo OB 10 3= 21)

a)

cat.opsen

hipot

1sen

2

α =

α =

b) Como 1

sen2

α = , então 30α = ° e, consequentemente �AMC 120= ° .

Lei dos cossenos: 2 2 2

2

2

2

2

x 1 2 2.1.2.cos120

x 1 4 4.( cos60 )

1x 5 4.

2

x 5 2

x 7

x 7

= + − °

= + − − °

= − −

= +

=

=

c) A Altura relativa ao lado AB deve sair do vértice C e formar um

ângulo de 90° com o lado AB ou seu prolongamento.

h

sen304

1 hh 2

2 4

° =

= ⇒ =

d)

�a.b.senC

A2

1.2.sen120A

22.sen60

A2

∆

∆

∆

=

°=

°=

3A

2∆ =

22) D

a) (Verdadeiro).Ao tomar um ponto P sobre r, verifica-se que ∆ABP é

isósceles e, portanto, PA PB= b) (Verdadeiro). O ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo é o circuncentro. c) (Verdadeiro). A mediatriz é o conjunto de todos os pontos de um plano que equidistam de A e B respectivamente. Se um ponto não pertence à mediatriz de um segmento, este ponto não equidista dos extremos do segmento. d) (Falso). As mediatrizes de um triângulo se encontram num mesmo ponto denominado circuncentro. e) (Verdadeiro). Existe uma única mediatriz, dado um segmento. 23) B Desigualdade triangular: a b c a b− < < +

Esta é a condição para que três segmentos formem triângulo. Aplicando a desigualdade no triângulo (II), temos:

(x 3) (x 8) x 3 (x 3) (x 8)

5 x 3 2x 11

5 x 3 2x 11

2 x 2x 8

+ − + < + < + + +

< + < +

< + < +

< < +

Como x>2, o menor inteiro que x pode assumir é x = 3

24) A

Semelhança: 5 y

8y 80 y 108 16

= ⇒ = ⇒ =

Com x + y = 16, então x = 6 25) 29 Semelhança:

10 x

15 x 1010x 100 15x

5x 100

x 20

=+

+ =

=

=

10 18

15 y 18

10y 180 170

10y 90

y 9

=+

+ =

=

=

x + y = 29