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La Violazione di CP nel Modello Standard

prof. Domenico Galli

Temi di Fisica delle Particelle Elementari al LHC Dottorato di ricerca in Fisica, Bologna g

νeW−

e−

μ− g

νμ

Accoppiamento Debole

• I processi leptonici sono i soli processi deboli non contaminati dall’interazione forte.

• Le ampiezze di probabilità per processi a energie molto minori della massa del W sono proporzionali alla Costante di Fermi GF: – Vale per tutti i fermioni eccetto il top.

• La costante g nei vertici è la carica debole: – Adimensionale, di grandezza confrontabile con l’accoppiamento

elettromagnetico .

• L’elemento di matrice M è proporzionale prodotto di due accoppiamenti e un propagatore:

DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard

2

M g

i gμ t

μt

MW

2( )M

W

2t

g

t = p2

μp1

μ( ) p2μ p1μ( )

M = 1

2μ

μ

1

21

5( ) μgg

μ tμt

MW

2

MW

2tg

e

1

21

5( )e

Accoppiamento Debole (II)

• Se il 4-impulso trasferito t è piccolo:

si può approssimare:

• In queste condizioni il 4-impulso trasferito t è troppo piccolo per distinguere i 2 vertici e l’interazione si comporta come una interazione puntiforme di 4 fermioni.

• Costante di Fermi GF:


3

g

νeW−

e−

μ− g

νμ

μ−

νμ

νe

e−GF

M gg

μ tμt

MW

2

MW

2tg

g2

MW

2g

μ, t M

W

2

t = p2

μp1

μ( ) p2μ p1μ( )

t MW

2

GF=2

8

g2

MW

2NU( )

GF

c( )3=2

8

g2

MWc2( )2

SI( )

Universalità dell’Accoppiamento Debole

• L’interazione debole in corrente carica ha la stessa costante di accoppiamento per tutti i fermioni: – Questa proprietà è evidente per i leptoni, ma non per i quark.

• Per i 3 decadimenti leptonici in figura si ha:


4

τ− gτ

ge

νe

ντ

W−

e−

τ− gτ

ντ

W− νμ

gμ μ− ge

νeW−

e−

μ− gμ

νμ

μμ( )

g2

MW

2

gμ

2

MW

2m5

ee( )

g2

MW

2

ge

2

MW

2m5

μ ee μ( )

gμ

2

MW

2

ge

2

MW

2m

μ

5

μμ( )

ee( )

=gμ

2

ge

2

μ

e

μ ee μ( )

ee( )

=gμ

2

g2

mμ

5

m5

μ

Universalità dell’Accoppiamento Debole (II)

• Sperimentalmente si ha:

e si ottiene:


5

τ− gτ

ge

νe

ντ

W−

e−

τ− gτ

ντ

W− νμ

gμ μ− ge

νeW−

e−

μ− gμ

νμ

μμ( )

ee( )

=BR μ

μ( )BR e

e( )μ e

e μ( )e

e( )=

1

BR ee( ) μ

gμ

ge

= 1.001± 0.002

gμ

g= 1.001± 0.003

ge= g

μ= g =

def

g (universalità)

L’Accoppiamento ai Quark

• Nel settore dei quark, il bosone W si accoppia con coppie quark-antiquark formate da un quark up-like e un anti-quark down-like.

• I decadimenti in cui cambia la stranezza:

sono tuttavia sfavoriti rispetto ai decadimenti in cui non cambia:

• Per esempio il decadimento:

è sfavorito rispetto al decadimento:


6

dd

udu

n p

νeW−

e−

udu

du

p

νeW−

e−

u

Λ

s

s u F = 1

d u F = 0

pee

F = 1

n pee

F = 0

L’Accoppiamento ai Quark (II)

• Analogamente il decadimento in cui cambia la stranezza:

è sfavorito rispetto al decadimento in cui non cambia:

• Nell’ipotesi dell’universalità gli elementi di matrice sarebbero uguali nei due casi:


7

W−νμ

μ−d

π−

s

W−νμ

μ−K−

K μμ

F = 1

μμ

F = 0

M GFμL μL( ) uL s

L( )M G

FμL μL( ) uL d

L( )

L’Accoppiamento ai Quark (III)

• Nell’ipotesi dell’universalità risulterebbe, per l’estensione in fase:

• Mentre sperimentalmente si ha:


8

W−νμ

μ−d

π−

s

W−νμ

μ−K−

K μμ( )

μμ( )

=

mK1

mμ

mK

22

m 1mμ

m

22= 8.06

K μμ( ) =

1

K

BR K μμ( ) =

0.64

1.24 108s1

μμ( ) =

1BR μ

μ( ) =1

2.6 108s1

K μμ( )

μμ( )

= 1.34

L’Accoppiamento ai Quark (IV)

• Nell’ipotesi dell’universalità, basandosi sulla vita media del muone: – La vita media del neutrone sarebbe un po’ troppo corta;

– La vita media delle particelle strane sarebbe di gran lunga troppo corta.

• Nel settore dei quark, la costante di accoppiamento debole sembra dipendere dal tipo di processo.


9

W−

l−

νl

gl

W−

d

u

gdu

W−

u

gsus

gl> g

dugsu

Miscelamento di Cabibbo

• Si può trovare un angolo piccolo C, tale che:


10

gdu= g

lcos

C

gsu= g

lsin

C

W−

l−

νl

gl = g

W−

d

u

gdu = g cos θC

W−

u

sgsu = g sin θC

K μμ( )

μμ( )

=

mK1

mμ

mK

22

m 1mμ

m

22tan

2

C

gl> g

dugsu

gl> g

lcos

Cglsin

C

C= 12.9º ,

cosC= 0.974,

sinC= 0.221

Miscelamento di Cabibbo (II)

• La relazione tra le costanti di accoppiamento:

equivale a supporre che valga l’universalità, ma che gli stati che si accoppiano al vertice debole siano stati miscelati:


11

gdu= g

lcos

C

gsu= g

lsin

C

W−

l−

νl

g

W−

u

s sin θC gd cos θC

W−

u

g

μL μL( )

g g sinC( )

MW

2uLdL( ) μ

L μL( ) ggM

W

2uLdLsin

C( )

μL μL( )

g g cosC( )

MW

2uLsL( ) μ

L μL( ) ggM

W

2uLsLcos

C( )

Miscelamento di Cabibbo (III)

• Si può generalizzare supponendo che gli stati che si accoppiano al vertice debole siano:

• L’autostato dell’interazione debole d è diverso dall’autostato di sapore d.


12

e

eL

,μ

μL

,u

dL

=u

dcosC+ ssin

C L

W−

l−

νl

g

W−

u

gd cos θC + s sin θC

θC

θC

Miscelamento di Cabibbo (IV)

• Ma se d è una sovrapposizione degli stati d e s:

perché non dovrebbe esistere la sovrapposizione ortogonale s ?

• In tal caso la relazione tra le due basi sarebbe la rotazione:

• Ma avremmo un doppietto incompleto di stati accoppiati al vertice debole:


13

e

eL

,μ

μL

,u

dL

,?

sL

θC

θC

d =dcosC+ ssin

C

s = dsinC+ scos

C

d

s=

cosC

sinC

sinCcos

C

d

s

Il Meccanismo GIM

• Inoltre, a causa del miscelamento di Cabibbo, nella lagrangiana sarebbe presente una transizione in corrente neutra che cambia il sapore (FCNC):

• Sperimentalmente, tuttavia, i corrispondenti processi fisici sono fortemente soppressi.


14

θC

θC

Jcn= u

LuL+ d

LdL= u

LuL+ d

Lcos

C+ s

Lsin

C( ) d

Lcos

C+ s

Lsin

C( ) =

= uLuL+ cos

2

CdLdL+ sin

2

CsLsL

S =0

+ cosCsin

CdLsL+ s

LdL( )

S =1 FCNC( )

Il Meccanismo GIM (II)

• Per esempio il decadimento in corrente neutra con :

è soppresso rispetto al decadimento in corrente carica con :

mentre dovrebbe avere probabilità simile guardando i diagrammi.

• Glashow, Iliopulos e Maiani (1970) ipotizzarono l’esistenza di un quarto quark, il charm, partner mancante dell’s nella formazione di un secondo doppietto di quark:


15

F = 1

K+ +

+e+

eBR = 1.5

0.9

+1.310

10

F = 1

K+ 0

+e+ e

+BR = 4.98 ± 0.07( ) 10

2

� ��

s

νe

uπ0

e+W+

�

��

��

dsπ+

Z0

νe

e

eL

,μ

μL

,u

dL

,c

sL

Il Meccanismo GIM (III)

• Con l’aggiunta del quark charm:

la corrente neutra si scrive:


16

e

eL

,μ

μL

,u

dL

=u

dcosC+ ssin

C L

,c

sL

=c

dsinC+ scos

C L

Jcn= u

LuL+ d

LdL+ c

LcL+ s

LsL=

= uLuL+ d

Lcos

C+ s

Lsin

C( ) d

Lcos

C+ s

Lsin

C( ) +

+ cLcL+ d

Lsin

C+ s

Lcos

C( ) d

Lsin

C+ s

Lcos

C( ) =

= uLuL+ cos

2

CdLdL+ sin

2

CsLsL

S =0

+cosCsin

CdLsL+ s

LdL( )

S =1 FCNC( )

+

+cLcL+ sin

2

CdLdL+ cos

2

CsLsL

S =0

sinCcos

CdLsL+ s

LdL( )

S =1 FCNC( )

=

= uLuL+ c

LcL+ d

LdL+ s

LsL

Il Meccanismo GIM (IV)

• Le FCNC si cancellano.

• Restano le correnti neutre che conservano il sapore.

• La rotazione di Cabibbo è irrilevante per le correnti neutre: – Si scrivono nella stessa forma nelle due basi.


17

Jcn= u

LuL+ d

LdL+ c

LcL+ s

LsL=

= uLuL+ d

LdL+ c

LcL+ s

LsL

S =0

Tutto in ordine?

• Vignetta presentata da Cabibbo nel 1966…


18

Il Punto

• Universalità delle interazioni deboli anche nel settore dei quark: – Rotazione di Cabibbo:

• Differenze leptoni-quark; • Soppressione decadimenti ;

• Soppressione FCNC: – GIM; – Ipotesi quark charm.

• Nessuna previsione di violazione di CP nel modello. • 1973: l’esistenza di 3 doppietti di quark è proposta da M.

Kobayashi e K. Maskawa come una possibile spiegazione della violazione di CP.

• 1975 (Mark I): scoperto il terzo leptone carico ( ); • 1977 (FNAL): scoperto il quark bottom (b); • 1987 (Argus): evidenza indiretta del quark top (t) nell’oscillazione

dei B0. • 1995 (Fermilab): scoperto il quark top (t);


19

F = 1

e

eL

,μ

μL

,u

dL

,c

sL

d

s=

cosC

sinC

sinCcos

C

d

s

Da 2 a 3 Famiglie di Sapore

• 2 famiglie:

• 3 famiglie:


20

e

eL

,μ

μL

u

dL

,c

sL

d

s=V

d

s

V =cos

Csin

C

sinCcos

C

e

eL

,μ

μL

,

L

u

dL

,c

sL

,t

bL

d

s

b

=VCKM

d

s

b

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

VCKM

=

c12c13

s12c13

s13e i

s12c23

c12s23s13ei c

12c23

s12s23s13ei s

23c13

s12s23

c12c23s13ei s

23c12

s12c23s13ei c

23c13

sij= sin

ij

cij= cos

ij

, i, j = 1,2,3

Le 3 Famiglie di Quark

• I quark sono classificati in tre famiglie di sapore:

• L'elemento superiore in ciascuno dei doppietti è il quark up-like della famiglia, di carica elettrica + ;

• L'elemento inferiore è il quark down-like, di carica .

• A ogni quark corrisponde lo stato di particella coniugato di carica (anti-quark) con numeri quantici opposti.

• I quark differiscono, oltreché per il valore della carica elettrica, per il valore della massa e per i numeri quantici di sapore.

• I quark sono dotati della carica di colore responsabile delle interazioni forti.


21

u

d,

c

s,

t

b

+2

3

1

3

up-like

down-like

Correnti Deboli Cariche

• La dinamica del sapore nelle interazioni deboli, nel Modello Standard è descritta dalla densità di lagrangiana in corrente carica:

la quale rappresenta il processo di trasformazione dello stato di sapore, che avviene mediante l'accoppiamento tra la corrente dei quark Jμ

cc e il campo Wμ del bosone W carico; g è la costante di accoppiamento debole.

• La corrente carica Jμcc dei quark si scrive:

dove VCKM è la matrice di miscelamento del sapore dei quark.


22

Lcc

q =g

2Jμ

cc†W

μ+ J

μ

ccW

μ

†( )

Jμ

cc= u, c, t

L μVCKM

d

s

bL

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

Parametri Fisici

nella Matrice di Miscelamento

• Matrice complessa N N 2N2 parametri.

• Unitarietà: N2 vincoli:

• per esempio, per N = 3:

• Totale 2N2 N2 = N2 parametri.


23

V †V = 1 Vik

*Vij=

kj, j,k = 1,2,…,N

Vud

*Vcd

*Vtd

*

Vus

*Vcs

*Vts

*

Vub

*Vcb

*Vtb

*

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Parametri Fisici

nella Matrice di Miscelamento (II)

• I campi dei quark down-like sono definiti modulo una fase arbitraria: – L’espressione della corrente carica:

non cambia per una sostituzione:

• L’arbitrarietà di queste 2N fasi, può essere utilizzata per eliminare 2N 1 parametri: – La fase globale è irrilevante (se si modifica allo stesso modo la fase di

tutti i quark, V non cambia).

• I parametri fisici diventano N2 2N + 1 = (N 1)2.


24

Jμ

cc= u, c, t

L μVCKM

d

s

bL

d j eij d j

Vij

eiiVijeij = e

ij i( )Vij

d j

Parametri Fisici

nella Matrice di Miscelamento (III)

• Se la matrice V fosse reale essa sarebbe ortogonale:

angoli di rotazione indipendenti tra gli N vettori della base.

• I rimanenti:

parametri sono fasi complesse irriducibili.


25

N

2=N N 1( )

2

Np= N 1( )

2 N N 1( )2

=2N

24N + 2 N

2+ N

2=N23N + 2

2=N 1( ) N 2( )

2

Parametri Fisici

nella Matrice di Miscelamento (IV)

Numero Famiglie

Numero Parametri

Numero Angoli

Numero Fasi Irriducibili

2 1 1 0

3 4 3 1

4 9 6 3

N


26

N 1( )2 N N 1( )

2

N 1( ) N 2( )2

• N 3 richiesto per avere almeno 1 fase complessa irriducibile.

Fasi Complesse Irriducibili e Violazione di CP


27

• L’operatore CP è anti-unitario: – Determina la coniugazione complessa degli scalari.

• Se la matrice CKM è reale non è compatibile con la violazione di CP.

• Una fase complessa irriducibile nella matrice CKM consente la violazione di CP.

CP c = c*CP, c

W−

u

Vub V ∗ub

W+

b b

Parametrizzazioni della Matrice CKM


28

• Parametrizzazione originale di Kobayashi e Maskawa.

• Utilizza 3 angoli, 1, 2 e 3 e una fase che viola CP.

• L’angolo 1 è l’angolo di Cabibbo.

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

=

c1

s1c3

s1s3

s1c2c1c2c3s2s3eic1c2s3+ s

2c3ei

s1s2c1s2c3+ c

2s3eic1s2s3c2c3ei

ci= cos

i

si= sin

i

Parametrizzazioni della Matrice CKM (II)


29

• Parametrizzazione standard.

• Utilizza i 3 angoli di Eulero, 12, 23 e 13 e una fase che viola CP.


• Attuale miglior stima dei parametri:

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

=

c12c13

s12c13

s13ei13

s12c23

c12s23s13ei13 c

12c23

s12s23s13ei13 s

23c13

s12s23

c12c23s13ei13 c

12s23

s12c23s13ei13 c

23c13

cij= cos

ij

sij= sin

ij

12= 13.04 ± 0.05( ) º , 13

= 0.201± 0.011( ) º , 23= 2.38 ± 0.06( ) º , 13

= 1.20 ± 0.08( ) º

Parametrizzazioni della Matrice CKM (III)


30

• Parametrizzazione standard fattorizzata.

• Utilizza i 3 angoli di Eulero, 12, 23 e 13 e una fase che viola CP.


VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

=

c12c13

s12c13

s13ei13

s12c23

c12s23s13ei13 c

12c23

s12s23s13ei13 s

23c13

s12s23

c12c23s13ei13 c

12s23

s12c23s13ei13 c

23c13

=

=

1 0 0

0 c23

s23

0 s23

c23

c13

0 s13ei13

0 1 0

s13e+ i

13 0 c23

c12

s12

0

s12

c12

0

0 0 1

cij= cos

ij

sij= sin

ij

= s12

A2= s

23

A3

i( ) = s13ei13

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

=

1

2

2

4

8A

3i( )

+A21 2( )2

5iA2 5

1

2

2

1

8+A2

2

4A

2

A31 1

2

2+ i( ) A

21

2

21+

2+ i( ) 1

A2 4

2

+O6( )

Parametrizzazioni della Matrice CKM (IV)


31

• Parametrizzazione di Wolfenstein.

• Utilizza i 4 parametri , A, ed :

• L’angolo è il seno dell’angolo di Cabibbo.

• La violazione di CP è contenuta nel termine .

• Attuale miglior stima dei parametri:

i

= 0.22570.0010

+0.0009, A = 0.814

0.022

+0.021, = 0.135

0.016

+0.031, = 0.349

0.017

+0.015

Struttura Gerarchica della Matrice CKM

• La parametrizzazione di Wolfenstein mette in luce la struttura gerarchica della matrice CKM: – Ordine 0:

– Ordine 1:

– Ordine 2:


32

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

+O( )

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

=

1 0

1 0

0 0 1

+O2( )

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

=

1

2

20

1

2

2A

2

0 A2

1

+O3( )

Struttura Gerarchica della Matrice CKM (II)

– Ordine 3:

– Ordine 5:


33

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

=

1

2

2A

3i( )

1

2

2A

2

A31 i A

21

+O4( )

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

=

1

2

2

4

8A

3i( )

+A21 2( )2

5iA2 5

1

2

2

1

8+A2

2

4A

2

A31 1

2

2+ i( ) A

21

2

21+

2+ i( ) 1

A2 4

2

+O6( )

Struttura Gerarchica della Matrice CKM (III)

• Favorite transizioni nella stessa famiglia; • Transizioni famiglie 1 2 soppresse per un fattore ; • Transizioni famiglie 2 3 soppresse per un fattore 2;• Transizioni famiglie 1 3 soppresse per un fattore 3.


34

Transizioni in corrente carica che cambiano il sapore; lo spessore indica la probabilità di transizione.

Gli accoppiamenti più piccoli sono complessi e producono violazione di CP.

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

13

12

3 21

Relazioni di Universalità Debole

• Dalla relazione di unitarietà della Matrice CKM:

seguono le 3 relazioni di universalità debole:

• La corrente carica totale di un quark up-like con tutti i quark down-like è di intensità universale.

• Nessuna informazione riguardo CP (termini reali).


35

V †V = 1 Vik

*Vij=

kj, j,k = 1,2,3

Vij

2

j=1

3

= 1, i = 1,2,3

Vud

2

+ Vus

2

+ Vub

2

= 1

Vcd

2

+ Vcs

2

+ Vcb

2

= 1

Vtd

2

+ Vts

2

+ Vtb

2

= 1

Triangoli Unitari

• Dalle stesse relazione di unitarietà della Matrice CKM:

seguono anche le 6 relazioni triangolari (triangoli nel piano complesso):


36

V †V = 1 Vik

*Vij=

kj, j,k = 1,2,3

Vij

*Vik

i=1

3

= 0, j,k = 1,2,3, j k

j = 1,k = 2

j = 3,k = 1

j = 2,k = 3

Vud

*Vus+V

cd

*Vcs+V

td

*Vts= 0

Vub

*Vud+V

cb

*Vcd+V

tb

*Vtd= 0

Vus

*Vub+V

cs

*Vcb+V

ts

*Vtb= 0

Vji

*Vki

i=1

3

= 0, j,k = 1,2,3, j k

j = 1,k = 3

j = 3,k = 2

j = 1,k = 2

Vud

*Vtd+V

us

*Vts+V

ub

*Vtb= 0

Vtd

*Vcd+V

ts

*Vcs+V

tb

*Vcb= 0

Vud

*Vcd+V

us

*Vcs+V

ub

*Vcb= 0

Vub

*Vud

Vcb

*Vcd

Vtb

*Vtd

Triangoli Unitari (II)

• Si osservino, nella parametrizzazione di Wolfenstein gli ordini di grandezza dei lati in :


37

Vud

*Vus+V

cd

*Vcs+V

td

*Vts= 0

Vub

*Vud+V

cb

*Vcd+V

tb

*Vtd= 0

Vus

*Vub+V

cs

*Vcb+V

ts

*Vtb= 0

Vud

*Vtd+V

us

*Vts+V

ub

*Vtb= 0

Vtd

*Vcd+V

ts

*Vcs+V

tb

*Vcb= 0

Vud

*Vcd+V

us

*Vcs+V

ub

*Vcb= 0

O ( ) +O ( ) +O 5( ) = 0O

3( ) +O 3( ) +O 3( ) = 0O

4( ) +O 2( ) +O 2( ) = 0O

3( ) +O 3( ) +O 3( ) = 0O

4( ) +O 2( ) +O 2( ) = 0O ( ) +O ( ) +O 5( ) = 0

Vub

*Vud

Vcb

*Vcd

Vtb

*Vtd

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

13

12

3 21

Triangoli Unitari (III)


38

Vud

*Vus+V

cd

*Vcs+V

td

*Vts= 0

Vub

*Vud+V

cb

*Vcd+V

tb

*Vtd= 0

Vus

*Vub+V

cs

*Vcb+V

ts

*Vtb= 0

Vud

*Vtd+V

us

*Vts+V

ub

*Vtb= 0

Vtd

*Vcd+V

ts

*Vcs+V

tb

*Vcb= 0

Vud

*Vcd+V

us

*Vcs+V

ub

*Vcb= 0

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

13

12

3 21

Vtd

*Vts

5

Vcd

*Vcs

Vud

*Vus

Vcb

*Vcd

3

Vub

*Vud

3

Vtb

*Vtd

3

Vus

*Vub

4

Vts

*Vtb

2

Vcs

*Vcb

2

Vub

*Vtb

3

Vud

*Vtd

3

Vus

*Vts

3

Vtd

*Vcd

4

Vtb

*Vcb

2

Vts

*Vcs

2

Vub

*Vcb

5

Vud

*Vcd

Vus

*Vcs

• Consideriamo in particolare il triangolo:

• Definiti:

si ha:

e il triangolo si può scalare in modo che sia:

Triangoli Unitari (IV)


39

Vub

*Vud+V

cb

*Vcd+V

tb

*Vtd= 0

Vtb

*Vtd

3

Vcb

*Vcd

3

Vub

*Vud

3

= 12

( )= 1

2( )

Vub

*Vud= A

3+ i( )

Vcb

*Vcd= A

3

Vtb

*Vtd= A

31 i( )

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

=

1

2

2A

3i( )

1

2

2A

2

A31 i A

21

+O4( )

+ i

1

1 i

x

iy

C = 0,0( ) B = 1,0( )

A = ,( )

BC =

Vcb

*Vcd

Vcb

*Vcd

=A

3

A3= 1

• In tal caso i lati risultano:

Triangoli Unitari (V)


40

Vtb

*Vtd

3

Vcb

*Vcd

3

Vub

*Vud

3

AC =Vub

*Vud

Vcb

*Vcd

= + i2

=2+

2=def

Rb

BC =Vcb

*Vcd

Vcb

*Vcd

=A

3

A3= 1

AB =Vtb

*Vtd

Vcb

*Vcd

= 1 i2

= 1( )2

+2=def

Rt

+ i

1

1 i

x

iy

C = 0,0( ) B = 1,0( )

A = ,( )

1

Vub

*Vud

Vcb

*Vcd

Vtb

*Vtd

Vcb

*Vcd

C B

A

• Per quanto riguarda gli angoli, si ha:

• L’angolo coincide con buona approssimazione con la fase irriducibile .

Triangoli Unitari (VI)


41

= argVub

*Vud

Vtb

*Vtd

= argVtb

*Vtd

Vcb

*Vcd

= arctan1

= argVub

*Vud

Vcb

*Vcd

= arctan

1

Vub

*Vud

Vcb

*Vcd

Vtb

*Vtd

Vcb

*Vcd

C B

A

+ i

1

1 i

x

iy

C = 0,0( ) B = 1,0( )

A = ,( )

• La relazione di unitarietà:

si può anche scrivere come:

Triangoli Unitari (VII)


42

Rbei+ R

tei= 1 1

Vub

*Vud

Vcb

*Vcd

Vtb

*Vtd

Vcb

*Vcd

C B

A

+ i

1

1 i

x

iy

C = 0,0( ) B = 1,0( )

A = ,( )

Vub

*Vud+V

cb

*Vcd+V

tb

*Vtd= 0

• I moduli sono tipicamente calcolati dal rapporto tra ratei di decadimento.

• Esempio: Vud: – Rapporto tra ratei di decadimento di neutrone e muone;

– Rapporto proporzionale a |Vud|2;

– |Vud| = 0.9735 ± 0.0008.

Misura degli Elementi

della Matrice CKM


43

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

dd

udu

n p

νeW−

e−

u

Vud

νeW−

e−

μ−

νμ1

• Esempio: Vus: – Rapporto tra il rateo di decadimento semileptonico del K e il rateo di

decadimento del muone;

– Rapporto proporzionale a |Vus|2;

– |Vus| = 0.2196 ± 0.0023.


della Matrice CKM (II)


44

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

� �

��

��

��

Vus

νeW−

e−

μ−

νμ1

• Esempio: Vcb: – Rapporto tra il rateo di decadimento

e il rateo di decadimento del muone;

– Rapporto proporzionale a |Vcb|2;

– |Vcb| = 0.0402 ± 0.0019.


della Matrice CKM (III)


45

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

��

��

��

��

��

Vcb

νeW−

e−

μ−

νμ1

Bd

0D*l+

• Esempio: Vub: – Rapporto tra il rateo di decadimento:

e il rateo di decadimento:

– Rapporto proporzionale a |Vub/Vcb|2;

– |Vub/Vcb| = 0.090 ± 0.025.


della Matrice CKM (IV)


46

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

��

��

��

��

� �

��

Vcb

��

��

��

��

� �

�� uπ−

Vub

Bd

0D*l+

Bd

0l+

• Esempio: Vtd: – Rateo di oscillazione:

– Dominato dalla massa del top:


della Matrice CKM (V)


47

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

� �

� ��

� ��

��

� � B0

dB0d

� �

� ��

� ��

��

��

��B0

d B0

d

Bd

0Bd

0

t t mt

2VtbVtd

*2

mt

2 6

cc mc

2VcbVcd

*2

mc

2 6

c t , ct mcmtVtbVtd

*VcbVcd

*mcmt

6

mBd

0

mt

2

mW

2mBd

0Vtd

2

• Esempio: Vts (CDF, 2006): – Ratei di oscillazione:

– Dominati dalla massa del top;


della Matrice CKM (VI)


48

VCKM

=

Vud

VusVub

Vcd

VcsVcb

Vtd

VtsVtb

�

��

� ��

� �

s

s

Vqs

V ∗qs

B0s B

0

s

�

��

� ��

��

��B0

s B0

s

s

s Vqs

V ∗qs

Bd

0Bd

0

Bs

0Bs

0

mBd

0

mBs

0

Vtd

2

Vts

2

6

4=

2Vtd

Vts

= 0.2060 ± 0.0007 ms

( )0.0060

+0.0081

md+ teor.( )

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

)+sin(2

smdm

dm

K

cbVubV

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Attuali Vincoli del Triangolo Unitario

• Collaborazione UTfit: – Determinazione della

miglior stima dei parametri del triangolo unitario;

– Sulla base delle misure sperimentali provenienti dai diversi esperimenti.


49

Prof. Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected]

http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli

https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica

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