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La Lagrangiana del Modello Standard

Fenomenologia delle Interazioni Forti

Diego BettoniAnno Accademico 2008-09

D. Bettoni Fenomenologia Interazioni Forti 2

Formalismo di Dirac

( ) 0=−∂ ψγ μμ mi

ψγψ μμ =j Corrente Conservata

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

0110

00 0γσ

σγ

i

ii ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=10

015γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

L

R

ψψ

ψ ( )ψγψ μμ mi −∂=L


Invarianza di Gauge

( )Ψ=Ψ′′

−∂=

Ψ=Ψ′

μμ

μμμ

DD

D

U

igA

U( ) 11 −− +∂−=

′UUAUU

giA μμμ

μμμ τ Wig ⋅−∂=22

rD

μμμ θεθδ kjijkii Wg

W −∂=2

1

Abeliana

Non Abeliana

L’invarianza di gauge richiede l’introduzione di bosoni vettoriali, che agisconoda quanti di nuove interazioni. Nelle teorie di gauge le simmetrie determinanole interazioni.


Le Simmetrie del Modello Standard

• Invarianza U(1). Tutte le particelle hanno questo tipo di invarianza, legata all’elettromagnetismo. Richiede l’esistenza di un bosone vettoriale, Bμ, la cui corrispondenza con il fotone verrà stabilita in seguito.

• Invarianza SU(2). Corrisponde ad una invarianza di gauge locale non abeliana (isospin debole). Richiede l’esistenza di tre bosoni vettoriali, Wi

μ, uno per ogni generatore di SU(2). Le particelle fisiche hanno cariche elettriche definite.

• Invarianza SU(3). Richiede l’esistenza di otto bosoni vettoriali Gaμ, i

gluoni, il cui scambio dà origine all’interazione forte, descritta dalla Cromodinamica Quantistica (QCD).

( ) ( ) 302121 22 WWiWWWiWWW =−−=+−= −+


La Lagrangiana

• Per ottenere la lagrangiana del modello standard si parte dalla lagrangiana per particelle libere e si sostituisce la derivata con la derivata covariante. Distingueremo due parti:

energie cinetiche dei campi di gaugederivata covariante → energie cinetiche dei fermioni

• Bisogna specificare poi le particelle e le loro proprietà di trasformazione sotto le tre simmetrie interne.

• Notazione

gaugeL

fermL


−− == −−eLLeRR PePe ψψ

L

e

eL ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= −

ν−Re

Leptoni

• Le rotazioni in SU(2) elettrodebole trasformano elettroni L in neutrini L e viceversa.

• Spin ordinario: operatori di salita e di discesa (vettori).• Isospin forte: pioni (vettori).• Isospin debole: bosoni W, connettono i membri di un isodoppietto• eR non è connesso ad altri stati da transizioni elettrodeboli.• p,q,r=1,2 es: Lp L1=νeL, L2=e-

L.

singoletto di SU(2) doppietto di SU(2)

Gli stati left-handed e right-handed si trasformano diversamente sotto trasformazioni di SU(2) elettrodebole: gli elettroni R sono singoletti di SU(2),mentre gli elettroni L appartengono a doppietti insieme ai neutrini L.


LL d

uQ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

α

αα αα RR ud ,

Quarks

• Indice α descrive come il quark trasforma sotto SU(3) di colore.• La rappresentazione di base è un tripletto. α,β,γ = 1,2,3 o r,g,b.• Colore (es. r) e anticolore (es.⎯ r ). Singoletto (⎯rr+ ⎯gg+ ⎯bb)• Tutti i leptoni sono singoletti di colore.• Tutti i quark sono tripletti di colore.• I gluoni generano le transizioni da un colore all’altro: analogamente

ai fotoni sono i quanti dell’interazione forte, ma contrariamente ai fotoni hanno carica di colore.

• Ci sono 8 gluoni “bi-colorati” (es. ⎯bg): rappresentazione di ottetto di SU(3) di colore.


• Nel modello standard non ci sono neutrini R:– Sperimentalmente si osservano solo νL.– Massa dei neutrini molto piccola (ma non nulla, v. oscillazioni).– Se in natura ci sono neutrini νR o sono molto pesanti, oppure

interagiscono molto debolmente.• I fermioni R e L sono stati messi in diversi multipletti di SU(2)

elettrodebole: questo implica violazione della parità, in quanto la teoria risulta non invariante rispetto all’inversione dello spin lungo la direzione di moto. Questo è il modo in cui la violazione della paritàemerge dal modello standard, ma non ne dà una spiegazione fondamentale.

• La stessa teoria si può applicare alle altre due famiglie di fermioni: (νμ,μ, c,s) e (ντ ,τ,t,b).– L’universo consiste di fermioni della prima generazione.– Le altre famiglie sono prodotte in interazioni di raggi cosmici o agli

acceleratori.– Non esiste una spiegazione dell’esistenza di tre famiglie di particelle

con gli stessi numeri quantici e le stesse interazioni.


ψγψψγψ μμ

μμ D→∂

ai GigWigBYigai

μμλτ

μμμ 222 321 −−−∂=D

332211μμμμ ττττ WWWW ii ++=

RRLR duQeLf ,,,,=∑=f

ff μμγ DLferm

Lagrangiana di Quark e Leptoni

• Bμ è il campo necessario a mantenere l’invarianza di gauge U(1). g1 è la costante di accoppiamento introdotta ad hoc. Y è il generatore di U(1),costante, ma in linea di principio diverso per i diversi fermioni.

• Considerazioni analoghe valgono per i termini di SU(2) e SU(3). Vengono introdotti rispettivamente 3 e 8 bosoni vettoriali per garantire l’invarianza di gauge.

• Dμ dà risultato nullo quando agisce su uno stato fermionico di diversa forma matriciale. Per esempio è una matrice 2×2 in SU(2) e dà zero se agisce su eR, uR ,dR.

iiWτ


LLLLRR eeee νγνγγ μμ

μμ

μμ ∂+∂+∂=L

RR

i

eeLeL

→→ ⋅ 2θτ

rr

Ri

R

i

eee

LeLβ

β

′→

→

Gauging the Global Symmetries

Lagrangiana di Dirac (termini cinetici) per la prima generazione:

Simmetria Globale SU(2)

Simmetria Globale U(1)

Mettiamo eL e νL in un doppietto, eR in un singoletto.

Rendiamo locali le simmetrie introducendo i potenziali Wiμ e Bμ. e

sostituendo ∂μ con la derivata covariante Dμ (operazione di “gauging”).In questo modo si ottiene lo stesso risultato.Alcuni tentativi di estensione del modello standard vengono fatti in questomodo, aggiungendo particelle e simmetrie e facendo poi il “gauging”.


Lagrangiana Elettrodebole

• Poichè il termine in ∂μ è sempre presente verrà omesso (sottinteso).• Tutti i calcoli in SU(2) verranno fatti solo per i leptoni.• Poichè la parte di colore della funzione d’onda dei quark non agisce

negli spazi U(1) ed SU(2) i quark si comportano nello stesso modo dei leptoni per le interazioni U(1) ed SU(2).


( )( ) RR

RL eBYigieLBYigiLU ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=− μ

μμ

μ γγ22

leptoni,1 11fermL

LLLL eeLL μμμ γνγνγ +=

( )( ) ( )[ ] μμμμ γγνγν BeeYeeYgU RRRLLLLL ++=−

2leptoni,1 1

fermL

I Termini U(1)


( )( )

( )

( )

( )

[ ]002

0

02

0

02

321

2132

2ferm

222

22

2

22

2

2

2leptoni,2

μμ

μμ

μμ

μμ

μμ

μμμ

μμ

μμμ

μμμ

μμμμ

μ

γνγγννγν

νν

γν

νγν

νγν

τγμ

WeeWeWeWg

eWWeWW

eg

eWWWW

eg

eWiWWiWWW

eg

LWigiLSU

LLLLLLLL

LL

LLLL

L

LLL

L

LLL

ii

−−−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

−+

−

+

−

+

L

I Termini SU(2)


[ ]RRLL eeeeQA μμμ γγ +=EML

LLL WgBYg νγν μμ μ ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ −− 021

22

012 μμμ WYgBgA L−∝ 0

21 μμμ WgBYgZ L +∝

221

22

012

LYgg

WYgBgA L

+

−= μμ

μ 221

22

021

LYgg

WgBYgZ L

+

+= μμ

μ

La Corrente Neutra

Interazione elettromagnetica di particelle con carica Q

Ci sono termini con neutrini

Assumiamo che il campo magnetico Aμ sia la combinazione ortogonale:


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +− μ

μμ

μ γγμ

BYgeeWgBYgee RRRLLL 2221021

221

22

12

LYgg

ZYgAgB L

+

+= μμ

μ 221

22

210

LYgg

ZgBYgW L

+

+−= μμ

μ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+

−−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+−

221

22

21

221

22

22

221

221

22

2122

122

21

22

2

LL

LL

YggYYgee

YgggYgeeZ

YggYggee

YggYggeeA

LRRR

LLL

RRR

LLL

μμμ

μμμ

γγ

γγ

Termini con gli elettroni:

Il termine in Aμ deve rappresentare la corrente elettromagnetica. Il termine in Zμ rappresenta un’ulteriore interazione, da verificare sperimentalmente.


221

22

21

LYgg

Ygge L

+=−

221

22

21

2L

YggYgge R

+=−

21

221

22

2

ggYgg

eY

YY

LL

LR

+−=

=

21

22

211gg

ggeYL+

=⇒−=

Possiamo scegliere YL=-1, in quanto ognicambiamento in YL può venire riassorbitoda una ridefinizione di g1.

La teoria che abbiamo sviluppato comprende l’interazione elettromagneticaper i soli elettroni e una nuova interazione di corrente neutra Zμ sia per glielettroni che per i neutrini.


21

22

2

21

22

1

cos

sin

ggg

ggg

W

W

+=

+=

θ

θ

W

W

eg

eg

θ

θ

sin

cos

2

1

=

=

23.0sin ≈Wθ

Definiamo:θW Angolo di mixing debole(angolo di Weinberg)

g1 e g2 sono scritte in termini della costante nota e (e2/4π≈1/137)e dell’angolo di mixing debole, da determinarsi sperimentalmente.


LLW

LL ZgZgg

νγνθ

νγν μμ

μμ cos22

221

22 −=+

−

WW

WW

WW

e

e

eegg

θθ

θθ

θθ

sincos

sincos

sincos21

22

2

21

2

2

2

221

22

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+

Accoppiamento ν-Z

W

gθcos2

2 è la quantità da associare ad ogni vertice νL-Z. “carica elettrodebole” del neutrino left-handed.


Accoppiamento e-Z

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

−−

21

22

21

21

22

22

21

2 gggee

ggggeeZ RRLL

μμμ γγ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

+

−

WWW

WW

egg

egg

gg

θθθ

θθ

2

2221

22

2

21

22

22

21

sin21

sincos

sin1

cos1

22

( )WWW

WW

W

e

ee

ggg

θθθ

θθθ

2

2

2

21

22

21

sinsincos

sincoscos

−=

−=+

−

Accoppiamento eL

Accoppiamento eR


( )Wff

WWQTe θ

θθ2

3 sinsincos

−

T3f è il generatore di T3 per ogni fermione f.

Per un singoletto (f=eR,uR,dR ecc) T3f = 0.

Per il membro superiore di un doppietto (f=νL,uL ecc) T3f = +1/2.

Per il membro inferiore di un doppietto (f=eL,dL ecc) T3f = -1/2.

Qf è la carica elettrica del fermione in unità di e: Qe=-1. Qν=0, Qu=2/3, Qd=-1/3)

Nella teoria elettrodebole sono presenti sia l’interazione elettromagnetica,mediata dal fotone, che la corrente debole neutra, mediata dal bosone Z0, che si accoppia ad ogni fermione dotato di carica elettrica o isospin debole.

L’intensità dell’interazione della Z0 non è intrinsecamente piccola, ma siriduce a causa dell’elevato valore della sua massa che, al contrario del fotone,è diversa da zero.

Questa espressione dà la carica elettrodebole per ogni fermione, cioèl’intensità del suo accoppiamento allo Z.


Il processo e+e- → μ+μ- (oppuree+e- → τ+τ-) non è puramenteelettromagnetico, ma c’ è unacomponente debole, dovuta alloscambio di una Z0.

−e

+e

−μ

+μ

−e

+e

−μ

+μ

γ 0Z

α α G G

( ) ( )ceinterferenddweak

ddQED

dd

dd

Ω+

Ω+

Ω=

Ωσσσσ )(

s

2α sG2 Gα

L’asimmetria deriva dal termine di interferenza, l’effetto è dell’ordine del10 % per s = 1000 GeV2.


Corrente Carica

[ ]−+ += μμ

μμ νγγν WeWeg

LLLL22

fermL

( )eeLL51

21 γγνγν μμ −=

( ) ( )137

2sin2

44

22

222 ≈=

W

egθπ

π

La parte U(1) della Lagrangiana contiene solo termini diagonali, mentrela parte SU(2) contiene anche termini non diagonali.

corrente carica

interazione V-A

Si prevede dunque l’esistenza dei bosoni carichi W± e di correnti caricheassociate ad essi. Le correnti cariche osservate hanno intensità moltominore da quella che ci si potrebbe aspettare:


Esempio di Corrente Carica:il Decadimento β

Come nel caso delle correnti neutre le ampiezze dei processi di correntecarica vengono ridotte dall’elevato valore della massa del W±.

eepn ν++→ −

( )eeud ν++→ −

s8.07.885 ±=τ

d

u e-

⎯νe

u e-

d ⎯νe

g gG

W-

MW = 80.425 ± 0.038 GeV/c2

q2 << M2W

L’interazione è praticamente puntiforme, descritta da un accoppiamento a 4 fermioni

2

2

WMgG =


I Termini Elettrodeboli con i Quark

La struttura di spin e di SU(2) per quark e leptoni è la stessa, per cui leconclusioni precedenti riguardanti i leptoni si applicano in manieraidentica ai quark:• Si accoppiano agli stessi bosoni di gauge W±, Z0, γ.• Normale accoppiamento elettromagnetico al fotone.• Accoppiamento di corrente carica che genera transizioni uL ↔ dL,

mentre non ci sono transizioni di corrente carica per uR e dR.• Interazioni di corrente neutra

con accoppiamento:

( )Wff

WWQTe θ

θθ2

3 sinsincos

−

f Q T3f

uL +2/3 +1/2dL -1/3 -1/2uR +2/3 0dR -1/3 0


La Lagrangiana QCD

• Contiene solo i quark, perchè i leptoni non hanno carica di colore.• Nel caso elettrodebole i Wi sono in relazione a stati di carica elettrica

perchè c’e’ interazione con il campo elettromagnetico. I gluoni sono neutri elettricamente, cioè non hanno interazione e.m.

• Poichè i generatori λ non sono tutti diagonali, l’interazione tra gluoni e quark cambia il colore dei quark.

• I gluoni e i quark sono confinati negli adroni.

⎩⎨⎧

==

8,...,13,2,1,

23

aqGqg aa βα

λγ βμαβμ

α


La Seconda e Terza Famiglia

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

bt

sc

duee

τ

• Tutta la fenomenologia nota è consistente con queste sostituzioni• Non sappiamo se ci sono altre famiglie, o altri quark o leptoni che non

entrano in questo schema• Tutti i fermioni delle tre famiglie sono stati osservati sperimentalmente.• Lo stesso set di bosoni di gauge (γ, W±, Z0,g) interagisce con tutti i

fermioni delle tre famiglie:– lepton universality– u- and d- universality

νμνν τμ


La Lagrangiana Fermione-Bosone di Gauge

( )

( ) ( )[ ]

( )[ ]

∑

∑

∑

=

+

=

=

+

+++

−+−+

=

duq

aa

LLLL

duefWfRRWffLL

W

dueff

Gqqg

Wedug

ZQffQTffg

AffeQ

,

3

2

,,,

2232

,,,

2

h.c.2

sinsincos

μβαβμ

α

μμμ

νμ

μμ

νμ

μ

λγ

γνγ

θγθγθ

γL


Masse

• Per i fermioni un termine di massa sarebbe della forma m⎯ψψ.

Poichè i fermioni L sono membri di un doppietto di SU(2) mentre i fermioni R sono singoletti, i termini⎯ψRψL e ⎯ψLψR non sono singoletti in SU(2) e quindi non danno una lagrangiana invariante per trasformazioni di SU(2).

• Per i bosoni di gauge i termini di massa sono del tipo

Anch’essi non sono invarianti per trasformazioni di gauge.La risoluzione del problema passa attraverso il meccanismo di Higgs.

( )RLLRmm ψψψψψψ +=

μμBBmB

2

21

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