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La Violazione di CP nel Modello Standard
prof. Domenico Galli
Temi di Fisica delle Particelle Elementari al LHC Dottorato di ricerca in Fisica, Bologna g
νeW−
e−
μ− g
νμ
Accoppiamento Debole
• I processi leptonici sono i soli processi deboli non contaminati dall’interazione forte.
• Le ampiezze di probabilità per processi a energie molto minori della massa del W sono proporzionali alla Costante di Fermi GF: – Vale per tutti i fermioni eccetto il top.
• La costante g nei vertici è la carica debole: – Adimensionale, di grandezza confrontabile con l’accoppiamento
elettromagnetico .
• L’elemento di matrice M è proporzionale prodotto di due accoppiamenti e un propagatore:
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
2
M g
i gμ t
μt
MW
2( )M
W
2t
g
t = p2
μp1
μ( ) p2μ p1μ( )
M = 1
2μ
μ
1
21
5( ) μgg
μ tμt
MW
2
MW
2tg
e
1
21
5( )e
Accoppiamento Debole (II)
• Se il 4-impulso trasferito t è piccolo:
si può approssimare:
• In queste condizioni il 4-impulso trasferito t è troppo piccolo per distinguere i 2 vertici e l’interazione si comporta come una interazione puntiforme di 4 fermioni.
• Costante di Fermi GF:
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
3
g
νeW−
e−
μ− g
νμ
μ−
νμ
νe
e−GF
M gg
μ tμt
MW
2
MW
2tg
g2
MW
2g
μ, t M
W
2
t = p2
μp1
μ( ) p2μ p1μ( )
t MW
2
GF=2
8
g2
MW
2NU( )
GF
c( )3=2
8
g2
MWc2( )2
SI( )
Universalità dell’Accoppiamento Debole
• L’interazione debole in corrente carica ha la stessa costante di accoppiamento per tutti i fermioni: – Questa proprietà è evidente per i leptoni, ma non per i quark.
• Per i 3 decadimenti leptonici in figura si ha:
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4
τ− gτ
ge
νe
ντ
W−
e−
τ− gτ
ντ
W− νμ
gμ μ− ge
νeW−
e−
μ− gμ
νμ
μμ( )
g2
MW
2
gμ
2
MW
2m5
ee( )
g2
MW
2
ge
2
MW
2m5
μ ee μ( )
gμ
2
MW
2
ge
2
MW
2m
μ
5
μμ( )
ee( )
=gμ
2
ge
2
μ
e
μ ee μ( )
ee( )
=gμ
2
g2
mμ
5
m5
μ
Universalità dell’Accoppiamento Debole (II)
• Sperimentalmente si ha:
e si ottiene:
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5
τ− gτ
ge
νe
ντ
W−
e−
τ− gτ
ντ
W− νμ
gμ μ− ge
νeW−
e−
μ− gμ
νμ
μμ( )
ee( )
=BR μ
μ( )BR e
e( )μ e
e μ( )e
e( )=
1
BR ee( ) μ
gμ
ge
= 1.001± 0.002
gμ
g= 1.001± 0.003
ge= g
μ= g =
def
g (universalità)
L’Accoppiamento ai Quark
• Nel settore dei quark, il bosone W si accoppia con coppie quark-antiquark formate da un quark up-like e un anti-quark down-like.
• I decadimenti in cui cambia la stranezza:
sono tuttavia sfavoriti rispetto ai decadimenti in cui non cambia:
• Per esempio il decadimento:
è sfavorito rispetto al decadimento:
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6
dd
udu
n p
νeW−
e−
udu
du
p
νeW−
e−
u
Λ
s
s u F = 1
d u F = 0
pee
F = 1
n pee
F = 0
L’Accoppiamento ai Quark (II)
• Analogamente il decadimento in cui cambia la stranezza:
è sfavorito rispetto al decadimento in cui non cambia:
• Nell’ipotesi dell’universalità gli elementi di matrice sarebbero uguali nei due casi:
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7
W−νμ
μ−d
π−
s
W−νμ
μ−K−
K μμ
F = 1
μμ
F = 0
M GFμL μL( ) uL s
L( )M G
FμL μL( ) uL d
L( )
L’Accoppiamento ai Quark (III)
• Nell’ipotesi dell’universalità risulterebbe, per l’estensione in fase:
• Mentre sperimentalmente si ha:
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8
W−νμ
μ−d
π−
s
W−νμ
μ−K−
K μμ( )
μμ( )
=
mK1
mμ
mK
22
m 1mμ
m
22= 8.06
K μμ( ) =
1
K
BR K μμ( ) =
0.64
1.24 108s1
μμ( ) =
1BR μ
μ( ) =1
2.6 108s1
K μμ( )
μμ( )
= 1.34
L’Accoppiamento ai Quark (IV)
• Nell’ipotesi dell’universalità, basandosi sulla vita media del muone: – La vita media del neutrone sarebbe un po’ troppo corta;
– La vita media delle particelle strane sarebbe di gran lunga troppo corta.
• Nel settore dei quark, la costante di accoppiamento debole sembra dipendere dal tipo di processo.
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9
W−
l−
νl
gl
W−
d
u
gdu
W−
u
gsus
gl> g
dugsu
Miscelamento di Cabibbo
• Si può trovare un angolo piccolo C, tale che:
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10
gdu= g
lcos
C
gsu= g
lsin
C
W−
l−
νl
gl = g
W−
d
u
gdu = g cos θC
W−
u
sgsu = g sin θC
K μμ( )
μμ( )
=
mK1
mμ
mK
22
m 1mμ
m
22tan
2
C
gl> g
dugsu
gl> g
lcos
Cglsin
C
C= 12.9º ,
cosC= 0.974,
sinC= 0.221
Miscelamento di Cabibbo (II)
• La relazione tra le costanti di accoppiamento:
equivale a supporre che valga l’universalità, ma che gli stati che si accoppiano al vertice debole siano stati miscelati:
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11
gdu= g
lcos
C
gsu= g
lsin
C
W−
l−
νl
g
W−
u
s sin θC gd cos θC
W−
u
g
μL μL( )
g g sinC( )
MW
2uLdL( ) μ
L μL( ) ggM
W
2uLdLsin
C( )
μL μL( )
g g cosC( )
MW
2uLsL( ) μ
L μL( ) ggM
W
2uLsLcos
C( )
Miscelamento di Cabibbo (III)
• Si può generalizzare supponendo che gli stati che si accoppiano al vertice debole siano:
• L’autostato dell’interazione debole d è diverso dall’autostato di sapore d.
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12
e
eL
,μ
μL
,u
dL
=u
dcosC+ ssin
C L
W−
l−
νl
g
W−
u
gd cos θC + s sin θC
θC
θC
Miscelamento di Cabibbo (IV)
• Ma se d è una sovrapposizione degli stati d e s:
perché non dovrebbe esistere la sovrapposizione ortogonale s ?
• In tal caso la relazione tra le due basi sarebbe la rotazione:
• Ma avremmo un doppietto incompleto di stati accoppiati al vertice debole:
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13
e
eL
,μ
μL
,u
dL
,?
sL
θC
θC
d =dcosC+ ssin
C
s = dsinC+ scos
C
d
s=
cosC
sinC
sinCcos
C
d
s
Il Meccanismo GIM
• Inoltre, a causa del miscelamento di Cabibbo, nella lagrangiana sarebbe presente una transizione in corrente neutra che cambia il sapore (FCNC):
• Sperimentalmente, tuttavia, i corrispondenti processi fisici sono fortemente soppressi.
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14
θC
θC
Jcn= u
LuL+ d
LdL= u
LuL+ d
Lcos
C+ s
Lsin
C( ) d
Lcos
C+ s
Lsin
C( ) =
= uLuL+ cos
2
CdLdL+ sin
2
CsLsL
S =0
+ cosCsin
CdLsL+ s
LdL( )
S =1 FCNC( )
Il Meccanismo GIM (II)
• Per esempio il decadimento in corrente neutra con :
è soppresso rispetto al decadimento in corrente carica con :
mentre dovrebbe avere probabilità simile guardando i diagrammi.
• Glashow, Iliopulos e Maiani (1970) ipotizzarono l’esistenza di un quarto quark, il charm, partner mancante dell’s nella formazione di un secondo doppietto di quark:
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15
F = 1
K+ +
+e+
eBR = 1.5
0.9
+1.310
10
F = 1
K+ 0
+e+ e
+BR = 4.98 ± 0.07( ) 10
2
� ���
s
νe
uπ0
e+W+
�
���
���
dsπ+
Z0
νe
e
eL
,μ
μL
,u
dL
,c
sL
Il Meccanismo GIM (III)
• Con l’aggiunta del quark charm:
la corrente neutra si scrive:
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16
e
eL
,μ
μL
,u
dL
=u
dcosC+ ssin
C L
,c
sL
=c
dsinC+ scos
C L
Jcn= u
LuL+ d
LdL+ c
LcL+ s
LsL=
= uLuL+ d
Lcos
C+ s
Lsin
C( ) d
Lcos
C+ s
Lsin
C( ) +
+ cLcL+ d
Lsin
C+ s
Lcos
C( ) d
Lsin
C+ s
Lcos
C( ) =
= uLuL+ cos
2
CdLdL+ sin
2
CsLsL
S =0
+cosCsin
CdLsL+ s
LdL( )
S =1 FCNC( )
+
+cLcL+ sin
2
CdLdL+ cos
2
CsLsL
S =0
sinCcos
CdLsL+ s
LdL( )
S =1 FCNC( )
=
= uLuL+ c
LcL+ d
LdL+ s
LsL
Il Meccanismo GIM (IV)
• Le FCNC si cancellano.
• Restano le correnti neutre che conservano il sapore.
• La rotazione di Cabibbo è irrilevante per le correnti neutre: – Si scrivono nella stessa forma nelle due basi.
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17
Jcn= u
LuL+ d
LdL+ c
LcL+ s
LsL=
= uLuL+ d
LdL+ c
LcL+ s
LsL
S =0
Tutto in ordine?
• Vignetta presentata da Cabibbo nel 1966…
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18
Il Punto
• Universalità delle interazioni deboli anche nel settore dei quark: – Rotazione di Cabibbo:
• Differenze leptoni-quark; • Soppressione decadimenti ;
• Soppressione FCNC: – GIM; – Ipotesi quark charm.
• Nessuna previsione di violazione di CP nel modello. • 1973: l’esistenza di 3 doppietti di quark è proposta da M.
Kobayashi e K. Maskawa come una possibile spiegazione della violazione di CP.
• 1975 (Mark I): scoperto il terzo leptone carico ( ); • 1977 (FNAL): scoperto il quark bottom (b); • 1987 (Argus): evidenza indiretta del quark top (t) nell’oscillazione
dei B0. • 1995 (Fermilab): scoperto il quark top (t);
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19
F = 1
e
eL
,μ
μL
,u
dL
,c
sL
d
s=
cosC
sinC
sinCcos
C
d
s
Da 2 a 3 Famiglie di Sapore
• 2 famiglie:
• 3 famiglie:
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20
e
eL
,μ
μL
u
dL
,c
sL
d
s=V
d
s
V =cos
Csin
C
sinCcos
C
e
eL
,μ
μL
,
L
u
dL
,c
sL
,t
bL
d
s
b
=VCKM
d
s
b
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
VCKM
=
c12c13
s12c13
s13e i
s12c23
c12s23s13ei c
12c23
s12s23s13ei s
23c13
s12s23
c12c23s13ei s
23c12
s12c23s13ei c
23c13
sij= sin
ij
cij= cos
ij
, i, j = 1,2,3
Le 3 Famiglie di Quark
• I quark sono classificati in tre famiglie di sapore:
• L'elemento superiore in ciascuno dei doppietti è il quark up-like della famiglia, di carica elettrica + ;
• L'elemento inferiore è il quark down-like, di carica .
• A ogni quark corrisponde lo stato di particella coniugato di carica (anti-quark) con numeri quantici opposti.
• I quark differiscono, oltreché per il valore della carica elettrica, per il valore della massa e per i numeri quantici di sapore.
• I quark sono dotati della carica di colore responsabile delle interazioni forti.
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21
u
d,
c
s,
t
b
+2
3
1
3
up-like
down-like
Correnti Deboli Cariche
• La dinamica del sapore nelle interazioni deboli, nel Modello Standard è descritta dalla densità di lagrangiana in corrente carica:
la quale rappresenta il processo di trasformazione dello stato di sapore, che avviene mediante l'accoppiamento tra la corrente dei quark Jμ
cc e il campo Wμ del bosone W carico; g è la costante di accoppiamento debole.
• La corrente carica Jμcc dei quark si scrive:
dove VCKM è la matrice di miscelamento del sapore dei quark.
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22
Lcc
q =g
2Jμ
cc†W
μ+ J
μ
ccW
μ
†( )
Jμ
cc= u, c, t
L μVCKM
d
s
bL
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
Parametri Fisici
nella Matrice di Miscelamento
• Matrice complessa N N 2N2 parametri.
• Unitarietà: N2 vincoli:
• per esempio, per N = 3:
• Totale 2N2 N2 = N2 parametri.
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23
V †V = 1 Vik
*Vij=
kj, j,k = 1,2,…,N
Vud
*Vcd
*Vtd
*
Vus
*Vcs
*Vts
*
Vub
*Vcb
*Vtb
*
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Parametri Fisici
nella Matrice di Miscelamento (II)
• I campi dei quark down-like sono definiti modulo una fase arbitraria: – L’espressione della corrente carica:
non cambia per una sostituzione:
• L’arbitrarietà di queste 2N fasi, può essere utilizzata per eliminare 2N 1 parametri: – La fase globale è irrilevante (se si modifica allo stesso modo la fase di
tutti i quark, V non cambia).
• I parametri fisici diventano N2 2N + 1 = (N 1)2.
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24
Jμ
cc= u, c, t
L μVCKM
d
s
bL
d j eij d j
Vij
eiiVijeij = e
ij i( )Vij
d j
Parametri Fisici
nella Matrice di Miscelamento (III)
• Se la matrice V fosse reale essa sarebbe ortogonale:
angoli di rotazione indipendenti tra gli N vettori della base.
• I rimanenti:
parametri sono fasi complesse irriducibili.
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
25
N
2=N N 1( )
2
Np= N 1( )
2 N N 1( )2
=2N
24N + 2 N
2+ N
2=N23N + 2
2=N 1( ) N 2( )
2
Parametri Fisici
nella Matrice di Miscelamento (IV)
Numero Famiglie
Numero Parametri
Numero Angoli
Numero Fasi Irriducibili
2 1 1 0
3 4 3 1
4 9 6 3
N
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26
N 1( )2 N N 1( )
2
N 1( ) N 2( )2
• N 3 richiesto per avere almeno 1 fase complessa irriducibile.
Fasi Complesse Irriducibili e Violazione di CP
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27
• L’operatore CP è anti-unitario: – Determina la coniugazione complessa degli scalari.
• Se la matrice CKM è reale non è compatibile con la violazione di CP.
• Una fase complessa irriducibile nella matrice CKM consente la violazione di CP.
CP c = c*CP, c
W−
u
Vub V ∗ub
W+
b b
Parametrizzazioni della Matrice CKM
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28
• Parametrizzazione originale di Kobayashi e Maskawa.
• Utilizza 3 angoli, 1, 2 e 3 e una fase che viola CP.
• L’angolo 1 è l’angolo di Cabibbo.
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
=
c1
s1c3
s1s3
s1c2c1c2c3s2s3eic1c2s3+ s
2c3ei
s1s2c1s2c3+ c
2s3eic1s2s3c2c3ei
ci= cos
i
si= sin
i
Parametrizzazioni della Matrice CKM (II)
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29
• Parametrizzazione standard.
• Utilizza i 3 angoli di Eulero, 12, 23 e 13 e una fase che viola CP.
• L’angolo 12 è l’angolo di Cabibbo.
• Attuale miglior stima dei parametri:
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
=
c12c13
s12c13
s13ei13
s12c23
c12s23s13ei13 c
12c23
s12s23s13ei13 s
23c13
s12s23
c12c23s13ei13 c
12s23
s12c23s13ei13 c
23c13
cij= cos
ij
sij= sin
ij
12= 13.04 ± 0.05( ) º , 13
= 0.201± 0.011( ) º , 23= 2.38 ± 0.06( ) º , 13
= 1.20 ± 0.08( ) º
Parametrizzazioni della Matrice CKM (III)
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30
• Parametrizzazione standard fattorizzata.
• Utilizza i 3 angoli di Eulero, 12, 23 e 13 e una fase che viola CP.
• L’angolo 12 è l’angolo di Cabibbo.
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
=
c12c13
s12c13
s13ei13
s12c23
c12s23s13ei13 c
12c23
s12s23s13ei13 s
23c13
s12s23
c12c23s13ei13 c
12s23
s12c23s13ei13 c
23c13
=
=
1 0 0
0 c23
s23
0 s23
c23
c13
0 s13ei13
0 1 0
s13e+ i
13 0 c23
c12
s12
0
s12
c12
0
0 0 1
cij= cos
ij
sij= sin
ij
= s12
A2= s
23
A3
i( ) = s13ei13
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
=
1
2
2
4
8A
3i( )
+A21 2( )2
5iA2 5
1
2
2
1
8+A2
2
4A
2
A31 1
2
2+ i( ) A
21
2
21+
2+ i( ) 1
A2 4
2
+O6( )
Parametrizzazioni della Matrice CKM (IV)
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31
• Parametrizzazione di Wolfenstein.
• Utilizza i 4 parametri , A, ed :
• L’angolo è il seno dell’angolo di Cabibbo.
• La violazione di CP è contenuta nel termine .
• Attuale miglior stima dei parametri:
i
= 0.22570.0010
+0.0009, A = 0.814
0.022
+0.021, = 0.135
0.016
+0.031, = 0.349
0.017
+0.015
Struttura Gerarchica della Matrice CKM
• La parametrizzazione di Wolfenstein mette in luce la struttura gerarchica della matrice CKM: – Ordine 0:
– Ordine 1:
– Ordine 2:
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32
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
+O( )
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
=
1 0
1 0
0 0 1
+O2( )
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
=
1
2
20
1
2
2A
2
0 A2
1
+O3( )
Struttura Gerarchica della Matrice CKM (II)
– Ordine 3:
– Ordine 5:
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
33
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
=
1
2
2A
3i( )
1
2
2A
2
A31 i A
21
+O4( )
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
=
1
2
2
4
8A
3i( )
+A21 2( )2
5iA2 5
1
2
2
1
8+A2
2
4A
2
A31 1
2
2+ i( ) A
21
2
21+
2+ i( ) 1
A2 4
2
+O6( )
Struttura Gerarchica della Matrice CKM (III)
• Favorite transizioni nella stessa famiglia; • Transizioni famiglie 1 2 soppresse per un fattore ; • Transizioni famiglie 2 3 soppresse per un fattore 2;• Transizioni famiglie 1 3 soppresse per un fattore 3.
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
34
Transizioni in corrente carica che cambiano il sapore; lo spessore indica la probabilità di transizione.
Gli accoppiamenti più piccoli sono complessi e producono violazione di CP.
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
13
12
3 21
Relazioni di Universalità Debole
• Dalla relazione di unitarietà della Matrice CKM:
seguono le 3 relazioni di universalità debole:
• La corrente carica totale di un quark up-like con tutti i quark down-like è di intensità universale.
• Nessuna informazione riguardo CP (termini reali).
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
35
V †V = 1 Vik
*Vij=
kj, j,k = 1,2,3
Vij
2
j=1
3
= 1, i = 1,2,3
Vud
2
+ Vus
2
+ Vub
2
= 1
Vcd
2
+ Vcs
2
+ Vcb
2
= 1
Vtd
2
+ Vts
2
+ Vtb
2
= 1
Triangoli Unitari
• Dalle stesse relazione di unitarietà della Matrice CKM:
seguono anche le 6 relazioni triangolari (triangoli nel piano complesso):
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
36
V †V = 1 Vik
*Vij=
kj, j,k = 1,2,3
Vij
*Vik
i=1
3
= 0, j,k = 1,2,3, j k
j = 1,k = 2
j = 3,k = 1
j = 2,k = 3
Vud
*Vus+V
cd
*Vcs+V
td
*Vts= 0
Vub
*Vud+V
cb
*Vcd+V
tb
*Vtd= 0
Vus
*Vub+V
cs
*Vcb+V
ts
*Vtb= 0
Vji
*Vki
i=1
3
= 0, j,k = 1,2,3, j k
j = 1,k = 3
j = 3,k = 2
j = 1,k = 2
Vud
*Vtd+V
us
*Vts+V
ub
*Vtb= 0
Vtd
*Vcd+V
ts
*Vcs+V
tb
*Vcb= 0
Vud
*Vcd+V
us
*Vcs+V
ub
*Vcb= 0
Vub
*Vud
Vcb
*Vcd
Vtb
*Vtd
Triangoli Unitari (II)
• Si osservino, nella parametrizzazione di Wolfenstein gli ordini di grandezza dei lati in :
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
37
Vud
*Vus+V
cd
*Vcs+V
td
*Vts= 0
Vub
*Vud+V
cb
*Vcd+V
tb
*Vtd= 0
Vus
*Vub+V
cs
*Vcb+V
ts
*Vtb= 0
Vud
*Vtd+V
us
*Vts+V
ub
*Vtb= 0
Vtd
*Vcd+V
ts
*Vcs+V
tb
*Vcb= 0
Vud
*Vcd+V
us
*Vcs+V
ub
*Vcb= 0
O ( ) +O ( ) +O 5( ) = 0O
3( ) +O 3( ) +O 3( ) = 0O
4( ) +O 2( ) +O 2( ) = 0O
3( ) +O 3( ) +O 3( ) = 0O
4( ) +O 2( ) +O 2( ) = 0O ( ) +O ( ) +O 5( ) = 0
Vub
*Vud
Vcb
*Vcd
Vtb
*Vtd
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
13
12
3 21
Triangoli Unitari (III)
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
38
Vud
*Vus+V
cd
*Vcs+V
td
*Vts= 0
Vub
*Vud+V
cb
*Vcd+V
tb
*Vtd= 0
Vus
*Vub+V
cs
*Vcb+V
ts
*Vtb= 0
Vud
*Vtd+V
us
*Vts+V
ub
*Vtb= 0
Vtd
*Vcd+V
ts
*Vcs+V
tb
*Vcb= 0
Vud
*Vcd+V
us
*Vcs+V
ub
*Vcb= 0
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
13
12
3 21
Vtd
*Vts
5
Vcd
*Vcs
Vud
*Vus
Vcb
*Vcd
3
Vub
*Vud
3
Vtb
*Vtd
3
Vus
*Vub
4
Vts
*Vtb
2
Vcs
*Vcb
2
Vub
*Vtb
3
Vud
*Vtd
3
Vus
*Vts
3
Vtd
*Vcd
4
Vtb
*Vcb
2
Vts
*Vcs
2
Vub
*Vcb
5
Vud
*Vcd
Vus
*Vcs
• Consideriamo in particolare il triangolo:
• Definiti:
si ha:
e il triangolo si può scalare in modo che sia:
Triangoli Unitari (IV)
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
39
Vub
*Vud+V
cb
*Vcd+V
tb
*Vtd= 0
Vtb
*Vtd
3
Vcb
*Vcd
3
Vub
*Vud
3
= 12
( )= 1
2( )
Vub
*Vud= A
3+ i( )
Vcb
*Vcd= A
3
Vtb
*Vtd= A
31 i( )
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
=
1
2
2A
3i( )
1
2
2A
2
A31 i A
21
+O4( )
+ i
1
1 i
x
iy
C = 0,0( ) B = 1,0( )
A = ,( )
BC =
Vcb
*Vcd
Vcb
*Vcd
=A
3
A3= 1
• In tal caso i lati risultano:
Triangoli Unitari (V)
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
40
Vtb
*Vtd
3
Vcb
*Vcd
3
Vub
*Vud
3
AC =Vub
*Vud
Vcb
*Vcd
= + i2
=2+
2=def
Rb
BC =Vcb
*Vcd
Vcb
*Vcd
=A
3
A3= 1
AB =Vtb
*Vtd
Vcb
*Vcd
= 1 i2
= 1( )2
+2=def
Rt
+ i
1
1 i
x
iy
C = 0,0( ) B = 1,0( )
A = ,( )
1
Vub
*Vud
Vcb
*Vcd
Vtb
*Vtd
Vcb
*Vcd
C B
A
• Per quanto riguarda gli angoli, si ha:
• L’angolo coincide con buona approssimazione con la fase irriducibile .
Triangoli Unitari (VI)
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
41
= argVub
*Vud
Vtb
*Vtd
= argVtb
*Vtd
Vcb
*Vcd
= arctan1
= argVub
*Vud
Vcb
*Vcd
= arctan
1
Vub
*Vud
Vcb
*Vcd
Vtb
*Vtd
Vcb
*Vcd
C B
A
+ i
1
1 i
x
iy
C = 0,0( ) B = 1,0( )
A = ,( )
• La relazione di unitarietà:
si può anche scrivere come:
Triangoli Unitari (VII)
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
42
Rbei+ R
tei= 1 1
Vub
*Vud
Vcb
*Vcd
Vtb
*Vtd
Vcb
*Vcd
C B
A
+ i
1
1 i
x
iy
C = 0,0( ) B = 1,0( )
A = ,( )
Vub
*Vud+V
cb
*Vcd+V
tb
*Vtd= 0
• I moduli sono tipicamente calcolati dal rapporto tra ratei di decadimento.
• Esempio: Vud: – Rapporto tra ratei di decadimento di neutrone e muone;
– Rapporto proporzionale a |Vud|2;
– |Vud| = 0.9735 ± 0.0008.
Misura degli Elementi
della Matrice CKM
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
43
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
dd
udu
n p
νeW−
e−
u
Vud
νeW−
e−
μ−
νμ1
• Esempio: Vus: – Rapporto tra il rateo di decadimento semileptonico del K e il rateo di
decadimento del muone;
– Rapporto proporzionale a |Vus|2;
– |Vus| = 0.2196 ± 0.0023.
Misura degli Elementi
della Matrice CKM (II)
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
44
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
� �
�����
��
���� ��
Vus
νeW−
e−
μ−
νμ1
• Esempio: Vcb: – Rapporto tra il rateo di decadimento
e il rateo di decadimento del muone;
– Rapporto proporzionale a |Vcb|2;
– |Vcb| = 0.0402 ± 0.0019.
Misura degli Elementi
della Matrice CKM (III)
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
45
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
��� ��
��
��
��
�� ��
Vcb
νeW−
e−
μ−
νμ1
Bd
0D*l+
• Esempio: Vub: – Rapporto tra il rateo di decadimento:
e il rateo di decadimento:
– Rapporto proporzionale a |Vub/Vcb|2;
– |Vub/Vcb| = 0.090 ± 0.025.
Misura degli Elementi
della Matrice CKM (IV)
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
46
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
��� ���
��
��
��
� �
�� �
Vcb
���
��
��
��
� �
�� uπ−
Vub
Bd
0D*l+
Bd
0l+
• Esempio: Vtd: – Rateo di oscillazione:
– Dominato dalla massa del top:
Misura degli Elementi
della Matrice CKM (V)
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
47
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
� �
� ���� ���
� ��� � �
��
� � B0
dB0d
� �
� ���� ���
� ��� � �
��
��
��B0
d B0
d
Bd
0Bd
0
t t mt
2VtbVtd
*2
mt
2 6
cc mc
2VcbVcd
*2
mc
2 6
c t , ct mcmtVtbVtd
*VcbVcd
*mcmt
6
mBd
0
mt
2
mW
2mBd
0Vtd
2
• Esempio: Vts (CDF, 2006): – Ratei di oscillazione:
– Dominati dalla massa del top;
Misura degli Elementi
della Matrice CKM (VI)
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
48
VCKM
=
Vud
VusVub
Vcd
VcsVcb
Vtd
VtsVtb
�
����
� ���
� �
s
s
Vqs
V ∗qs
B0s B
0
s
�
����
� ���
��
��B0
s B0
s
s
s Vqs
V ∗qs
Bd
0Bd
0
Bs
0Bs
0
mBd
0
mBs
0
Vtd
2
Vts
2
6
4=
2Vtd
Vts
= 0.2060 ± 0.0007 ms
( )0.0060
+0.0081
md+ teor.( )
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
)+sin(2
smdm
dm
K
cbVubV
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
Attuali Vincoli del Triangolo Unitario
• Collaborazione UTfit: – Determinazione della
miglior stima dei parametri del triangolo unitario;
– Sulla base delle misure sperimentali provenienti dai diversi esperimenti.
DOMENICO GALLI — Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC — La Violazione di CP nel Modello Standard
49
Prof. Domenico Galli Dipartimento di Fisica
http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli
https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica
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