Exercice 1 : analyse univariée (voir chapitre 2)

On dispose d’un échantillon de revenus mensuel en euros de 200 personnes :

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APPLICATIONS SUR LES ANALYSES ASSOCIÉESAUX CHAPITRES 2, 3, 4 ET 5(STATISTIQUE DESCRIPTIVE ET SÉRIES TEMPORELLES

2

1. Donner une estimation du revenu moyen et une estimation du revenu médian en utili-sant le procédé d’ajustement linéaire intraclasse.

2. Construire sur un même graphique l’histogramme et le polygone des fréquences relati-ves (exprimées en %).

Corrigé de l’exercice 1

1. Pour obtenir une estimation du revenu moyen r , on prend en compte la valeur moyen-ne de chaque classe [ai ; ai+1[ , c’est-à-dire (ai + ai+1)/2 :

r = (16 × 1300 + 80 × 1500 + 58 × 1700 + 36 × 1900 + 10 × 2200)/200 = 1649

Pour obtenir une estimation de me revenu médian, utilisant le procédé d’ajustement linéai-re intraclasse, on dresse le tableau des fréquences relatives cumulées :

rev.mens. [1200 ; 1400[ [1400 ; 1600[ [1600 ; 1800[ [1800 ; 2000[ [2000 ; 2400]

effectif 16 80 58 36 10

Amplitude de classe 200 200 200 200 400(ai − ai−1)

Répartition des valeurs de x [1200 ; 1400[ [1400 ; 1600[ [1600 ; 1800[ [1800 ; 2000[ [2000 ; 2400]

Effectifs ni 16 80 58 36 10

Fréquences relatives fi (= ni/n) 0,08 0,4 0,29 0,18 0,05

y′i = fi/(ai − ai−1) 0,0004 0,002 0,00145 0,0009 0,000125

fréquence relative cumulée 0,08 0,48 0,77 0,95 1

9782100578924-Pupion-A2.qxd 04/06/12 11:24 Page 1

La classe médiane est la classe [ai ,ai+1[ qui doit satisfaire aux conditions « F(ai+1) � 0.5 et F(a1) < 0,5 ». On constate que F(1800) = 0,77 � 0,5 et F(1600) =0,48 < 0,5 donc [1600 ; 1800[ est la classe du revenu médian. De l’ajustement linéaire danscette classe, on déduit une estimation m′

e du revenu médian :

m′e = 1600 + (1800 − 1600) × (0,5 − 0.48)/(0,77 − 0,48) = 1613,79

2. Il est possible de construire l’histogramme des fréquences en portant en ordonnéey′

i = fi/(ai − ai−1) . Remarquons alors que, dans un repère orthonormé, la surface totale du

domaine en blanc est égale à 1 puisque K∑

i=1

fi = 1.

2 STATISTIQUES POUR LA GESTION

Exercice 2 : analyse de séries temporelles (voir chapitre 3)

On connaît la consommation annuelle d’un produit au cours des 4 dernières années :

Année t 2008 2009 2010 2011

Quantité q 99 104 108 113

Une représentation graphique permet de constater que les points M1 = (1 , 99), M2 = (2 , 104), M3 = (3 , 108) et M4 = (4 , 113) sont sensiblement alignés.

1. Déterminer le taux de croissance annuel moyen τm observé.

2. Trouver l’équation de la droite de régression de q sur t qui résulte de la méthode desmoindres carrés ordinaire et en déduire une estimation de la consommation pour 2012. Ondonne ci-après les résultats obtenus avec Excel.

9782100578924-Pupion-A2.qxd 04/06/12 11:24 Page 2

Corrigé de l’exercice 2

1. Le taux de croissance annuel moyen τm observé est égal à (113/99)1/3 − 1 ∼= 0,045 soit4,5 %.

2. L’équation de la droite de régression de q sur t qui résulte de la méthode des moindrescarrés ordinaire a pour équation (cf. le tableau du rapport détaillé) « qt = at + b aveca = 4.6 et b = 94.5 », où t = 1 pour l’année 2008, t = 2 pour l’année 2009, etc.

Pour 2012, c’est-à-dire pour t = 5 on obtient : qt = 4,6 × 5 + 94,5 = 117,5 qui est uneestimation de la consommation pour 2012.

Exercice 3 : analyse de séries temporelles (voir chapitre 4)

Deux produits concurrentiels dénommés A et B se partagent les parts d’un marché dansun secteur de production. Les chiffres d’affaires annuels sont les suivants (en 106 €) :

Applications sur les analyses associées aux chapitres 2, 3, 4 et 5 3©

Dun

od. T

oute

rep

rod

ucti

on n

on a

utor

isée

est

un

dél

it.

Rapport détaillé

Coefficients Erreur-type Probabilité Limite inférieure Limite supérieure pour seuil pour seuil

de confiance de confiance = 95 % = 95 %

Constante 94,50 0,39 0,00 92,83 96,17

Année t 4,60 0,14 0,00 3,99 5,21

1. Calculer le taux annuel moyen de variation du chiffre d’affaires du produit A entre le31/12/2008 et le 31/12/2011.

2. Même question pour le chiffre d’affaires du produit B.

Corrigé de l’exercice 3

1. Le taux moyen de croissance de A = (25/18)1/3 − 1 = 0,1157 soit 11,57 %.

2. Le taux moyen de croissance de B = (17,5/12)1/3 − 1 = 0,134 soit 13,4 %.

31/12/2008 31/12/2009 31/12/2010 31/12/2011

Produit A 18,0 20,6 21,4 25,0

Produit B 12,0 14,7 16,2 17,5

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Exercice 4 : analyse de séries temporelles (chapitre 4)

Une entreprise spécialisée dans la fabrication de 3 types de produits L1, L2 et L3 qui sedifférencient par leur qualité et leur prix, a réalisé en 2009 et 2011 les ventes suivantes :

4 STATISTIQUES POUR LA GESTION

L1 L2 L3

Volume des ventes en 2009 5 12 3

Volume des ventes en 2011 6 11 4

Les prix unitaires exprimés en euros étaient les suivants :

L1 L2 L3

Prix unitaire 2009 810 660 300

Prix unitaire en 2011 900 600 300

Calculer l’indice de volume de Lapeyres de 2011 en prenant pour base 100 l’année 2009.

Notations. Le prix unitaire de Li en 2009 [resp. 2011] sera noté p(i)1 [resp. p(i)

3 ]. Le chif-fre d’affaires concernant les ventes de produits Li en 2009 [resp. 2011] sera noté p(i)

1 q(i)1 ,

q(i)1 [resp. q(i)

3 ] désignant évidemment les quantités vendues en 2009 [resp. 2011].

Corrigé de l’exercice 4

Lq(2011/2009) = 100i=3∑i=1

p(i)1 q(i)

3

/ i=3∑i=1

p(i)1 q(i)

1

On a i=3∑i=1

p(i)1 q(i)

3 = 810 × 6 + 660 × 11 + 300 × 4 = 13320

et i=3∑i=1

p(i)1 q(i)

1 = 810 × 5 + 660 × 12 + 300 × 3 = 12870 .

Donc Lq(2011/2009) = 100 × (13320/12870) = 103,5

Exercice 5 : analyse de séries temporelles (voir chapitre 4)

Dans un pays européen, le prix d’un panier-type de biens de consommation mensuelled’un célibataire est évalué à 400 euros en janvier 2011. Ce panier-type a été augmenté enjuillet 2011 d’une unité d’un bien dont le coût à cette date est de 20 euros : il vaut alors 420euros.

Déterminer l’indice de volume de Paasche Pq(07/01) de juillet (07/2011) en prenant pourbase 100 le mois de janvier (01/2011).

9782100578924-Pupion-A2.qxd 04/06/12 11:24 Page 4

Corrigé de l’exercice 5

Pq(07/01) = 100

(∑i

p(i)07 q(i)

07

/∑i

p(i)07 q(i)

07

)

avec ∑

i

p(i)07 q(i)

07 = 420 (éventuellement, q(i)01 = 0)

Or q(i)07 = q(i)

01 sauf pour le nouveau bien i0 où q(i0)07 = 0, q(i0)

07 = 1 et p(i0)07 = 20.

Donc ∑

i

p(i)07 q(i)

01 =∑i /= i0

p(i)07 q(i)

01 + p(i0)07 q(i0)

01 =∑i /= i0

p(i)07 q(i)

07 + p(i0)07 (q(i0)

07 − 1)

=∑

i

p(i)07 q(i)

07 − p(i0)07 = 420 − 20 = 400

Par suite : Pq(07/01) = 100(420/400) = 105.

Exercice 6 : analyse de séries chronologiques (chapitre 5)

On dispose d’une statistique de vente d’un certain produit dans une entreprise (l’unitéretenue ci-dessous étant la centaine d’articles la plus proche du nombre exact) :

Applications sur les analyses associées aux chapitres 2, 3, 4 et 5 5©

Dun

od. T

oute

rep

rod

ucti

on n

on a

utor

isée

est

un

dél

it.

Du 01/01 au 30/04 Du 01/ 05 au 31/08 Du 01/09 au 31/12

Année 2009 43 41 48

Année 2010 49 47 57

Année 2011 55 53

1. Déterminer le trend Tt par la méthode de la moyenne mobile pour éliminer les mouve-ments saisonniers puis faire un ajustement linéaire du trend par la méthode des moindrescarrés ordinaire.

Afin d’estimer la qualité de l’ajustement, calculer la valeur du coefficient de détermina-tion.

2. Après avoir estimé les composantes saisonnières, donner une estimation des ventespour la période allant du 01/09/2011 au 31/12/2011.

Afin d’homogénéiser les calculs intermédiaires, t = 1 caractérisera la première périoded’observation 01/01/2009 – 30/04/2009 ; t = 2 caractérisera la seconde période d’observa-tion 01/05/2009 – 31/08/2009 ; etc.

Corrigé de l’exercice 6

1. L’ajustement de Tt sur t par la méthode des MCO donne la relation :Tt = 2,257 × t + 39,34 car a = cov(Tt ,t)/v(t) = 2,257, b = y − ax = 39,34 et la valeurdu coefficient de détermination r2 = 0,996.

9782100578924-Pupion-A2.qxd 04/06/12 11:24 Page 5

2. Les composantes saisonnières moyennes respectives : saison 1 : (1 + 0)/2 = 0,5 ; saison 2 : (−3 − 4)/2 = −3,5 ; saison 3 : (2 + 4)/2 = 3 donnent une estimation des ven-tes pour la période allant du 01/09/2011 au 31/12/2011 (9e période) d’après l’ajustementTt = 2,257 × 9 + 39,34

plus le facteur saisonnier ou la composante saisonnière (saison 3) = 3

soit, au total, une prévision pour la période de 62,65.

Exercice 7 : analyse de séries chronologiques (voir chapitre 5)

La série suivante retrace les fluctuations de l’indice trimestriel d’un certain type de pro-duction au cours de 6 années :

6 STATISTIQUES POUR LA GESTION

Série moyenne mobile

Valeurs Moyenne Période t Saison h Sh = Valeur – mobile Tt moyenne mobile

43 1 1

41 44 2 2 –3

48 46 3 3 2

49 48 4 1 1

47 51 5 2 –4

57 53 6 3 4

55 55 7 1 0

53 8 2

9 3

1er trimestre 2e trimestre 3e trimestre 4e trimestre

1re année 105 130

2e année 120 125 103 125

3e année 122 125 102 126

4e année 121 127 104 128

5e année 124 128 109 125

6e année 125 132

Calculer le trend par la méthode de la moyenne mobile, puis déterminer les quatre fac-teurs saisonniers.

9782100578924-Pupion-A2.qxd 04/06/12 11:24 Page 6

On calcule alors le trend par la méthode de la moyenne mobile, puis on détermine les qua-tre facteurs saisonniers et l’on obtient les résultats suivants :

Applications sur les analyses associées aux chapitres 2, 3, 4 et 5 7©

Dun

od. T

oute

rep

rod

ucti

on n

on a

utor

isée

est

un

dél

it.

1er trimestre 2e trimestre 3e trimestre 4e trimestre

1re année 105 130

2e année 120 125 103 125

3e année 122 125 102 126

4e année 121 127 104 128

5e année 124 128 109 125

6e année 125 132

Corrigé de l’exercice 7

La série suivante retrace les fluctuations de l’indice trimestriel d’un certain type de pro-duction au cours de 6 années :

Période Saison h Trend Sh = valeur – trend

105 1 3

130 2 4

120 3 1 119,75 0,25

125 4 2 118,875 6,125

103 5 3 118,5 –15,5

125 6 4 118,75 6,25

122 7 1 118,625 3,375

125 8 2 118,625 6,375

102 9 3 118,625 –16,625

126 10 4 118,75 7,25

121 11 1 119,25 1,75

127 12 2 119,75 7,25

104 13 3 120,375 –16,375

128 14 4 120,875 7,125

124 15 1 121,625 2,375

128 16 2 121,875 6,125

109 17 3 121,625 –12,625

125 18 4 122,25 2,75

125 19 1

132 20 2

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Les composantes saisonnières moyennes par saison de l’écart sont les suivantes :

saison 1 : (0,25 + 3,375 + 1,75 + 2,375)/4 = 1,9375saison 2 : 6,47saison 3: –15,28saison 4 : 5,84moyenne des coefficients saisonniers = –0,258

d’où coefficient saisonnier :

saison 1 : 1,9375 – (–0,258) = 2,195saison 2 : 6,47 – (–0,258) = 6,726saison 3 : –15,28 – (–0,258) = –15,02saison 4 : 5,84 – (–0,258) = 6,10

8 STATISTIQUES POUR LA GESTION

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