ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com

1

1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

05/09/2016

ΘΕΜΑ Α

Α1. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της;

5 μονάδες

Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Πότε λέμε ότι η f

παρουσιάζει στο 0 ∈x A (ολικό) μέγιστο το ( )0f x ;

5 μονάδες

Α3. Πότε δύο συναρτήσεις ,f g λέγονται ίσες;

5 μονάδες

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη

α) Αν ( )0

lim 0→

<x x

f x , τότε ( ) 0<f x κοντά στο 0x

β) Αν για τις συναρτήσεις ,f g ορίζονται οι συναρτήσεις �f g και �g f ,

τότε ισχύει πάντα =� �f g g f

γ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, τότε η εξίσωση ( ) 0=f x

έχει πάντοτε ακριβώς μια λύση

δ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης − f είναι συμμετρική ως προς

τον άξονα ′x x της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f

ε) Αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ℝ είναι γνησίως αύξουσα,

τότε ισχύει ( ) ( )1> +f x f x για κάθε ∈ℝx

10 μονάδες

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2= + −f x x

B1. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τη συνάρτηση 1−f

6 μονάδες

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com

2

Β2. Να υπολογίσετε το όριο ( )

2

6

7 6lim

5→

− +=

−x

x x

f xα

7 μονάδες

Β3. Να υπολογίσετε το όριο ( )

2

14

16lim

11 8−→

−=

− −x

x

f xβ

7 μονάδες

B4. Αν για τη συνάρτηση : →ℝ ℝg ισχύει ( ) ( )=g gα β , όπου ,α β οι τιμές

των ορίων των ερωτημάτων Β2. και Β3. αντίστοιχα, τότε να εξετάσετε αν η gείναι 1-1.

5 μονάδες

ΘΕΜΑ Γ

Δίνονται οι συναρτήσεις , : →ℝ ℝf g με ( ) ( )ln 1= + xf x e και ( )1

1

−=

+

x

x

eg x

e

Γ1. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

5 μονάδες

Γ2. Να δείξετε ότι η g είναι περιττή.

5 μονάδες

Γ3. Δίνεται επιπλέον συνάρτηση ( ): 0,+∞ →ℝh τέτοια, ώστε να ισχύει =�h f g

Να βρείτε τον τύπο της.

8 μονάδες

Γ4. Αν ( ) 1 2 −= − xh x e , τότε να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4+ < +x x x xh e h e h e h e ,

για κάθε 0>x

7 μονάδες

ΘΕΜΑ Δ

Δίνονται οι συναρτήσεις , : →ℝ ℝf g , με ( ) =ℝ ℝg , για τις οποίες ισχύει:

● ( )( ) ( )= +�f f x x f x , για κάθε ∈ℝx

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com

3

● ( )( )1 0− − + =xf g x e x , για κάθε ∈ℝx

Δ1. Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.

5 μονάδες

Δ2. Να βρείτε τη συνάρτηση g

7 μονάδες

Αν ( ) 1= + −xg x e x , τότε:

Δ3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )( )ln=h x g x

7 μονάδες

Δ4. Να αποδείξετε ότι η g αντιστρέφεται και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση

( )21 1 2 2− + + =xg e x

6 μονάδες

Θανάσης Κοπάδης

Μαθηματικός