14 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA...

EJERCICIOS DE LA UNIDAD

Áreas y perímetros de figuras sencillas

Halla el área y el perímetro de las figuras coloreadas de los siguientes ejercicios:

1 a) b)

a) S�3 m �3 m�9 m2 b) S��6 m�

21,8 m��5,4 m2

P�4 �3 m�12 m P�3�4�6�13 m

2 a) b)

a) S�π�32 dm2�28,26 dm2 b) S��9 cm

2�6 cm��27 cm2

P�2π�3 dm�18,84 dm P�6 cm�9 cm�10,8 cm�25,8 cm

3 a) b)

a) S��B�

2

b��h��

10

2

�6��6�48 cm2 b) S�30 m �17 m�510 m2

P�6�6�10�7,2�29,2 cm P� (17 �2) m� (30 �2) m�94 m

4 a) b)

a) S��D

2�d��

402�26��520 cm2 b) S��

23 �

213,8��158,7 dam2

P�23,9 �4 cm�95,6 cm P�18�23�18�59 dam

Pág. 1

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas

14

3 m 3 m 4 m1,8 m

6 m

6 cm

9 cm

10,8 cm3 dm

6 cm

10 cm

6 cm

7,2 cm 17 m

30 m

23,9 cm

40 cm

26 cm

18 dam

13,8 dam

23 dam

Pág. 2

5 a) b)

a) S��74�

242

��27,8�1 612,4 m2 b) S��P

2�a��

(5 �42)�2,8��28 m2

P�74�42� (32 �2)�180 m P�5 �4�20 m

6 a) b)

a) S�5 �2,5�12,5 km2 b) S��π�

2r 2

��π�

252

��39,25 cm2

P� (2 �5)� (2 �3)�16 km P��2

2πr��2r�π�5�10�25,7 cm

7 a) b)

a) S��P

2�a��

(8 �62)�7,2��172,8 cm2

P�6 �8�48 cm

b) S��15,3

2�7��4�44,6 m2

P�5�15,3�12�7�39,3 m

8 a) b)

a) S�π�R 2�π�r 2�π�102�π�62�64 π�200,96 cm2

P�2 πR�2 π r�32 π�100,48 cm



14

2,8 m

4 m

74 m

42 m

27,8 m 32 m

5 km

2,5 km 3 km 5 cm

7,2 cm

6 cm5 m

7 m

4 m

15,3 m

12 m

10 cm

6 cm

10 m

3,5 m

7,1 m

7,9

m

b) S�SCUADRADO �SROMBO �100��14,

22 �7��50,3 m2

P�PCUADRADO �PROMBO �10 �4�7,9 �4�71,6 m

9 a) b)

a) S��π

3�

6r 2

0�

°α

��π�1

356

2

0�1°20°

��235,5 m2

P��2

3π6r0�

°α

��2r��2 π�

31650�

°120°

��30�61,4 m

b) S��6 �

25,2��15,6 m; P�6 �3�18 m

10 a) b)

a) S��π�R 2�

2π�r 2

��64π�

225π��

392π

��61,23 m2

P��2 π

2

R��

2

2

π r��2 (R�r )�8π�5π�6�13π�6�46,82 m

b) S��15

2

�8��60 dam2; P�8�17�15�40 dam

Medir y calcular

En cada una de las siguientes figuras toma las medidas que creas necesarias y cal-cula su superficie y su perímetro.

11 a) b)

Pág. 3



14

120°15 m

5,2

m

6 m

6 m

6 m

5 m8 m

17 dam

15 dam

8 da

m

Pág. 4

a) b)

S�2,4 �2,4�5,76 cm2 S�π�1,22�4,52 cm2

P�4 �2,4�9,6 cm P�2 �π�1,2�7,54 cm

12 a) b)

a) b)

S�2,4 �2�4,8 cm2 S��3,5

2�2��3,5 cm2

P�2 �2,4�2 �2�8,8 cm P�2 �4�8 cm

13 a) b)

a)

S��(2,7�

21,6) �2��4,3 cm2

P�2,7�3�1,6�2�9,3 cm



14

2,4 cm 1,2 cm

2 cm

2 cm

3,5 cm

2 cm

2,4 cm

2,7 cm

2,3 cm2 cm

1,6 cm

b)

S� �3,01 cm2

P� �2 �1,2�7,42 cm

14 a) b)

a)

S�ATRIÁNGULO �ATRAPECIO �ASECTOR �

��1,8

2�3��

(3,2�12,7) �1,5��

π3�

610,8°

2

��60°�2,7�3,675�1,6956�

�8,07 cm2

P�1,8�3�1,6�3,2��23π6�

01°,8

��60�9,6�1,884�11,481 cm

b)

S�2,2 �1,5�3,3 cm2; P�2,2 �2�1,6 �2�7,6 cm

(2 �π�1,8�2 �π�0,6) �120°��

360°

(π�1,82�π�0,62)�120°��

360°

Pág. 5



14

120°1,8 cm1,2 cm

60°

3 cm

1,8

cm

3,2 cm

1,6 cm

1,5 cm

1,8 cm

1,7 cm

1,5 cm

1,6 cm

2,2 cm

Pág. 6

PÁGINA 271

Calcular el elemento que falta

En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Paraello tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángu-lo, …). Si no es exacto, halla una cifra decimal.

15 a) b)

a) b)

l��82�15�2� �17 cm c��132�5�2� �12 m

S��8 �

215��60 cm2 S��

122�5��30 m2

P�15�8�17�40 cm P�12�5�13�30 m

16 a) b)

a) b)

b��222�1�02��19,6 cm a��302 �2�02��22,4 m

S�10 �19,6�196 cm2 S��40 �

222,4��448 m2

P�10 �2�19,6 �2�59,2 cm P�30�30�40�100 m



14

13 m

5 m

8 cm

15 cm

40 m

30 m

10 c

m

22 cm

13 m

5 m8 cm

15 cm

b

10 c

m

22 cm

a

20 m40 m

30 m

17 a) b)

a) l��92�92��12,7 dam

S�12,72 �161,3 dam2

P�4 �12,7�50,8 dam

b) �D2

� ��202�1�32��15,2 m →

→ D�30,4 m

S��30,4

2�26��395,2 m2

P�4 �20�80 m

18 a) b)

a) b)

α �360° : 3�120° R��32�32��4,2 m

S��π�4

3

2

6�

01°20°

��16,7 m2 S�π�4,22�π�32�27,1 m2

P�4�4��2π�

346�

01°20°

��16,4 m P�2π�4,2�2π�3�45,2 m

Pág. 7



14

20 m

26 m

18 da

m

3 m

4 m

l

l9 d

am9 dam

18 da

m

NOTA: En este ejercicio he-mos de tener en cuenta quel�9�2� y, por tanto,

S�(9�2�)2�162

pero no se puede poner a losalumnos de este nivel.

D

20 m

26 m

3 m

R4 m

120°

Pág. 8

19

S�28 �32�8 �18�47 �34�2 638 m2

P�28�32�24�47�34�39�18�40�262 m

20 a) b)

a) b)

b��82�52��6,2 cm a��132 �1�22��5 cm

S�5 �6,2�31 cm2 S��12

2�5��2 �5�40 cm2

P�5 �2�6,2 �2�22,4 cm P�5�2�13�14�34 cm



14

32 m

39 m

47 m

34 m24 m

28 m

5 cm

8 cm

14 cm

2 cm13 cm

32 m

39 m

47 m

34 m24 m

28 m18

8

14 cm

2 cm

13 cma

12 cm5 cm

8 cmb

21 AB—

�CD—

�41 m

BC—

�53 m

AD—

�71 m

—AD�

—BC�18 m →

—AE�9 m

a��412�9�2� �40 m

S��(71�5

23) �40��2 480 m2

P�41�41�53�71�206 m

22OB—

�13,6 cm

AB—

�16 cm

a��13,62��82��11 cm

S� = 440 cm2

P = 16 · 5 = 80 cm

23MN–—

�6 dm

NP—

�4 dm

PQ—

�3,6 dm

a��42�2,�42��3,2 dm

S��(6�3,

26) �3,2��15,4 dm2

P�6�4�3,6�3,2�16,8 dm

80 · 112

Pág. 9



14

A D

B C

A D

B C

a a

E

O

A

B

a8 cm

O

A

B

N

M Q

P

N

M Q

P2,4

a

Pág. 10

24PQ—

= QR—

= RS—

= SP—

= 6,5 cm

PR—

= 12 cm

�2d

� ��6,52 ��62��2,5 cm → d�5 cm

S��5 �

212��30 cm2; P�6,5 �4�26 cm

25A∧

�60°

AB—

�10 m

a��102 �5�2� �8,7 m

ATRIÁNGULO ��10 �

28,7��43,5 m2

ASECTOR ��π�1

306

2

0�

°60°

��52,3 m2

A�ASECTOR �ATRIÁNGULO �8,8 m2

P = 10 + = 20,5 m

26AB—

�AC—

�BC—

�8 cm

BD—

�DE—

� �12

� BE

BE—

��82�42��6,9

BD—

�DE—

��62,9��3,45

DC—

��3,452��42��5,3

S��8 �

26,9��

8 �32,45��27,6�13,8�13,8 cm2

P�2 �8�2 �5,3�26,6 cm

2π · 10 · 60°360°



14

P S

Q Rd

P S

Q R

B

A

a

5B

A

B

D

A E C

Problemas

27 Un hexágono regular está inscrito en una circun-ferencia de 6 cm de radio. Halla el área del recinto com-prendido entre ambas figuras.

� El lado del hexágono regular es igual al radio de su circun-ferencia circunscrita.

a��62�32��5,2 cm

SCÍRCULO �π�62�113,04 cm2

SHEXÁGONO ��36 �

25,2��93,6 cm2

S�SCÍRCULO �SHEXÁGONO �19,44 cm2

28 Para cubrir un patio rectangular, se han usado 175 baldosas de 20 dm2

cada una. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 50 cm de lado serán necesarias pa-ra cubrir el patio, idéntico, de la casa vecina?

El área del patio es 175 �20�3 500 dm2

El área de la baldosa cuadrada es 50 �50�2 500 cm2�25 dm2

Por tanto, se necesitarán 3 500 : 25�140 baldosas.

29 El área de un rombo es 24 cm2. Una de sus diagonales mide 8 cm. Ha-lla su perímetro.

24��8

2�d� → d��

488��6 cm

l��42�32��5 cm

Por tanto, el perímetro es 4�5�20 cm.

30 Sabiendo que el lado del cuadrado mide 30 cm,calcula el radio del círculo inscrito y el radio del círculocircunscrito. Calcula el área de la zona coloreada.

El radio de la circunferencia inscrita esla mitad del lado del cuadrado, es de-cir, r�15 cm.

Pág. 11



14

6 cm3a

ld

8 cm

r

R

Pág. 12

El radio de la circunferencia circunscritaes:

R��152�1�52��21,2 cm

El área pedida es: A�AC. CIRCUNSCRITA �AC. INSCRITA �π�21,22�π�152�704,7 cm2

31 Un cuadrado de 1 m de lado se divide en cuadraditos de 1 mm de lado.¿Qué longitud se obtendría si colocáramos en fila todos esos cuadraditos?

1 mm�0,001 m. Así, en el cuadrado de 1 m de lado hay:

1 m2 : 1 mm2�1 m2 : (0,001)2 m2�1 000 000 de cuadraditos de 1 mm de lado

Colocados en fila alcanzan una longitud de:

1 000 000 �1 mm�1 000 000 mm�1 000 m�1 km

32 ¿Es regular este octógono?

Calcula su área y su perímetro.

No es regular, porque los lados oblicuos son distintosa los otros cuatro.

Miden: l��12�12��2� �1

El área de cada triángulo es �12

� cm2.

Así, el área del polígono es: 5�4 � �12

� �7 cm2

Su perímetro es: 4�4 ��2� � 9,66 cm

33 Una habitación cuadrada tiene una superficie de 25 m2. Hemos deembaldosarla con losetas cuadradas de 20 cm de lado (se llaman losetas de20 × 20). ¿Cuántas losetas se necesitan?

La superficie de una loseta de 20 × 20 es:

20 �20�400 cm2�0,04 m2

Por tanto, necesitaremos 25 : 0,004�625 losetas.



14

R

15

15

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1

1

l

34 Calcula la superficie de la zona colo-reada.

El área pedida es:

S�52�42�32��5 � (5�

24�3)��20 cm2

35 La figura azul no es un rombo, pero tiene las diago-nales perpendiculares. Justifica que también puedes calcu-

lar su área mediante la fórmula: �D

2�d�.

El área del cuadrilátero azul es la mitad que la del rectángulogrande, pues el área de cada triángulo azul es la mitad que ladel rectangulito que lo contiene.

36 Calcula las dimensiones y la superficie de las siguientes secciones de uncubo.

l��32�32��4,24 cm

Por tanto, es un rectángulo de 4,24 × 6, cuya área es:

S�4,24 �6�25,44 cm2

l'��32�62��6,7 cm

Por tanto, es un rectángulo de 6,7 × 6, cuya área es:

6,7 �6�40,2 cm2

37 Los lados de un triángulo miden: a�6 cm, b�7 cm y c�8 cm. La al-tura correspondiente al lado a mide ha�6,8 cm. Calcula la longitud de lasotras dos alturas.Haz el dibujo con precisión, toma medidas y comprueba la solución obtenida.

Pág. 13



14

5 cm 4 cm 3 cm

8 m

15 m

6 cm

3 cml6 cm

6 cm

3 cm

6 cm

6 cml'

3 cm

a = 6 cm

hbhc

6,8 cm

c = 8 cm

b = 7 cm

Pág. 14

El área del triángulo es �6 �

26,8��20,4 cm2

Por tanto:

20,4��7 �

2hb� → hb��

407,8��5,8 cm

20,4��8 �

2hc� → hc��

408,8��5,1 cm

38 Halla la superficie de cada una de las piezas de este tangram. Después,súmalas y comprueba que equivalen al área del cuadrado que forman todasjuntas:

� S� ��12

2�6��36 cm2

� S� �6 �3�18 cm2

� S� ��6

2

�6��18 cm2



14

�

��

�

�

� �

12 cm

12 cm

� S��6

2�3��9 cm2

� S��6

2�6��18 cm2

� S��12

2�6��36 cm2

� S��6

2�3��9 cm2

S��S��S��S��S��S��S��36�18�18�9�18�36�9�144 cm2

STOTAL �12 �12�144 cm2

PÁGINA 273

PROBLEMAS DE ESTRATEGIA

Las áreas o perímetros que se piden a continuación son, todos ellos, mucho mássencillos de lo que parecen. Se encuentran con algo de imaginación y muy pocoscálculos.

39 Todos los arcos con los que se ha trazado esta fi-gura son iguales, pertenecen a circunferenciasde radio 6 m. Calcula su área.

Por tanto, S�12 �18�216 m2

Pág. 15



14

12 m

18 m

Pág. 16

40 Halla el área de este dibujo de un jarro.

Todos los arcos están hechos con un radio, r�8 cm.

Observando la igualdad de las superficies marcadas con �, �, �:

S�162�256 cm2

41 Halla el área y el perímetro de toda la figura.

Con esta figura podemos formar la siguiente:

Así, queda claro que el área es:

π�42�50,24 cm2

Los seis arcos completan una circunferencia. Por tanto, el perímetro de la figu-ra es:

2 �π�4�2 �4�33,2 cm



14

16 cm

16 cm

�

�

�

�

�

�

60°

4 cm

60°

4 cm

42 Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado.

El área del rectángulo rojo es 40 �50�2 000 cm2

Dentro del rectángulo hay ocho losetas. Por tanto, el área de cada una de ellases:

�2 0

800��250 cm2

43 La base de este rectángulo mide 20 cm más que laaltura. Su perímetro es de 100 cm.

Calcula el área del cuadrilátero coloreado.

El área de cada uno de los dos triángulos blancos es la cuarta parte del área deltriángulo.

Por tanto, el área del cuadrilátero coloreado es la mitad de la del rectángulo.

40�4a�100 → a�15 cm → b�35 cm

Pág. 17



14

50 cm

40 c

m

50 cm

40 c

m

b = 20 + a

b = 20 + a

a a

Pág. 18

Área del rectángulo�15 �35�525 cm2

Área del cuadrilátero coloreado��5225

��262,5 cm2

44 ¿Cuál de los tres triángulos tiene mayor área (azul, naranja o verde)? Justificala respuesta.

Todos tienen la misma base y la misma altura.

Por tanto, tienen igual área.

45 A y B son puntos fijos. El punto C puede estarsituado en cualquier lugar de la circunferencia.

¿Dónde lo pondrás si quieres que el área del trián-gulo ABC sea la mayor posible?

La altura tiene que ser la mayor posible.

Por tanto, el vértice hay que situarlo en el punto de lacircunferencia más lejano a la cuerda. Está situado enla mediatriz del segmento AB.

46 El perímetro del cuadrado rojo interior es de 32 cm. ¿Cuáles el perímetro del cuadrado negro exterior?

l5 es cuatro veces l1.

Por tanto el perímetro del cuadrado exterior es cuatro veces el del cuadrado in-terior, es decir, 128 cm.



14

C C

C

A BC

CC

C

A B

l5

l2

l4l3

l1

47 Halla el área de la parte coloreada sabiendo que el diámetro de la circunfe-rencia grande es de 6 cm.

SZONA SOMBREADA �π�32 �7 �π�12� (9�7) π�6,28 cm2

Pág. 19



14

14 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA...

Documents

Transcript of 14 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA...