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Resolución de problemas 1 Página 11 1. OTRA VEZ LA CABRA En el ejercicio de más arriba, supongamos que la casa es rectangular, de 10 m Ò 20 m, y que la cuerda con la que se ata la cabra mide30 m. Halla la su- perficie en la que puede pastar. Hacemos un dibujo: Área = π · 30 2 + π · 20 2 + π · 10 2 = = 800 π› 2 513 m 2 2. LA CLASE En una clase hay 30 alumnos y alumnas, de los cuales 22 estudian inglés y 15 estudian informática. Si todos estudian inglés o informática, ¿cuántos estudian solo inglés? ¿Y solo informática? ¿Cuántos estudian las dos cosas? Hallamos el número de alumnos que estudian las dos cosas: 22 + 15 = 37 37 – 30 = 7 alumnos estudian las dos cosas Por tanto: 22 – 7 = 15 estudian solo inglés 15 – 7 = 8 estudian solo informática En un diagrama sería así: Inglés Total: 30 Informática 15 7 8 10 m 20 m 10 m 20 m 30 m CASA 1 4 1 4 3 4 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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Resolución de problemas 1

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1. OTRA VEZ LA CABRA

En el ejercicio de más arriba, supongamos que la casa es rectangular, de 10 m Ò 20 m, y que la cuerda con la que se ata la cabra mide30 m. Halla la su-perficie en la que puede pastar.

Hacemos un dibujo:

Área = π · 302 + π · 202 + π · 102 =

= 800 π › 2513 m2

2. LA CLASE

En una clase hay 30 alumnos y alumnas, de los cuales 22 estudian inglés y 15estudian informática. Si todos estudian inglés o informática, ¿cuántos estudiansolo inglés? ¿Y solo informática? ¿Cuántos estudian las dos cosas?

Hallamos el número de alumnos que estudian las dos cosas:

22 + 15 = 37

37 – 30 = 7 alumnos estudian las dos cosas

Por tanto:

22 – 7 = 15 estudian solo inglés

15 – 7 = 8 estudian solo informática

En un diagrama sería así:

Inglés

Total: 30

Informática

15 7 8

10 m

20 m

10 m 20 m 30 m

CASA14

14

34

RESOLUCIÓNDE PROBLEMAS

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3. TRANSPORTANDO PANES

Una comitiva de doce personas acarrea 12 panes: cada hombre lleva dos pa-nes; cada mujer, medio pan, y cada niño, un cuarto de pan. ¿Cuántos hombres,mujeres y niños componen la comitiva?

☛ Sean x hombres, y mujeres y z niños. Se tiene: 2x + + = 12

Prueba las distintas posibilidades teniendo en cuenta que x, y, z han de ser númerosenteros y positivos.

Sean x hombres, y mujeres, z niños, tales que: x + y + z = 12.

Se tiene:

Puesto que x, y, z son números enteros positivos, x no puede valer más de 5.

Si x = 5 8

Si x = 4 8 no puede ser z = 0

Si x < 4 o si x > 5, la y o la z salen negativas, cosa que es imposible. Así pues,solo hay una solución:

x = 5, y = 1, z = 6

4. LOS NÚMEROS OCULTOS

Se han tomado dos fichas de cartón y se ha escrito un número en cada una delas cuatro caras.

Tirándolas al aire y sumando los números que quedan a la vista, pueden obte-nerse los siguientes resultados: 36, 41, 50, 55. Observa la figura y averigualos números que quedan ocultos.

25 30

°¢£

y = 8z = 0

°¢£

2y + z = 16y + z = 8

°§¢§£

y z— + — = 42 4

y + z = 8

y = 1z = 6

°¢£

2y + z = 8y + z = 7

°§¢§£

y z— + — = 22 4

y + z = 7

y z2x + — + — = 12

2 4

x + y + z = 12

°§¢§£

z4

y2

Resolución de problemas2

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Llamamos a al número que va en la cara opuesta al 25 y b al de la cara opuesta al30; los resultados posibles serían:

a + 30 36

b + 25 41

a + b 50

25 + 30 8 55

Descartado el 55, que corresponde a 25 + 30, ahora debemos asociar las tres sumasrestantes a los número 36, 41 y 50.

Hagamos un cuadro:

El problema tiene, por tanto, dos soluciones:

o bien:

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5. EL CUENTO

María tiene que acabar de leer un cuento. El lunes leyó la mitad del cuento. Elmartes, la tercera parte de lo que le faltaba. El miércoles, la cuarta parte delresto. El jueves, la quinta parte de lo que le quedaba. Hoy, viernes, ha decididoacabarlo y ha observado que le quedan menos de 15 páginas.

Si todos los días ha leído un número entero de páginas, ¿cuántas páginas tieneel cuento?

Llamamos n al número de páginas del cuento y construimos una tabla para organizarla información:

LUNES

PÁGINAS LEÍDASn—2

MARTES

1 n n— · — = —3 2 6

MIÉRCOLES

1 n n— · — = —4 3 12

JUEVES

1 n n— · — = —5 4 20

VIERNES

n— < 155

PÁGINAS QUE

LE FALTAN

n—2

n n n— – — = —2 6 3

n n n— – — = —3 12 4

n n n— – — = —4 20 5

0

1.a ficha: 25 y 202.a ficha: 30 y 16

°¢£

°¢£

1.a ficha: 25 y 112.a ficha: 30 y 25

a + 30 = 36

b + 25 = 41

a + 30 = 36

b + 25 = 50

a + 30 = 41

b + 25 = 36

a + 30 = 41

b + 25 = 50

a + 30 = 50

b + 25 = 36

a + 30 = 50

b + 25 = 41

a = 6

b = 16

Imposible

Debería ser

a + b = 50

a = 6

b = 25

Imposible

Debería ser

a + b = 41

a = 11

b = 11

Imposible

Debería ser

a + b = 50

a = 11

b = 25

a + b = 36

Primera solución

a = 20

b = 11

Imposible

Debería ser

a + b = 41

a = 20

b = 16

a + b = 36

Segunda solución

Resolución de problemas 3

0UNIDAD

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El viernes tiene que leer páginas. Pero como todos los días ha leído una canti-

dad entera de páginas, el número n debe ser múltiplo de los denominadores 2, 6, 12y 20; es decir, múltiplo de 60.

Como, además, < 15, ha de ser n = 60.

Por tanto, el cuento tiene 60 páginas (el lunes leyó 30, el martes 10, el miércoles 5, eljueves 3 y el viernes las que faltan, 12 < 15).

6. UN SISTEMA

Resuelve el sistema: + = 8

– = 3

☛ Llama z = 1/x, t = 1/y.

Si z = y t = , el sistema se transforma en:

8

Luego: z = 2 = ò x =

t = 3 = ò y =

Solución: x = , y =

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7. LAS PUERTAS

El conserje de un hotel cierra y abre las puertas de las habitaciones del si-guiente modo:

• El primer día cierra todas las puertas.

• El segundo día abre las pares.

• El tercer día cambia (si una puerta estaba abierta, la cierra; y si estaba cerra-da, la abre) las múltiplos de 3.

• El cuarto día las múltiplos de 4.

• Etcétera.

¿Qué puertas son las que quedarán cerradas al final del proceso?

13

12

13

1y

12

1x

z = 2t = 3

°¢£

°¢£

z + 2t = 83z – t = 3

1y

1x

1y

3x

2y

1x

n5

n5

Resolución de problemas4

ا§∞§§±

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Empezamos haciendo un esquema: C indica puerta cerrada, A indica puerta abierta:

Número de puerta: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …

Primer día: C C C C C C C C C C …

Segundo día: C A C A C A C A C A …

Tercer día: C A A A C C C A A A …

Cuarto día: C A A C C C C C A A …

Observamos que las puertas que quedan cerradas al final del proceso, son la 1, 4, 9,16…

Es decir, las que llevan un número que es cuadrado perfecto.

Esto es debido a que son los únicos números que tienen un número impar de diviso-res y, por tanto, tendrán un número impar de cambios, quedando finalmente cerradas.

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8. LAS LOSETAS

Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado:

Observando la figura, es muy sencillo comprobar que dentro del rectángulo de2 000 cm2 hay 8 losetas (4 enteras, 4 medias losetas y otros 4 trozos que conformandos losetas, dos a dos).

Por tanto, cada loseta tiene un área de 250 cm2.

50 cm

40

cm

50 cm

40

cm

Resolución de problemas 5

0UNIDAD

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9. MÁS LOSETAS

Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado:

Como podemos observar en la siguiente figura, el área del rectángulo es de 50 cm2:

Contando cuidadosamente, obtenemos 4 losetas dentro de este rectángulo. Luego ca-da loseta tiene un área de 12,5 cm2.

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10. MÁS MONEDAS

Siguiendo con el problema resuelto de la página anterior, ¿cuál es el númeromáximo de monedas que podemos tener para que se pueda averiguar cuál esla moneda falsa con tan solo tres pesadas?

El análisis se hace mucho más sencillo empezando por el final. ¿Cuántas monedasdebemos tener en la última pesada para estar seguros de que identificamos la falsa?Es fácil ver que la respuesta es 3. Pesamos dos y, o es una de ellas, o es la tercera.

La pregunta ahora sería: ¿Cuántas monedas debemos tener en la penúltima pesada?Si seguimos con el argumento de los dos bloques de monedas pesados y uno quesobra, la respuesta es 3 + 3 + 3 = 9.

Por tanto, el número máximo de monedas que podemos tener para asegurar el éxi-to de nuestra investigación es: 9 + 9 + 9 = 27

10 cm

5 cm

10 cm

Resolución de problemas6

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11. NÚMERO PAR DE FICHAS

En un tablero cuadrado de 16 casillas hay dispuestas 10 fichas, como indicala figura.

Se propone colocarlas, una en cada casilla, de tal manera que en cada fila ho-rizontal o vertical y en las dos diagonales se ubiquen un número par de fi-chas.

12. EL PASTOR, SU OVEJA, SU LOBO Y SU COL

Un pastor con una enorme col, una enorme oveja y un enorme lobo llega aun río en el que hay una diminuta barca en la que no cabe más que el pastory una sola de sus pertenencias.

Si deja al lobo y a la oveja solos, el lobo… Y si deja a la oveja y a la col sin vi-gilancia, no te digo lo que le pasará a la col… Eso sí, el lobo no es vegetaria-no. Quiere pasar a todos al otro lado del río. ¿Cómo lo hará?

Lo primero que pasa es la oveja, porque en cualquier otro caso habría festín. Mástarde vuelve y se lleva la col. Como no puede dejar a la oveja con la col, se trae devuelta a la oveja. Deja a la oveja en su lugar de partida y se lleva al otro lado del ríoal lobo, para que haga compañía a la solitaria col. Vuelve, por última vez, a por laoveja y, en lo que es el tercer viaje para esta, atraviesa definitivamente el río.

● ● ● ●

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● ●

Resolución de problemas 7

0UNIDAD

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PROBLEMAS PARA PRACTICAR

1. UN RELOJ TARDÓN

Si el reloj de una iglesia tarda treinta segundos en dar las seis, ¿cuánto tiem-po tardará en dar las doce?

30 : 5 = 6 segundos pasan entre cada 2 campanadas.

Para dar las 12 hay 11 espacios de tiempo entre campanadas; como cada uno deellos es de 6 segundos, será:

11 · 6 = 66 segundos tarda en dar las 12

2. DIFÍCIL REPARTO

Un grupo de 17 concursantes ha de repartirse un premio, que consiste enuna bolsa con varias monedas de oro, en número menor que 300. Al inten-tar repartirlas, se observa que sobra una moneda. Para que no sobre ningu-na, deciden hacer un juego y el que pierda será eliminado del reparto. Cuan-do quedan 16 concursantes, al intentar repartir las monedas, vuelve asobrar una. Deciden seguir eliminando concursantes hasta que el repartopueda ser exacto.

a) ¿Cuántas monedas contiene la bolsa?

b) ¿Cuántos concursantes deberán ser eliminados para que al hacer el re-parto no sobre ninguna moneda?

a) El número de monedas ha de ser múltiplo de 17 más una y múltiplo de 16 más una.

mín.c.m. (17, 16) = 272

El número de monedas podría ser el siguiente: 272 + 1 = 273, 2 Ò 272 + 1 = 545,3 Ò 272 + 1 = 717, … Pero como nos dicen que es menor que 300, concluimosque el número de monedas es 273.

b) Como 273 = 3 · 7 · 13, el reparto será exacto cuando queden 13 concursantes(que se llevarían cada uno 21 monedas) que es el mayor múltiplo de 273 menorque 17; en este caso, habrían sido eliminados 4.

3. LOS PENDIENTES

En un remoto poblado de Nueva Guinea hay 1 400 mujeres. El 14% de ellaslleva un solo pendiente. Del 86% restante, la mitad lleva dos pendientes y laotra mitad no lleva ninguno. Si los hombres no llevan pendientes, ¿cuántospendientes hay en total en el poblado?

Que la mitad lleve dos pendientes y la otra mitad no lleve ninguno, a efectos mate-máticos, es equivalente a que todas lleven un solo pendiente.

Por tanto, hay 1 400 pendientes.

Resolución de problemas8

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4. MEZCLAS

De un balde que contiene 5 litros de agua, se vierte un litro fuera de él y, en sulugar, se rellena el balde con un litro de zumo de naranja.

Se mezcla bien el zumo con el agua y nuevamente se vierte fuera un litro de lamezcla, sustituyéndola por un litro de zumo de naranja. Y se hace lo mismopor tercera vez.

¿Cuánta agua quedará en el balde después del proceso?

Después de la primera operación, queda:

AGUA ZUMO

5 – 1 = 4 1

Un litro de esto es litros de agua.

Después de la segunda operación, queda:

AGUA ZUMO

4 – 1 +

1 litro de la mezcla es litros de agua.

Después de la tercera operación, queda:

AGUA

4 – – = 2,56 litros de agua

5. VACAS LECHERAS

4 vacas negras y 3 vacas blancas dan la misma cantidad de leche en 5 díasque 3 vacas negras y 5 vacas blancas en 4 días.

¿Qué tipo de vaca es mejor vaca lechera, la blanca o la negra?

Llamamos

Así, tenemos que:

20y + 15x = 12y + 20x 8 8y = 5x 8 x > y

Por tanto, la mejor lechera es la vaca blanca.

x = cantidad de leche que da una vaca blanca en 1 día.

y = cantidad de leche que da una negra al día.°¢£

44 – —5

545

44 – —5

5

45

45

45

Resolución de problemas 9

0UNIDAD

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6. EL NÚMERO OCULTO

Este juego consiste en encontrar un número de cuatro cifras que no empiezapor cero.

Escrito un número en la tabla, en la columna B se indica cuántos de sus dígi-tos tienen en común con el número buscado y en la misma posición.

En la columna R se indica cuántos dígitos tiene ese número en común con elbuscado, pero en posición incorrecta.

Con los datos de esta tabla, ¿serías capaz de encontrar elnúmero oculto?

6 157

7. LAS CARTAS

En una mesa hay cinco cartas:

Cada carta tiene, en un lado, un número natural, y en el otro, una letra.

Enrique afirma: “Cualquier carta que tenga en un lado una vocal, tiene unnúmero par en el otro lado”.

¿A qué cartas tuvo que dar la vuelta Pedro para convencerse de que Enrique de-cía la verdad?

Para confirmar las palabras de su amigo, Pedro debió dar la vuelta al 3 y encontraruna consonante. Desechamos los demás casos:

• Da la vuelta a la R o a la M: es indiferente lo que haya tras ellas, pues el enuncia-do no dice nada sobre las consonantes.

• Da la vuelta al 4 o al 8: también es indiferente pues, si sale vocal, confirma las pa-labras de Enrique y, si sale consonante, estamos en el caso anterior.

8. FUERA DE LA LEY

Cuatro hombres, uno de los cuales había cometido un determinado crimen,hicieron las siguientes afirmaciones al ser interrogados por la policía:

ARTURO: David lo hizo.

DAVID: Antonio lo hizo.

RR MM 44 33 88

B R

0

0

0

2

3 476

3 965

4 269

1 057

2

2

1

1

Resolución de problemas10

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GUSTAVO: Yo no lo hice.

ANTONIO: David mintió cuando dijo que lo hice.

Si solo una de estas afirmaciones fuera cierta, ¿quién sería el culpable? Porotro lado, si solo una de estas afirmaciones fuera falsa, ¿quién sería entoncesel culpable?

Enumeramos las afirmaciones:

① ARTURO: “David lo hizo”.

② DAVID: “Antonio lo hizo”.

③ GUSTAVO: “Yo no lo hice”.

④ ANTONIO: “David mintió cuando dijo que lo hice”.

1.er caso: Si solo una fuera cierta:

– Si ① fuera la cierta ò ③ sería cierta, pero esto no es posible, pues solo hayuna cierta.

– Si ② fuera la cierta ò ③ sería cierta, y esto no es posible.

– Si ③ fuera la cierta ò ② ó ④ serían verdaderas, pero esto no es posible.

– Por tanto, la cierta es la ④. Así, ① sería falsa (luego David no lo hizo), ② se-ría falsa (luego Antonio no lo hizo) y ③ sería falsa. De aquí deducimos que elculpable fue Gustavo.

2.° caso: Si solo una fuera falsa:

– Si ① fuera la falsa ò ② ó ④ serían falsas, lo cual es imposible.

– Si ③ ó ④ fueran las falsas ò ① y ② serían verdad, y esto no es posible.

– Por tanto, la falsa es la ②, con lo que el culpable es David.

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9. EN EL PARQUE DE ATRACCIONES

Cuatro amigas (Alicia, Rocío, Carmen y Mercedes) van al parque de atraccio-nes con otros cuatro amigos (Pablo, Luis, Carlos y Ramón).

A lo largo de la jornada, las cuatro chicas han montado en las siguientesatracciones: montaña rusa, barcas, casa del terror y alfombra mágica. Ade-más, siempre montan un chico y una chica juntos en cada atracción. A la sa-lida comentan:

ALICIA: Me lo pasé mejor en la montaña rusa con Pablo que en las barcas conLuis.

ROCÍO: Cuando monté en la montaña rusa con Carlos, se estropeó y se quedóun rato parada.

Resolución de problemas 11

0UNIDAD

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CARMEN: Ramón me dio un buen susto en la casa del terror.

MERCEDES: Pues yo no vuelvo a entrar en la casa del terror con Pablo.

¿Cómo se formaron las parejas al montar en la alfombra mágica?

Teniendo en cuenta que en la montaña rusa Carmen solo pudo haber ido con Luis ocon Ramón, y que con Ramón fue a la casa del terror, resulta que en la montaña ru-sa Carmen subió con Luis.

A partir de este dato, ya es muy fácil deducir que las parejas en la alfombra fueron:Alicia-Ramón, Rocío-Pablo, Carmen-Carlos y Mercedes-Luis.

10. LOS EXPLORADORES Y LOS CANÍBALES

Tres exploradores y tres caníbales deben cruzar un río, pero disponen deuna sola barca y, además:

• En la barca solo pueden viajar una o dos personas.

• Al menos uno debe saber remar.

• Saben remar los tres exploradores y un caníbal.

• En ninguna orilla los caníbales pueden superar en número a los explora-dores, pues se los comerían.

¿Cómo conseguirán cruzar el río?

☛ Debes distinguir el caníbal que sabe remar de los demás caníbales.

1.°: Cruza un explorador con un caníbal que no sabe remar y vuelve el explorador.

2.°: Cruzan el caníbal remero y el otro caníbal, y vuelve el caníbal remero.

3.°: Cruzan dos exploradores y vuelven un explorador y un caníbal.

4.°: Cruzan un explorador y el caníbal remero, y vuelve un explorador con un caní-bal que no sabe remar.

5.°: Cruzan los dos exploradores y vuelve el caníbal remero.

6.°: Cruzan el caníbal remero y otro caníbal, y vuelve el remero.

7.°: Cruzan el caníbal remero y el otro caníbal que quedaba.

11. EL PROBLEMA DE TARTAGLIA

Este problema consiste en dividir el contenido de una jarra de 24 litros entres partes iguales, utilizando solamente la jarra original y otras tres de 5, 11y 13 litros, respectivamente.

Con la de 24 se llenan la de 5 y la de 11. Quedan 8 en la de 24. Se vacía la de 5 enla de 13 y con la de 11 se llega a llenar la de 13. Con la de 13 se llena la de 5 y asíquedan 8 en la de 13.

Ya tenemos 8 en la de 24, 8 en la de 13 y 8 en las otras dos.

Resolución de problemas12

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12. LAS LÁMPARAS

Sobre una plataforma hay 7 lámparas encendidas y un dispositivo medianteel que podemos apagar una sola lámpara o dos lámparas contiguas, pudien-do elegir cualquiera de las dos opciones.

Dos personas juegan: apagan alternativamente lámparas y gana la personaque apague la última. Si los dos jugadores actúan de forma inteligente,¿quién crees que ganará, el primero o el segundo?

Apagando la lámpara central se divide la disposición de lámparas en dos gruposidénticos de tres y tres.

Cada vez que el segundo jugador apague lámparas, el primero debe replicar apa-gando el mismo número del otro grupo.

De esta forma, el primer jugador se asegura el éxito.

13. UN JUEGO UN TANTO PEDREGOSO

Hay dos montones de piedras, uno con 7 piedras y otro con 6 piedras. Dospersonas juegan de manera alternativa, pudiendo retirar tantas piedras comodeseen, pero solo de uno de los montones. Gana quien retire la última piedra.¿Quién tiene ventaja, el jugador que comienza o el segundo?

El primer jugador puede ganar siempre si juega igualando el número de piedras delos dos montones. Es claro que entonces el otro jugador no puede hacer otra cosaque desigualarlos.

14. AHORRANDO PESADAS

A Carlos, mientras esperaba un día la cola para comprar el pan, se le ocurrióun problema que proponer al panadero de su pueblo:

CARLOS: Pedro, aquí tienes 1 kg de harina y una pesa de 50 gramos. ¿A que noeres capaz de obtener 300 gramos de harina con esta balanza de dosbrazos?

PANADERO: Pero eso es muy fácil…

CARLOS: No, no. Solo con tres pesadas.

Tras pensar unos minutos, el panadero le dio a Carlos sus 300 gramos de ha-rina. ¿Cómo lo hizo?

1.a pesada: En un plato de la balanza colocamos la pesa. En el otro vamos echandoharina. Obtenemos 50 g de harina.

Resolución de problemas 13

0UNIDAD

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2.a pesada: En un plato de la balanza colocamos la pesa y los 50 g de harina obte-nidos antes. En el otro vamos echando harina. Obtenemos 100 g de ha-rina.

3.a pesada: En un plato de la balanza colocamos toda la harina obtenida hasta ahora(150 g). En el otro vamos echando harina. Obtenemos 150 g de harina.

Juntando la harina de los dos platos, nos encontramos con la cantidad pedida:300 g.

15. EL TOSTADOR

Un tostador tuesta por un lado 2 rebanadas de pan juntas. A los 30 segundosdamos la vuelta a las 2 rebanadas y las tostamos por el otro lado. Por tanto,necesito un minuto para tostar 2 rebanadas. ¿Cuánto tiempo necesito paratostar 3 rebanadas de pan por los dos lados?

Empezamos tostando un lado de la 1.a rebanada y otro de la 2.a. Después, tostamosel otro lado de la 1.a con un lado de la 3.a. Por último, tostaríamos el otro lado dela 2.a con el otro de la 3.a. Así, necesitaríamos un minuto y medio para tostar las tresrebanadas de pan por los dos lados.

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16. LOS ESCALONES

Eva sube las escaleras de un edificio de 2 en 2 y las baja de 3 en 3, con lo queda un total de 100 saltos. ¿Cuántos escalones hay en el edificio?

Llamamos:

Por tanto: n.° de escalones = 120

17. EL DINERO

En un bolsillo tenemos monedas de tres clases: de 5, de 20 y de 50 céntimos. En to-tal, 12 monedas con un valor de 2 euros y 85 céntimos (285 céntimos). ¿Cuántasmonedas hay de cada clase?

°¢£

x = 60

y = 40

°¢£

2x = 3y

x + y = 100

x = n.° de saltos al subir 8 n.° de escalones = 2x

y = n.° de saltos al bajar 8 n.° de escalones = 3y

°¢£

Resolución de problemas14

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Si x es el número de monedas de 5 eurocéntimos, y el número de monedas de 10y z el de 50, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:

Cuyas soluciones son:

• Si z < 2, el número de monedas de 5 céntimos sale negativo, luego ha de serz Ó 2.

• Si z = 5, el número de monedas de 20 céntimos sale 0 (el enunciado dice que te-nemos de los tres tipos), luego ha de ser z < 5.

• Además, x, y, z han de ser enteros.

Por tanto, hay tres posibilidades:

• 2 monedas de 50, 1 de 5 y 9 de 20 céntimos.

• 3 monedas de 50, 3 de 5 y 6 de 20 céntimos.

• 4 monedas de 50, 5 de 5 y 3 de 20 céntimos.

18. LA LÍNEA NAVIERA

Se ha establecido una línea regular de barcos entre Cádiz y Santander. Cadadía, a las 12 de la mañana, sale un barco de cada uno de los puertos, emplean-do en la travesía 5 días.

Si hoy sale un barco de Cádiz, ¿con cuántos barcos de la compañía naviera seencontrará hasta su llegada a Santander?

Con 6 barcos (incluyendo el que sale cuando llega él).

19. LA IMPRENTA

Una imprenta debe hacer 3 000 tarjetas de 8 cm Ò 8 cm. Para ello dispone dehojas de dos tamaños, 22 cm Ò 34 cm y 21 cm Ò 28 cm, que deberá cortar.¿Qué tamaño de hojas es conveniente utilizar para desperdiciar la menorcantidad posible de papel?

• Hojas de 22 cm Ò 34 cm:

Con cada hoja se pueden hacer 8 panfletos de8 cm Ò 8 cm y se desperdician:

22 · 2 + 6 · 32 = 236 cm2 en cada hoja

Para conseguir 3 000 panfletos:

3 000 : 8 = 375 hojas necesitaríamos

y se desperdiciarían:

375 · 236 = 88 500 cm2

x = –3 + 2zy = 15 – 3z

°¢£

5x + 20y + 50z = 285x + y + z = 12

°¢£

Resolución de problemas 15

0UNIDAD

8 8 6

8

8

8

8

2

34 cm

22 cm

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• Hojas de 21 cm Ò 28 cm:

Con cada hoja se pueden hacer 6 panfletos y se des-perdician:

21 · 4 + 5 · 24 = 204 cm2 en cada hoja

Para conseguir 3 000 panfletos:

3 000 : 6 = 500 hojas necesitaríamos

y se desperdiciarían:

500 · 204 = 102 000 cm2

• Por tanto, para desperdiciar la menor cantidad posible de papel, conviene utilizarlos de tamaño 22 cm Ò 34 cm.

20. PLEGANDO UNA HOJA DE PAPEL

Toma hojas de papel rectangular y, mediante pliegues, construye ángulos de180°; 90°; 45°; 22°30'. Toma otra hoja y haz con ella lo siguiente:

a) ¿Cuánto valen los ángulosa y b?

b) ¿Podrías construir con lahoja de papel un triángu-lo equilátero?

El ángulo a es de 30° y b es de 60°.

Con ello, se construye el triángulo equilátero fácilmente.

21. LA SUMA

¿Cuántos números menores que 1 000 tienen la suma de sus dígitos igual a 7?

7 0 0 8 3 posibilidades

6 0 1 8 6 posibilidades

5 1 1 8 3 posibilidades

5 0 2 8 6 posibilidades

4 1 2 8 6 posibilidades

4 0 3 8 6 posibilidades

3 1 3 8 3 posibilidades

3 2 2 8 3 posibilidades

36 posibilidades

Existen 36 números con esa propiedad.

D C

B BA RBA R

T T

M D C

A

M D CM

a

b

Resolución de problemas16

8 8 5

8

8

8

4

28 cm

21 cm

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22. LAS VELAS

Dos velas de la misma altura se encienden simultáneamente. Una se consu-me en 4 horas y la otra en 10 horas.

¿Cuántas horas deberán arder hasta que la longitud de una de ellas sea el do-ble que la longitud de la otra?

Tomamos como unidad la longitud de ambas velas antes de ser encendidas.

• La longitud de la 1.a vela en t horas es 1 – t.

• La longitud de la 2.a vela en t horas es 1 – t.

¿Para qué valor de t la primera es la mitad de la 2.a?

1 – t = 1 – t 8 t = 2,5

Han de transcurrir 2 horas y media.

23. LA CAJA

Pedro tiene lagartijas, escarabajos y gusanos. En total tiene 12 animales y 26 patas. Tiene más gusanos que lagartijas y escarabajos juntos.

¿Cuántos animales tiene de cada clase?

Como las lagartijas tienen 4 patas, los escarabajos 6 y los gusanos ninguna, son7 gusanos, 3 escarabajos y 2 lagartijas.

24. ETAPA DE MONTAÑA

Un ciclista puede recorrer una media de 20 km por hora cuesta arriba y 60 km por hora cuesta abajo.

¿Cuál será su velocidad media en un recorrido con salida y llegada en el mis-mo punto?

Llamamos x al espacio que hay hasta llegar a la cima:

Así, tenemos que:

• Espacio total recorrido = 2x

• Tiempo total empleado = + = =

Por tanto:

Velocidad media recorrido = = 30 km/h2xx15

60 k

m/h

20 k

m/h

x x15

4x60

x60

x20

)110(1

214

110

14

Resolución de problemas 17

0UNIDAD

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25. FILA DE NÚMEROS

Si escribimos los números naturales seguidos, de la siguiente manera:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …

¿qué dígito ocupará el lugar cien mil?

Al colocar en la fila el 9 999, el último 9 ocupa el lugar:

9 + 2 Ò 90 + 3 Ò 900 + 4 Ò 9000 = 38 889

Como 100 000 = 38 889 + 61 111, el problema ahora es:

10 000 10 001 10 002 …

¿Qué dígito ocupa el lugar 61 111?

Al colocar en esta lista el 69 999 hemos colocado 60 000 dígitos.

Por tanto, ahora el problema es:

Empezando así:

70 000 70 001 70 002 70 003 …

¿Qué dígito ocupa el lugar 1 111?

Como 1 111 = 5 Ò 222 + 1, al colocar el 70 221 se han colocado 5 Ò 222 dígitos.

Por tanto, el dígito solución del problema inicial es el 7.

26. LOS CEROS

¿En cuántos ceros acaba el número 125!?

☛ Recuerda que:

125! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · … · 123 · 124 · 125

Cuenta el número de veces que aparece el factor 5 (el factor 2 va a aparecer más ve-ces).

Es 25 + 5 + 1 = 31. Termina en 31 ceros.

27. ¿ÚLTIMO DÍGITO?

¿Cuál es el último dígito de la expresión 2103 + 3?

Es fácil observar que las terminaciones de las potencias de 2 son siempre 2, 4, 8 y 6(en ese orden). Por tanto, 2100 termina en 6 y 2103 termina en 8.

Así, 2103 + 3 termina en 1.

28. AVELLANAS MÁGICAS

En un canasto hay avellanas cuyo número se duplica cada minuto. Despuésde una hora, el canasto está completamente lleno.

¿Cuánto tiempo se necesitó para llenarlo hasta la mitad?

59 minutos.

Resolución de problemas18

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Página 21

29. MEZCLA DE CROMOS...

Héctor es aficionado a los coches y tiene un gran montón de cromos de ellos.

Leticia es aficionada a las motos y tiene un gran montón de cromos de motos.

Un día Héctor, complaciente, le regala un puñado de sus cromos (40) a Leti-cia. Como son del mismo tamaño, ella los mezcla con los suyos. Más tarde sepelean y Héctor le pide que le devuelva sus cromos y Leticia, muy digna, cuen-ta 40 cromos cualesquiera y se los da. Él los mezcla con los suyos.

¿Hay más cromos de motos entre los coches de Héctor o más cromos de co-ches entre las motos de Leticia?

El número de cromos que se intercambian es 40 en los dos casos. Luego, despuésde los cambios, los dos tienen la misma cantidad de cromos que tenían en un prin-cipio.

Los cromos de motos que tiene Héctor son los que le faltan a Leticia (y Leticia si-gue teniendo el mismo número de cromos que tenía en un principio; luego los cro-mos que le faltan de motos ahora son de coches).

Por tanto, el número de cromos de motos que hay entre los coches de Héctor es elmismo número de cromos de coches que hay entre las motos de Leticia.

30. ... Y MEZCLA DE LÍQUIDOS

Tienes dos jarras, una con zumo y la otra con agua, y un vaso vacío.

Llenamos el vaso con zumo de la primera y lo vertemos en la jarra de agua.Una vez mezclado, se vuelve a llenar el vaso con mezcla de la segunda y se vier-te en la primera.

¿Hay más zumo en el agua que agua en el zumo? ¿Es al contrario? ¿Hay, aca-so, la misma cantidad de zumo en el agua que de agua en el zumo? ¿O depen-de de las cantidades de cada una que tuviéramos al principio?

Algo semejante a lo dicho en el problema anterior ocurre con el agua y el zumo: alfinal del proceso, la cantidad de líquido que hay en las dos jarras es la misma quehabía en un principio. Luego la cantidad de agua que hay ahora en la jarra de zu-mo es la que falta de agua en la jarra de agua (que está sustituida por zumo).

Por tanto, hay la misma cantidad de zumo en el agua que de agua en el zumo.

Resolución de problemas 19

0UNIDAD

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31. UN ROBOT MUY MARCIAL

Un robot, al ponerse en marcha, camina de la siguiente forma:

Da un paso. Cambia de dirección y da dos pasos. Cambia de dirección y da trespasos... Así, sucesivamente, tras cada cambio de dirección da un paso más queen el tramo anterior. Y cada nueva dirección es perpendicular a la que traía.

¿Es posible que el robot pase por el punto de partida? ¿Y que cambie de direc-ción allí? ¿Cuál es el menor número de pasos con que se puede conseguir cadauna de estas dos posibilidades?

El robot se mueve en dos direcciones, que llamaremos N-S y E-O. Supondremosque empieza dando un paso hacia el este (E). Según esto, los tramos con un nú-mereo impar de pasos (1, 3, 5, 7, 9, …) los dará hacia el E o hacia el O, y los tra-mos con un número par de pasos (2, 4, 6, 8, …) los dará hacia el N o hacia el S.

Para conseguir que el robot pase por el punto inicial, I, tendremos en cuenta que 2 + 4 = 6. Observa cómo:

Los tramos 2 y 4 lo alejan 6 unidades hacia elS. El tramo 6 lo dirigimos hacia el N. Despuésde los seis primeros tramos, el robot está unpaso al O del punto I. El siguiente tramo (7) sedirige al E y tras el primer paso “pasa” por I.

El número total de pasos es:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 1 = 22

Para conseguir que el robot “cambie de dirección en I”, es decir, complete un tra-mo en I, tendremos en cuenta que 1 + 7 = 3 + 5 y que 2 + 8 = 4 + 6. Observa cómo:

I1

23

45

6

7

8

A I1 2

34

5

6

Resolución de problemas20

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32. PELADOS Y MELENUDOS

A Eva la invitan a la fiesta que se va a celebrar en el Club de los Pijos el pró-ximo sábado. Todavía no sabe si irá o no, pero hace indagaciones y averiguaque, entre los pijos, la probabilidad de que uno de ellos sea DIVERTIDO es ma-yor si tiene melena que si está pelado.

(1) PIJOS: P [DIVER./MELENA] > P [DIVER./PELADO]

Decide que, si va a la fiesta, ligará con un melenudo.

Estando en esas le llaman del Club de los Macarras para invitarle a una fiesta a lamisma hora. Hace indagaciones y llega a conclusiones similares:

(2) MACARRAS: P [DIVER./MELENA] > P [DIVER./PELADO]

Todavía no sabe a cuál de las dos fiestas irá, pero tiene claro que, vaya a la quevaya, ligará con un melenudo.

Una hora antes de empezar las fiestas recibe una nueva llamada advirtiéndo-le de que Pijos y Macarras se han puesto de acuerdo y hacen una única fiesta.Revisando sus notas, Eva descubre con asombro que en el conjunto de todosellos las cosas cambian radicalmente.

(3) PIJOS + MACARRAS: P [DIVERTIDO/MELENA] < P [DIVERTIDO/PELADO]

Por tanto, deberá cambiar su estrategia y ligar con un pelado.

¿Cómo es posible que sea así? Para explicarlo, inventa unos números para dos ta-blas como esta, una para PIJOS y otra para MACARRAS, de modo que en la primera secumpla (1), en la segunda (2) y en la que resulta de sumar ambas se cumpla (3):

Empecemos poniendo un ejemplo numérico para entender mejor la situación. Su-pongamos que tenemos lo siguiente:

10 Pijos

1 melenudo 1 divertido (100%)

9 pelados8 divertidos (88,9%)

1 no divertido

10 Macarras

8 melenudos5 divertidos (62,5%)

3 no divertidos

2 pelados1 divertido (50%)

1 no divertido

MELENA PELADO

DIVERTIDO

ABURRIDO

Resolución de problemas 21

0UNIDAD

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Si observamos estos resultados, vemos que la clave está en que hay más divertidosentre este grupo de pijos que entre este grupo de macarras; y que hay muy pocospijos melenudos.

Si hay un pijo melenudo que sea divertido, ya supone un porcentaje alto del totalde pijos melenudos.

Página 22

33. HOJAS DE PAPEL

Los tamaños estándar de papel se denominan A0, A1, A2, A3, A4, A5… Cadauno de ellos es la mitad del anterior y semejante a él.

I Teniendo esto en cuenta y sabiendo que la su-perficie de A0 es 1 m2, calcula las dimensionesde una hoja A4 (es la de uso más frecuente) re-dondeando hasta los milímetros. Comprueba elresultado midiendo una hoja A4.

II Demuestra que cualesquiera de las hojas anteriores cumple lo siguiente:

Si le añadimos un cuadrado, el rectángulo que se obtiene, MNPQ, tiene lapeculiaridad de que al suprimirle dos cuadrados da lugar a otro rectángu-lo, MRSQ, semejante a él (MNPQ semejante a MRSQ).

I)

A1

A0

x

y/2

y

M N

PQ

M R

SQ

A3

A0

A2

A3A4

A5

A1

Al juntarlos a todos, tendríamos que:

20 Personas

9 melenudos6 divertidos (66,7%)

3 no divertidos

11 pelados9 divertidos (81,8%)

2 no divertidos

Resolución de problemas22

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La superficie de A0 es 1 m2, es decir:

x y = 1 m2 ò y =

Por la semejanza entre A0 y A1, tenemos que:

= ò = x2 ò y2 = 2x2

2= 2x2 ò = 2x2 ò 1 = 2x4 ò = x4

x = 4

= , y =

Las dimensiones de A0 son:

largo = m, ancho = m

Las dimensiones de A4 serán:

largo = = 0,297 m = 29,7 cm = 297 mm

ancho = = 0,210 m = 21 cm = 210 mm

II) x

x

xxy – x

Q S P

M R N

y

1

44√2

4√24

A4

A0

x

x/4

y/4

y

A4 x/4

y/4

14√2

4√2

4√21

4√2√12

12

1x2)1

x(

y2

2x

y/2

y

x

1x

Resolución de problemas 23

0UNIDAD

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La razón entre los lados del rectángulo (A0, A1, …) es: = = ( )2 =

(es la misma en A0, A1…, pues todos ellos son semejantes).

La razón entre los lados del rectángulo MNPQ es:

= = = + 1

Queremos probar que MRQS es semejante a MNPQ; para ello bastará ver que:

= + 1

Veámoslo:

= = = = = + 1

Como queríamos probar.

34. ALCOHOL A CAZOS

Una vasija contiene una mezcla de alcohol y agua en una proporción de 3 a 7.En otra vasija la proporción es de 2 a 3. ¿Cuántos cazos hemos de sacar de cadavasija para obtener 12 cazos de una mezcla en la que la proporción alcohol-agua sea de 3 a 5?

alcohol alcohol alcohol

La proporción de alcohol es:

x + (12 – x) · = · 12

+ = ; 3x + 48 – 4x = 45; x = 3

Solución: 3 cazos de la primera y 9 de la segunda.

92

24 – 2x5

3x10

38

25

310

38

25

310

3 alcohol7 agua

x cazos

V1

2 alcohol3 agua

(12 – x) cazos

V2

3 alcohol5 agua

12 cazos

√2√2 + 12 – 1

√2 + 1

(√2 – 1) (√—2 + 1)

1

√2 – 1

x/xy/x – x/x

xy – x

√2—MQ—MR

√2√2 + 1

1

y/x + x/x

x/xy + x

x

√24√24√2

1/4√2

y

x

Resolución de problemas24

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35. ALIGERANDO EL PASO

Un viajero que va a tomar su tren ha cubierto 3,5 km en 1 hora y se da cuen-ta de que, a ese paso, llegará 1 hora tarde.

Acelera el paso y recorre el resto del camino a una velocidad de 5 km/h, lle-gando media hora antes de que salga el tren.

¿Qué distancia tenía que recorrer?

t = tiempo que tarda en recorrer x a 3,5 km/h

Si va a 5 km/h tarda t – 1,5 (1 hora y media menos)

Por tanto:

3,5t = 5t – 7,5; t = 5 horas

x = 17,5 km

Tenía que recorrer 17,5 km (21 km si contamos los 3,5 km del principio).

36. SELLOS

Se ordenan 31 sellos de izquierda a derecha en orden creciente de precios. El pre-cio de cada sello difiere en 2 € de sus dos adyacentes.

Por el precio del último sello podríamos comprar el sello central y uno de los quetiene el lado.

¿Cuál de ellos?

Si llamamos pi al precio del sello que ocupa la posición i-ésima, tenemos una pro-gresión aritmética de diferencia d = 2. Así:

p31

= p1

+ 60. El sello central es el 16.°

p16

= p1

+ 30

p15

= p1

+ 28

p17

= p1

+ 32

Por tanto, el sello que buscamos es el anterior al central (el que está en la posición15.a).

°¢£

x = 3,5tx = 5 (t – 1,5)

1 htren

x3,5 km

Resolución de problemas 25

0UNIDAD

Si fuera p31

= p16

+ p15

:

2p1

+ 58 = p1

+ 60 ò p1

= 2

°¢£

Si fuera p31

= p16

+ p17

:

2p1

+ 62 = p1

+ 60 ò p1

= –2 (imposible)

Son el 15.° y el 16.°

°¢£

°§¢§£

°§§§¢§§§£

**

**

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37. LIBROS

Un librero compró dos manuscritos antiguos por 2 250 € y después los vendióobteniendo un beneficio del 40%.

El primer manuscrito le dejó un beneficio del 25% y el segundo un beneficiodel 50%, ¿cuánto pagó por cada manuscrito?

y = 2 250 – x

1,25x + 3 375 – 1,5x = 3 150; 225 = 0,25x

x = 900 €; y = 1 350 €

Por el primero pagó 900 € y por el segundo, 1 350 €.

38. ÁNGULOS SOBRE CUADRÍCULA

Demuestra que, en esta figura, a = b + g.

Intenta utilizar una cuadrícula como esta para demostrarlo.

a = . Basta observar que se trata de uno de los ángulos agudos del triángulorectángulo que se forma con la diagonal de un cuadrado.

b = , por ser el ángulo agudo menor de un triángulo rectángulo cuyos catetosmiden cuatro y dos unidades; igual (por semejanza) al formado por catetos de dos yuna unidad.

g = , pues, tomando las diagonales de los cuadrados pequeños por unidades,se trata del ángulo menor del triángulo rectángulo de catetos 3 y 1 unidades (OA yAC, respectivamente).

Así, podemos observar fácilmente en el dibujo que a = b + g, pues:

= = + ìCOD

ìAOC

ìAOD

ìBOD

ìAOC

ìCOD

AB

C

DO

ìBOD

g b a

°¢£

1.° 8 x x + y = 2 2502.° 8 y 1,25x + 1,5y = 2 250 · 1,4

Resolución de problemas26

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39. ¡CON CALCULADORA!

a) Tu calculadora tiene la tecla $. Utilízala para calcular . Fácil,

¿no?

b) Se llama n! al producto

n · (n –1) · (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1

Averigua el valor de n para el cual

= 110 355 024

☛ Es más fácil de lo que parece: interpreta lo que se te pide, piensa un poco y utili-za la calculadora.

a) $ 6765201 = {∫∫∫“\≠‘} $ = {∫∫∫∫∞‘}

b) = =

= n (n – 1)(n – 2)(n – 3)

Por tanto, hemos de averiguar el valor de n para el cual

n (n – 1)(n – 2)(n – 3) = 110 355 024

El producto de cuatro números consecutivos es un número muy grande. La raíz cuarta de este número será un número que esté “entre ellos”. Seguramente,estará entre los dos de en medio. Probemos:

$ 110 355 024 = {‘≠∞≠¢…££££∞“¢} $ = {‘≠“…¢£«£≠“≠“∞}Seguramente n – 2 = 102 y n – 1 = 103. Veamos:

104 · 103 · 102 · 101 = 110 355 024, efectivamente

Por tanto, n = 104.

40. PESOS, PESAS Y PESADAS

a) Con este juego de pesas:

1g 2 g 4 g 8 g 16 g 32 g 64 g

puedes realizar cualquier pesada comprendida entre 1 g y 123 g. Comprué-balo “pesando” 23 g, 89 g y 111 g.

Añade dos pesas más a dicho juego. ¿Hasta qué peso puedes llegar ahora?

b) Con este otro juego de pesas:

1 g 3 g 9 g 27 g 81 g

también puedes realizar muchas pesadas. ¿Cuál es la pesada máxima? ¿Có-mo pesarías 60 g? ¿Y 100 g? Añade otra pesa y consigue pesar 314 g.

☛ Prueba a poner pesas en los dos platillos.

n (n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5) … 3 · 2 · 1(n – 4)(n – 5) … 3 · 2 · 1

n!(n – 4)!

n!

(n – 4)!

4√6 765 201

Resolución de problemas 27

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Page 28: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS - matematicas.torrealmirante.netmatematicas.torrealmirante.net/MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS... · 12. EL PASTOR, SU OVEJA, SU LOBO Y SU COL Un pastor

a) 23 = 16 + 4 + 2 + 1

89 = 64 + 16 + 8 + 1

111 = 64 + 32 + 8 + 4 + 2 + 1

Si se añaden las pesas 128 g y 256 g se pueden realizar, con las nueve, pesadasque van de 1 g a 511 g.

b) La pesada máxima es 81 + 27 + 9 + 3 + 1 = 121 g.

Es decir, que con esas 5 pesas se puede realizar cualquier pesada entre 1 g y 121 g.

60 = 81 – 27 + 9 – 3

100 = 81 + 27 – 9 + 1

Estas cinco pesas son 1, 3, 32, 33, 34. Añadimos otra de 35 = 243 g:

314 = 243 + 81 – 9 – 1

314 g 243 g81 g

1 9

81 g100 g

19 27

60g

81 g3 927

Resolución de problemas28