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ELECTROMAGNETISME – 1ère partie page 1/12 © JM DUCRET

MP 2013/2014

Exercices : Electromagnétisme (2nd partie)

Equations de Maxwell EMG 502 : Plaque de cuivre dans un champ magnétique variable

Soit un repère orthonormé direct (O, xu, yu, zu) et deux plans Π et Π' parallèles au

plan (Oxy) et de cotes respectives suivant zz' égales à + a/2 et – a/2. Ces plans délimitent une plaque de cuivre homogène, d’épaisseur a, de perméabilité μ0, de permittivité ε0 et de conductivité γ.

1. Une source de champ magnétique uniforme et constant est placée au-dessus de Π. La présence de la plaque modifie-t-elle le champ magnétique ?

2. La plaque est maintenant plongée dans un champ uniforme mais alternatif : B =

B0 cos (ω t). xu (B0 et ω constants).

On supposera la fréquence suffisamment basse pour que le champ magnétique reste approximativement uniforme dans tout le conducteur.

2.a) Montrer que l’existence du champ magnétique B variable dans le temps implique

l’apparition d’un champ électrique E

et, dans la plaque, d’un courant induit de

densité j.

2.b) Par des arguments de symétrie, montrer que E

est parallèle à yu avec

( ) ( ) E z E z− = −

.

2.c) Par le calcul de la circulation de E

sur un contour convenablement choisi, déterminer E

(M).

Donner la densité de courant j(M) correspondante et tracer le graphique de

l’amplitude de cette densité en fonction de z.

3. On considère une portion de la plaque limitée par un cylindre droite de génératrices parallèles à (Oz) et dont les bases, situées dans les deux plans z = ±a 2 ont pour aire S. On note le volume τ = S.a le volume de cette portion de plaque. Calculer la puissante p(τ) dissipée en moyenne, sur une période, par effet Joule dans le volume τ

et la puissance volumique moyenne ( )p

pτ

τ=

∼

Exprimer p∼

en fonction de γ, ω et B0. A.N. : a = 5,0 cm ; ω = 100 π rad.s 1 ; B0 = 1,0 T. EMG 504 : Décharge d’une boule conductrice dans l’air Une boule conductrice, de centre O et de rayon R, porte initialement la charge Q0 uniformément répartie en surface. Elle est abandonnée dans l’air supposé légèrement conducteur, de conductivité γ. À l’instant t, la boule porte la charge Q(t).

On cherche le champ électromagnétique (E(M,t), B

(M,t)) en un point M de l’espace


repéré par ses coordonnées sphériques de centre O.

1. Déterminer E(M,t), B

(M,t) à l’extérieur de la boule.

2. Établir l’équation différentielle vérifiée par Q(t). La résoudre et commenter. Calculer de deux façons différentes l’énergie totale dissipée dans le milieu et commenter EMG 505 : Champ créé par une nappe de courant

1. Le plan xOy est parcouru par un courant de densité surfacique de courant j= j0

cos(α y). xu. On cherche à déterminer le champ magnétique B

(M) créé par ce plan

dans tout l’espace.

1.a) Montrer que B(M) = By(y,z) yu

+ Bz(y,z) zu

.

1.b) On pose B(M) = Re(B

(M)) où B

(M) = 0B

(z).eiαy Quelle est la parité des

fonctions B0y(z) et B0z(z) ?

1.c) Établir l’équation aux dérivées partielles vérifiées par B(M).

Déterminer entièrement le champ magnétique B(M).

Attention : il faut distinguer les régions z > 0 et z < 0.

2. Le plan xOy est maintenant parcouru par un courant de densité surfacique j= j0

cos(ωt - α y). xu avec 0 < α <ω/c

En suivant une démarche similaire à celle de la question précédente, déterminer le

champ électromagnétique (E(M,t), B

(M,t)) créés par ce plan dans tout l’espace.

EMG 506 : Câble coaxial Un câble coaxial est constitué de deux cylindres métalliques d’axe Oz, de rayons a et b>a. La couronne cylindrique située entre ces deux conducteurs a les propriétés électromagnétiques du vide. Elle est le siège de champs électrique et magnétique tels que (en coordonnée cylindrique d’axe Oz) :

E(M,t) = E(r) cos(ωt - kz). ru

et B

(M,t) = 0B

(r).cos(ωt - kz)

On pourra travailler en notation complexe. On admet que les champs E et sont nuls

pour r < a et r > b. 1. Déterminer E(r). On posera Ea = lim ( )

r aE r

+→

2. Calculer 0B

(r).

3. Quelle est la relation entre k et ω?

4. Déterminer les densités surfaciques de charges σa et σb et de courant ,s aj

et ,s bj

sur

les armatures cylindriques (en r = a et r = b). Vérifier que l’équation de conservation de la charge sur les armatures est bien compatible avec les expressions trouvées.

5. Vérifier que : . lna r

Ac b

= −

Ea cos(ω t - kz) zu

est un potentiel vecteur possible.

En déduire le potentiel scalaire V(r,z,t) qui sera pris nul en tout point du conducteur extérieur

6. Soit U(z,t) = V(a,z,t) le potentiel du conducteur intérieur à l’abscisse z à l’instant t et I(z,t) l’intensité du courant électrique porté par ce même conducteur.


Montrer que Z = ( , )( , )

U z t

I z t est indépendant de z et de t.

Donner son expression et son interprétation physique.

7. Déterminer le vecteur de Poynting puis la puissance moyenne qui traverse une section droite du câble. Montrer qu’elle s’exprime simplement en fonction de Z et commenter. On donne : ( ) . ( )rot U rotU grad Uλ λ λ= + ∧

( ( ) ) 0rrot f r u =

( ) 0u

rotrθ =

EMG 513 : Conductivité en « haute fréquence» Dans un conducteur métallique les électrons libres (charge –e, masse m) de densité volumique

n ont une vitesse d'ensemble v par rapport au réseau cristallin et sont soumis de la part de ce

dernier à une « force de frottement » en – mv /τ .

1- Donner l'origine de cette force et interpréter τ .

2- Le métal est mis en régime sinusoïdal forcé sous l'action d'un champ électrique ti0 e.EE ω−= .

Établir la loi d'Ohm locale Ej σ= et exprimer la conductivité complexe σ en fonction de σ0 =

ne2τ/ m et de ωτ. Commenter en distinguant ωτ << 1 et ωτ >> 1 . AN : On mesure σ0 = 0,57.108 S.m-1 , en déduire τ.

3- Exprimer la puissance volumique moyenne < Pv > dissipée dans le métal. Commenter le résultat dans les deux cas ωτ << 1 et ωτ >> 1.

EMG 516 :


Propagation d’une onde électromagnétique- Etat de polarisation EMG 603 : Superposition de deux OPPM Une OPPM de pulsation ω se propage dans le vide. Son vecteur d'onde est

)esine(coskk zx11

α+α= . Elle est polarisée rectilignement, le champ électrique est parallèle à

Oy et vaut y101 e)r.ktcos(EE

−ω= .

a) Représenter graphiquement cette onde. Que vaut k1 ? Quel est le champ magnétique associé ?

b) Une deuxième onde, ayant les mêmes fréquence, amplitude et polarisation, dont le vecteur d'onde est )esine(coskk zx22

α−α= est superposée à la première. Ces deux

ondes sont en phase à l'origine du système de coordonnées cartésiennes utilisé. Représenter graphiquement cette onde.

c) Exprimer les champs électrique et magnétique de l'onde globale. La superposition des deux OPPM est-elle une OPPM ?

EMG 605 : Onde en coordonnées cylindriques Une source, placée dans le vide, supposée confondue avec l'axe Oz, émet une onde électromagnétique progressive, monochromatique. On cherche une solution des équations de Maxwell dont le champ électrique en un point M de coordonnées cylindriques (r,θ,z) s'exprime

dans la base cylindrique en notation complexe : ze)r(fE )krt(j −ω= , avec k=ω/c où c est la

célérité de la lumière dans le vide. a) Déterminer, à l'aide de l'équation de Maxwell-Faraday, le vecteur champ magnétique en M. b) Etablir l'équation dont doit être solution f(r) pour que l'expression précédente satisfasse à

l'équation de Maxwell-Ampère. On ne cherchera pas à résoudre cette équation. c) En utilisant l'expression du champ magnétique établie en a) et en supposant f(r) réel,

calculer le vecteur de Poynting en M. En déduire la puissance électromagnétique moyenne traversant un cylindre d'axe Oz, de hauteur unité et de rayon r.

d) En absence de phénomènes dissipatifs, cette puissance est une constante notée p0 ; déterminer alors f(r). En déduire les champs électrique et magnétique. Conclure quant à la structure de l'onde à grande distance.

On donne en coordonnées cylindriques : zr

)rA(r1

er

A)r(Arot z

∂

∂+

∂

∂−= θ

θ .

EMG 607 : Ondes sphériques A trois dimensions, l'équation de d'Alembert vérifiée par une onde ψ(M,t) s'écrit :

2

2

2 tc

1

∂

Ψ∂=∆Ψ , où ∆ est le Laplacien. Les plans d'onde d'une onde sont théoriquement

d'extension infinie, mais le concept d'onde plane n'est a priori envisageable que dans des zones d'extension limitée, l'énergie d'une onde ne pouvant être infinie. Les ondes sphériques, d'amplitude variable au cours de leur propagation, permettent une description des ondes émises, par exemple, par une source sonore de petite taille placée en O. a) Etablir la forme générale des ondes sphériques, dont l'amplitude ne dépend que de t et de

la distance r=OM au point d'origine O : ψ(x,y,z,t)=ψ(r,t), solutions de l'équation de d'Alembert.

b) Interpréter les deux termes intervenant dans cette expression. c) Caractériser les surfaces d'onde et commenter l'intervention d'un facteur décroissant

comme 1/r dans l'amplitude de l'onde. On donne le Laplacien en coordonnées sphériques d'une fonction f ne dépendant que de r :

( ))r(rfrr

1)r(f

2

2

∂

∂=∆ .


EMG 610 : Pression de radiation corpusculaire

À une onde de fréquence ν et de vecteur d'onde zu.kk = correspond un photon d'énergie E =

hν et de quantité de mouvement ku.c

hp z =

ν= (en notant

π=

2h

).

1- Un faisceau d'intensité I (suivant Oz+) tombe normalement sur un conducteur plan parfait. À quel nombre d2N de photons par unité de surface et de temps cela correspond-il ? 2- A partir de la quantité de mouvement transférée par un photon au conducteur (on pourra

supposer le choc élastique, c’est à dire sans perte de quantité de mouvement : ri pp −= ),

déduire la pression P exercée par le faisceau en fonction de I et c. Proposer une application numérique. Comment est modifié ce résultat si le faisceau incident est incliné d'un angle θ ? Si, en conservant θ = 0, la surface est absorbante au lieu d'être réfléchissante ? EMG 613 :Détection d’une onde électromagnétique Une onde électromagnétique plane, monochromatique de fréquence f = 1MHz, polarisée rectilignement se propage dans le vide. L’amplitude du champ électrique est E0=10-4 V.m-1 1/ Calculer l’amplitude B0 du champ magnétique. 2/ Cette onde est reçue sur un cadre formé de N = 10 spires carrées de coté 0,3 m. Calculer le flux magnétique maximum traversant le cadre ainsi que la valeur maximale de la fem induite. 3/ Déterminer la valeur moyenne du module du vecteur de Poynting : < P >. 4/ Déterminer la valeur moyenne de la densité volumique d’énergie électromagnétique : < w >. 5/ Cette onde est émise par une source ponctuelle rayonnant de manière isotrope dans un hémisphère. Calculer la puissance rayonnée à 1 000 km de la source. EMG 617 :Onde modulée Dans le vide, à quelle condition une onde électromagnétique peut-elle avoir un champ électrique égal à : ( ) ( ) yukzwtcosxsinaE

−α= ?

Calculer la puissance moyenne rayonnée à travers une surface rectangulaire de côtés A et B , orthogonale à l’axe Oz. EMG 618 :Onde stationnaire

On considère le champ électrique : x0 u tcoskzsinEE

ω= . Déterminer la densité volumique de

charges et le vecteur B

correspondant. A quelle condition ces deux champs peuvent-ils correspondre à ceux d’une onde électromagnétique ? EMG 621 :Formule fondamentale des interférences On considère deux ondes planes polarisées rectilignement (les champs iE

restent dans le plan Oyz) se dirigent vers un plan

situé en z=0, en faisant des angles α± avec l’axe Oz.

Calculer )0z(Etotal =

et )0z(Btotal =

. En déduire le vecteur de

Poynting en z=0, ainsi que la valeur moyenne de sa composante orthogonale au plan z=0

1k

2k

1E

2E

z

y

O


EMG 626 : L'équation de d'Alembert dans une ligne coaxiale sans perte Une ligne coaxiale présente une capacité linéique C (en F.m-1) et une inductance linéique L (en H.m-1). On montre que LC =1/c2 si elle est parfaite où c est la vitesse de la lumière dans le vide. Sur un tronçon de longueur dx, elle se modélise simplement par le schéma suivant, la tension v(x,t) et le courant i(x,t) étant non seulement fonction du temps (régime variable), mais aussi de l'espace :

Établir les équations donnant xv

∂

∂ et

xi

∂

∂ en fonction de

tv

∂

∂ et

ti

∂

∂, et montrer, en justifiant les

approximations, que cette ligne (sans perte) conduit pour la tension v(x,t) à une équation aux dérivées partielles dite équation de d'Alembert. Quelle est alors la célérité des signaux électriques qui s'y propagent ? EMG 629 :Chauffage par induction Un cylindre métallique de rayon a, de longueur L et de conductivité σ = 5.107 Ω-1.m-1 , est placé à l'intérieur d'un solénoïde de grande longueur suivant son axe Oz. Ce dernier est parcouru par un courant harmonique de faible fréquence, f = 50 Hz, à l'origine d'un champ magnétique uniforme sB = Bo cos ωt zu

a) Par une méthode au choix, déterminer l'expression du champ électromoteur mE , puis

celle de la densité volumique j des courants induits (dits de Foucault) en tout point du

conducteur en négligeant devant sB le champ produit par ces courants. b) En déduire la puissance volumique moyenne dissipée à une distance r de l'axe par effet Joule, puis la puissance moyenne totale sur le conducteur. Dans quel but, cette perte est-elle ici provoquée ?

c) Calculer le champ magnétique iB créé par les courants induits de la question a).

d) L'hypothèse faite iB << sB est-elle vérifiée lorsque a est typiquement de l'ordre du

décimètre ? Commenter les résultats.

e) Sans. faire l'approximation iB << sB , déterminer à quelle équation en ARQS satisfait le

champ magnétique total B . À quel type de solution faut-il s'attendre ? EMG 633 : Effet de peau dans un conducteur 1) Le demi-espace z > 0 est de conductivité γ. Dans le demi-espace z < 0 règne un champ

B = B0 cos(ωt) yu . Que va-t-il se passer? Déterminer l'équation de propagation de B dans

le conducteur.

2) Déterminer le champ B dans le conducteur, en faisant apparaître une grandeur δ homogène à une longueur appelée épaisseur de peau. Quelle est la signification de .δ?

3) Calculer le champ E et j dans le conducteur, puis la puissance moyenne transférée à

travers une section unitaire perpendiculaire à yu Montrer qu'elle est échangée par effet

Joule.


Réflexion d’une onde électromagnétique EMG 702 : Réflexion normale d'une OPPM polarisée circulairement Une OPPM incidente de pulsation w se propage dans le vide dans le sens des z croissants. En notation complexe, son champ électrique est : Le conducteur plan parfait occupe la partie de l'espace correspondant à z > 0, sa surface correspond au plan xOy .

1- Donner l'expression du champ rE de l'onde réfléchie. Comparer la polarisation des ondes

incidente et réfléchie et expliquer ce résultat.

En déduire le champ E de l'onde résultante.

2- Déterminer les champs magnétiques iB et rB puis le champ B total. Que peut-on dire de E

et B ?

3- Calculer les valeurs instantanées du vecteur de Poynting R et de la densité d'énergie électromagnétique u. Commentaires.

4- Quelles sont les densités superficielles de charge σ et de courant sj à la surface du

conducteur ? EMG 703 : Réflexion / transmission sur un conducteur réel Le demi-espace z < 0 est de l'air assimilé à du vide et le demi-espace z > 0 est occupé par un conducteur réel de type cuivre de conductivité électrique σ = 0,57.108 Ω-1.m-1. On pose par ailleurs τ = ε0 /σ. Dans le vide une OPPM polarisée rectilignement de champ électrique

x)kzt(i

0i u.e.EE −ω= tombe sur le métal et y engendre une onde

réfléchie et une onde transmise.

1- Donner le champ magnétique iB de l'onde incidente, puis écrire

les expressions des champs électrique rE et magnétique rB de

l'onde réfléchie en notant r le coefficient de réflexion en amplitude du champ électrique.

Le champ électrique transmis est cherché sous la forme x)z'kt(i

0t u.e.E.tE −ω= avec k' = δ

− i1 avec

δ =ω

τ2c

2- Donner l'expression du champ magnétique tB correspondant, où dans l'amplitude, apparaît

t, E0 , c et α = ωτ2 3- Au niveau mésoscopique (pas de grandeur surfacique) les champs sont continus en z = 0. En déduire les expressions de r et t en fonction de α :

i1i1

r−α+

−α−= et

i12

t−α+

α=

Commentaires. Retrouve-t-on les résultats du conducteur parfait ?

4- Exprimer en fonction de α les coefficients de réflexion R =incidentePuissanceRéfléchiePuissance

et de

transmission T = incidentePuissancetransmisePuissance

. Établir et expliquer la relation simple entre R et T.

Donner les expressions approchées de R et de T en tenant compte du fait que α << 1 AN : Calculer T pour le cuivre à une fréquence f = 320 MHz et commenter.

6- Calculer les composantes dans la base B du courant surfacique sj

qui apparaît à la surface du

conducteur.


Guide d’onde EMG 801 : Propagation guidée entre deux plans conducteurs Une OEMPPH se propage entre deux métaux conducteurs parfaits. On a :

Ex=E,z=0 et Ey = E0 cos(πz/a) exp j (ωt - kx)

1) Cette onde satisfait-elle bien aux conditions aux limites? 2) Établir l'équation de propagation d'une onde dans le vide. Montrer que dans le cas présent la relation de dispersion s'écrit : k2 = (ω/c)2 – (π/a)2

3) Discuter suivant la pulsation ω l'existence d'onde propagative. EMG 802 : Guide d'onde On considère un guide d'onde métallique parfait de section rectangulaire (a, b), d'axe z'z. Une onde transverse électrique

pour laquelle E= Em sin(πx/a).exp(i(ωt - kz)) yu

se propage dans le guide.

1) Calculer le champ B associé. Est il transverse?

2) Quelle est l'équation de propagation satisfaite par E ?

En déduire la relation de dispersion. 3) Calculer la puissance moyenne à travers le guide en fonction de Em, µ0, k, ω, a et b.

4) On ferme le guide par un plan z = L parfaitement conducteur. Calculer E à l'intérieur

du guide. Commenter.


Plasma EMG 902 : Oscillations et pulsation de plasma Un plasma gazeux, globalement neutre, comprend des ions positifs supposés fixes et des électrons de masse m et de charge –e susceptibles de se déplacer dans le vide. Soient n le nombre d'électrons par unité de volume du plasma au repos, supposé homogène, et u(z,t) un petit déplacement d'ensemble suivant l'axe Oz des électrons situés en z quand le plasma est au repos. L'agitation thermique et le poids sont négligés. 1- En raisonnant sur une tranche comprise entre z et z+dz quand le plasma est au repos,

donner la densité d'électrons n- lors du déplacement en supposant zu

∂

∂ petit devant 1, et en

déduire la densité de charge totale ρ du plasma.

2- Montrer qu'il apparaît un champ électrique E et que sous l'action de ce champ les électrons

effectuent des oscillations sinusoïdales avec la pulsation ωp = m.e.n

0

20

ε

AN : Calculer fp = ωp /2π pour n =1012 m-3 (ionosphère) et n =1021 m-3 (décharge dans un gaz à forte densité). EMG 904 :Ondes dans un plasma peu dense, en l’absence ou en présence d’un champ

magnétique stationnaire.

L’équation du mouvement d’un électron libre dans l’ionosphère soumise aux champs électrique E

et magnétique B d’une onde sinusoïdale s’écrit :

1) Commenter les différents termes de cette équation. Quel terme peut-on y négliger si le milieu est

suffisamment peu dense ? Justifier que l’on peut négliger le terme en Bv ∧ devant celui en E .

2) L’ionosphère est un plasma qui contient n électrons par unité de volume et autant d’ions. Justifier

que les ions ne contribuent pratiquement pas a la densité de courant et en déduire, en régime

sinusoïdal, que Ej σ= avec ω

−=σmne

i2

3) Etablir la relation de dispersion de ce milieu et montrer l’existence d’une pulsation de coupure

ωp. Calculer, en fonction de la pulsation, la vitesse de phase et la vitesse de groupe.

4) ωp s’appelle la pulsation plasma. Calculer sa valeur et celle de la fréquence correspondante. On a dans l’ionosphère:

n = 1012 m-3 ; e = 1,6 10-19 C ; m = 0,91 10-30 kg et SI10.94

1 9

0=

πε

5) Les résultats précédents s’accordent mal aux données expérimentales et l’on va désormais tenir

compte du champ magnétique terrestre TB supposé uniforme et stationnaire. Réécrire l’équation du

mouvement d’un électron avec les mêmes approximations. A quelle condition peut-on négliger

mdtvd

devant e TBv ∧ ? Quelle pulsation caractéristique apparaît ?

Montrer que la densité de courant vérifie la relation TBjEne ∧= .

6) Montrer que pour une onde en exp[i(ωt - OM.k )], on a aussi BEk ω=∧ et jBki 0µ=∧− . Préciser

l’approximation faite.

7) Montrer, sans aucun calcul, que les propriétés de l’onde peuvent dépendre de sa direction de

propagation.


On se place dans le cas où Oz//B//k T et l’on note dans la base ( xe , ye , ze ) : ze.kk = , zTT e.BB =

et E=E1. xe + E2. ye ,. Trouver la relation de dispersion liant k, ω et les constantes du problème.

8) Montrer que E2/E1 = ±i et interpréter. Montrer que sur ces deux valeurs, une seule en fait

correspond à une onde progressive ; en calculer les vitesses de phase et de groupe.

Que se passe-t-il si l’on envoie du sol une onde polarisée rectilignement en direction de

l’ionosphère ? Expliquer la très longue portée des ondes radio dans certaines plages de fréquences.


Rayonnement dipolaire

EMG 10-02 : Diffusion par un électron élastiquement lié

1) Préliminaire Quelle est la dimension de la grandeur :

Un atome est soumis au champ d'une O.P.P.M. électromagnétique dont le champ électrique est, en

notation complexe, j( t kz )0E E e ω −=

Pour rendre compte de la réponse de l'atome, on adopte le modèle de l'électron élastiquement lié, assimilé à un oscillateur spatial de pulsation propre ω0 et de facteur de qualité Q. Pour exprimer les résultats, il sera judicieux de faire apparaître la grandeur re précédemment introduite, appelée rayon classique de l'électron.

2) Section efficace de diffusion a) Établir l'expression de la puissance moyenne rayonnée par l'atome excité par l'O.P.P.M. incidente. b) En déduire l'expression de la section efficace σ de diffusion de rayonnement, définie comme le rapport entre le nombre moyen de photons diffusés par l'atome « cible » et le flux de photons « projectiles » incidents par unité de surface, ou encore le rapport entre la puissance moyenne diffusée et le flux surfacique moyen d'énergie incident. c) Tracer l'allure du graphe de cette section de diffusion σ = f(ω) , sachant que le facteur de qualité est très élevé. d) Quel phénomène observe-t-on au voisinage de la pulsation ω0 ?

3) Diffusion Rayleigh Quel est le comportement asymptotique de la section efficace de diffusion à basse fréquence ? A quel autre phénomène peut s'appliquer ce résultat ?

4) Diffusion Thomson Quel est le comportement asymptotique de la section efficace de diffusion à haute fréquence ? Cette diffusion est appelée diffusion Thomson. Donnée : la puissance rayonnée par une charge non relativiste d'accélération a est donnée par la formule de Larmor :

EMG 10-03 :Rayonnement d’une antenne demi-onde Une antenne filiforme, colinéaire à l’axe Oz, de longueur , centrée à l’origine, est le siège d’un courant électrique

sinusoïdal d’intensité I(z,t) = I0 cos2 zπ

λ

ejωt avec 2 cπ

λω

=

On suppose que = λ/2 (antenne demi-onde). On admet que cette antenne se comporte comme un ensemble de dipôles électriques oscillants de moment

z1

dp I( z,t)dz.ujω

=

c'est-à-dire qu’un élément de longueur dz est assimilable à un dipôle de moment

zdp q.dz.u=

avec i(z,t) = dq

dt

1. Un point M est repéré par ses coordonnées sphériques (r,θ ,φ) d’origine O, d’axe Oz. Soient (r’, 'θ ,φ’) les coordonnées sphériques de M dans un système d’origine S, point de Oz, et toujours d’axe Oz. On se place dans la zone de rayonnement, r>>λ .

Montrer que l’on a approximativement r' = r - z cos θ et sin sin '

r r'

θ θ=

En déduire, en utilisant la formule du champ de rayonnement d’un dipôle oscillant, l’expression du champ

magnétique dB créé par l’élément de longueur dz de l’antenne.

Montrer alors que le champ magnétique total rayonné en M par l’antenne est


:

2. On admet que localement le champ électromagnétique rayonné par l’antenne a la structure d’une onde

plane progressive de direction de propagation ru

Calculer alors le vecteur de Poynting en M et sa valeur moyenne dans le temps. Dans quelle direction rayonne-t-elle le plus d’énergie ? Calculer la puissance moyenne P rayonnée par l’antenne à travers une sphère de rayon r. En déduire la résistance de rayonnement R de l’antenne définie par P = R Ieff2

1314_Electromagnétisme_2_

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