10. TEOREMA NILAI RATA-RATA

10.1 Maksimum dan Minimum Lokal

Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c ∈ (a, b). Kitakatakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila

f(x) ≤ f(c)

untuk setiap x dalam suatu interval terbuka I yang memuat c. Titik c dalam hal inidisebut sebagai titik maksimum lokal.

Nilai dan titik minimum lokal didefinisikan secara analog.

Gambar 10.1 f mencapai nilai maksimum lokal di c

Secara intuitif, f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila grafiknya mem-punyai sebuah ‘puncak’ di atas titik c. Serupa dengan itu, f mencapai nilai minimumlokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah ‘lembah’ di atas titik c.

76

Pengantar Analisis Real 77

Jika f(c) merupakan nilai maksimum f pada seluruh interval (a, b), maka ten-tunya f mencapai nilai maksimum lokal di c. Namun sebaliknya belum tentu benar,nilai maksimum lokal belum tentu merupakan nilai maksimum f .

Contoh 1. Misalkan f : R → R adalah fungsi yang didefinsikan sebagai

f(x) ={

x + 2, x < −1,|x|, x ≥ −1.

Maka, f mencapai nilai maksimum lokal di −1, namun f(−1) = 1 bukan merupakannilai maksimum f pada R. Demikian pula f mencapai nilai minimum lokal di 0,namun f(0) = 0 bukan merupakan nilai minimum f pada R.

Teorema 2. Misalkan f mempunyai turunan pada (a, b) dan c ∈ (a, b). Jika f

mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c, maka f ′(c) = 0.

Bukti. Menurut definisi turunan,

f(x)− f(c)x− c

→ f ′(c)

untuk x → c. Misalkan f ′(c) > 0. Menurut Soal Latihan 7.1 No. 4, terdapat suatuδ > 0 sedemikian sehingga

f(x)− f(c)x− c

> 0 (1)

untuk x ∈ (c − δ, c + δ), x 6= c. Sekarang misalkan x ∈ (c, c + δ) sembarang. Maka,x−c > 0 dan (1) memberikan f(x)−f(c) > 0 atau f(x) > f(c). Jadi f tidak mungkinmencapai nilai maksimum lokal di c. Selanjutnya misalkan x ∈ (c− δ, c) sembarang.Maka, x− c < 0 dan (1) memberikan f(x)− f(c) < 0 atau f(x) < f(c). Jadi f jugatidak mungkin mencapai nilai minimum lokal di c.

Hal serupa terjadi ketika f ′(c) < 0. Jadi, jika f ′(c) 6= 0, maka f tidak akanmencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.

Catatan. Kebalikan dari Teorema 2 tidak berlaku: jika f ′(c) = 0, belum tentu f

mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.

Soal Latihan

1. Berikan sebuah contoh fungsi f yang terdefinisi pada (−2, 2) dan mencapai nilaimaksimum lokal di 1 tetapi f(1) bukan merupakan nilai maksimum f pada(−2, 2).

78 Hendra Gunawan

2. Berikan sebuah contoh fungsi f yang mempunyai turunan nol di suatu titiktetapi f tidak mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di titik tersebut.

10.2 Titik Stasioner

Titik c dengan f ′(c) = 0 disebut titik stasioner f . Sebagaimana telah dicatatsebelumnya, tidak semua titik stasioner merupakan titik maksimum atau minimumlokal. Sebagai contoh, jika f(x) = x3, maka f ′(x) = 3x2, sehingga 0 merupakantitik stasioner. Namun, 0 bukan merupakan titik maksimum maupun minimum f .(Titik 0 dalam hal ini merupakan titik infleksi f , yaitu titik terjadinya perubahankecekungan grafik fungsi f .) Situasi yang lebih parah dapat terjadi. Sebagai contoh,fungsi f(x) = x2 sin 1

x untuk x 6= 0 dan f(0) = 0 mempunyai turunan f ′(0) = 0 tetapi0 bukan merupakan titik maksimum atau minimum lokal, ataupun titik infleksi.

Gambar 10.2 Grafik fungsi f(x) = x3

Teorema 3 (Teorema Rolle). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyaiturunan pada (a, b). Jika f(a) = f(b), maka f ′(c) = 0 untuk suatu c ∈ (a, b).

Bukti. Karena f kontinu pada interval kompak [a, b], maka menurut sifat kekontinuanf mencapai nilai maksimum M di suatu titik c1 ∈ [a, b] dan juga mencapai nilaiminimum m di suatu titik c2 ∈ [a, b].

Pengantar Analisis Real 79

Misalkan c1 dan c2 adalah titik-titik ujung [a, b]. Karena f(a) = f(b), makam = M dan dengan demikian f konstan pada [a, b]. Akibatnya f ′(c) = 0 untuksetiap c ∈ (a, b). Jika c1 bukan titik ujung [a, b], maka c1 ∈ (a, b) dan f mencapainilai maksimum lokal di c1. Menurut Teorema 2, f ′(c1) = 0. Hal serupa terjadi bilac2 bukan titik ujung [a, b].

Soal Latihan

1. Diketahui f(x) = x|x|, x ∈ R. Tunjukkan bahwa 0 merupakan titik stasioner.Selidiki apakah f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di 0.

2. Beri contoh sebuah fungsi f yang terdefinisi pada [a, b], mempunyai turunanpada (a, b), dan f(a) = f(b), namun tidak ada c ∈ (a, b) dengan f ′(c) = 0.

10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor

Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai teorema berikut.

Teorema 4 (Teorema Nilai Rata-rata). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mem-punyai turunan pada (a, b). Maka

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a

untuk suatu c ∈ (a, b).

Catatan. Nilai f(b)−f(a)b−a disebut nilai rata-rata f pada [a, b]. Nilai ini sama dengan

gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Teo-rema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y = f(x) terdapat suatu titik(c, f(c)) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata f pada [a, b].

Bukti Teorema 4. Misalkan F didefinisikan pada [a, b] sebagai

F (x) = f(x)− hx

dengan h konstanta. Maka F kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b).Kita pilih konstanta h sedemikian sehingga F (a) = F (b), yakni

h =f(b)− f(a)

b− a.

80 Hendra Gunawan

Karena F memenuhi hipotesis Teorema Rolle, maka F ′(c) = 0 untuk suatu c ∈ (a, b).Namun

F ′(c) = f ′(c)− h = 0,

sehingga teorema pun terbukti.

Jika f mempunyai turunan di c, maka persamaan garis singgung pada kurvay = f(x) di titik (c, f(c)) adalah

y = f(c) + (x− c)f ′(c).

Untuk x dekat c, nilai f(c) + (x − c)f ′(c) merupakan hampiran yang ’baik’ untukf(x). Namun seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini?

Lebih jauh, misalkan f mempunyai turunan ke-(n− 1) di c. Maka polinom

P (x) = f(c) + (x− c)f ′(c) +(x− c)2

2!f ′′(c) + · · ·+ (x− c)n−1

(n− 1)!f (n−1)(c)

mempunyai turunan ke-k, k = 0, 1, . . . , n − 1, yang sama dengan turunan ke-k darif . Karena itu masuk akal untuk menghampiri f(x) dengan P (x) untuk x di sekitarc. Namun, sekali lagi, seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini. TeoremaTaylor di bawah ini menjawab pertanyaan tersebut.

Teorema 5 (Teorema Taylor). Misalkan f mempunyai turunan ke-n pada intervalterbuka I yang memuat titik c. Maka, untuk setiap x ∈ I, berlaku

f(x) = f(c) + (x− c)f ′(c) +(x− c)2

2!f ′′(c) + · · ·+ (x− c)n−1

(n− 1)!f (n−1)(c) + En

dengan En = 1n! (x− c)nf (n)(ξ) untuk suatu ξ di antara x dan c.

Proof. Untuk t di antara x dan c, definisikan

F (t) = f(x)− f(t)− (x− t)f ′(t)− · · · − (x− t)n−1

(n− 1)!f (n−1)(t).

Perhatikan bahwa

F ′(t) = − (x− t)n−1

(n− 1)!f (n)(t).

Sekarang definisikan

G(t) = F (t)−(x− t

x− c

)n

F (c).

Pengantar Analisis Real 81

Maka, G(x) = G(c) = 0, sehingga menurut Teorema Rolle, terdapat ξ di antara x

dan c sedemikian sehingga

0 = G′(ξ) = F ′(ξ) +n(x− ξ)n−1

(x− c)nF (c) = − (x− ξ)n−1

(n− 1)!f (n)(ξ) +

n(x− ξ)n−1

(x− c)nF (c).

Dari sini kita peroleh

F (c) =(x− c)n

n!f (n)(ξ)

dan teorema pun terbukti.

Soal Latihan

1. Diketahui f(x) =√

x. Tentukan nilai rata-rata f pada [0, 4]. Tentukan c ∈ (0, 4)sedemikian sehingga f ′(c) sama dengan nilai rata-rata tersebut.

2. Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Buktikanjika f ′(x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f konstan pada [a, b].

3. Misalkan f : R → R mempunyai turunan di setiap titik dan f ′(x) = x2 untuksetiap x ∈ R. Buktikan bahwa f(x) = 1

3x3 + C, dengan C suatu konstanta.

4. Diketahui f : R → R memenuhi ketaksamaan

|f(x)− f(y)| ≤ C|x− y|p, x, y ∈ R,

untuk suatu C > 0 dan p > 1. Buktikan bahwa f konstan.

5. Buktikan jika f mempunyai turunan kedua di c, maka

f ′′(c) = limh→0

f(c + h)− 2f(c) + f(c− h)h2

.

Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan kedua di suatutitik namun limit di atas ada.

6. Misalkan c ∈ R dan n ∈ N. Buktikan dengan menggunakan Teorema Taylorbahwa

(1 + c)n = 1 + nc +n(n− 1)

2!c2 + · · ·+ cn.

(Petunjuk. Tinjau f(x) = xn.)