1 Probabilidade Condicional - continuacao

Exemplo: Sr. e Sra. Ferreira mudaram-se para Campinas e sabe-se que tem dois filhos sendo pelo

menos um deles menino. Qual a probabilidade condicional que ambos os filhos sejam meninos?

O espaco amostral e: Ω = oo, oa, ao, aa e podemos consider que este espao e equiprovavel.

Considere os eventos:

E : Ambas as criancas sao meninos = oo

F : Pelo menos uma das criancas e menino = oo, oa, ao

P(E|F ) =P(E ∩ F )

P(F )=

1/4

3/4=

1

3

Exemplo: Uma companhia de seguros acredita que a populacao possa ser dividida em dois

grupos: propensos a acidentes e avessos a acidentes. Estudando os registros historicos de acidentes,

eles acreditam que uma pessoa propensa a acidentes tem probabilidade .4 de sofrer um acidente num

perıodo de um ano, enquanto que esta probabilidade abaixa para .2 se a pessoa e avessa a acidentes.

Se assumimos que 30% da populacao e propensa a acidentes, qual a probabilidade de Jose, que

acabou de comprar uma ap’olice contra acidentes, registre um sinistro dentro de um ano?

Sejam os eventos: A = Jose e propenso a acidentes, A1 = Jose registra um sinistro dentro de um

ano. Portanto,

P(A1) = P(A1|A)P(A) + P(A1|Ac)P(Ac) = (.4)(.3) + (.2)(.7) = .26

Suponha que Jose registre um sinistro dentro de um ano, qual a probabilidade dele ser propenso

a acidentes?

P(A|A1) =P(A1|A)P(A)

P(A1)=

(.4)(.3)

.26= 6/13.

Exemplo: Em questoes de multipla escolha, um estudante ou sabe a resposta e responde sem

hesitar, ou ele “chuta”. Seja p a probabilidade dele saber a quest ao. Assuma tambem que se ele

nao sabe a resposta ele escolhe ao acaso uma das m alternativas possıveis. Qual a probabilidade

condicional dele saber a resposta dado que ele acertou?

1

Sejam os eventos K = sabe a resposta e C = acertou a questao.

P(K|C) fracP(C|K)P(K)P(C|K)P(K) + P(C|Kc)P(Kc) =p

p + (1/m)(1 − p)=

mp

1 + (m − 1)p

Dilema do prisioneiro: Em uma ditadura num paıs distante, tres prisioneiros esto presos

sem julgamento. O carcereiro diz que o ditador decidiu escolher aleatoriamente libertar um dos

prisioneiros e matar os outros dois, mas ele nao pode contar a eles qual sera libertado. O prisioneiro

A sabe que sua chance de ser libertado e 1/3. A fim de ganhar informao ele da uma propina ao

carcereiro e pede para dizer qual dos outros dois e que vai morrer e este diz que B morrere. Com

base nesta informao, qual a probabilidade de A ser libertado? Sejam os eventos: A = o prisioneiro

A sera libertado; B = o prisioneiro B sera libertado; e C = o prisioneiro A sera libertado; D = o

guarda diz que B sera morto. Sendo assim,

P(A|D) =P(D|A)P(A)

P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C)

=P(D|A)(1/3)

P(D|A)(1/3) + P(D|B)(1/3) + P(D|C)(1/3)

=P(D|A)

P(D|A) + 1

=p

p + 1

onde p e a probabilidade do carcereiro dizer que B sera morto quando ambos B e C morrerao.

Esta probabilidade depende do mecanismo aleatorio que o carcereiro usa para escolher dizer B ou

C nesta questao e nao esta especificado pelo enunciado do problema. Entretanto o funcao p/(1 + p)

e crescente, vale 0 quando p = 0 e vale 1/2 quando p = 1, sendo assim a probabilidade acima esta

sempre entre 0 e 1/2.

2 Independencia

Definicao 2.1 Dois eventos E e F sao ditos serem independentes se P(E ∩ F ) = P(E)P(F ).

Exemplo: Dois dados honestos (verde e vermelho) sao lancados. Sejam os eventos E = saiu

soma sete e F = o dado verde saiu 3. Os eventos E e F sao independentes. Seja H = saiu soma 6.

Os eventos H e F nao sao independentes.

2

Se dois eventos sao independentes eles nao podem ser mutuamente exclusivos ( a menos que um

deles tenha probabilidade zero) e vice-versa.

Exemplo: Um homem e uma mulher tem cada um 52 cartas de baralho. Cada um retira uma

carta de seu baralho. Qual a probabilidade de que ambos selecionem o as de paus. Sejam os eventos:

A = o homem seleciona o as de paus e B = a mulher seleciona o as de paus. Como P(A) = 1/52,

P(B) = 1/52 e A e B sao claramente eventos independentes temos: P(A ∩ B) = P(A).P(B) =

1/52.1/52 = 0.00037

Considere um dado honesto tetrahedral cujas faces sao pintadas de vermelho, azul, verde e branco.

Lance o dado. Sejam Xr, Xg, Xb os eventos que o dado mostre a face vermelha, verde e azul respec-

tivamente. Entao: P (Xr) = P (Xg) = P (Xb) =1

2, P (Xr ∩Xg) = P (Xw) =

1

4= P (Xr)P (Xg),

mas

P (Xr ∩Xg ∩Xb) =1

46= 1

8= P (Xr)P (Xg)P (Xb).

Muitas vezes a forma de realizar o experimento nos mostra que os eventos sao independentes:

Exemplo: Uma carta e selecionada ao acaso de um baralho comum de 52 cartas. Se E e o eventos

que a carta selecionada e um as e F a carta selecionada e de espadas. E e F sao independentes.

2.1 Ensaios de Bernoulli

Os ensaios de Bernoulli, chamados assim apos James Bernoulli, e um dos processos mais simples

e mais utilizados em Probabilidade. Essencialmente, os ensaios de Bernoulli sao a abstracao dos

lancamentos de moeda, mas devido a sua grande aplicabilidade, geralmente sao colocados em termos

mais gerais:

• Cada ensaio tem somente dois resultados possıveis, geralmente denominados de sucesso e fra-

casso;

• Os ensaios sao independentes. Intuitivamente, o resultado de um ensaio nao afeta o resultados

dos outros ensaios;

• Em casa ensaio, a probabilidade de sucesso e p e de fracasso e 1 − p (constante para todos os

ensaios).

3

Formula da probabilidade Binomial: Se queremos calcular a probabilidade do evento Bk=

“saiu exatamente k sucessos em n realizcoes de ensaios de Bernoulli com probabilidade de sucesso

p. Sejam os eventos A1, . . . , An onde Ai = “saiu sucesso no i-esimo ensaio realizado”. As hipoteses

acima nos dizem que A1, . . . , An sao eventos independentes e P(Ai) = p. Portanto,

P(Bk) =

n

k

pk(1 − p)n−k

Exemplo: Considere um teste de multipla escolha com 10 questoes de 4 itens cada. Se um

aluno nao estudou nada para a prova e escolhe aleatoriamente um item em cada questao de forma

independente, qual a probabilidade de obter exatamente 7 questoes corretas?

10

7

(.25)7(.75)3

Exemplo:

Uma sequencia infinita de ensaios de Bernoulli com probabilidade de sucesso p sera realizada.

Qual a probabilidade de

a) Pelo menos um sucesso nos primeiros n ensaios?

b) Exatamente k sucessos apos n ensaios ?

c) Precisarmos realizar r ensaios ate obter o primeiro sucesso? (1 − p)r−1p d) Todos os resultados

resultarem em fracassos?

Exemplo: Os pontos A e B sao conectados por tres interruptores (S1, S2.S3) conectados em

paralelo operam independentemente. Cada interruptor permanece fechado com probabilidade p. (a)

Qual a probabilidade de passar corrente entre A e B? (b) Qual a probabilidade do interruptor S1

estar fechado dado que passou corrente entre A e B?

Defina os eventos Ai = o interruptor Si esta fechado i = 1, 2, 3 e B = passou corrente entre o

ponto A e B. Portanto, B = A1 ∪ A2 ∪ A3 e

P(B) = 1 − P(Ac1 ∩ Ac

2 ∩ Ac3) = 1 − (1 − p)3

4

e

P(A1|B) =P(B|A1)P(A1)

P(B)=

1.p

1 − (1 − p)3

5