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40 - AOP

XII.AOP - FILTRE CORRECTEUR (P10N12) ⇒ Extrait du contrôle de décembre 2000

+

-Ve Vs

R1 R2

C1 C2

R

Figure XII-1 : Filtre RIAA

On désire construire un filtre dont la fonction de transfert est (f1<f2) :

( )

+

+

+=

21

0

ffj1f

fj1

ffj1

KjfH , à l’aide du circuit de la Figure XII-1, où

l’amplificateur, utilisé en régime linéaire, est supposé idéal. 1) Vérifier que Vs/Ve peut se mettre sous la forme recherchée, et exprimer les constantes de temps caractéristiques τ1, τ2, τ0 en fonction de R1, R2, C1, C2. 2) On appelle α le coefficient tel que : C1 = C, et C2 = αC. Exprimer R1 et R2 en fonction de τ1, τ2, α et C. En déduire une expression de τ0 uniquement fonction de τ1, τ2, et α.

3) Quelle valeur α doit-il avoir si on veut : f1 = 50 Hz, f0 = 500 Hz, τ2 = 76 µsec ? 4) De l’expression de K en fonction de τ1, τ2, α, C et R, déduire la valeur de C telle que le gain statique soit de 20 dB pour R = 1 kΩ. On prendra une valeur normalisée de la série E12. 5) En déduire la valeur de C2, R1 et R2 (valeurs normalisées E12). Calculer les fréquences de coupure réellement obtenues.

f(Hz) 20 50 200 1000 4000 8000 20000

IHI dB 19.3 17 8.3 0 -6.6 -11.9 -19.6 Figure XII-2 : Gabarit du standard RIAA

6) Ce filtre correspond à un ancien standard de correction audiofréquence (disque microsillon), caractérisé par les points donnés dans le tableau de la Figure XII-2. Avec les valeurs normalisées nominales choisies, vérifier l’écart maximal entre le filtre réel et le filtre standard.

7) Tracer le diagramme de Bode du filtre. 8) Corriger l’erreur sur le schéma électrique.

XIII.AOP - DERIVATEUR A AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL ⇒ Extrait du contrôle de janvier 2001

_

+Ve Vs

C

R

ε

Figure XIII-1

On cherche à construire le filtre actif dérivateur de la Figure XIII-1. 1- Amplificateur opérationnel idéal 1) Donner la fonction de transfert H1 = Vs/Ve 2- Gain non infini On prend en compte le fait que Vs = Aε, où A est un gain en tension grand mais non infini. 1) Recalculer la fonction de transfert (H2) et déduire la gamme de fréquences pour laquelle le circuit possède un comportement dérivateur ; de quel type de filtre s’agit-il en réalité ?

3- Bande passante limité

Non seulement le gain en tension est fini, mais en plus, il présente une coupure du type :

0

0

j1

AA

ωω+

= .

1) Montrer que la fonction de transfert Vs/Ve s’écrit : ω+ω−

ω=bjca

jKH

23 , où a, b et c sont des constantes. (Inutile de mettre sous

forme canonique) 2) Du comportement de H3 pour ω

0 et ω

∝, déduire la nature du filtre.

4- Diagrammes de Bode 1) Superposer rapidement les diagrammes de Bode de H1 et H2. 5- Utilisation Ve est un signal triangulaire à valeur moyenne nulle, d’amplitude 10 V crête-à-crête, de période T = 20 msec. 1) Décrire ou tracer Vs(t) si RC = 10 msec.

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41 - AOP

XIV.AOP - CALCUL OPERATIONNEL ⇒ Extrait du contrôle de janvier 2001

ve

R

-

+ vs

v

εi

D

iR

Figure XIV-1

ve

R-

+ vs

v

ε

i D

Figure XIV-2

On possède un dipôle non linéaire symétrique (construit à partir de dispositifs FET) dont la caractéristique courant-tension i(v) est : i = v2 si v>0, i = - v2 si v<0. Ce dipôle est utilisé dans les circuits des figures Figure XIV-1 et Figure XIV-2, où les amplificateurs opérationnels sont supposés idéaux.

1- Préliminaires

1) Quelle est l’unité de ? 2) Donner la caractéristique tension-courant v(i) pour i>0 et i<0.

2- Elévateur au carré (Figure XIV-1) 1) Quelle est la relation entre ve et v ? 2) Quelle est la relation entre iR et i, et donc entre vs et i ? 3) En déduire la relation entre vs et ve, pour ve>0, et pour ve<0.

3- Extracteur de racine carrée (Figure XIV-2) 1) Quelle est la relation entre ve et i ? 2) Quelle est la relation entre vs et v ? 3) En déduire la relation entre vs et ve, pour ve>0, et pour ve<0.

4- Application

La moyenne quadratique de variables statistiques, des tensions vi par exemple, est définie par : ( )∑=

=N

1i

2iq v

N1v . Supposons que

l’on dispose de N sources de tensions vi, toutes positives. 1) Dessiner d’abord sous forme de schéma-blocs un système qui permet d’obtenir vq, à un coefficient α près. 2) Proposer une réalisation électrique à amplificateurs opérationnels, à partir des circuits précédents, et de circuits bien connus. 3) Améliorer éventuellement le circuit précédent, pour ne plus avoir le coefficient α.

XV.AOP - REDRESSEUR « PARFAIT » ⇒ (Extrait de l’examen de juin 2002 STPI303TE)

On étudiera le circuit de la Figure XV-1 en supposant que les amplificateurs opérationnels sont idéaux (soit entre autres un gain infini, une résistance d’entrée infinie ; on posera d’emblée ε = 0 et i+ = i- = 0). 1- Diodes idéales Dans un premier temps, les diodes seront modélisées par des diodes idéales : circuit ouvert lorsqu’elles sont bloquées, court-circuit lorsqu’elles sont passantes. 1a) On suppose V<0. 1) Déterminer l’état des diodes et redessiner le circuit simplifié.

R2

V

-

+

D1R

ε1

Ve

R

Vs

D2

R

ε2A1

-

+A2

R

RR2R

M

N

R2

V

-

+

D1R

ε1

Ve

R

Vs

D2

R

ε2A1

-

+A2

R

RR2R

R2

V

-

+

D1R

ε1

Ve

R

Vs

D2

R

ε2A1

-

+A2

-

+A2

R

RR2R

M

N

Figure XV-1

2) Calculer la relation entre V et Ve. En déduire la condition sur Ve qui implique V<0. 3) Donner le potentiel de l’entrée non-inverseuse de A2. 4) Calculer Vs en fonction de Ve. 1b) On suppose V>0. 1) Déterminer l’état des diodes et redessiner le circuit simplifié. 2) Calculer le potentiel sur l’entrée non-inverseuse (et inverseuse) de A2 en fonction de V. 3) Ecrire l’équation au nœud inverseur de A1, et calculer V en fonction de Ve. 4) Ecrire l’équation au nœud inverseur de A2, et calculer Vs en fonction de V. En déduire Vs(Ve).

1c) Ve = Ve0sinωωt. 1) Tracer Ve(t) et Vs(t) sur au moins une période. 2) Quelles sont la valeur moyenne et la valeur efficace de Vs(t) ? 2- Diodes avec seuil Les diodes seront maintenant modélisées par des diodes avec seuil : circuit ouvert lorsqu’elles sont bloquées, force contre-électromotrice de valeur VD lorsqu’elles sont passantes. 1) Reprendre les questions XV.1a) à XV.1b) en réutilisant au maximum les résultats précédents. 2) Commenter l’influence du seuil sur la caractéristique de transfert Vs(Ve).

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42 - AOP

XVI.AOP - FILTRE CORRECTEUR « PHYSIOLOGIQUE » ⇒ Extrait du partiel (IUP1/STPI303) de Janvier 2003 L’oreille humaine est un capteur complexe qui permet la conversion des vibrations mécaniques de l’air en perception sonore. Comme tout système physique, sa bande passante est limitée (typiquement entre 20 Hz et 16 kHz), mais en plus cette bande passante dépend de l’intensité sonore reçue, comme le montre la Figure XVI-1. Autrement dit, dans le cas de restitutions d’enregistrements, la perception sonore n’est la même que si l’intensité émise est exactement la même qu’à l’enregistrement. Certains systèmes audiofréquences proposent des « correcteurs physiologiques » qui tiennent compte de ce phénomène, et délivrent une « impression sonore » équivalente, même si le son n’est pas écouté à l’intensité originelle. Ce sont des filtres plus ou moins complexes et paramétrables. Ainsi, de la Figure XVI-1, on peut calculer par exemple que pour entendre « à l’identique » à 60 dB un enregistrement fait à 90 dB, il faut compenser par un filtre du type de celui de la Figure XVI-2.

-10

10

30

50

70

90

110

130

10 100 1000 10000 100000f (Hz)

I (dB

)

120 dB

110 dB

100 dB

90 dB

80 dB

70 dB

60 dB

50 dB

40 dB

30 dB

20 dB

10 dB

0 dB

Figure XVI-1 : courbes d’iso-intensité subjective

(I est l’intensité qu’il faut vraiment appliquer pour donner l’impression de l’intensité subjective donnée en paramètre)

HdB

ff2 f’2 f1 f’1

GBFdB

GHFdB

GMFdB

HdB

ff2 f’2 f1 f’1

GBFdB

GHFdB

GMFdB

Figure XVI-2 : allure du filtre 90 60

f2 = 20 Hz, f’2 = 400 Hz, f1 = 1.5 kHz, f’1 = 4 kHz

1- Préliminaire

C

R’R

C

R’R

Figure XVI-3

1) Montrer que l’impédance de la Figure XVI-3 se met sous la forme : ( )

0

0BF

j1

'j1

RjZ

ωω+

ωω+

=ω

2) Montrer que ω’0 est forcément supérieure à ω0. 3) Calculer et interpréter les limites de Z pour ω = 0 et ω ∞

2- Filtre actif

VS

Z1

Z2

VeR2

-+

∞VS

Z1

Z2

VeR2

-+

∞

Figure XVI-4

On choisit de réaliser le filtre de la Figure XVI-2, grâce à un filtre actif à amplificateur opérationnel supposé idéal, représenté sur la Figure XVI-4. Z1 est une impédance (R1,C1,R’1) du type de celle de la Figure XVI-3, de même pour Z2 avec (R2, C2, R’2). 1) Calculer la fonction de transfert du filtre H(jω) = Vs/Ve. (on appellera ω1, ω’1, ω2, ω’2 ses pulsations caractéristiques, correspondant aux fréquences telles que les précise la Figure XVI-2)

2) Par les limites en ω = 0 et ω ∞, calculer GBF et GHF et montrer que ces valeurs dépendent uniquement des résistances. 3) En milieu de bande, c’est-à-dire ω’2 << ω << ω1, calculer GMF et montrer que cette valeur ne dépend que des résistances. 3- Dimensionnement des composants On doit régler 6 valeurs de composants, pour 5 paramètres indépendants : il y a donc une valeur arbitraire. On choisit d’imposer C1 = C2 = C, pour faciliter l’approvisionnement. C est choisi parmi les 4 valeurs : 100 nF, 220 nF, 330 nF, 470 nF, valeur que l’on conservera pour toutes les applications numériques. 1) Calculer numériquement les valeurs de R2, R’2, R1 et R’1. 2) Choisir ces résistances parmi les valeurs normalisées de la série E12. 3) Recalculer les fréquences caractéristiques effectivement obtenues, et tracer soigneusement le diagramme de Bode du filtre (amplitude et phase), en précisant notamment les valeurs numériques de GBF, GHF, GMF. 4- Compléments Si on souhaite un correcteur paramétrable, il est intéressant de normaliser le minimum de HdB (à 0 dB par exemple). Proposer des solutions qui le permettent, soit en rectifiant la démarche du dimensionnement des composants sur le circuit existant, soit en proposant le schéma d’un circuit supplémentaire qui effectue cette normalisation.

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43 - AOP

XVII.AOP - DETECTEUR DE CRETE ⇒ Extrait du partiel (IUP1/STPI303) de Janvier 2003 1- Détecteur de crête à diode simple

0

0.5

1

1.5

2

-0.5

-1

-1.5

-2

(V)ve(t)

t(µsec)T100

Figure XVII-1

v(t)+

ve(t)D

Cv(t)

+

ve(t)D

C

Figure XVII-2

On applique à l’entrée de la Figure XVII-2 le signal ve(t) représenté en Figure XVII-1. La diode est semi-idéale de résistance série nulle, et de seuil VD ≈ 0.6 V. Le condensateur est initialement déchargé (vs(0-) = 0).

1) Calculer l’instant d’ouverture t0, instant pour laquelle la diode entre en conduction. 2) Entre t0 et T/4, dessiner le schéma équivalent du circuit. Calculer v(t). 3) Que se passe-t-il pour t>T/4 ? Tracer v(t) de t = 0 à 3T/2.

Rve vs

ε -+

D

v

i

A’K’

Rve vs

ε -+

D

v

i

Rve vs

ε -+

D

v

i

A’K’

Figure XVII-3

2- Diode sans seuil On prendra en compte que la sortie de l’amplificateur opérationnel s’exprime par vs=Aε, mais i+ = i- = 0. A : Gain de l’AOp non infini mais très grand. La diode est semi-idéale de résistance série nulle, et de seuil VD ≈ 0.6 V. Dans un premier temps, on charge le circuit par une résistance (Figure XVII-3)

2a) On suppose la diode passante. 1) Exprimer v et i en fonction de vs, VD et R. 2) Ecrire la loi de la maille qui fait apparaître v et ve. 3) Déduire des résultats précédents les expressions de v et i en fonction de ve, VD, A et R. Que deviennent-elles lorsque A ∞ ?

2b) ve quelconque 1) Quelle condition sur i et donc ve doit-on avoir pour que D soit passante ? 2) Tracer l’allure de la caractéristique i(v) pour ve>0 et ve<0.

3- Détecteur de crête à diode sans seuil

0

0.5

1

1.5

2

-0.5

-1

-1.5

ve(t)

-2

(V)

t(µsec)1000

0.5

1

1.5

2

-0.5

-1

-1.5

ve(t)

-2

(V)

t(µsec)100

Figure XVII-4

ve(t)v(t)

C

A’ K’

ve(t)v(t)

C

A’ K’

Figure XVII-5

Le circuit de la Figure XVII-3 est utilisé dans le schéma de la Figure XVII-5.

1) Par analogie avec la partie XVII.1-, tracer l’allure de v(t) correspondant au signal ve(t) proposé en Figure XVII-4. 2) Que doit-on rajouter au circuit pour que le circuit réagisse aux variations lentes de valeurs crêtes ?