JEDNAČINA PRAVE

1) Opšti ( implicitni oblik) jednačine prave je

2) Eksplicitni oblik jednačine prave je

k- koeficijent pravca ( k tg , gde je α ugao koji prava gradi sa pozitivnim smerom x – ose)

n - je odsečak na y – osi

Kako preći iz opšteg u eksplicitni oblik?

0ax by c sve sa y ostavimo levo a ostale prebacimo desno

by ax c sad sve podelimo sa b

a c

y xb b

Odavde je a

kb

i c

nb

Primer 1.

Pravu 7x+3y + 23=0 prebaciti u eksplicitni oblik i naći k i n.

x+3y + 23=0 sve sa y ostavimo levo a ostale prebacimo desno

y=-7x- 23 sad sve podelimo sa 3

7 23

3 3y x

7

3k

23

3n

3) Segmentni oblik jednačine prave je

m – je odsečak na x osi

n – je odsečak na y osi

Primer 2.

U jednačini 1 8 0px p y odrediti parametar p, tako da prava gradi dva puta veći odsečak na

apscisnoj osi nego na ordinatnoj osi.

Prava gradi dva puta veći odsečak na apscisnoj osi nego na ordinatnoj osi , znači m = 2n Sredimo datu jednačinu prave da bi iz nje mogli da pročitamo m i n.

1 8 0px p y

1 8px p y sve podelimo sa 8

1

18 8

p ypx

18 8

1

x y

p p

odavde je 8

mp

i 8

1n

p

Sad ovo zamenimo u m = 2n

0ax by c

y kx n

1x y

m n

8 82

1p p

8 16

1p p

8 1 16p p 8 8 16p p

8 16 8p p 8 8p

1p

4) Normalni oblik jednačine prave je

U ovoj jednačini je :

p je normalno rastojanje od koordinatnog početka (0,0) do naše

prave

je ugao koji rastojanje p gradi sa pozitivnim smerom x ose

Formula za prelazak iz opšteg u normalni oblik je :

ali pazimo, ispred korena uzimamo znak suprotan od znaka broja c .

Primer 3.

Svedi jednačinu 4x – 3y +5 = 0 na normalni oblik.

2 2

4 3 54 3 5 0 0

4 3

x yx y

( minus ispred korena jer je c=5)

4 3 5 4 3 5 4 30 0 1 0

5 5 525

x y x yx y

a odavde je:

1p 4

cos5

3

sin5

5) Jednačina prave kroz tačku A(x1,y1) sa koeficijentom pravca k je

6) Jednačina prave kroz dve tačke A(x1,y1) i B(x2,y2) je

Primećujete da je onda 2 1

2 1

y yk

x x

cos sinx y p

2 20 0

ax by cax by c

a b

1 1y y k x x

2 11 1

2 1

y yy y x x

x x

MEĐUSOBNI POLOŽAJ DVE PRAVE U RAVNI

1. PRAVE SE SEKU

Tačku preseka nalazimo rešavajući sistem od te dve jednačine !

Ako posmatramo prave 1 1y k x n i 2 2y k x n onda je ugao pod kojim se seku dat formulom:

Ako se te dve prave seku pod pravim uglom, onda je 1 2 1k k ( uslov normalnosti) ili 2

1

1k

k

2. PRAVE SU PARALELNE

Prave 1 1y k x n i 2 2y k x n su paralelne ako je 1 2k k ( uslov paralelnosti)

Primer 4.

Data su temena trougla A(-5,-2), B(7,6), C(5,4).

Odrediti:

a) jednačinu stranice AB

b) jednačinu visine h c

c) ugao kod temena A

a) Upotrebićemo formulu za jednačinu prave kroz dve tačke( A i B)

2 11 1

2 1

y yy y x x

x x

6 22 5

7 5y x

6 22 5

7 5y x

82 5

12y x

2

2 53

y x 2 2

5 23 3

y x 2 10 6

3 3 3y x

2 4

3 3y x

b) Jednačinu visine hc ćemo naći kao jednačinu prave kroz jednu

tačku C( 5,4) a njen koeficijent pravca mora da

zadovoljava uslov normalnosti sa pravom AB.

Koeficijent pravca prave AB : 2 4

3 3y x je 1

2

3k

Naša prava je normalna na AB, pa je :

2

1

1k

k 1 1y y k x x

2

1

2

3

k 3

4 52

y x

2 1

1 21

k ktg

k k

2

3

2k

3 154

2 2y x

3 23

2 2y x

c) Ugao kod temena A je ustvari ugao izmeĎu pravih AB i

AC. Čim nam traže neki ugao koristimo obrazac

2 1

1 21

k ktg

k k

Iz prave AB već imamo koeficijent pravca 1

2

3k

Ne moramo tražiti celu jednačinu prave AC već samo njen

koeficijent pravca.

A(-5,-2), C(5,4) menjamo u 2 1

2 1

y yk

x x

2

4 2

5 5k

2

4 2

5 5k

2

6

10k 2

3

5k

2 1

1 21

k ktg

k k

3 2

5 32 3

13 5

tg

9 10

15 152

15

tg

1

157

5

tg

1

21tg

1

21tg

1

21arctg

Odstojanje tačke A(x1, y1) od prave 0ax by c dato je formulom:

Primer 5.

Odredi odstojanje tačke P(2,-3) od prave 3 1 0x y

2 2

ax by cd

a b

22

3 2 3 1

3 1

d

6 3 1

9 1d

10

10d 10d

Zadaci za vežbu:

1. Odredi jednačinu prave koja prolazi kroz tačku preseka pravih : 2 3 0p x y i :3 2 8q x y i paralelna

je sa pravom : 2 3 4 0r x y

2. Temena trougla su A(-9,2), B(3,-14) i C(-5,-10). Odredi dužinu visine Ch .

3. Odredi jednačinu visine Ah u trouglu sa temenima A(3,3), B(11,6) i C(7,12).

4. Dat je trougao sa temenima A(-1,2), B(5,7) i C(2,-3). Odrediti:

a) Jednačunu težišne duži At i njenu dužinu,

2 2

ax by cd

a b

b) jednačinu visine Bh ,

c) ugao pod kojim se seku težišne duži At i Bt ,

d) koordinate težišta T i ortocentra H

5. Stranice trougla leže na pravama : 2 10 0a x y i : 2 2 0b x y , a : 2 7 10 0At x y . Odredi:

a) temena trougla

b) simetralu stranice AB

6. Dat je trougao sa temenima A(1,-2), B(5,4) i C(-2,0). Odredi:

a) dužinu visine Ah

b) simetralu ugla kod temena A

c) površinu trougla