Prépa agreg Année 2013-2014Cours option B frederique.charles@upmc.fr

Valeurs propres

On considère ici A ∈MN (K) et on s’intéresse ici aux deux problèmes suivant. Comment calculer les valeurs propres de A ?. Comment décrire et quantifier l’impact d’une petite perturbation des coefficiants de A sur

ses valeurs propres ?

On note λ1, . . .λN les valeurs propres de A (non nécessairement distinctes a priori), rangéespar ordre croissant de module : |λ1| ≤ · · · ≤ |λN |.

1 Méthodes de calcul approché de valeurs propres

1.1 Motivation

. Les valeurs propres interviennent dans de nombreux problèmes : suites, EDO, étude de lavibration d’une membrane ...

. Pas de méthode de calcul directe possible, les méthodes ne sont qu’itératives.

1.2 Méthodes de la puissance

1.2.1 Méthode de la puissance itérée

Theorème 1. On suppose A diagonalisable et on note {e1, . . . , eN} une base de vecteurs propres

associés aux valeurs propres λ1, . . . , λN . Soit x(0) ∈ KN , x(0) =N∑i=1

αiei, avec αN 6= 0. On

introduit les suites (y(k))k≥1, (x(k))k∈N et (σ(k))k≥1 définies par

y(k+1) = Ax(k)

x(k+1) = y(k+1)

‖y(k+1)‖2

σ(k+1) = x(k) ∗y(k+1)

(1)

Alorslim

k→+∞σ(k) = λN et lim

k→+∞x(k+1) − βkεN = 0,

où β = λN|λN |

et εN est un vecteur colinéaire à eN de norme égale à 1.

1.2.2 Méthode de la puissance inverse

Si A est inversible, le théorème 1 appliqué à A−1 permet d’obtenir 1λ1

.

1

1.2.3 Méthode de la puissance inverse avec translation

Le principe est de remarquer que si λi est une valeur propre simple (de multiplicité égale à1) et que λ̃ ∈ C est tel que

|λ̃− λi| < minj 6=i|λ̃− λj | (2)

alorsmax

{|µ|, µ ∈ Sp((A− λ̃IN )−1)

}= 1|λi − λ̃|

.

On obtient l’algorithme suivant. choix de x(0) ∈ KN

. pour k = 0 . . . k0 on calcule

y(k+1) solution du système (A− λ̃IN )y(k+1) = x(k)

x(k+1) = y(k+1)

‖y(k+1)‖2

σ(k+1) = λ̃+ 1x(k) ∗y(k+1)

(3)

On a alors

limk→+∞

σ(k) = λi et limk→+∞

(λi − λ̃|λi − λ̃|

)kx(k) = q un vecteur propre associe à λi.

Remarque 1. On peut accélérer la convergence de cet algorithme en prenant σ(k) au lieu de λ̃dans (3).

1.3 Méthode de Givens-Householder

On suppose dans toute cette partie que A ∈ SN (R) (symétrique réelle).

1.3.1 Principe

Cette méthode se fait en deux étapes1. On déterminer une matrice O orthogonale telle que OtAO soit tridiagonale. Cela prend

un nombre fini d’étape.2. On utilise la méthode de Givens qui permet de calculer les valeurs propres d’une matrice

tridiagonale symétrique réelle.

1.3.2 Mise sous forme de Hessenberg

Définition 1. Matrice de HousholderPour v ∈ Cn, v 6= 0, on pose

Hv = In − 2vv∗

v∗v

et par convention on pose H0 = In.

Proposition 1. Soit A ∈ SN (R). Alors il existe v1, . . . vN−2 des éléments de RN tels que

HvN−2 . . . Hv1AHv1 . . . HvN−2

soit tridiagonale symétrique réelle.

Remarque 2.

2

. La méthode décrite dans la preuve du théorème précédent consiste en fait à mettre lamatrice A sous la forme

∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗ ∗ ∗... . . . ∗ ∗ ∗0 . . . 0 ∗ ∗

dite forme de Hessenberg, et à remarquer qu’une matrice de Hessenberg symétrique esttridiagonale.

. Le principe de mise sous forme de Hessenberg d’une matrice est le même que dans l’agorithmede factorisation QR d’une matrice.

1.3.3 Méthode de GivensSoit

Bk =

b1 c1 0 . . . . . . 0

c1 b2 c2...

0. . . . . . . . .

......

. . . . . . . . . 0...

. . . . . . ck−10 . . . . . . 0 ck−1 bk

P0(λ) = 1, et

Pk(λ) = det(Bk − λIk), pour k ≥ 1.Proposition 2. On a P1(λ) = b1 − λ et

∀k ≥ 2, Pk(λ) = (bk − λ)Pk−1(λ)− c2k−1Pk−2(λ).

Proposition 3. Les racines du polynôme Pk sont toutes réelles, distinctes, et séparées par cellesde Pk−1. De plus,

∀k ≥ 1, limλ→−∞

Pk(λ) = +∞.

Proposition 4. Soit i ∈ {1, . . . , N} et µ ∈ R. On pose

sg Pi(µ) ={signe de Pi(µ) si Pi(µ) 6= 0signe de Pi−1(µ) si Pi(µ) = 0

Alors le nombre N (i, µ) de changements de signes entre les éléments consécutifs de l’ensembleordonné

E(i, µ) = {+, sg P1(µ), sg P1(µ), . . . , sg Pi(µ)}est égal au nombre de racines strictement plus petites que µ du polynôme Pi.

On déduit de cette Proposition un algorithme de recherche des valeurs propres de la matriceBN .

Algorithme Soient λ1, . . . , λN les valeurs propres de BN , λi la valeur propre que l’oncherche à calculer. On construit une suite de segments emboités ([ak, bk])k≥0 contenant λi de lafaçon suivante :(i) On détermine un premier intervalle [a0, b0] contenant λi (par exemple b0 = ‖|BN |‖∞ = −a0).(ii) Tant que |bk − ak| > 2ε (ε étant la précision que l’on s’est fixé pour λi),

. on pose ck = ak + bk2 et on calcule N (N, ck).

. si N (N, ck) ≥ i alors λi ∈ [ak, ck[ ; on pose alors ak+1 = ak et bk+1 = ck.

. sinon λi ∈ [ck, bk] ; on pose alors ak+1 = ck, bk+1 = bk.

3

1.4 Méthode QR

Theorème 2. Décomposition QRSoit A ∈ Mn(K). Alors il existe Q ∈ Un(K) et R ∈ Mn(K) triangulaire supérieure tels queA = QR.

Algorithme QR Soit A1 = A. Pour k = 1, . . . , k0, on pose(i) Ak = QkRk

(ii) Ak+1 = RkQk

Lemme 1. On a Sp(Ak) = Sp(A) pour tout k ≥ 1.

Theorème 3. On suppose que A est inversible et que ses valeurs propres ont des modulesdistincts deux à deux, ie

|λ1| < · · · < |λN |

Soit P ∈ Gln(C) telle que P−1AP = diag(λN , . . . , λ1). On suppose que P−1 admet une factori-sation LU . Alors

∀i ∈ {1, . . . , N}, limk→+∞

(Ak)i,i = λi,

∀(i, j)/1 ≤ j < i ≤ N, limk→+∞

(Ak)i,j = 0.

Remarque 3.. Les coefficients (Ak)i,j, pour 1 ≤ i < j ≤ N , ne convergent pas forcément.. Méthode très efficace.. La mise sous forme de Hessenberg préalable réduit le coût de chaque factorisation QR (coûten O(n2) pour une matrice de Hessenberg au lieu de O(n3) pour une matrice pleine).

1.5 Aperçu des diférentes méthodesMéthode Permet d’obtenir Condition sur la matrice A

Puissance itérée la v.p de plus grand module A diagonalisableet le vecteur propre associé et |λN | > |λN−1|

Puissance inverse N’importe quelle v.p λi (et le ~v.p) A diagonalisableavec translation si on a une localisation et λi de multiplicité 1.

Jacobi Toutes les v.p et vecteurs propres A symétrique réelle

Givens-Housholder Toutes les v.p A symétrique réelle

QR Toutes les v.p (+ ~v.p) cf. Th 3

2 Conditionnement d’un problème de valeurs propresExemple 1. Soit

Aε =

0 . . . 0 ε

1 . . . 0. . . . . .

0 . . . 01

∈MN (R).

Pour ε = 0, Sp(A) = {0} et pour ε 6= 0, les valeurs propres de A ont un module égal à ε1/N .

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Theorème 4. Bauer-FikeSoit A ∈MN (K) une matrice diagonalisable et P ∈ Gln(K) telle que

P−1AP = diag(λ1, . . . , λN ) =: D.

Soit ‖|·|‖ une norme matricielle subordonnée telle que ‖|D|‖ = max1≤i≤n

|di,i|. Alors pour toutematrice ∆A ∈MN (K), on a

Sp(A+ ∆A) ⊂N⋃i=1

D (λi, cond (P ) ‖|∆A|‖) ,

où cond (P ) = ‖|P |‖∥∥∣∣P−1∣∣∥∥.

Définition 2. Le réel positif

Γ(A) = inf{cond (P ), P−1AP = diag(λ1, . . . , λN )}

est appellé conditionnement de la matrice A relativement au calcul de ses valeurs propres.Remarque 4.

. Γ(A) dépend de la norme matricielle subordonnée considérée.

. Les matrices normales (A∗A = A∗A) sont très bien conditionnées en norme ‖|·|‖2 pour leproblème aux valeurs propres (Γ(A) = 1) car diagonalisables en base orthonormée.

Pour les matrices autoadjointes, on peut en fait montrer le Théorème suivant, plus fort quele précédent.Theorème 5.On suppose que A ∈MN (K) et A+ ∆A sont auto-adjointes, de valeurs propres

λ1 ≤ · · · ≤ λN et β1 ≤ · · · ≤ βNrespectivement. Alors

|λk − βk| ≤ ‖|∆A|‖2 , ∀1 ≤ k ≤ n.

Annexe : quotient de Rayleigh et principe du Min-MaxTheorème 6. Soit A ∈ MN (K) une matrice autoadjointe, de valeur propres λ1 ≤ · · · ≤ λN .Soit {p1, . . . , pN} une base orthonormée de vecteurs propres associés. On note

. Vk = Vect(p1, . . . , pk) pour 1 ≤ k ≤ N , et V0 = {0},

. Vk l’ensemble des sous espaces vectoriels de KN de dimension k, pour 1 ≤ k ≤ N , etV0 = {V0},

. pour x ∈ KN , x 6= 0, le quotient de Rayleigh

RA(x) = < Ax, x >

< x, x >

Alors, pour tout k ∈ {1, . . . , N}

λk = maxx∈Vk

RA(x) = minW∈Vk

maxx∈W

RA(x).

De plus, on a égalementλk = RA(pk)

λk = minx∈V ⊥

k−1

RA(x)

λk = maxW∈Vk−1

minx∈W⊥

RA(x)

{RA(x)}, x ∈ KN} = [λ1, λN ] ⊂ R.

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