1 L1 STE. Test du χ2 dadéquation/conformité: Il s'agit de juger de l'adéquation entre une série...

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L1 STE

Test du χ2 d’adéquation/conformité:Il s'agit de juger de l'adéquation entre une série de données statistiques et une loi de probabilité définie a priori ou à une population donnée.

Test du χ2 d’homogénéité:Il s'agit alors de se demander si deux listes de nombres de même effectif peuvent dériver de la même loi de probabilité.

PrincipeL’analyse se fait à l’aide d’un tableau de corrélation (variables quantitatives regroupées en classes) ou (plus souvent) de contingence (variables qualitatives). Il ne concerne que des données discrètes.

On calcule les fréquences attendues de chacune des cases puis les écarts entre celles-ci et les fréquences observées.

Test du χ2

Tableau de contingence: les MnMs transgéniques

Préparation des données. Test du χ2

Les tableaux de corrélation: le territoire et la masse des marsupiaux

Préparation des données. Test du χ2

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Si Z1, Z2, Zn sont des variables aléatoires normales centrées réduites et indépendantes entres elles, la somme des carrées de ces varaibles aléatoires obéit à la loi du 2 à degrés de libertés

222

21

2 .... ZZZ

La loi du Khi carré: 2

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En fait, les calculs sont fastidueux -> TABLES

)( 22 P


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Pour calculer la statistique χ2, on a besoin des:- fréquences absolues observées- fréquences absolues attendues

Remarque importante: les fréquences du tableau sont des fréquences absolues observées, jamais des fréquences relatives!

Conformité. Test du χ2

Les fréquences attendues (théoriques) sont nécessaires

1. Si on connaît déjà (grâce à une théorie) les fréquences attendues théoriques, on les utilise directement. Exemple: l'hérédité des pois de Mendel:


Test du χ2

H0 : Il n’y a pas de relation entre les variables…χ2 = 0

H1: Il y a une relation entre les variables…χ2 > 0


k

j j

jj

k

kk

e

eo

e

eo

e

eo

e

eo

1

22

2

222

1

2112 ...

où, si N est la fréquence totale

Neo jj Si 2 = 0, fréq théoriques identiques aux fréq. obs., si 2 > 0, elles ne sont pas exactement identiques.

H0: 2=0H1: 2>0


Un exemple

Le tableau suivant montre la distribution des unités 0, 1,2, …, 9 d’une table de nombres aléatoires comportant 250 nombres. Est-ce que la distribution observée est significativement différente de la distribution théorique?

Unités 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fréq Obs 17 31 29 18 14 20 35 30 20 36

Fréq Est. 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25

3.23

25

2536...

25

2517 222

Solution:

295.0 critique à = 10-1 = 9 degrés de liberté = 16,92

23.3>16,92. Cette table de nombre aléatoire est suspecte.


Pourquoi 9 degrés de liberté dans l’exemple précédent?

= k -1 si les fréquences théoriques peuvent être calculées sans avoir à estimer les paramètres de la population à partir des statistiques d’échantillon.

= k – 1 – m si les fréquences théoriques peuvent être calculées en n’estimant que m paramètres de la population à partir des statistiques d’échantillon.

Idéalement, au moins 5 occurrences par case!

Degré de liberté. Test du χ2

11/04/23 Statistiques 15

Degré de liberté. Test du χ2


Homogénéité. Test du χ2

Guérit Ne guérit pas Total

Groupe A (serum) 75 25 100

Groupe B (sans sérum) 65 35 100

Total 140 60 200

Fréquences observées

Guérit Ne guérit pas Total

Groupe A (serum) 70 30 100

Groupe B (sans sérum) 70 30 100

Total 140 60 200

Fréquences attendues sous H0

84.3;1)1)(1(

38.230

3035

30

3025

70

7065

70

7075

295.0

22222

kh

Impossibilité de rejeter H0


ExempleTableau de contingence du nombre de joueurs de hockey de différentes nationalités utilisant différentes marques de bâtons de hockey.

Le choix de la marque du bâton de hockey que les joueurs utilisent est-il influencé par l’origine du joueur?

Étape 1 : Question “biologique”


H0: il n’y a pas de préférence de marque de bâton de hockey chez les joueurs de différentes nationalités (donc: la variable "marque de bâton" et la variable "nationalité" sont indépendantes) :

χ2 = 0H1: les joueurs de différentes nationalités ont des préférences différentes au niveau de la marque de bâton de hockey qu’ils utilisent :

χ2 > 0

Étape 3 : Test statistique utilisé

• données sous forme de fréquences• indépendance des observations• fréquences distribuées normalement

Étape 4: Conditions d’application

Étape 2: Déclaration des hypothèses


fth(i,j) = (ni × nj)/N exemple, la première cellule :

Calcul des fréquences théoriques:


Étape 5 : Distribution de la variable auxiliaire

Si H0 est vraie, la statistique χ2calc suit une distribution de χ2 à υ = (l – 1) × (c – 1)

= (5 – 1) × (6 –1) = 20 d.d.l.

On rejette H0 si χ2calc ≥ χ2

(0,05, 20) = 31,41

Étape 7: Calcul du test

Étape 8: Décision statistique

On ne rejette pas H0 au seuil α = 0,05 car si χ2calc < χ2

(0,05, 20)

Les joueurs de différentes nationalités n’utilisent pas des bâtons de hockey de marques différentes car les compagnies font la promotion de leurs bâtons avec la même intensité dans les pays étudiés.

Étape 6 : Règle de décision

Étape 9: Interprétation biologique


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