1 Intégrales à Paramètres

Dans cette section on pose pour x ∈ J , F (x) =∫

Ig (x, t )∂t avec I , J intervalles et g à valeurs dans R ou C.

On s’intéresse ici à la « régularité » de ces fonctions définies par des intégrales, comme la « bien-connue » :

Γ(x) =∫ +∞

0t x−1e−t dt

Théorème de Continuité

• ∀x ∈ J t → g (x, t ) continue par morceaux sur I .

• ∀ t ∈ I x → g (x, t ) continue sur J .

• Hypothèse de domination sur tout segment

Pour tous [a,b] ⊂ J , Il existe ϕ continue par morceaux, positive et intégrable sur I telle que :

∀x ∈ [a,b

]⊂ J ∀ t ∈ I∣∣∣g (x, t )

∣∣∣ ≤ ϕ(t )

Alors F est continue et définie sur J et en particulier pour tout x ∈ J , t → g (x, t ) intégrable sur I .

Remarques

I L’intégrabilité de t → g (x, t ) sur I n’est pas nécessaire à vérifier, puisque découle de la domination.

I On peut remplacer l’hypothèse de domination sur tout segment, par la domination sur J tout entier,

mais cela se révèle moins pratique à l’usage car il est plus aisé de majorer x sur un segment.

I On peut aussi remplacer la vérification des deux premières hypothèses par l’hypothèse (plus forte mais

plus rapide. . .) (x, t ) → g (x, t ) est continue sur J × I .

I Le théorème amène en particulier : ∀a ∈ J limx→a

∫I

g (x, t )∂t =∫

Ilimx→a

g (x, t )∂t =∫

Ig (a, t )∂t

Théorème de Dérivabilité (sous le signe somme)

On suppose, ici, que g (x, t ) admet une dérivée partielle∂g

∂x(x, t ) sur J × I

• ∀x ∈ J t → g (x, t ) continue par morceaux et intégrable sur I .

• ∀x ∈ J t → ∂g

∂x(x, t ) continue par morceaux sur I .

• ∀ t ∈ I x → ∂g

∂x(x, t ) continue sur J

• Hypothèse de domination sur tout segment

Pour tous [a,b] ⊂ J , Il existe ϕ continue par morceaux, positive et intégrable sur I telle que : .

∀x ∈ [a,b

]⊂ J ∀ t ∈ I∣∣∣∂g

∂x(x, t )

∣∣∣≤ϕ(t )

Alors t → ∂g

∂x(x, t ) est intégrable sur I , pour tout x ∈ J , et F est de Classe C 1 sur J et F ′(x) =

∫I

∂g

∂x(x, t )∂t .

Remarques

I Ici il est nécessaire de vérifier l’intégrabilité car seulement celle de la « dérivée » est assurée par la do-

mination.

I On peut remplacer, ici aussi, la domination sur tout segment de J par la domination sur J tout entier.

2 Intégration et Intervertion de symboles

On s’intéresse ici à la problématique limn→∞

∫I

fn?=

∫I

limn→∞ fn =

∫I

limn→∞ fn(t )∂t .

On supposera donc de facto la convergence simple de la suite de fonctions fn sur I

Théorème de convergence dominée de Lebesgue1

Soit ( fn)n∈N une suite de fonctions continues par morceaux sur I fn : I ⊂R→R ou C.

• La suite ( fn) converge simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux sur I .

• Hypothèse de domination : Il existeϕ continue par morceaux, positive et intégrable sur I telle que :

∀ t ∈ I ∀n ∈N∣∣∣ fn(t )

∣∣∣≤ϕ(t )

Alors f est intégrable sur I et limn→∞

∫I

fn =∫

Ilim

n→∞ fn =∫

If

Remarque : Ici aussi, l’intégrabilité des fn sur I car elle résulte de l’hypothèse de domination.

Théorème 2 sur un segment Soit ( fn)n∈N une suite de fonctions continues et intégrables sur [a,b]

à valeurs dans R ou C, telle que la suite ( fn) converge uniformément sur [a,b], alors limn→∞

∫ b

afn =∫ b

alim

n→∞ fn =∫ b

af

Remarque : On notera qu’il faut dans ce théorème un segment [a,b] et la continuité des fn (car la convergence

uniforme entraine la continuité de f donc son intégrabilité sur [a,b]). La continuité par morceaux des fn n’est

pas suffisante, pour assurer l’intégrabilité de la limite. Il faudrait alors la vérifier.

On s’intéresse maintenant à la problématique∫

I

+∞∑n=0

un?=

+∞∑n=0

∫I

un (dénommée intégration terme à terme)

Théorème de Lebesgue d’Intégration terme à terme

Soit (∑

un)n∈N une série de fonctions continues par morceaux et intégrables sur I . un : I ⊂R→R ou C.

• La série de fonctions∑

un converge simplement sur I

et sa somme S(x) =+∞∑n=0

un(x) est continue par morceaux sur I .

• La série numérique∑(∫

I

∣∣∣un

∣∣∣ )converge.

Alors S =+∞∑n=0

un est intégrable sur I et on peut « intégrer terme à terme »∫

I

( +∞∑n=0

un

)=

+∞∑n=0

(∫I

un

)Remarque : On notera ce théorème donne une condition suffisante d’intégrabilité d’une série de fonctions.

Théorème 2 d’Intégration terme à terme sur un segment

Soit (un)n∈N des fonctions continues et intégrables sur [a,b] à valeurs dans R ou C.

Si la série de fonctions∑

(un) converge uniformément sur[a,b], alors∫ b

a

( +∞∑n=0

un

)=

+∞∑n=0

(∫ b

aun

)Remarque : Dans ce théorème, l’intégrabilité de la focntion-somme est juste assurée par sa continuité sur le

segment, continuité qui découle de la convergence uniforme.

3 Séries à � Paramètres � ou Séries de fonctions

Dans cette section, on pose pour x ∈ J , S(x) =+∞∑n=0

un(x) avec J intervalle et un : J ⊂R→R ou C.

On s’intéresse ici à la « régularité » de ces fonctions définies par des sommes de série, comme la « bien-connue »

fonction ζ de Riemann1 :

ζ(x) =+∞∑n=1

1

nx

Théorème de Continuité

• un est continue sur J .

• La série de fonctions∑

un converge uniformément sur sur tout segment [a,b] ⊂ J (ou sur J tout

entier)

Alors S(x) =+∞∑n=0

un(x) est continue et définie sur J en particulier ∀x ∈ J , la série∑

un(x) converge.

Remarques

I On a donc l’« intervertion de symboles » limx→a

+∞∑n=0

un(x) =+∞∑n=0

limx→a

un(x) =+∞∑n=0

un(a) (pour a ∈ J )

I Dans la pratique, on utilise souvent la condition suffisante de la convergence normale de∑

un

Théorème de Dérivabilité (dérivation terme à terme)

• un est de classe C 1 sur J .

• La série de fonctions∑

un converge simplement sur J

• La série de fonctions∑

u′n converge uniformément sur tout segment [a,b] ⊂ J (ou sur J tout

entier)

Alors S est de classe C 1 sur J et on peut dériver terme à terme S′(x) =( +∞∑

n=0un(x)

)′ = +∞∑n=0

u′n(x).

1. Bernhard Riemann : mathématicien allemand de génie (1826-1866). Travaux fondamentaux sur les fonctions analytiques, la

théorie de l’intégration, la géométrie différentielle. Sa fonction ζ donne des indications sur la répartition des nombre premiers.

4 Intervertion de Limites

On s’intéresse ici à la problématique limn→∞

(limx→a

fn(x)) ?= lim

x→a

(lim

n→∞ fn(x)).

On supposera donc « de facto » la convergence simple des fn et l’existence d’une limite des fn en a. A noter

aussi, que si les fn sont continues en a, le problème équivaut à la continuité de f = lim fn en a et a déjà été

traité.

Théorème « de la double limite »

Soit ( fn)n∈N une suite de fonctions fn : I ⊂R→R ou C et a ∈ I ou une borne de I finie ou infinie

• La suite de fonctions ( fn) converge uniformément sur I (vers une fonction notée f ).

• Chaque fonction fn admet une limite bn en a.

Alors la suite (bn) est convergente (vers un réel noté b) et f = lim fn admet pour limite b quand x → a,

cad

limn→∞

(limx→a

fn(x))= limbn = b = lim

x→af (x) = lim

x→a

(lim

n→∞ fn(x))

On s’intéresse maintenant à la problématique limx→a

( +∞∑n=0

un(x)) ?=

+∞∑n=0

(limx→a

un(x)).

A noter que si les un sont continues en a, le problème a déjà été résolu par le théorème sur la continuité d’une

somme de série ou une série à « paramètre ».

Théorème

Soit (∑

un)n∈N une série de fonctions un : I ⊂R→R ou C et a ∈ I ou une borne de I finie ou infinie

• La série de fonctions∑

un converge uniformément sur I (de somme notée S).

• Chaque fonction un admet une limite bn en a.

Alors la série (∑

bn) est convergente (de somme notée B) et S(x) =+∞∑n=0

un(x) admet pour limite B qd x → a,

cad

limx→a

( +∞∑n=0

un(x))= lim

x→aS(x) = B =

+∞∑n=0

bn =+∞∑n=0

(limx→a

un(x))