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1 HERLEITUNG DER ELEKTROMAGNETISCHEN WELLENGLEICHUNG AUS DEN MAXWELL-GLEICHUNGEN 1 Herleitung der elektromagnetischen Wellengleichung aus den Maxwell-Gleichungen Als Ausgangspunkt dienen die Maxwell-Gleichungen in der differentiellen Form: 1.1 Maxwell-Gleichungen ∇ ~ D = ρ (1) ∇ ~ B =0 (2) ∇× ~ E = - ∂ ∂t ~ B (3) ∇× ~ H = ~ j + ∂ ∂t ~ D (4) 1.2 Symmetrie der Gleichungen im Vakuum Im Vakuum ergeben sich mit ρ =0 und ~ j =0 neu: ∇ ~ D =0 (1*) ∇× ~ H = ∂ ∂t ~ D (4*) 1.3 Rotation der Gleichung (3) ∇× (∇× ~ E)= ∇(∇ ~ E) -∇ 2 ~ E = ∇(∇ ~ E) - Δ ~ E = ∇(∇ ~ D) ²² 0 - Δ ~ E = (1*)= -Δ ~ E ∇× (∇× ~ E) = (3) = ∇× (- ∂ ∂t ~ B) = - ∂ ∂t (∇× ~ B)= - ∂ ∂t μμ 0 (∇× ~ H ) = (4*)= -μμ 0 ∂ ∂t ( ∂ ∂t ~ D)= -μμ 0 ²² 0 ∂ 2 ∂ 2 t ~ E 1.4 Zusammenfassung -Δ ~ E = -μμ 0 ²² 0 ∂ 2 ∂ 2 t ~ E ∂ 2 ∂ 2 t ~ E = 1 μμ 0 ²² 0 ∂ 2 ∂ 2 ~ r ~ E Dies ist die bekannte Form einer Wellengleichung. Deren L¨osung f¨ uhrt zu einem, sich pe- riodisch auf- bzw. abbauendem E-Feld. Mit dem B-Feld kann analog verfahren werden. Die Geschwindigkeit der Welle ist mit c = q 1 μμ 0 ²² 0 abzulesen. Marcus Bugner Dresden, 27.05.2009
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1 HERLEITUNG DER ELEKTROMAGNETISCHEN WELLENGLEICHUNG AUSDEN MAXWELL-GLEICHUNGEN
1 Herleitung der elektromagnetischen Wellengleichung ausden Maxwell-Gleichungen
Als Ausgangspunkt dienen die Maxwell-Gleichungen in der differentiellen Form:
1.1 Maxwell-Gleichungen
∇ ~D = ρ (1)
∇ ~B = 0 (2)
∇× ~E = − ∂
∂t~B (3)
∇× ~H = ~j +∂
∂t~D (4)
1.2 Symmetrie der Gleichungen im Vakuum
Im Vakuum ergeben sich mit ρ = 0 und ~j = 0 neu:
∇ ~D = 0 (1∗)∇× ~H =
∂
∂t~D (4∗)
1.3 Rotation der Gleichung (3)
∇× (∇× ~E) = ∇(∇ ~E)−∇2 ~E = ∇(∇ ~E)−∆ ~E
=∇(∇ ~D)
εε0−∆ ~E = (1∗) = −∆ ~E
∇× (∇× ~E) = (3) = ∇× (− ∂
∂t~B)
= − ∂
∂t(∇× ~B) = − ∂
∂tµµ0(∇× ~H)
= (4∗) = −µµ0∂
∂t(
∂
∂t~D) = −µµ0εε0
∂2
∂2t~E
1.4 Zusammenfassung
−∆ ~E = −µµ0εε0∂2
∂2t~E
∂2
∂2t~E =
1µµ0εε0
∂2
∂2~r~E
Dies ist die bekannte Form einer Wellengleichung. Deren Losung fuhrt zu einem, sich pe-riodisch auf- bzw. abbauendem E-Feld. Mit dem B-Feld kann analog verfahren werden.Die Geschwindigkeit der Welle ist mit c =
√1
µµ0εε0abzulesen.
Marcus Bugner Dresden, 27.05.2009
