Equazioni Maxwell semplificate nella materia B ... · Equazioni Maxwell semplificate nella materia...

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μ μ ε ε B M B H E P E D t D H B t B E D o o = - = = + = = × = - = × = 0 0 Equazioni Maxwell semplificate nella materia

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µµ

εε

BMBH

EPEDtDHB

tBED

o

o

=−=

=+=∂

∂=×∇=⋅∇

∂∂−=×∇=⋅∇

0

0

Equazioni Maxwell semplificate nella materia

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( )

( )

2

2

2

2

2

cn

EEkk

tEE

=

−=××

∂∂−=×∇×∇

µ ε

µ εω

µ ε

Equazioni onde

Onde piane

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jiij

zxzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ED εεεεεεεεεεε

=

=

iii

z

y

x

EDED εε

εε

=

=

000000

Dielettrici anisotropi

Assi principali

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( )

20

20

222

222

222

2

0

ezoyx

z

y

x

yxzzyzx

zyzxyxy

zxyxzyx

nn

EEE

kkkkkkkkkkkkkkkkkk

EEkk

εεεεε

µ εωµ εω

µ εω

µ εω

===

=

−−−−

−−

−=××

Equazioni Onde mezzi anisotropi

Materiali uniassici

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0

0

0

0

00

2222

222

2

2222

2

22

22

22

22

22

222

22

=

−−

=

−−

zyye

zo

zyo

z

y

x

ye

zy

zyzo

zyo

kkkcnk

cnkk

cn

EEE

kcnkk

kkkcn

kkcn

ωωω

ω

ω

ω

Equazioni Onde mezzi uniassici (kx=0)

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),,0(0

)0,0,(0

2222

222

2

22

222

22

zyzyye

zo

xzyo

EEEkkkcnk

cn

EEkkcn

==

==

−−

ωω

ω

Equazioni Onde mezzi uniassici (kx=0)

Onda ordinaria

Onda straordinaria

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( )

( ) 2

2

2

2

2

2

222

2

222

sincos1

),,0(

)0,0,(

eoe

zyee

xoo

nnn

EEEcnk

EEcnk

θθθ

θω

ω

+=

==

==

Equazioni Onde mezzi uniassici (kx=0)

Onda ordinaria (TE)

Onda straordinaria (TM)y

z

k

θoE

y

z

k

θeE

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y

z

cnoω

cne )(θω

oe nn >

y

z

cnoω

cne )(θω

oe nn <

Ghiaccio1.309 1.310Quarzo 1.544 1.553ZnS 2.354 2.358

Tormalina 1.638 1.618 Calcite 1.658 1.486 KDP 1.507 1.467

Superfici isofrequenza

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o

BHED

DHkBk

BEkDk

µε

ω

ω

==

−=×=⋅

=×=⋅

0

0

Equazioni Maxwell in onde piane

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( )

( )

)0,0,1()(

sin,cos,0

)sin,cos,0(

cos,sin,0)(

)sin,cos,0()0,0,1(

)0,0,1(

cos,sin,0

DncHDE

DDcnk

DncHDE

DDcnk

eo

zxe

e

ee

oo

xo

o

oo

θεθ

εθ

θθ

θθθω

θθε

θθω

=

−=

−=

=

−==

=

=

Onda ordinaria

Onda straordinariay

z

ok

θ

oo DE,

y

z

ek

θ eE

eD

DHk

ω−=×

EDDk

ε==⋅ 0

oH

eH

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( )

( ) ( )22

022

22

0

,

sincossincos

cossinsincos

)0,0,1()(

sin,cos,0

)sin,cos,0(

cos,sin,0)(

eo

oeoe

eo

oe

zxe

eelonge

eo

zxe

e

ee

nnnnnnD

nnnnD

DkEkE

DncHDE

DDcnk

+−=−=

=

−=⋅=

=

−=

−=

=

εθθ

εθθ

εθθ

εθθ

θεθ

εθ

θθ

θθθω

Onda straordinaria: Componente longitudinale

y

z

ek

θ eE

eD

eH

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( )

( )

kDncS

DncHDE

cnk

kDncS

DncHDE

cnk

zxe

ee

zxe

ee

ox

oo

xo

oo

//cos,sin,0)(

)0,0,1()(

sin,cos,0

cos,sin,0)(

//)cos,sin,0(

)sin,cos,0()0,0,1(

cos,sin,0

2

2

=

−=

−=

=

=

−==

=

εθ

εθ

θ

θεθ

εθ

θθθω

θθε

θθε

θθωOnda ordinaria

Onda straordinariay

z

ok

θ

oo DE,

y

z

ek

θ eE

eD

oH

eH

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Velocità di gruppo

( )

gexze

xze

o

z

e

ykg

e

y

o

z

e

y

o

z

eoe

vDn

DncS

cnnk

nkcv

nk

nkc

nk

nkc

nnck

nck

22

0

2

022

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

222

2

222

)(1cos,sin,0

)(

cos,sin,0)(,,0

sincos

θεεθ

εθ

θ

εθ

εθεθ

ωω

ω

θθθ

ω

=

=

=

=∇=

+=

+=

+==

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gegemge

eeo

zxeeem

ee

zxe

e

eem

vvvUvDn

S

nD

nnD

DDEU

DncHDE

DD

vUS

===

=

+=

=

+=⋅=

=

−=

−=

2

0

20

2

2

2

2

2

0

2

222*

)(1

)(sincos

sincos

)0,0,1()(

sin,cos,0

)sin,cos,0(

θε

θεθθ

ε

εθ

εθ

θεθ

εθ

θθ

Velocità energia

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( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )BACACBCBA

EEEHkHkE

HHHEkEkH

EEHkHk

HHEkEk

EHkHEk

×⋅=×⋅=×⋅

+⋅−=×+×⋅

+⋅=×+×⋅

−−=×+×

+=×+×

−=×=×

ω ε δδ ω εδδ

ω µ δδ ω µδδ

ω ε δδ ω εδδ

ω µ δδ ω µδδ

ω εω µ

Velocità energia=Velocità gruppo 1

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( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )EEHHEHkHEk

EEHHHEk

EEHHEEHH

EHkHEkHEk

HHHHEEEE

EEEEEHkHEk

HHHHHEkHEk

εδµδωδδ

εµδ ωδ

εδµδωεµδ ω

δδδ

µδµ δεδε δ

ε δωεδ ωδδ

µ δωµδ ωδδ

⋅+⋅+×⋅+×⋅−

=⋅+⋅−×⋅

⋅+⋅+⋅+⋅

=×⋅−×⋅+×⋅

⋅=⋅⋅=⋅

⋅−⋅−=×⋅+×⋅

⋅+⋅=×⋅+×⋅

2

2

Velocità energia=Velocità gruppo 2

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( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ∴∇⋅=⋅=

⋅+⋅=×⋅

=−×⋅−+×⋅

=⋅+⋅−×⋅

⋅+⋅+×⋅−×⋅

=⋅+⋅−×⋅

kkUSk

EEHHHEk

HEkHEHkE

EEHHHEk

EEHHEkHHkE

EEHHHEk

kel

ωδδ ωδδ ω

εµδ ωδ

ω µδω εδ

εµδ ωδ

εδµδωδδ

εµδ ωδ

21

0

2

2

Velocità energia=Velocità gruppo 3

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Doppia rifrazione

NOTA: effetto anche ad incidenza normale

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y

z

cω c

ne )(θω

cnoω

Doppia rifrazione

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z

cne )(θω

cnoω

Doppia rifrazione n

k

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z

cne )(θω

cnoω

Doppia rifrazione n

Sk

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Per vedere immagine in movimento: http://www2.polito.it/ricerca/qdbf/fil/indicegenerale/ottica/ottica_fisica/birifrangenza.htm

Principio di Huygens

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y

z

cne )(θω

cnoω

Lamine ritardanti

yo

o

ye

e

ecnk

ecnk

ˆ

ˆ

ω

ω

=

=

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Lamine ritardanti

yo

o

ye

e

ecnk

ecnk

ˆ

ˆ

ω

ω

=

=

d

dndcn

dndcn

ooo

eee

λπωϕ

λπωϕ

2

2

==

==

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )tkyjjjzx

tkyjjz

jxout

tkyjzxin

eeeeeE

eeeeeEE

eeeEE

ooe

eo

ωϕϕϕ

ωϕϕ

ω

−−

+=

=+=

+=

)(0

0

0

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

zx

y

( )oeoe nnd −=−λπϕϕ 2

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Lamine λ/2

dndcn

dndcn

eoo

eee

λπωϕ

λπωϕ

2

2

==

==

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )tkyjjzx

tkyjjjzxout

tkyjzxin

eeeeE

eeeeeEE

eeeEE

o

o

ωϕ

ωϕπ

ω

−=

=+=

+=

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

0

0

0

zx

yoe nn

md−

+= 12

λλ

)12( +=− moe πϕϕ

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Lamine λ/4

( ) ( )

( )

( ) ( )tkyjjzx

tkyjjj

zxout

tkyjzxin

eeejeE

eeeeeEE

eeeEE

o

o

ωϕ

ωϕπ

ω

+=

=

+=

+=

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

0

20

0

oe nnmd

+= 14

λλ

)212( +=− moe πϕϕ

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Polarizer prisms

Glan Thompson Glan Foucault

Glan TaylorWollaston