Die Kreiszahl - Hochschule...

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Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausbli Die Kreiszahl π Svenja Kapitzke Mathematisches Proseminar: Implementierung mathematischer Algorithmen 12.12.2013

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Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick

Die Kreiszahl π

Svenja Kapitzke

Mathematisches Proseminar:Implementierung mathematischer Algorithmen

12.12.2013

Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick

Gliederung

1 Geometrische Herleitung nach Archimedes

2 Monte-Carlo-Methode

3 Ist π eine ”Zufallszahl“?

4 Borwein-Algorithmus

5 Fazit und Ausblick

Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick

Geometrische Definitionen

Umfang Kreis:U = 2 ∗ π ∗ r

Flacheninhalt Kreis:A = π ∗ r2

Oberflache Kugel:O = 4π ∗ r2

Volumen Kugel:

V =4

3π ∗ r3

Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick

Pi geometrisch ermitteln nach Archimedes

Abbildung : Annaherung von π mittels Vielecken [1]

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Geometrische Annaherung nach ArchimedesHerleitung 1: Sechseck

Beispiel: Umfang, inneres Sechseck

USechseck = 6r

UKreis ≈ USechseck ⇒ 2πr ≈ 6r

⇒ π =6

2= 3

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Geometrische Annaherung nach ArchimedesHerleitung 2: Vom Sechseck zum Zwolfeck

Beispiel: Umfang, inneres 12-Eck

s2 =( r

2

)2+ x2 (1)

x = r −√

r2 −( r

2

)2(2)

s =

√√√√( r

2

)2+

(r −

√r2 − r2

4

)2

(3)

UKreis ≈ UZwoelfeck ⇒ 2πr ≈ 12s

Man erhalt: π =3.106

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Geometrische Annaherung nach ArchimedesHerleitung 3: Vom Zwolfeck zum Polygon

Zwolfeck:

s =

√√√√( r

2

)2+

(r −

√r2 − r2

4

)2

Polygon (Eckenverdoppeln sich jedesMal):

sn+1 =

√√√√s2n4

+

(r −

√r2 − s2n

4

)2

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o.B.d.A. r=1, da π nicht von r abhangt:

sn+1 =

√√√√s2n4

+

(1−

√12 − s2n

4

)2

(4)

Ein Vieleck mit der Kantenlange sn hat 6 ∗ 2n Ecken(n=0 entspricht Sechseck, n=1 entspricht Zwolfeck...)

UKreis = UVieleck ⇔ 2π = 6 · 2n ·

√√√√√s2n−14

+

1−

√1−

s2n−14

2

⇔ π = 3 · 2n ·

√√√√√s2n−14

+

1−

√1−

s2n−14

2

(5)

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Geometrische Herleitung nach ArchimedesImplementierung - Matlab-Programmcode rekursiv

rekursiv:

funct ion e r g e b n i s=S e i t e n l a e n g e ( n )i f n==0e r g e b n i s =1;endi f n>0a l t=S e i t e n l a e n g e ( n−1) ;e r g e b n i s=sqr t ( ( ( a l t ˆ2) / 4 . 0 )+(1− sqr t (1−( a l t ˆ 2 / 4 . 0 ) ) ) ˆ2) ;end

PI=S e i t e n l a e n g e ( n )∗3∗2ˆ n

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Geometrische Herleitung nach ArchimedesImplementierung - Matlab-Programmcode mit Schleife

Iterativ mit Schleife:

funct ion e r g e b n i s=S e i t e n l a e n g e ( n )e r g e b n i s =1;

whi le ( n>0)e r g e b n i s = sqr t ( ( ( e r g e b n i s ˆ2)/4.0)+(1− sqr t (1−( e r g e b n i s ˆ 2 / 4 . 0 ) ) ) ˆ 2 ) ;n=n−1;end

PI=S e i t e n l a e n g e ( n )∗3∗2ˆ n

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Geometrische Herleitung nach ArchimedesImplementierung - Ergebnis

Legende

rote Ziffernfalsch

schwarzeZiffernrichtig

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Geometrische Annaherung nach Archimedes

Eine der ersten Annaherungen an π

Inneres Sechseck entspricht untererSchranke von π,Außeres Sechseck entspricht obererSchranke von π

Geht mit Flacheninhalt oder Umfang

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Geometrische Annaherung nach Archimedeshistorische Ergebnisse

Historisch erzielte Ergebnisse mit dieserMethode:

1. Konig Salomo (ca. 800 v. Chr.):

π = 3

2. Archimedes (ca 250 v. Chr.):

3, 1071 < π < 3, 17

3. Ludolf van Ceulen (ca. 1600 n.Chr.):

π = 3, 14159265....., 36 Dezimalen

”Ludolphsche Zahl“

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Pi in der Bibel

1. Buch der Konige, Kapitel 7, 23.26:Konig Salomo gibt ein ”Meer“ in Auftrag:”Und er machte das Meer, gegossen, von einem Rand zum anderenzehn Ellen weit und funf Ellen hoch, und eine Schnur von dreißigEllen war das Maß ringsherum. ... und es gingen zweitausend Eimerhinein.“

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Geometrische Annaherung nach Archimedes ∗∗∗historische Ergebnisse

Historisch erzielte Ergebnisse mit dieserMethode:

1. Konig Salomo (ca. 800 v. Chr.):

π = 3

2. Archimedes (ca 250 v. Chr.):

3, 1071 < π < 3, 17

3. Ludolph van Ceulen (ca. 1600 n.Chr.):

π = 3, 14159265....., 36 Dezimalen

”Ludolphsche Zahl“

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Monte-Carlo-MethodeGrundprinzip

Methode beruht aufWahrscheinlichkeiten

Generierung zufallige Punkteinnerhalb eines Quadrats

Ermitteln, wie viele Punkteim Kreis liegen mittelsKreisgleichung nachPythagoras x2 + y2 <= r2

Radius des Kreisesentspricht Seitenlange desQuadrats

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Herleitung Monte-Carlo-Methode

Punkte in Viertelkreis

generierte Punkte im Quadrat=

Viertelkreisflache

Quadratflache=

14 ∗ π ∗ r2

r2=π

4

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Monte-Carlo-MethodeImplementierung

Anstatt”Zufallszahlen“ habe ich die Nachkommastellen von π in

Packchen aufgeteiltBspl: 2-er Packchen: Koordinaten eines Punktes (05|78),Radius=99

Punkte zahlen:

i f ( x∗x+y∗y<=r a d i u s ∗ r a d i u s ){z a e h l e r i n k r e i s ++;}e l s e{z a e h l e r n i c h t i n k r e i s ++;}

Punkte zeichnen:

i f ( x∗x+y∗y<=r a d i u s ∗ r a d i u s ){cout<<”x ”<<e n d l ;}e l s e{cout<<” . ”<<e n d l ;}

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Monte-Carlo-Methodeoptisches Ergebnis

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Monte-Carlo-Methoderechnerische Losung

Zeitliches Limit erreicht

Untersuchung zeigt:Verarbeitung des pi-stringsin einem Vektor zuzeitaufwendig

Zufallszahlen schneller zuverarbeiten als dieNachkommazahlen von pi

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Monte-Carlo-Methoderechnerische Losung 2

r a d i u s =10000z a e h l e r i n k r e i s =0;z a e h l e r =0;

Z u f a l l s z a h l e n=r a n d i ( r a d i u s , 1 , a n z a h l p u n k t e ) ;

f o r ( i =1: a n z a h l p u n k t e −1)x=Z u f a l l s z a h l e n ( i ) ;y=Z u f a l l s z a h l e n ( i +1);

i f ( ( x∗x+y∗y)<= r a d i u s ∗ r a d i u s )z a e h l e r i n k r e i s=z a e h l e r i n k r e i s +1;

endz a e h l e r=z a e h l e r +1;i=i +2;

endPi=z a e h l e r i n k r e i s / z a e h l e r ∗4 ;

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Monte-Carlo-Methode ∗∗∗rechnerische Losung 2 - Ergebnis

Legende

rote Ziffernfalsch

schwarzeZiffernrichtig

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Ist π eine ”Zufallszahl“?Zahlenuniversum

Definition: Zahlenuniversum

In einer unendlichen Folge zufallig ausgewahlter Ziffern kommtjede beliebige endliche Folge vor, wenn jede Ziffer mit einer vonNull verschiedenen Wahrscheinlichkeit gezogen werden kann. DieseFolgen nennt man Folgenuniversum.Die reellen Zahlen, deren Dezimalenfolge ein Folgenuniversum ist,heißen Zahlenuniversum zur Basis 10 (auf jede Basis anwendbar).[5]

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Ist π eine ”Zufallszahl“?Zahlenuniversum

Beispiele: Zahlenuniversum

Champernownesche Zahl:0,123456789101112131415161718192021...

Zahlenuniversum zur Basis 10

Jede Folge s, die nicht mit 0 anfangt, kommt vor, wenn sie

”an der Reihe“ ist.

Jede Folge s, die mit 0 anfangt, kommt vor, wenn ’1s’”an der

Reihe“ ist.

Auch die Zahl 0,248163264128 (die Potenzen von 2 zur Basis 10aneinandergefugt) ist ein Zahlenuniversum zur Basis 10. [5]

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David Gawen Champernowne(1912-2000)

Englischer Okonom undMathematiker

Schrieb Arbeit uberChampernownesche Zahl wahrendseines Bachelor-Studiums

Entwickelte einen der erstenSchachcomputer mit

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Ist π eine ”Zufallszahl“?Zahlenuniversum

Viele Verfahren zur Konstruktion von Zahlenuniversen

Es gibt uberabzahlbar viele Zahlenuniversen

Je langer die gesuchte Zahlenfolge, desto großer der Bereich,in dem sie wahrscheinlich zu finden ist

Noch nicht bekannt, ob π ein Zahlenuniversum ist.

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Ist π eine ”Zufallszahl“?gleichverteilte Zahlen

Definition: gleichverteilte Folge

Zieht man zufallige Ziffern zur Basis b mit gleicherWahrscheinlichkeit, dann ist die Haufigkeit jeder Ziffer nach demGesetz der großen Zahlen 1/b. Eine solche Folge heißtgleichverteilt. [5]

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Definition: Normal zur Basis b

Eine reelle Zahl heißt normal zur Basis b, wenn gilt: DieHaufigkeit von Ziffernfolgen beliebiger Lange ist gleichverteilt. Einezur Basis b normale Zahl ist gleichverteilt zur Basis bn fur jedesbeliebige n. [5]

Beispiel: Normal zur Basis 10

Bei einer zur Basis 10 normalen Zahl geht die Haufigkeit von”23“

unter den Dezimalstellen gegen 1/100, von”345“ gegen 1/1000,

etc.

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Gleichverteilt impliziert nicht normal

Eine zur Basis b gleichverteilte Zahl ist nicht zwingend zu dieserBasis normal.Eine gleichverteilte Zahl kann rational sein, eine normale Zahl istzwingend irrational. Ware sie rational, hatte sie eine Periode mitder Lange p und Folgen der Lange p waren nicht gleichverteilt. [5]

Beispiel

1/3 = 0, 01010101... ist gleichverteilt zur Basis 2 und rational,aber nicht normal zur Basis 2. [5]

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Definition: Normalitat

Eine Zahl heißt normal, wenn sie normal zu allen Basen ist. [5]

Beispiel: Normalitat

Die Champernownesche Zahl ist normal zur Basis 10

Noch nicht bewiesen, dass sie normal zu allen Basen ist

Eine Zahl kann normal zu einer Basis sein, auch wenn siegeordnet ist → Eine normale Zahl muss nicht zwingend eineZufallszahl sein

[5]

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Ist π eine ”Zufallszahl“?

π scheint zu allen Basen gleichverteilt zu sein

Die Mehrheit der Mathematiker glaubt, π sei normal

Bewiesen ist nicht einmal, dass π gleichverteilt zur Basis 10 ist

Da es effiziente Techniken zur Identifikation der Dezimalenvon pi gibt, sollte π in der Kryptographie nicht alsZufallsgenerator verwendet werden

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Ist π eine Zufallszahl?

i n t count ( s t r i n g s , s t r i n g g e s u c h t ){i n t z a e h l e r =0;i n t pos =0;

whi le ( s . f i n d ( gesucht , pos )!=−1){z a e h l e r ++;pos=s . f i n d ( gesucht , pos )+1;}return z a e h l e r ;}

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Ist π eine ”Zufallszahl“?Ergebnis der C++-Implementierung

Unter der ersten Million Ziffern von pi:

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Random Walk x-chromosom

Random Walk: Visualisierungeiner Zahlenfolge

Basiswechsel der Zahl zurBasis 4

0 heißt ein Kastchen nachrechts, 1 eins nach oben, 2eins nach links und 3 einsnach unten.

Farbverlauf: rot, orange,grun, blau, violett, rot.

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Random Walk 100 Milliarden Stellen von Pi ∗∗∗

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Borwein Brueder

Peter Borwein, geb. Okt 1953 inSchottland (links)

Jonathan Borwein, geb. Mai 1951in Schottland (rechts)

Zwei der beruhmtesten Vertreterder experimentellen Mathematik

Entwickler sehr effizienterAlgorithmen fur pi

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Borwein AlgorithmusMatlab-Programmcode

A=63365028312971999585426220+28337702140800842046825600∗ sq r t (5)+384∗ sq r t (5 )∗(10891728551171178200467436212395209160385656017+4870929086578810225077338534541688721351255040∗ sq r t ( 5 ) )ˆ ( 1/2 ) ;

B=7849910453496627210289749000+3510586678260932028965606400∗ sq r t (5 )+2515968∗ sq r t (3110)∗(6260208323789001636993322654444020882161+2799650273060444296577206890718825190235∗ sq r t ( 5 ) )ˆ ( 1/2 ) ;

C=−214772995063512240−96049403338648032∗ sq r t (5 )−1296∗ sq r t (5)∗(10985234579463550323713318473+4912746253692362754607395912∗ sq r t ( 5 ) ) ˆ ( 1 / 2 ) ;

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√−C 3

π=∞∑i=0

(6i)!

(3i)!(i !)3A + iB

C 3i

summe=0;

f o r i =0:1 : s c h r i t t esumme = summe + ( F a k u l t a e t (6∗ i )/( F a k u l t a e t (3∗ i )∗ ( F a k u l t a e t ( i ) ) ˆ 3 ) )∗(A+i ∗B) / (Cˆ(3∗ i ) ) ;

end

e r g e b n i s=sqr t (−Cˆ3)/summe ;

Sehr effizient: jeder Summand erzeugt ca. 50 neue Stellen von π

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Borwein-AlgorithmusErgebnis der Matlab-Implementierung

Ergebnis Borwein-Algorithmus: Die ersten 25000 Ziffern

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BBP-Formel ∗∗∗

Entwickelt von Simon Plouffe, Peter Borwein und DavidHarold Bailey

Mit einem von der Formel abgeleiteten Algorithmus ist jedebeliebige Nachkommastelle von π bestimmbar, ohne dievorherigen Nachkommastelllen zu kennen

Aber: funktioniert nur im 2er- oder Hexadezimalsystem oderin einem System zur Basis 2b, b∈ NBisherige Versuche, die Formel ins 10er-System zu ubertragen,sind gescheitert

π =∞∑k=0

1

16k

(4

8k + 1− 2

8k + 4− 1

8k + 5− 1

8k + 6

)

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Fazit und AusblickNachkommastellenrekorde Teil 1

William Sharks 1853:

Reihenentwicklung vonarctan 1/5 u. arctan 1/239

Berechnete 707 Dezimalenper Hand

1945 wurde entdeckt, dassdie letzten 180 falsch waren

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Fazit und AusblickNachkommastellenrekorde Teil 2

Abbildung : Yasumasa Kanada, geb.1954, japanischer Informatiker undtheoretischer Physiker

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Fazit und AusblickNachkommastellenrekorde Teil 3

Fabrice Bellard berechnete 2010 mit einen herkommlichemDesktop-Computer und einem eigens geschriebenen Programm2,7 Trillionen Nachkommastellen. Er benotigte 131 TageBerechnungszeit und mehr als ein Terabyte Speicherplatz.

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Quellenverzeichnis

http://www.mathe-lexikon.at

Zwischenspiel mit Pi, Vortrag von Gerhard Aulenbacher

http://logisch-gedacht.de

http://de.wikipedia.org/wiki/Monte-Carlo-Algorithmus(24.10.2013, 16:43)

Delahaye, Jean-Paul:Pi-die Story, aus dem Franzosischen vonManfred Stern.-Basel;Boston;Berlin:Birkhauser, 1999Originaltitel: Le fascinant nombre π, ISBN:3-7643-6056-9

http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-ist-die-kreiszahl-pi-normal-a-895876.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Borwein%27s algorithm(04.12.2013, 15:29)

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Quellenverzeichnis 2

http://www.sfu.ca/archive-sfunews/sfnews/1996/May23/borweins.GIF

http://academickids.com/encyclopedia/index.php/Borwein’s algorithm (others)http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/ISC/kanada1.gif

http://www.shortnews.de/id/807711/nachkommastellen-rekord-von-der-zahl-pi-gebrochen

Jorg Arndt und Christoph Haenel: Pi - Algorithmen,Computer, Arithmetik. Springer Verlag Berlin Heidelberg 1998

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Quellenverzeichnis 3

http://en.wikipedia.org/wiki/D. G. Champernowne(10.12.2013)

http://ancestry.com

Die Bibel

http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl