Fisika Kuantum - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Fisika-Kuantum.pdf ·...
116
1 FISIKA KUANTUM 4 SKS
Transcript of Fisika Kuantum - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Fisika-Kuantum.pdf ·...
1
FISIKA KUANTUM4 SKS
2
BAB 1PENDAHULUAN
Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) suksesmenjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis.
Cahaya sebagai gelombang (Fresnel, Maxwell, Hertz) sangatberhasil menjelaskan sifat-sifat cahaya.
Pada akhir abad 19, teori-teori klasik di atas tidak mampumemberikan penjelasan yang memuaskan bagi sejumlahfenomena “berskala-kecil” seperti sifat radiasi dan interaksiradiasi-materi.
Akibatnya, dasar-dasar fisika yang ada secara radikal diteliti-ulanglagi, dan dalam perempat pertama abad 20 muncul berbagaipengembangan teori seperti relativitas dan mekanika kuantum.
3
1.1 Radiasi Benda-hitam
Benda-hitam: penyerap semua radiasielektromagnet yang mengenainya, atau pengemisisemua radiasi elektromagnet yang dimiliknya.
Berdasarkan termodinamika, distribusi panjanggelombang spektrumnya hanya bergantung padatemperatur tidak pada jenis bahan benda-hitam.
T2
T1
λ
E(λ)
T1>T2
Raleigh-JeanWien
Stefan (1879): total energi yang dipancarkanadalah:
σ adalah konstanta dan c=3x108 m/s adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa.
4)/4( TcE σ=
Wien (1893): panjang gelombang di mana rapat energi radiasi maksimumberbanding lurus dengan 1/T.
λmaxT=konstan; disebut hukum pergeseran Wien
Eksp
4
Menurut teori medan listrik-magnet, gelombang elektromagnetdiemisikan oleh osilator muatan-muatan listrik.
Bilamana osilator-osilator dalam kesetimbangan dengan radiasi dalambenda-hitam, maka rapat energi radiasi per satuan volum adalah:
u(ν)= energi rata-rata osilator dengan frekuensi ν.
Hukum energi ekipartisi: energi rata-rata itu adalah u(ν)=kBT di manakB=1,3806 x 10-23 J/K adalah konstanta Boltzmann. Dengan c=λ ν,
)(8)( 3
2
νπνν uc
E =
TkE B4
8)(λπλ =
Inilah rumusan Raleigh-Jeans, yang ternyata hanya berlaku pada panjanggelombang yang besar.
5
Max Planck (1900):Suatu benda-hitam adalah kumpulan osilator dalam kesetimbangan denganmedan radiasi.
Suatu osilator dengan frekuensi ν hanya bisa memiliki energi:
.....,2,1,0; == nnhn νε
h=6,624 x 10-34 Js disebut konstanta Planck, dan hν disebut kuantumenergi.
Energi rata-rata per osilator dengan frekuensi ν adalah:
∑∑
=
=
−
−=
0
0
)/exp(
)/exp()(
nBn
nBnn
Tkε
Tkεενu 1)/exp(
)(−
=Tkνh
νhνuB
Akhirnya diperoleh:
Inilah rumusan Planck yang sesuai kurvaradiasi benda hitam secara lengkap. 1
8)( /3
2
−= Tkh Be
hc
E υ
νπνν
6
Untuk panjang gelombang yang besar berlaku pendekatan
exp(hυ/kBT)=exp[hc/(λ kBT)] ≈1+ hυ /kBT
persamaan dari Raleigh-Jeans.
Persamaan dapat diungkapkan dalam λ sebagai berikut:
Tkcπν
B3
28=
18)( /3
2
−= Tkh Be
hc
E υ
νπνν
118)( /5 −
= Tkhc BehcE λλ
πλ
Misalkan x=hc/λkBT, maka
18)(
5
44
55
−= x
B
ex
hcTkE π
λ
Untuk memperoleh E(λ) maksimum, harus dipenuhi dE/dx=0; jadi,
0151 =−+− xe x x=4,9651
λT=hc/(4,9651 kB)=2,8978x10-3 mK. hukum pergeseran Wien
7
1.2 Efek Foto Listrik
Dalam pengamatan ternyata:
(i) untuk suatu jenis logam ada frekuensi cahaya minimal yang dapatmelepaskan elektron, dan
(ii) semakin tingi intensitas cahaya yang mengenai permukaan logam, semakin banyak elektron yang dilepaskan.
hv
Klogam
8
1.3 Dualisme Gelombang-Partikel
Hasil-hasil eksperimen interferensi dan difraksi membuktikan bahwa teori tentangcahaya sebagai gelombang telah mantap pada penghujung abad 19, terlebih lagikarena keberhasilan teori elektromagnetik Maxwell.
hWν /≥ W adalah fungsi kerja logam (=energi ikat elektron dipermukaan logam).
Einstein (1905) menolak teori tersebut berdasarkan fenomena efek foto-listrik dimanapermukaan logam melepaskan elektron jika disinari dengan cahaya berfrekuensi
Menurut Einstein, dalam fenomena tersebut cahaya harus dipandang sebagaikuanta yang disebut foton, yakni partikel cahaya dengan energi kuantum E=hν.Dalam teori relativitas khususnya (1905), hubungan energi dan momentum suatupartikel diungkapkan sebagai berikut:
2222
cmpcE
o+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ p adalah momentum partikel, dan mo adalah massa
diam partikel bersangkutan
Untuk foton, karena tidak mempunyai massa diam, sedangkan energinya E=hυ,maka momentum foton adalah
.λh
cEp == Adanya momentum inilah yang mencirikan sifat partikel dari cahaya.
9
Arthur H. Compton (1924)
elektron terhambur
sinar-X terhambur
φ
θsinar-X datang
Mengamati perubahan panjang gelombang sinar-X setelah dihamburkan olehelektron bebas.
( )θλλ cos1' −=−cmh
e
Jika λ dan λ’ adalah panjang gelombang sinar-X sebelum dan setelah terhambur, dan me adalah massa diam elektron, maka diperoleh hubungan:
h/mec=0,00243 nm, disebut panjang gelombang Compton.
λ’>λ energi foton terhambur (E’) lebih kecil daripada energi foton datang (E).
λ
λ’
Dapat dibuktikan dengan hukum kekekalanmomentum dan energi
10
Louis de Broglie : Mengemukakan bahwa tidak hanya cahaya yang memiliki sifat “mendua”, tetapi juga
partikel.
.ph
=λ Panjang gelombang ini disebut panjang gelombang de Broglie.
Clinton Davisson dan Lester Germer (1927):
Memperlihatkan efek difraksi dari berkas elektronketika melalui celah sempit sebagaimana cahaya.
Andaikan a adalah lebar celah dan posisi sudutuntuk ‘gelap’ pertama adalah θ, maka berlaku
θ
berkaselektron
Suatu partikel dapat juga memiliki sifat gelombang. Menurut de Broglie suatu partikelyang memiliki momentum p jika dipandang sebagai gelombang, mempunyai panjanggelombang:
a sinθ= λ
11
Kecepatan fasa:
vf=λυ=(h/p)(E/h)=E/p=p/2m=½v. Aneh tapi tidak penting karena tak punya arti fisis.
Momentum p=mv dan energi E=p2/2m=½mv2
Yang penting adalah kecepatan grup, yakni
vg=dω/dk, di mana ω=2πυ dan k=2π/λ.
Dengan E=p2/2m,
vg =dω/dk=dE/dp=p/m=v.
Kecepatan grup dari gelombang partikelsama dengan kecepatan partikel itusendiri.
x
Δx
12
1.2 Spektroskopi Atom HidrogenJohann Balmer (1885):Eksperimen menunjukkan bahwa panjang gelombang-panjang gelombang semua garisspektrum atom hidrogen bisa diungkapkan dengan rumus empiris:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 22
1211
nR
nλ dengan R =1.097x107 m-1 disebut konstanta Rydberg.
Balmer dan Ritz: mengemukakan rumus yang lebih umum,
mnnm
Rn
>⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ;111
22λ
Dengan rumusan empiris ini, Lyman menemukan deret ultraviolet untuk m=1, n=2, 3, 4, … dan Paschen menemukan deret inframerah untuk m=3, n=4, 5, 6, …Bagaimana sebenarnya struktur atom?
Ernest Rutherford (1911):Berdasarkan percobaan hamburan partikel-α, menyarankan struktur atom terdiri dari intibermuatan positif dan elektron-elektron yang mengitarinya.
Sayangnya, teori fisika pada masa itu tak mampu menjelaskan hasil penemuanRutherford dalam kaitannya dengan rumusan Balmer-Ritz di atas.
13
BAB 2DASAR-DASAR FISIKA KUANTUM
2.1 Persamaan GelombangTinjaulah getaran sebuah kawat halus yang diregang sepanjang sumbu-x dengankedua ujungnya dibuat tetap. Misalkan simpangan pada sembarang posisi dan waktuadalah ψ(x,t).Dalam teori gelombang simpangan itu memenuhi persamaan gelombang seperti:
2
2
22
2 ),(1),(ttx
vxtx
∂∂
=∂
∂ ψψ v adalah kecepatan fasa
Misalkan )()(),( txtx φψψ =
22
2
2
22 )()(
1)()(
ωφφ
ψψ
−==dttd
tdxxd
xv
0)()( 22
2
=+ ttdtd φωφ )(sin)( δωφ += tAt
0)()(2
2
2
2
=+ xvdx
xd ψωψ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= xDxCx
λπ
λπψ 2cos2sin)(
14
ω=2πυ, υ adalah frekuensi dan δ adalah konstanta; karena v adalah kecepatanmerambat maka panjang gelombang λ=v/υ.
Untuk konstanta C dan D diperlukan syarat batas, misalnya untuk fungsi di atas, pada x=0, dan x=L dengan L adalah panjang kawat. Andaikan, untuk x=0, ψ(0)=0 maka D=0,
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= xCx
λπψ 2sin)(
Selanjutnya jika di x=L, ψ (L)=C sin(2πL/λ)=0 maka sin(2πL/λ)=0, sehingga:
.....,2,1;2== nnL
λn disebut nomor modus normal.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= xLπnCxψn sin)(maka:
Akhirnya: )(sinsin),( δtωxLπnBtxψn +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
15
2.2 Persamaan SchrödingerTinjaulah sebuah partikel yang memiliki massa m, bergerak dengan momentum p didalam suatu medan konservatif. Menurut mekanika klasik, energi total partikel adalah jumlah energi kinetik dan potensial:
VmpE +=2
2
)(2 VEmp −=
Sebagai gelombang, kecepatan fasa gelombang partikel itu
)(2 VEmE
pEv
−==
Misalkan ψ(x,t) adalah fungsi gelombang partikel, maka persamaan gelombang:
2
2
22
2 ),()(2),(ttx
EVEm
xtx
∂∂−
=∂
∂ ψψ
Suatu fungsi gelombang partikel dengan energi tetap berkaitan dengan frekuensitetap. Untuk itu ψ(x,t) memenuhi
tiextx ωψψ −= )(),(
16
),()(2),(22
2
txψVEmxtxψ
h
−−=
∂∂
ωE h=Mengingat πh 2/=hdan
Akhirnya diperoleh persamaan:
0)()(2)(2
2
=−+∂
∂ xVEmxx ψψ
h
Bagian waktu exp(-iωt) telah dihilangkan sementara karena tak mempunyai pengaruh, dan selanjutnya persamaan itu disebut persamaan Schrödinger yang tak bergantungwaktu bagi sebuah partikel dalam satu dimensi.
Untuk tiga dimensi persamaan Schrödinger ini adalah:
0),,()(2),,( 22 =−+∇ zyxVEmzyx ψψ
h
V adalah energi potensial yang bentuknya harus diketahui sebelumnya, sedangkanfungsi gelombang ψ(x) dan energi E dari partikel bersangkutan merupakan solusiyang harus dicari dari persamaan tersebut.
Persamaan Schrodinger 1-dimensi
17
)()(ˆ xExH ψψ =
Vm
H +∇−= 22
2ˆ h
Persamaan Schrödinger di atas dapat dituliskan sebagai berikut
dengan disebut hamiltonian partikel, yakni operator energitotal dari partikel.
Dalam bahasa matematik, E adalah harga eigen dari operator H dengan fungsieigen ψ(x). Persamaan (*) disebut persamaan harga eigen.
(*)
Turunan pertama terhadap waktu untuk fungsi gelombang ψ(x,t) dalam hal. 14 adalah:
),(),( txittx ωψψ
−=∂
∂
Karena E=ħω maka diperoleh
),(),( txEttxi ψψ
=∂
∂h
ttxitxH
∂∂
=),(),(ˆ ψψ h
Ini disebut persamaan Schrödinger yang bergantung waktu bagi sebuah partikel .
18
Untuk fungsi gelombang partikel yang tidak bergantung waktu, ψ(x),
1)()()( 2* == ∫∫∞
∞−
∞
∞−
dxxdxxx ψψψ ψ* adalah konjugasi dari ψ.
Fungsi ψ(x) yang memenuhi persamaan di atas disebut fungsi yang dinormalisasi, sedangkan disebut rapat peluang.
dxxψ 2)( disebut peluang menemukan partikel di antara x dan x+dx.
Total peluang untuk menemukan partikel itu disepanjang sumbu-x adalah:
Suatu fungsi gelombang partikel harus memiliki kelakuan yang baik, yakni:
• tidak sama dengan nol dan bernilai tunggal, artinya untuk suatu harga x, ψ(x)memiliki hanya satu harga saja.
• fungsi dan turunannya kontinu di semua harga x, dan
• fungsi (harga mutlaknya) tetap terbatas (finite) untuk x menuju ±∞;
2.3 Sifat-sifat suatu Fungsi Gelombang
2)( xψ rapat peluang partikel berada di x
19
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= xLnCx πψ sin)(Contoh:
1sin)(0
222 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∫∫
∞
∞−
dxxLnCdxx
L πψ
sin2θ=(1-cos2θ)/2, maka hasil integral di atas adalah C2(L/2)=1 sehingga LC /2=Jadi secara lengkap fungsi yang dinormalisasi adalah
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= xLn
Lx πψ sin2)(
Jika ψ(x) adalah kombinasi linier dari sekumpulan fungsi-fungsi {ϕn(x)}, makapenulisannya secara umum adalah seperti:
∑=n
nn xcx )()( ϕψ cn adalah koefisien bagi fungsi ϕn(x) yang bisa ril ataukompleks.
dxxxc mm )()(* ψϕ∫∞
∞−
= Jika ϕn(x) adalah fungsi-fungsi yang dinormalisasi danortogonal satu sama lain.
20
Jika fungsi-fungsi {ϕn(x)} selain ternormalisasi juga ortogonal (disebut ortonormal) satu sama lain maka berlaku
mnnm dxxx δϕϕ =∫∞
∞−
)()(*=1; m=n
=0; lainnya
Jika ψ(x) fungsi yang dinormalisasi, maka
1)()(*
,
* =∫∑∞
∞−
dxxφxφcc nmnm
nm
1* =∑n
nncc
1)()(* =∫∞
∞−
dxxψxψ
Jadi,
Untuk memudahkan penulisan, fungsi-fungsi dituliskan dalam ket sepertidan konjugasinya dalam bra seperti
Integral overlap dituliskan seperti:
nφnφ
lklk dxxx ϕϕϕϕ =∫∞
∞−
)()(*
δ disebut kronecker delta
1,
* =∑ mnnm
nm δcc
21
Ortogonalisasi Schmidt
Andaikan φ1 dan φ2 adalah fungsi-fungsi yang non-ortogonal satu terhadaplainnya.
Misalkan ϕ1=φ1, lalu pilih ϕ2=φ2+αφ1. Besarnya α dihitung atas dasar ϕ1 dan ϕ2yang ortogonal satu sama lain.
∫ ∫ ∫ =+= 01*12
*12
*1 dxdxdx φφαφφϕϕ
∫∫−=
dx
dx
1*
1
2*
1
φφ
φφα
2.4 Operator FisisSetiap besaran fisis suatu partikel dikaitkan dengan operatornya; misalnyaoperator bagi energi total adalah Ĥ seperti diperlihat dalam persamaan:
Vm
H +∇−= 22
2ˆ h
Operator energi kinetik
Operator energi potensial
22
Bagi suatu operator besaran fisis berlaku istilah matematik berikut:1. Harga suatu besaran fisis adalah nilai eigen dari operatornya;2. Setiap nilai eigen dari suatu operator berkaitan dengan suatu fungsi eigen; nilai
eigen adalah ril.
)()(ˆ xExH ψψ =
Persamaan harga eigen:
fungsi eigen partikel
nilai eigen; energi partikel
operator energi total; disebut hamiltonian partikel
3. Secara umum harga rata-rata suatu besaran fisis pada fungsi keadaannyamemenuhi persamaan
∫
∫∞
∞−
∞
∞−=dxxx
dxxAxAav
)()(
)(ˆ)(
*
*
ψψ
ψψoperator besaran fisis
fungsi keadaan partikel
harga rata-rata besaran fisis
23
∫∞
∞−
= dxxAxAav )(ˆ)(* ψψ
Bagi fungsi keadaan yang dinormalisasi
)()(ˆ xaxA nnn ϕϕ =
∑=n
nn xcx )()( ϕψ
Andaikan:
nnn
n
mnnnmn
mnmnnmn
m
nmnmn
mav
acc
accdzxxacc
dxxAxccxdxAxA
∑
∑∫∑
∫∑∫
=
==
==
*
***
***
)()(
)(ˆ)()(ˆ)(
δϕϕ
ϕϕψψ
Jika {ϕn} adalah fungsi-fungsi yang ortonormal
Karena harga rata-rata suatu besaran fisis adalah ril maka berlaku
dxxxAdxxAx )(])(ˆ[)(ˆ)( ** ψψψψ∫ ∫=
Secara matematik, operator yang memenuhi persamaan di atas disebut operator hermitian.
24
Menurut de Broglie, sebuah partikel yang bergerak sepanjang sumbu-x mempunyaimomentum linier px= ħk dengan k=2π/λ. Fungsi gelombang partikel itu adalah .
ikxaexφ =)(Bagaimanakah bentuk operator momentum yang memiliki harga eigen px= ħk ? Untuk itu berlaku persamaan nilai eigen:
)()(ˆ xkxp x ϕϕ h=
ikxaexφ =)(
)()(ˆ xdxdixpx ϕϕ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−= h
dxxdixk )()( ϕϕ hh −=
dxdipx h−≡ˆ
Jadi operator momentum linier adalah:
Secara umum, operator momentum:∇−= hip
Operator momentum:
Ingat, energi kinetik:
2
222
221
2ˆˆ
dxd
mdxdi
dxdi
mmp
K x hhh −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−==
25
Jika keduanya merupakan operator besaran fisis maka didefinisikan komutatornyaseperti
Komutator:Tinjau dua buah operator: A Bdan
ABBABA ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[ −=
0]ˆ,ˆ[ =BAJika Kedua operator disebut komut.
Contoh, tentukan komutator operator-operator x dan d/dx ! Gunakan fungsi ϕ(x) sebagai alat bantu:
)(
)()()(
)]([])([)(],[
xdxxdxx
dxxdx
xxdxd
dxxdxx
dxdx
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
−=
−−=
−=
1, −=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
dxdxJadi: 1, =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ xdxd
Buktikan:
26
Dua buah operator yang komut satu sama lain, mempunyaifungsieigen yang sama.
[ ] 0ˆ,ˆ0ˆˆˆˆ0ˆˆˆ
ˆ;ˆ
=→=−
=−=−
==
BAABBA
abbaABBA
bBaA
ψψψψ
ψψψψs
27
2.5 Persamaan Gerak Heisenberg
∫∞
∞−
= dxtxAtxAav ),(ˆ),(* ψψ
Secara umum jika Aav adalah harga rata-rata operator besaran fisis dengan fungsigelombang ψ(x,t) maka:
A
Variasi harga rata-rata itu terhadap waktu adalah
∫∞
∞−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂
∂+
∂∂
= dxtψAψψA
tψψ
tAψ
dtdAav ˆˆˆ
**
*
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
= dxψHAit
AψdtdAav ]ˆ,ˆ[1ˆ
*
h
[ ] [ ]ψHAψi
ψAHHAψi
ψHAψi
ψAHψit
ψAψψAtψ ˆ,ˆ1ˆˆˆˆ1ˆˆ1ˆˆ1ˆˆ *****
*
hhhh=−=+−=
∂∂
+∂
∂ttxixH
∂∂
=),()(ˆ ψψ h [ ]
ttxψixψH
∂∂
−=),()(ˆ
**hdanMengingat:
maka
28
dxψdtAdψ
dtdAav ˆ
*∫=Jadi, dengan [ ]HAit
AdtAd ˆ,ˆ1ˆˆ
h+
∂∂
=
dtAd ˆ
Operator turunan dari
tA
∂∂ ˆ Turunan dari A
A
Jika operator A komut dengan H , makatA
dtAd
∂∂
=ˆˆ
Jika operator A selain komut dengan H, juga tak bergantung waktu: 0ˆ
=dtAd
Besaran fisis seperti itu disebut tetapan gerak dari partikel (kekal dalampengertian klasik).
29
2.6 Representasi Matriks
ψψ aA =ˆTinjau persamaan harga eigen:
∑=
=N
iiic
1φψMisalkan:
∑∑ =j
jjjj
j caAc φφˆ
∑ ∫∑ ∫ =j
jijjj
ij dcadAc τφφτφφ ** ˆ
maka
Kalikan dari dengan
iijj
j acAc =∑
NNNNNN
NN
NN
NN
accAcAcA
accAcAcAaccAcAcAaccAcAcA
=+++
=+++=+++=+++
..........................................................
...........
......................
2211
33232131
22222121
11212111
0...
)(.............................................................................)(...............)(
..............)(
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
−
NNNNNN
N
N
N
c
ccc
aAAAA
AaAAAAAaAAAAAaA
*iφ
30
0
)(......................................................................................)(...................)(...................)(
321
3333231
2232221
1131211
=
−
−−
−
aAAAA
AaAAAAAaAAAAAaA
NNNNN
N
N
N
Jika elemen-elemen Aij diketahui maka harga a dapat ditentukan sebagai solusidari polinom yang diperoleh dari determinan:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0110
A
Contoh
01
1=
−−
aa
a2-1=0, a1=-1 dan a2=1.
01
1
2
1 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−cc
aa
Dengan a1 diperoleh c1= -c2=1/√2
dengan a2 diperoleh c1=c2=1/√2
)( 2121
1 φφψ −=
)( 2121
2 φφψ +=
31
32
BAB 3SISTEM DENGAN POTENSIAL SEDERHANA
Persamaan Schrödinger untuk 1 partikel yang tidak bergantung waktu untuk suatupartikel
3.1 Potensial TanggaSebuah elektron datang dari x-negatif menuju x-positif. Dix=0 elektron itu menghadapi potensial tangga sebesar Vo. Jika energi total elektron, E< Vo, secara klasik elektronakan terpantul sepenuhnya.
Bagaimana menurut kuantum?x
E
V
Vo
0Di daerah x<0, V=0; misalkan fungsi gelombangnya adalah ψ1(x).
02 12
122
=+ ψEdxψd
me
h
dapat diselesaikan jika bentuk potensial V diketahui sebelumnya.
22
12
;)(h
EmkBeAex eikxikx =+= −ψ
gelombang pantul.gelombang datang
0)(2 2
22
=−+ ψVEdxψd
mh ψψ EV
dxd
m=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− 2
22
2h
33
Di daerah x>0, V=Vo; misalkan fungsi gelombang elektron adalah ψ2(x)
0)(2 22
222
=−+ ψVEdxψd
m oe
h
Karena E<Vo, maka solusi bagi fungsi ψ2(x) merupakan fungsi eksponensial menurunseperti:
KxCexψ −=)(22
222 2)(2
kVmEVm
K oeoe −=−
=hh
Di x=0, ψ1 dan ψ2 harus bersambung agar fungsi gelombang itu kontinu;
);0()0( 21 ψψ =
Syarat kontinu:
0
2
0
1 )()(
==
=xx dx
xψddxxψd
dan
CBA =+ KCBAik −=− )(
AiKkkCA
iKkiKkB
+=
+−
=2;
0;2)(
0;)(
2
1
>+
=
<+−
+=
−
−
xAeiKkkx
xAeiKkiKkAex
Kx
ikxikx
ψ
ψ
x0
ψ2ψ1
34
Kerapatan peluang elektron di x>0 dapat dihitung dengan menggunakan ψ2(x):
Kx
o
Kx eAVEeA
Kkkx 2222
22
22
244)( −− =
+=ψ
Jadi, meskipun mengalami potensial penghalang yang lebih besar dari energinya, elektron masih mempunyai peluang berada di x>0.
Peluang itu menuju nol jika Vo>>E, atau di x=∞.
⏐C/A⏐2= 4k/(k2+K2)=4E/Vo adalah koefisien transmisi yang secara klasik tak dapatdiramalkan.
3.2 Potensial Tangga Persegi
a
E
V
Vo
0 x
axxaxVxV o
><=≤≤=
,0;00;)(
Sebuah elektron datang dari x-negatif menuju x-positif. Eleketron menghadapi potensial tanggaseperti:
Sepanjang perjalanannya energi total elektron, E< Vo.Karena V=0, fungsi gelombang elektron sebagai solusi persamaan Schrodingerdalam daerah x<0 sama dengan:
22
12
;)(h
EmkBeAex eikxikx =+= −ψ
35
Dalam daerah 0<x<a, karena E<Vo: fungsi gelombang sebagai solusi persamaanSchrodinger adalah
KxKx DeCex −+=)(2ψ 222
2 2)(2k
VmEVmK oeoe −=
−=
hh
Di daerah x>a, V=0; maka fungsi gelombang di sana adalah:ikxFex =)(3ψ Hanya arah ke kanan saja.
Syarat kontinuitas di x=0 dengan menggunakan fungsi-fungsi ψ1(x) dan ψ2(x), akanmemberikan hubungan:
)()( DCKBAikDCBA
−=−+=+
dan syarat kontinuitas di x=a dengan menggunakan ψ2(x) dan ψ3(x), memberikan
ikaKaKa
ikaKaKa
ikFeDeCeKFeDeCe
=−
=+−
−
)(
Dengan mengeliminasi C dan D, akan diperoleh:
)(4)(sinh)(sinh
22
22
2
2
EVEKaVKaV
A
B
oo
o
−+=
)(4)(sinh)(4
222
2
EVEKaVEVE
A
F
oo
o
−+−
=
36
Ilustrasi fungsi gelombang-fungsi gelombang:
a x0
ψ1(x)ψ2(x)
ψ3(x)
x=a. Jadi, secara kuantum elektron dapat menerobos potensial penghalang meskipunenerginya lebih kecil daripada potensial penghalang. Fenomena inilah yang disebutsebagai efek terobosan (tunnel effect).
22 / AB 22 / AFmerupakan koefisien pantulan di x=0 dan adalah koefisien transmisi di
Terobosan partikel berlangsung dalam peluruhan radioaktif. Suatupartikel-α (= inti atom He) mengalami gaya dorong elektrostatik intihingga jarak 10-8 μm dari inti Uranium. Kurang dari jarak itu gayabersifat tarikan dan berbentuk sumur potensial seperti diperlihat-kan dalam Gb. Partikel-α dalam sumur itu dapat menerobospenghalang (tarikan) dan selanjutnya terdorong keluar. Eksperimen menunjukkan bahwa energi partikel itu lebih kecildaripada penghalang.
E
V(r)
r
37
3.3 Sumur Potensial Persegi Tak TerhinggaAndaikanlah suatu elektron dalam pengaruh potensialberbentuk sumur tak terhingga berdimensi-1 sepertiberikut:
axaxaxaxV
−≤≥∞=<<−=
,;;0)(
V=∞
-a a0 x
Elektron terperangkap dalam daerah –a<x<a, dan sama sekali tak dapat ke luar daerahitu. Dengan perkata lain peluang elektron berada di x>a dan di x <-a sama dengan nol. Oleh sebab itu, jika ψ(x) adalah fungsi gelombangnya, maka
0)()( ==− aψaψ
Karena V=0 dalam daerah –a<x<a, maka persamaan Schrödinger bagi elektrontersebut adalah:
02 2
22
=+ ψψ Edxd
me
h atau2
222
2 2;0
h
Emkk
dxd e==+ ψψ
Solusinya adalah kxCx cos)( =ψ dan kxDx sin)( =ψ
Dengan syarat batas di x=a diperoleh
( )axnCxn 2/cos)( πψ = untuk n=1,3,5,…
)2/(sin)( axnDxn πψ = untuk n=2,4,6 ...
38
Harga C dan D dihitung melalui normalisasi fungsi, yakni: 1)()(* =∫−
dxxx n
a
an ψψ
Hasilnya adalah C=D=1/√a, sehingga fungsi-fungsi eigen adalah:
......5,3,1;2
cos1)( =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= nxaπn
axψn .......6,4,2;
2sin1)(. =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= nxaπn
axψn
ψ3
ψ2
ψ1
-a 0 a x
⏐ψ3⏐2
⏐ψ2⏐2
⏐ψ1⏐2
-a 0 a x
Fungsi-fungsi ini membentuk set ortonormal; artinya: ''* )()( nnnn δdxxψxψ =∫
Selanjutnya, diperoleh harga eigen energi:
....,3,2,1;8 2
222 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= n
amnE
en
hπψ4
ψ3
ψ2
ψ1 E1
E2=4E1
E3=9E1
E4=16E1
Energi ini berharga diskrit (tidak kontinu, tapibertingkat-tingkat) ditandai oleh bilangankuantum n.
39
3.4 Sumur Potensial Persegi TerhinggaMisalkan elektron terperangkap dalam sumurpotensial terhingga seperti:
axaxVaxaxV
o −<≥=<<−=
,;;0)( E<Vo
Vo
V
xa-a
Jika energi E<Vo secara klasik elektron tak dapat ke luar daerah itu. Tetapi secarakuantum, karena potensial itu terhingga elektron masih berpeluang berada diluardaerah –a<x<a. Syarat batas hanyalah:
Persamaan Schrödinger untuk daerah –a<x<a adalah:
0)( =±∞ψ
002
22
2
2
22
=+→=+ ψψψψ kdxdE
dxd
me
h
dengan mana diperoleh solusi berikut:
kxx cos)( =ψ kxx sin)( =ψdan
22 2
h
Emk e=
di mana
Untuk daerah ⎟x⎟≥a, persamaan Schrödinger adalah:
0)(2 2
22
=−+− ψψ EVdxd
m oe
h
40
Jika energi elektron E<Vo maka ψ(x) merupakan fungsi exponensial yang menurun danmenuju nol di ⎟x⎟=∞. Jadi, untuk ⎟x⎟≥a:
xKeCx −=)(ψ 22 )(2
h
EVmK oe −
=dengan
Syarat kontinu di x=±a :
Ka
Ka
KCekakCeka
−
−
−=−
=
sincos
Kakatgka =
Ka
Ka
KCekakCeka
−
−
−=
=
cossin
Kakactgka −=
22 2
h
Emk e=
22 )(2
h
EVmK oe −
=2
222 2
)()(h
aVmKaka oe=+
tg (ka)
n=3
n=2
n=1n=0
ctg (ka)ctg (ka) tg (ka)
Ka
ka2π3π/2π/2 π
2
222 2
)()(h
aVmKaka oe=+
Terlihat, jumlah tingkat energi sangat bergantung pada harga Voa2; misalnya untukVoa2≤(πħ2/4me) hanya ada satu, dan Voa2≤(πħ2/2me ) ada dua tingkat energi.
41
ψ3
-a 0 ax
ψ2
ψo
ψ1
Jelas bahwa meskipun potensial yang dialami elektron itu terhingga, namun karenaE<Vo, energinya tetap diskrit.
Keadaan energi yang diskrit itu merupakan ciri dari partikel yang terikat dalamsumur potensial.
Karena potensial itu berhingga, fungsi-fungsi eigen mempunyai ekor berbentukeksponensial menurun di luar sumur. Artinya, elektron masih mempunyai peluangberada di luar sumur. Hal ini tidak mungkin secara klasik.
Quantum well, quantum dot, quantum wire adalah pengembangan darikasus ini dalam riset-riset laser dan optik.
42
3.5 Sumur Potensial Persegi dengan DindingMisalkan pertikel berada dalam sumur potensialterhingga seperti:
axaxV
xxV
o
≥=<<−=
≤∞=
;00;
0;)(E<0
-Vo
0a
x
V
Di x=0, potensial itu ∞ sehingga elektron tidak mungkin berada di daerah x<0. Bagaimanakah energi dan fungsi gelombang elektron jika E<0?Di dalam daerah 0<x<a, persamaan Schrödinger adalah:
0)(2 12
122
=+−+ ψψo
e
VEdxd
mh
012
21
2
=+ ψψ kdxd
)(22
2 EVmk oe −=
h
ikxikx BeAex −+=)(1ψ
Karena ψ1(0)=0, maka A+B=0 atau B=-A
kxCeeAx ikxikx sin)()(1 =−= −ψ
Solusinya:
43
Persamaan Schrödinger di daerah x>a adalah:
02 22
222
=−− ψψ
Edxd
me
h
022
22
2
=− ψψ
Kdxd
22 2
h
EmK e=
KxeDx −=)(2ψ
Syarat kontinu di x=a harus memenuhi ψ1=ψ2 dan dψ1/dx=dψ2/dx. Jadi,
KaeDkaC −=sinKaKDekakC −−=cos 22
2 )2exp(KkKakCD
+=
Kakactgka −=)(dan
2
22222 2
h
aVmaKak oe=+Di pihak lain:
Dari kedua persamaan ini diperoleh grafik berikut:
44
e
nno
e
nn m
KEV
mk
E2
atau2
2222 hh−=−=
Dari rumusan k dan K, tingkat-tingkat energielektron adalah:
Bentuk fungsi-fungsi keadaan dapat digambarkandengan menggunakan hasil-hasil di atas:
ψ4
ψ3
ψ1
ψ2
0 a x
0
n=2
n=1
Ka
ka2π3π/2π/2 π
2
222 2
)()(h
aVmKaka oe=+
Di mana kn dan Kn diperoleh berdasarkan titik-titik potong dalam gambar. Jadi, energielektron diskrit, karena elektron terperangkapdalam sumur potensial.
Untuk Voa2<πħ2/4me tidak ada titik potong, untuk πħ2/4me< Voa2<πħ2/2me hanya ada satutitik potong, n=1, dan seterusnya.
45
3.6 Osilator Harmonis SederhanaDalam mekanika klasik, osilator harmonis sederhana adalah benda yang bergerakosilasi dengan simpangan kecil dalam pengaruh gaya konservatif:
xmF rr2ω−=
m adalah massa, dan ω adalah 2π x frekuensi; gerak osilasi berbentuk sinusoidadengan amplitudo A adalah:
tAtx ωsin)( =
Dengan gaya konservatif tersebut, energipotensial yang dimiliki benda adalah:
2221
0
.)( xωmxdFxVx
=−= ∫rr
-A 0 A x
V
V(x)=½mω2x2
K(x)=E-V(x)
E=½mω2A2
Energi total sebagai jumlah energi potensial (V) dan energi kinetik (K) diperlihatkan dalam:
2221 AmE ω=
Jadi, secara klasik osilator memiliki energi tunggal.
46
Bagaimana pandangan fisika kuantum?
Persamaan Schrödinger untuk suatu partikel berosilasi adalah:
0)()(2)(22
2
=−+ xVEmdxxd ψψ
h
( ) 0)(2)( 2221
22
2=−+ xxmEm
dxxd ψωψ
h
Lakukan penyederhanaan: axzEcma === ;2;ω
ωhh
0)()()( 22
2=−+ zzc
dzzd ψψ
Persamaan ini dapat diselesaikan dalam dua tahap.
Tahap pertama: untuk z yang besar c dapat diabaikan: (appr. Asimtotik)
2/2
)( zezψ −∝
Tahap berikutnya, nyatakan fungsi lengkap seperti:
2/2
)()( zezHzψ −=
47
0)1(2)(2
2=−+− Hc
dzdHz
dzzHd
Persamaan Schrodinger menjadi:
merupakan persamaan diferensial Hermite. Solusinya adalah polinom Hermitesebagai berikut:
( ) ............,2,1,0;)1()(22
=−= − nedzdezH zn
nzn
n ......,2,1,0)1(21 =−= cn
2/1!21;)()(
221
πnNezHNzψ nn
znnn == −
sehingga fungsi-fungsi eigen (keadaan) adalah:
di mana adalah faktor normalisasi dan n merupakan bilangan kuantum .
1)( =zH o
221
21
)( zo eπzψ −−=
zzH 2)(1 = 221
21
2)(1zzez −−= πψ
24)( 22 −= zzH 2
21
21
)12()( 221
2zezπzψ −− −=
Contoh fungsi-fungsi keadaan:
Fungsi-fungsi eigen ini membentukset yang ortonormal.
)()(!2
;)()( 2/1
2221
zaxnaNeaxHNx nnnn
xannn ψψ
πψ === −
48
......,2,1,0;)( 21 =+= nnEn ωh
diperoleh energi eigen (keadaan) bersangkutan:
Untuk lebih jelasnya, fungsi-fungsi keadaandiperlihatkan dalam gambar. Fungsi keadaan
)1(21 −= cn
ωEc
h
2=Dari dan
221
21
)( zo eπzψ −−=
disebut keadaan dasar dengan energi Eo=½ħω.
ψ1
ψo
ψ2
z
E1
E2
Eo
V
Terlihat bahwa, karena partikel terperangkap dalam potensial V, maka energinya diskrit. Frekuensi osilator lebih kurang sama dengan frekuensi bunyi; oleh sebab itu, ωh disebut fonon. Jadi, fungsi keadaan ψn dikatakan mengandung n buah fonon.
49
Sifat-sifat penting polinom Hermite:(i). Hubungan rekursif:
)(2)(2)( 11 zHnzHzzH nnn −+ −=
)(2)(
1 zHndzzdH
nn
−=
(ii). Sifat ortogonalitas:
mnn
nmz δπndzzHzHe 2/1!2)()(
2
=∫∞
∞−
−
)(1
)(1
2)( 11 zψnnzψz
nzψ nnn −+ +
−+
=
)(2
1)(2
)(11 zψnzψn
dzzψd
nnn
+−+
−=
mnnm δdzzψzψ =∫∞
∞−
)()(
Dengan sifat-sifat di atas, diperoleh sifat-sifat fungsi keadaan:
(i) Hubungan rekursif:
(ii) Sifat ortonormalitas:
50
Contoh:1. Hitunglah gaya pegas rata-rata.
dzzψzzψωdxxψxxψωmV
xωmV
nnnnave )()()()( 22
1222
1
222
1
∫∫∞
∞−
∞
∞−
==
=
h
2. Hitunglah harga rata-rata energi potensial.
dzzzzmdxxxxmF
xmF
nnnnave )()()()(2
2
ψψωωψψω
ω
∫∫∞
∞−
∞
∞−
−=−=
−=
h
3. Hitunglah harga rata-rata energi kinetik
dzzψdzdzψωdxxψ
dxdxψ
mK
dxd
mK
nnnnave ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−=
∫∫∞
∞−
∞
∞−
)()()()(2
2
2
2
21
2
22
2
22
hh
h
51
Ungkapan lain dari osilator harmonik
0)()()( 2
2
2
=−+ zψzcdzzψd
nn
ωE
c n
h
2= )()(2)( 2
122
2
zψnzψzdzd
nn +=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
);(2
1ˆ);(2
1ˆdzdza
dzdza −=+= +
Misalkan:
22
2
1ˆˆ21ˆˆ2 zdzdaaaa +−=−≡+ ++ nn
nn
ψnψaa
ψnψaa
)1(ˆˆ
ˆˆ
+=
=+
+
121 )(ˆ −=+= nnn ψnψ
dzdzψa12
1 1ˆ ++ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= nnn ψnψ
dzdzψa
Operator aa ˆˆ + mempunyai nilai eigen n dengan fungsi keadaan ψn; karena n menyatakanjumlah fonon dalam keadaan ψn maka operator ini disebut operator okupasi.
Selanjutnya,
Terlihat, operator +a mengubah ψn menjadi ψn+1; artinya menambah jumlah fonon.Dengan alasan itu operator ini disebut operator kreasi, sedangkan a disebutoperator anihilasi.
)()()()1ˆˆ2( 21
21 zψnωzψaaω nn +=−+ hhKarena
maka )ˆˆ( 21−+aaωh merupakan operator hamiltonian.
52
3.8 Transisi dan Aturan SeleksiSuatu medan listrik yang berosilasi, jika berinteraksi dengan elektron, akan menggeserposisi elektron dari posisi stasionernya. Pergeseran itu akan menimbulkan suatu momendipol . Selanjutnya, dipol itu berinteraksi dengan medan menimbulkan Hamiltonian
Misakan medan listrik: E=Eo cos ωt dan dipol listrik elektron: μ=er
Interaksi dipol dan medan menimbulkan Hamiltonian:
trEeEH oD ωμ cos..ˆ rrrr==
Interaksi itu memungkinkan elektron bertransisi (berpindah keadaan) dari keadaan awal ψi ke keadaan akhir ψf. Probabilitas transisi diungkapkan sebagai berikut:
zyxM
dvrzyxre
dvrrreP
ifo
fozoyoxi
foiif
,,;
)(].)[(
)(].)[(
2)(2
2*
2*
=∝
++∝
∝
∑∫
∫
α
ψψ
ψψ
α
ααE
EEE
E rr
dvrxreM fixif )()(*)( ψψ∫=di mana disebut komponen-x dari momen transisi.
Transisi dari suatu keadaan ψi ke keadaan ψf disebut terlarang (forbidden) jika Mif=0; sebaliknya transisi diperbolehkan (allowed) jika Mif≠0.
53
Contoh:Dalam sistem dengan sumur potensial tak hingga, buktikan bahwa momen transisi
elektron tidak sama dengan nol jika ⏐m±n⏐sama dengan suatu bilangan ganjil.
dxxeM nmxmn ∫= ψψ *)(
∫−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
a
amn dxxx
anx
am
aeM
2sin
2sin1 ππ Misalkan πx/2a=θ
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−== ∫ ∫∫
− −−
2/
2/
2/
2/2
2/
2/2 ])cos[(])cos[(2sinsin4 π
π
π
π
π
π
θθθθθθπ
θθθθπ
dnmdnmaednmaeMmn
Periksa m,n=2,4,6…., genapnm =−
00)(
])cos[(0
])sin[(])sin[(])cos[(
2/
2/2
2/
2/
2/
2/
2/
2/
=→=±
±+=
±±
−±±
=±
−
−−−∫∫
mn
π
π
π
π
π
π
π
π
Mnm
θnm
θdnmθnm
nmθnmθθdθθnm
∫−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
a
amn xdxx
aπnx
aπm
aeM
2cos
2cos1
Periksa m,n=1,3,5…., genapnm =−
54
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−== ∫ ∫∫
− −−
2/
2/
2/
2/2
2/
2/2 ])cos[(])cos[(2coscos4 π
π
π
π
π
πmn θdθθnmθdθθnm
πaeθdθθnθm
πaeM
0)(
])cos[(0
])sin[(])sin[(])cos[(
2/
2/2
2/
2/
2/
2/
2/
2/
=±
±+=
±±
−±±
=±
−
−−−∫∫
π
π
π
π
π
π
π
π
nmθnm
θdnmθnm
nmθnmθθdθθnm
0=mnM
Periksa m=1,3,5…., n=2,4,6…. ganjilnm =−
∫−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
a
amn xdxx
aπnx
aπm
aeM
2sin
2cos1
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−+== ∫ ∫∫
− −−
2/
2/
2/
2/2
2/
2/2 ])sin[(])sin[(2sincos4 π
π
π
π
π
πmn θdθθnmθdθθnm
πaeθdθθnθm
πaeM
2
2/
2/2
2/
2/
2/
2/
2/
2/
)(2
)(])sin[(0
])cos[(])cos[(])sin[(
nmnmθnm
θdnmθnm
nmθnmθθdθθnm
π
π
π
π
π
π
π
π
±=
±±
+=
±±
+±±
−=±
−
−−−∫∫
55
ganjilnmnmnmπ
aeM mn =±≠⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+
= ;0)(
1)(
14222
ψ1
ψ2
ψ3
ψ4
ψ5
ψ6
Transisi dari keadaan dasar ψ1 ke keadaan lebih tinggi
Contoh:
Periksalah momen transisi antara dua keadaan suatu osilator.
2/1
221
!21;)()(π
ψn
NezHNz nnz
nnn ==−
dxxψxxψeM nmmn )()(∫∞
∞−
= dzzψzzψωm
eM nmmn )()(∫∞
∞−
=h
56
)(2
)(2
1)( 11 zψnzψnzψz nnn −+ ++
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+= −
∞
∞−+
∞
∞−∫∫ dzzψzψndzzψzψn
ωmeM nmnm
emn )()(
2)()(
21
11h
ωmneMnmjikadzzψzψ
ωmneMnmjikadzzψzψ
ennnm
ennnm
211)()(
2)1(11)()(
,11
,11
h
h
=→−==
+=→+==
−−
∞
∞−
++
∞
∞−
∫
∫
Jelas, aturan seleksi adalah ⏐m-n⏐=1
dxxxx nm )()( ψψ∫∞
∞−
Dari contoh di atas jelas bahwa punya harga jika ⏐m-n⏐=1.
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=00
000
~
21
1210
01
xxx
xx
57
BAB 4MOMENTUM SUDUT ELEKTRON TUNGGAL
4.1 Operator Momentum SudutDalam mekanika klasik, momentum sudut suatu partikel merupakan perkalian vektorposisi dan vektor momentum,
Komponen-komponennya merupakan operator-operator dari partikel tersebut:
prL rrrx=
xyzzxyyzx pypxLpxpzLpzpyL ˆˆˆˆˆ;ˆˆˆˆˆ;ˆˆˆˆˆ −=−=−=
)(ˆ);(ˆ);(ˆx
yy
xiLz
xx
ziLy
zz
yiL zyx ∂∂
−∂∂
−=∂∂
−∂∂
−=∂∂
−∂∂
−= hhh
Selain itu, momentum kuadrat adalah operator juga:
2222 ˆˆˆˆzyx LLLL ++=
Dalam koordinat bola berlaku hubungan berikut:
θϕθϕθ cos,sinsin,cossin rzryrx ===
xyφtg
zyxzθzyxr =
++=++= ;cos;
222
2222
r
ϕ
θ
yx
z
58
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−=
∂∂
−=
∂∂
−∂∂
−=
∂∂
+∂∂
=
2
2
222
sin1sin
sin1ˆ
ˆ
)sin(cosˆ
)cos(sinˆ
ϕθθθ
θθ
ϕ
ϕϕθ
θϕ
ϕϕθ
θϕ
h
h
h
h
L
iL
ctgiL
ctgiL
z
y
x
yxzxzyzyx LiLLLiLLLiLL ˆ]ˆ,ˆ[;ˆ]ˆ,ˆ[;ˆ]ˆ,ˆ[ hhh ===
.,,,0]ˆ,ˆ[ 2 zyxjLL j ==
±± ±= LLLz ˆ]ˆ,ˆ[ h
zLLL ˆ2]ˆ,ˆ[ h=−+
Komutator-komutator:
yx LiLL ˆˆˆ ±=±
Buktikan sendiri !!
Buktikan sendiri !!
59
4.2 Komponen-zHarga eigen dan fungsi eigen operator dapat ditetapkan sebagai berikut. Misalkan Φ(ϕ) adalah fungsi eigen bersangkutan dengan harga eigen Lz sehingga:
zL
Φ=Φ zz LL
operatorharga eigen
Φ=∂Φ∂
− zLiϕ
hˆφ
iLz ∂∂
−= h )/exp( hϕziL∝Φ
)2()( πϕϕ +Φ=ΦKarena
)/2(exp)/exp(]/)2([exp)/(exp hhhh zzzz LπiφiLπφiLφiL =+=
maka
1)/2(sin)/2(cos)/2(exp =+= hhh zzz LπiLπLπi
.....,4,2,02 πππ±±=zL
hJadi: .....,2,1,0; ±±== llh mmLz
)exp(21 ϕπ ll
imm =Φ adalah faktor normalisasiπ2/1
Lz sebagai komponen momentum sudut pada sumbu-z ternyata merupakan besaran yang diskrit atau terkuantisasi. Dalam eksperimen, sumbu-z dinyatakan sebagai sumbu di manaarah medan magnet statik ditetapkan. Oleh sebab itu ml disebut bilangan kuantummagnetik.
60
4.3 Momentum Sudut TotalHarga eigen dan fungsi eigen operator ditentukan sebagai berikut. AndaikanY(θ,ϕ) adalah fungsi eigen dengan harga eigennya L2:
2L
),(),(ˆ 22 θϕθϕ YLYL =
YLY 22
2
22
sin1sin
sin1
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−ϕθθ
θθθ
h
2
2
2
22
2
22 sincossinsin
ϕθ
θθθ
θθ
∂∂
−=+∂∂
+∂∂ YYLYY
h
Untuk pemisahan variable misalkan )()(),( ϕθϕθ Φ= PY
22
2
2
22
2
22 1sincossinsin1
lh
mPLPPP
=∂
Φ∂Φ
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
+∂∂
ϕθ
θθθ
θθ
Persamaan ini identik dengan persamaan Legendre terasosiasi dengan:
0sin2
2
2
2
2
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂∂
+∂∂ P
mLPctgPθθ
θθ
l
h
PmPLPP 22
22
2
22 sincossinsin l
h=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
+∂∂ θ
θθθ
θθ
llllh mL ≥+= );1(22
61
ℓ adalah bilangan bulat positif 0, 1, 2, …..; bilangan ini disebut bilangan kuantum orbital.Untuk suatu harga ℓ ada (2 ℓ +1) buah harga mℓ, yakni mℓ = -ℓ , -(ℓ -1),...,-1, 0, 1,..., (ℓ-1), ℓ. Lz=mℓħ adalah hasil proyeksi L pada sumbu-z..
z
mℓ=-1
mℓ=1
mℓ=0
Lz=ħ
Lz=-ħ
Lz=02h=L
Akhirnya, diperoleh fungsi eigen bagi operator: 2L
)()()!()!(
212),(),(
2/1
ϕθϕθϕθl
l
l ll
ll l
llm
mm P
mm
YY Φ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+
=≡
yang biasa disebut fungsi harmonik bola (spherical harmonics).
llll llll ''''0
2
0
* sin)( mmmm ddYY δδϕθθπ π
=∫ ∫Sifat ortogonalitas:
( ) θwwdwdwwP
mm
mm cos;1)1(
!2)1()( 22 2
1=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
−=
+l
l
ll
l
l
l
l
l
θθP
θθP
θPo
oo
sin)(
cos)(
;1)(
11
1
−=
−=
=
222
12
221
2
)cos1(3)(;sincos3)(
);1cos3()(
θθθθθ
θθ
−==
−=
PP
Po
62
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−+
+−
−
+= +− lll l
ll
ll
l
l
l
l
lmmm Y
mY
mYθ ,1
22
,1
22
32)1(
12121cos.2
⎥⎥⎦
⎤
++±+±
−
⎢⎢⎣
⎡
−−
+=
±+
±−±
1,1
1,1
32)1)(2(
12)1)((
121sin.3
l
ll
lll
lll
l
l
ll
l
mlml
lm
m
mmi
Ymm
Ymm
Ye ϕθ
Tiga sifat penting dari fungsi ini adalah
ϕθπ
θ
θπ
θ
πθ
ieY
Y
Y
±± −=
=
=
sin83)(
;cos43)(
;41)(
11
10
00
ϕ
ϕ
θπ
θ
θπ
θ
θπ
θ
i
i
eY
eY
Y
2222
12
220
sin3215)(
2sin3215)(
);1cos3(16
5)(
±±
±±
=
−=
−=
Beberapa contoh fungsi harmonik bola adalah
llll llll ''''0
2
0
* sin)(.1 mmm
π π
m δδφdθdθYY =∫ ∫
63
Dengan fungsi dan harga eigen seperti di atas, persamaan harga eigen adalah:
),......1(,;ˆ,....2,1,0;)1(ˆ 22
−±±==
=+=
llh
lllh
llll
ll
ll
ll
mYmYL
YYL
mmz
mm
Persamaan-persamaan di atas menunjukkan kuantisasi momentum sudut.
Orbital-orbital elektron dibentuk dari fungsi-fungsi Yℓ mℓ dalam bentuk ril.
ooYs ≡= ;0l
ϕθπ
ϕθπ
sinsin43)(
2
cossin43)(
21
;1
1111
1111
1
=−≡
=+−
≡
≡=
−
−
YYip
YYp
Yp
y
x
ozl
ϕθπ
ϕθπ
ϕθθπ
ϕθθπ
222222
222222
1221
1221
20
sinsin1615)(
2
cossin1615)(
21
sincossin415)(
2
coscossin415)(
21
2
22
2
=−−
≡
=+≡
=−≡
=+−≡
≡=
−
−−
−
−
YYid
YYd
YYid
YYd
Yd
xy
yx
yz
xz
zl
64
s pz
yx
y
z
x
y
z
x
z
x
y
z
x
y
zz
yx x
y
z
x
y
z
x
y
z
px py
dz2 dxy dyz dx2-y2 dxy
s untuk ℓ =0,
p untuk ℓ =1
d untuk ℓ =2
Dalam pembentukan molekul dari beberapa atom, ikatan antar atom berlangsungmelalui orbital-orbital tersebut di atas.
65
4.4 Operator TanggaSehubungan dengan operator ±L akan dikemukakan karakteristik operasinya terhadapfungsi harmonik bola ., ll mY
±± ±= LLLz ˆ]ˆ,ˆ[ h
lll llll hh mmzmz YLmYLLLYLL ++++ +=+= ˆ)1()ˆˆˆ(ˆˆ
111ˆ)ˆˆˆ(ˆˆ
+−+−−+− =−=lll llll hh mmzmz YLmYLLLYLL
llmYL+ˆ adalah fungsi eigen dari zL dengan harga eigen (mℓ+1)ħ. Demikian pula
1,ˆ
+− ll mYL adalah fungsi eigen dengan harga eigen mℓħ.
1ˆ
++ =ll ll mm YCYLAndaikan
ll ll mm YCYL =+− 1ˆ
lll lll mmm YCYLCYLL 21
ˆˆˆ == +−+−
dan
lll lllll hllhh mmzzm YmmYLLLYLL ])1()1([)ˆˆˆ(ˆˆ 2222 +−+=−−=+−Tapi
66
)1()1( +−+= llllh mmC 1)1()1(ˆ++ +−+=
ll llll llh mm YmmYL
1)1()1(ˆ−− −−+=
ll llll llh mm YmmYL
Kedua persamaan di atas bukan persamaan harga eigen, karena operator-operator itumenggeser bilangan kuantum mℓ.
Operator +L menambah bilangan kuantum mℓ menjadi mℓ+1, sedangkan −Lmenguranginya dari m menjadi mℓ-1. Oleh sebab itu, kedua operator itu disebutsebagai operator tangga (step operator).
Dengan cara yang sama diperoleh
67
Tentukanlah matriks L+ untuk l=1
( ) 1,',*
',,' )1()1(sinˆ~+++ +−+== ∫ llllll llll llh mmmmmm mmddYLYL δϕθθ
01'10'
)adatidak(21'1,0,1',1
=→=−=→=
−=→−=−=→=
ll
ll
ll
lll
mmmm
mmmm
( )( ) 2
2
0,1)1(
1,0)1(
h
h
=→
=→
+
−+
L
L
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
020
002
000
h
h
-1 0 1-1
0
1
=+)1(~L
68
BAB 5ATOM HIDROGEN DAN SEJENISNYA
r
-e
+Ze
Hamiltonian (operator energi) elektron adalah
Misalkan ψ(r,θ,ϕ) adalah fungsi gelombangnya, maka persamaan Schrödinger untuk elektron adalah:
5.1 Atom Hidrogen dan Sejenisnya
rZe
mH
oe πε42ˆ
22
2
−∇−=h
04
2 2
22 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++∇ ψ
πεψ
rZeEm
o
e
h
Karena potensial ini bersifat sentral maka perlu dilakukan transformasi kekoordinat bola, yakni
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
≡∇ 2
2
2222
2
22
22
sin112
ϕθθθ
θ rrctg
rrrr
69
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
−= 2
2
22
222
sin1ˆ
ϕθθθ
θctgL hTetapi,
sehingga
02
ˆ
422
2
22
22
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++
∂∂
+∂∂ ψ
πεψψ
rmL
rZeE
mrrr eo
e
h
Misalkan ψ(r,ϕ,θ)= R(r)Y(ϕ,θ) dimana mYY l=),( θϕ
02
)1(4
222
22
22
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−++
∂∂
+∂∂ R
rmrZeE
mrR
rrR
eo
e llh
h πε
2
22
2)1(
4 rmrZeV
eoeff
++−=
llh
πεMerupakan potensial efektif yang dimiliki elektron, yaknipenjumlahan potensial Coulomb dan kinetik rotasi. Jelasterlihat, bahwa elektron mengalami sejenis sumur potensialdengan dinding. Jadi, elektron itu terikat dalam medan intisehingga energinya diskrit.
r
rZe
oπε4
2
−
2
2
2)1(
rme
+llh
70
Misalkan oh Aem
aEa
eZnrnaZ
e
oo
ooo
53,04;8
;22
2222 ====
πεπε
ρ
maka0)1(
412
22
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−−++ Rn
ddR
dRd
ρρρρρll
Misalkan solusinya,
[ ] 0)]1()1()1[()1(22
2
=+−++−−+−++ LLLllsssn
dds
dd
ρρ
ρρ
2/)()( ρρρρ −= eR s L
Agar memberikan solusi yang baik dipilih s(s+1)-l (l +1)=0 atau s= l , sehingga
[ ] 0)1()1(22
2
=−−+−++ LLL
ll ndd
dd
ρρ
ρρ
Persamaan ini dikenal sebagai persamaan diferensial Laguerre terasosiasi, yang solusinya merupakan polinom-polinom:
71
dimana n dan adalah bilangan-bilangan bulat positif yang harus memenuhisyarat:
.....,3,2,1);1( =+≥ nn l
);()(
12,);()1()(
ρρ ρρ
ρ
ρρ
ρ
−=
+=+=−=
edde
qnpdd
pp
p
p
pq
qqq
p
L
LL ll
Syarat ini menunjukkan bahwa untuk suatu harga n ada n buah harga l .
Laguerre terasosiasi
Laguerre
72
.120)(;2,3
),4(24)(;1,3
)66(3)(;0,3
,18)(;1,2
),2(2)(;0,2
,1)(;0,1
2
===
−===
+−===
===
−===
===
ρ
ρρ
ρρρ
ρ
ρρ
ρ
55
34
13
33
12
11
L
L
L
L
L
L
l
l
l
l
l
l
n
n
n
n
n
n
( )
12,!
)!(12)()( ''0
1
+=+=
+++=∫
∞−+
ll qnppqpqpde pp
qp
qp
q δρρρρ ρ LL
Syarat ortogonalitas:
73
'
312
'0
1222
)!1(])![(2)()( nnnn n
nnde δρρρρ ρ
−−+
=++
∞+
+−+∫ l
lll
ll
l LL
)()( 122/ ρρρ ρ ++
−= ll
lll nnn eNR L
'0
212'
122'
'2
'0
)()(
)()(
nnnnnn
nnnn
deNN
dRR
δρρρρρ
δρρρρ
ρ =
=
∫
∫∞
++
++
−
∞
ll
ll
lll
ll
LL
Sifat ortonormal dari R:
3
32
])![(2)!1(1
)!1(])
74
)()( 122/ ρρρ ρ ++
−= ll
lll nnn eNR L 3])![(2
)!1(l
ll +
−−=
nnnNn
Akhirnya diperoleh:
)(2)( 12 ρ++
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= l
ll
l
ll nonaZr
onn ernaZNrR L
;
3
2/3
])
75
)6,13(8 2
2
2
22
eVnZ
naeZEoo
n −=−=πε
Energi keadaan:
Untuk atom hidrogen di mana Z=1, rumusan ini sama dengan postulat Bohr.
Bilangan n disebut bilangan kuantum utama. Untuk suatu harga n ada n buahharga ℓ, yakni ℓ=n-1, n-2,….,0.
nnL )1()1( 222 −=+= hllh Untuk n>>: hnL =
Ini sesuai dengan Bohr; jadi postulat Bohr berlaku hanya untuk n>>
76
Fungsi gelombang lengkap dari elektron: ),()(),,( ϕθϕθψll lll mnmn YrRr =
;2241
;1
2/2/3
200
/2/3
100
o
o
aZr
oo
aZr
o
eaZr
aZ
eaZ
−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
πψ
πψ
;sin8
1
;cos241
2/2/3
121
2/2/3
210
ϕθπ
ψ
θπ
ψ
iaZr
oo
aZr
oo
eeaZr
aZ
eaZr
aZ
o
o
±−±
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
;2241
;1
2/2/3
2002
/2/3
1001
o
o
aZr
oos
aZr
os
eaZr
aZ
eaZ
−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=≡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=≡
πψψ
πψψ
.sinsin241
;cossin241
;cos241
2/2/3
2
2/2/3
2
2/2/3
2102
ϕθπ
ψ
ϕθπ
ψ
θπ
ψψ
o
o
o
aZr
oopy
aZr
oopx
aZr
oopz
eaZr
aZ
eaZr
aZ
eaZr
aZ
−
−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
Untuk hidrogen Z=1.
s
pz
yx
y
z
x
y
z
x
z
x
y
z
px py
Disebut orbital atom
77
Jadi keadaan suatu elektron dapat dikarakterisasikan oleh tiga bilangankuantum n, ℓ dan mℓ..
Selanjutnya, dengan fungsi-fungsi tersebut di atas, harga rata-rata besaran fisis elektron dapat ditentukan melalui persamaan berikut:
dvAA mnmnav ll ll ψψ ˆ*∫=
πϕπθϕθθ 20;0;0;sin2 ≤≤≤≤∞≤≤= rdddrrdv
oar
osssav adddrrre
advrr o /1sin)/1(11)/1()/1(
0
2
0
2
0
/23
1*11, =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== ∫ ∫∫∫
∞−
π π
ϕθθπ
ψψ
Contoh:
23
2!3
4414
433
0
/231
*11,
ooo
arosssav
aaadrreadvrr o ==== −
∞−− ∫∫ π
πψψ
Jelas bahwa (1/r)av≠1/rav.
78
Dalam teori relativitas khusus energi suatu elektron yang bergerak denganmomentum p dan memiliki energi potensial V dituliskan seperti:
2222 cmVpcmcE ee −++=
5.2 Efek Relativitas
Jika momentum p << mec, ekspansi sebagai berikut dapat dilakukan:
..............82
...............82 23
42
23
42
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=++−=
cmpV
mpV
cmp
mpE
eeee
energi total dalampendekatan non-relativistik
koreksi relativistikorder-1
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−=Δ
eeeec m
pmp
cmcmpE
2221
8
22
223
4
EcvvmE
cm ee
2
2
412
21
2 ))((2
1=−−
Untuk (v/c)2 =10-5 maka ΔEc= 10-5E
79
Dalam fisika kuantum, koreksi harus dihitung secara rata-rata. Hargarata-rata misalnya pada keadaan adalah:
llmnψ
dvpcm
pcm
E mnmne
ave
c*4*
234
23 81)(
81
ll ll ψψ∫−=−=Δ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=Δ21
2 143
lnnE
E nc
α
1371
4
2
≈=c
e
ohπεα
Parameter α disebut konstanta struktur halus (fine structure), dan ⎟En⎟ adalah harga absolut energi elektron.
Terlihat bahwa energi koreksi itu bergantung pada bilangan kuantum n dan ℓ. Jadi, jika efek relativitas diperhitungkan, maka koreksi energi akan memisahkanfungsi-fungsi yang terdegenerasi.
80
5.3 Probabilitas TransisiProbabilitas transisi sebanding dengan kuadrat transisi momen dipol:
dvzeM fizif ∫= ψψ *)(
dvzeM mnmnzif ∫=
ll ll '''*)( ψψ
Misalnya,
Mengingat z=r cos θ, maka
ϕθθθϕθϕθ dddrrYrRYrRM mnmnzif sincos)],()()][,()([ 3
''')(
'll llll∫=
∫
∫
×
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= +
++
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−∞
ϕθθϕθθ ddYY
drrrreanZr
naZrNNM
mm
nnna
Zr
oonn
zif
o
sin),(cos
)()('
22
''
31'2'n'
12'11
0
'
'')(
ll ll
ll
ll
ll
ll LL
Integral di atas mempunyai harga tidak sama dengan nol jika ℓ’=ℓ±1, mℓ’ =mℓ.
1,01
.......,2,1,0
±=Δ±=Δ
=Δ
l
l
m
n
81
dvxeM mnmnxif ∫=
ll ll '''*)( ψψ
x=r sin θ cos ϕ= ½ r sin θ (eiϕ+e-iϕ),
1'1'2
1'1'11'1'21'1'1'' sin),(cossin'
−+
−−−++−
+
++=∫
ll
llllllll
ll
llllllll
mm
mmmmmmmm ddYY
δδβ
δδβδδαδδαϕθθϕθϕθ
Integral mempunyai harga jika ℓ’=ℓ±1, mℓ’=mℓ±1.
Hal yang sama akan diperoleh untuk
dengan y=r sin θ sin ϕ= (-½ i) r sin θ (eiϕ-e-iϕ).
)(yifM
Secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa syarat transisi adalah:
1,01
.......,2,1,0
±=Δ±=Δ
=Δ
l
l
m
n
82
5.4 Efek Zeeman; Spin Elektron
r-e
v
Elektron yang bergerak mengitari inti dengan jari-jari r dankecepatan v, menimbulkan arus listrik: revI π2/=
Arus listrik itu menginduksikan momen magnet:
evrrI 212 == πμ
Momentum sudut elektron: vmrL e=
Jadi, hubunganantara momen magnet dan momentum sudut: Lme
e2=μ
Dalam bentuk vektor:
LLme e
eL
r
hh
rhr β
μ −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2
βe=9,2732x10-24 joule/tesla disebut magnetonBohr elektron.
-e
L
μL
r
83
zee
LB
Bo
LB
BLBH
HHH
ˆ..ˆ
ˆˆˆ
h
rr
h
rr ββμ ==−=
+=
Total Hamiltonian elektron di dalam medan magnet B (pada sb-z):
oH = Hamiltonian elektron tanpa medan magnet
= Hamiltonian elektron dalam medan magnet
lll lll mnBmnomn HHH ψψψ ˆˆˆ +=
Dengan fungsi keadaan elektronllmnψ
lll llllh
mnenmnze
mnn BmELB
E ψβψβ
ψ )(ˆ +=+=
adalah pergeseran energi sebagai dampak kehadiran medan B.
U
zLrB
r
-e
S
Lμr
lBmeβ
Pergeseran ini disebut efek Zeeman.
84
ψ100
ψ200,ψ210, ψ211, ψ21-1
B≠0
ψ210
E1ψ100
ψ211
ψ21-1
B=0
E2
Contoh,
untuk l=0, ml =0
Untuk l=1, ml =-1,0,1
BE eβ+2
BE eβ−2
E1
1,01
.......,2,1,0
±=Δ±=Δ
=Δ
l
l
m
n
ψ200 E2
Transisi:Pada B=0 teramati satu transisi saja;
Pada B≠0 termati empat transisi.
berdegenerasi-4
85
Spin elektronPengamatan lebih teliti terhadap beberapa garis spektra menunjukkangaris-garis itu sebenarnya tidak tunggal tetapi doblet.
Karena kecilnya pecahan doblet itu, G.E.Uhlenbeck dan S.Goudsmit(1926) menyatakan bahwa elektron sendiri memiliki momentum sudutintrinsik yang disebut spin.
Spin memiliki bilangan kuantum s=½, sehingga bilangan kuantummagnetiknya ms=½, -½.
Operator-operator spin adalah
α β−+ SSSSz ˆdanˆ,ˆ,ˆ 2
dengan fungsi spin dan dengan operasi:
;ˆ
;ˆ
24
32
21
21
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
⎪⎩
⎪⎨⎧
β
α
β
α
β
α
β
α
h
h
h
S
Sz
⎩⎨⎧
=⎪⎩
⎪⎨⎧
⎩⎨⎧
=⎪⎩
⎪⎨⎧
−
+
0ˆ
0ˆ
ββ
α
αβ
α
h
h
S
S
86
Karena spin adalah momentum sudut juga, maka terhadap momentum sudut spin harus ditambahkan terhadap momentum sudut :L
r
SLJrrr
+= Momentum sudut total
Bilangan kuantum bagi momentum sudut total adalah sj ±= l
25
23
23
21
21
,,2,,1
,0
======
jjj
l
l
l
.....),........1(, −±±= jjm j
25
23
21
21
23
25
25
23
21
21
23
23
21
21
21
,,,,,
,,,
,
−−−=→=
−−=→=
−=→=
j
j
j
mj
mj
mj
Bilangan kuantum magnetiknya:
87
Momen magnet spin tak dapat diturunkan sebagaimana momen magnet orbital; sebagai analogi
Sg se
Sr
h
r βμ −=
gs = 2,0024 untuk elektron bebas.
Momen magnet total adalah
)( SgL se
SLJrr
h
rrr+−=+=
βμμμ
)()2( SJSL eeJ
rr
h
rr
h
r+−=+−≈
ββμ
>< Jμr
Jμr
Lμr
Lr
Sr
Sμr
Jr
Jg
JJ
JSJJJ
JJ
Je
eJJ
r
h
rrrr
h
rrrr
β
βμμ
−=
+−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛>=< 2
).(.
)1(2)1()1()1(1).(
2 ++−+++
+=+
=jjssjj
JJSJgJ
llrrr
88
zJe
JB
JBg
BH
ˆ
.ˆ
h
rr
βμ
=
><−=
Karena maka fungsi-fungsi eigen dari operator adalahzzz SLJ ˆˆˆ += zJ
ss smmsmm YY χll ll ≡
⎪⎩
⎪⎨⎧
=β
αχ
ssm
ss smmjsmmz YmYJll ll h≡ˆ
sj mmm += l
Fungsi harus dilengkapi dengan bilangan kuantum spin menjadi . llmnψ
ssmmn llψ
s
ss
sss
smmnjJen
smmnzJe
smmnn
smmnBsmmnosmmn
BmgE
JgB
E
HHH
l
ll
lll
l
ll
lll
h
ψβ
ψβ
ψ
ψψψ
)(
ˆ
ˆˆˆ
+=
+=
+=
89
ψ100½-½
ψ210½-½ ψ200½-½
ψ21-1½-½
ψ211½-½
E2
ψ100
ψ200,ψ210, ψ211, ψ21-1
B≠0
ψ210½½ ψ200½½
E1
ψ100½½
ψ21-1½½
B=0
ψ211½½
90
BAB 6
TEORI GANGGUAN TAK BERGANTUNG WAKTUDalam banyak masalah meskipun Hamiltonian sistem sudah diketahui, persamaan itu tidak bisa diselesaikan, misalnya karena adanya interaksielektron-elektron atau karena adanya medan luar. Untuk masalah seperti ituharus digunakan teori gangguan.
6.1 Gangguan pada Sistem Tak Berdegenerasi
Andaikan pada awalnya sistem memiliki Hamiltonian dengan fungsi-fungsi eigen ortonormal yang telah diketahui:
)0(H{ })0(
nψ
)0()0()0(*)0(
)0()0()0()0(
;
ˆ
mnmnmn
nnn
EEdv
EH
≠=
=
∫ δψψ
ψψ
Sistem nondegenerate
91
Misalkan Hamiltonian sistem mendapat tambahan, misalnya <<G
GHH ˆˆˆ )0( γ+= γ=1
{ }nψMisalkanlah fungsi-fungsi eigen dari hamiltonian total H adalah
nnnn EGHH ψψγψ =+= )ˆˆ(ˆ )0(
)0(H
Karena gangguan cukup kecil, maka gangguan itu hanya akanmenimbulkan sedikit perubahan dari menjadi dan menjadiEn. Untuk memperoleh koreksi dapat dilakukan ekspansi sebagaiberikut:
)0(nE
)0(nψ nψ
)(
1
)0(
)(
1
)0(
mn
m
mnn
mn
m
mnn
EE εγ
φγψψ
∑
∑
=
=
+=
+=superskript (m) menyatakan order koreksiatau tingkat ketelitian
92
Setiap φ(m) dan setiap ε(m) tidak bergantung pada γ, dan setiap φ(m) dipilihorthogonal terhadap . Substitusi persamaan (6.4) ke persamaan (6.3) menghasilkan:
)0(nψ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+ ∑∑∑∑
====
)(
1
)0()(
1
)0()(
1
)0()(
1
)0()0( ˆ mn
m
mn
mn
m
mn
mn
m
mn
mn
m
mn EGH φγψεγφγψγφγψ
( ) 0)0()0()0( 0ˆ.1 γψ =− nnEH
( ) 1)0()1()0()1()0()0( ˆˆ.2 γψεψφ nnnnn GEH +−=−
( ) 2)1()1()0()2()1()2()0()0( ˆˆ.3 γφεψεφφ nnnnnnn GEH ++−=−
( ) 3)2()1()1()2()0()3()2()3()0()0( .ˆˆ.4 γφεφεψεφφ nnnnnnnnn GEH +++−=−
nnnn EGHH ψψγψ =+= )ˆˆ(ˆ )0(
Samakan kiri dan kanan bagi yang berkoefisien γn yang sama
93
( ){ }nnnnn
nnnnnn
nnnnnnnn
GdvG
GdvEH
dvdvGdvEH
==
+−=−
+−=−
∫∫
∫∫∫
)0()0()1(
)1()1(*)0()0()0(
)0()0()1()0()0()1()0()0(*)0(
ˆ
ˆ][.2
ψψε
εφψ
ψψεψψφψ
ditentukanharus)(
)0()1(nm
nmmnmn cc →= ∑
≠
ψφMisalkan:
( ) )0()1()0()0()0()0( ˆˆ.2 nnnnm
mnnm GEHc ψεψψ +−=−∑≠
( )
( ) ∫∫∫∑
∑
+−=−
+−=−
≠
≠
dvdvGdvEEc
GEEc
nknnkmknmnmnm
nnnmnmnmnm
)0(*)0()1()0(*)0()0(*)0()0()0(
)0()1()0()0()0()0(
ˆ
ˆ
ψψεψψψψ
ψεψψ
Koreksi order-1
Koreksi order-1 bagi En(o)
94
Fihak kiri mempunyai harga jika m=k, sedangkan suku kedua sebelah kanansama dengan nol karena k≠n.
knnknkmnmnm
nm GEEc δεδ )1()0()0(
)(][ +−=−∑
≠
( ) )0()0()0()0(
kn
knnkknnknk EE
GcGEEc−
=→−=−
)0(
)()0()0(
)1(k
nk kn
knn EE
G ψφ ∑≠ −
=
Terlihat, aproksimasi ini tidak berlaku jika
(sistem berdegenarasi).
)0()0(nk EE =
Koreksi order-1 bagiψn
(o)
95
Koreksi order-2
( ) dvdvdvGdvEH nnnnnnnnnnn)1(*)0()1()0(*)0()2()1(*)0()2()0()0(*)0( ˆˆ.3 φψεψψεφψφψ ∫∫∫∫ ++−=−
{ }
∑∑
∑ ∫
∫∑∫
≠≠
≠
≠
−=→+−=
+
+−=−
)()0()0(
)2()2(
)(
)(
)0(*)0()1(
)2()0(*)0(
)(
)2(*)0()0()0(
0
ˆ][
nm mn
mnnmnnnm
nmnm
nmmnnmn
nmnnmnmnnnn
EEGGGc
dvc
dvGcdvEE
εε
ψψε
εψψφψ
)0()0(kn
knnk EE
Gc−
=
Koreksiorder-2 bagiψn
(o)
96
∑≠
=)(
)0()2(
nmmnmn a ψφMisalkan
( ) )1()1()0()2()1()0()0()0(
)(
ˆˆ.3 nnnnnmnnmnm GEHa φεψεφψ ++−=−∑
≠
( )τφψετψψε
τφψτψψ
dd
dGdEHa
nlnnln
nlmnlnmnm
)1(*)0()1()0(*)0()2(
)1(*)0()0()0()0(*)0(
)(
ˆˆ
∫∫
∫∫∑
++
−=−≠
lmnmnmnlm
nmnmlmnl
nmnm cGcEEa δεδ ∑∑∑
≠≠≠
+−=−)(
)1(
)(
)0()0(
)()(
∑
∑
≠
≠
−+
−−=
+−=−
)()0()0()0()0(
)(
)1()0()0( )(
nm ln
nlnn
mn
lmmn
nmnlnlmnmnlnl
EEGG
EEGG
cGcEEa ε
anm harus ditentukan
97
2)0()0()0()0()0()0( )())(( ln
nlnn
nm lnmn
lmmnnl EE
GGEEEE
GGa
−−
−−= ∑
≠
∑ ∑≠ ≠ ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
−−
−−=
)(
)0(2)0()0()0()0()0()0(
)2(
)())((nll
ln
nlnn
nm lnmn
lmmnn EE
GGEEEE
GG ψφ
)2()1()0(
)2()1()0(
nnnn
nnnn
EE εε
φφψψ
++=
++=
Fungsi gelombang dan energi sistem terganggu:
98
6.2 Efek Stark
Pengaruh medan listrik statik terhadap tingkat-tingkat energi suatu atom disebut efek Stark.
Atom hidrogen ditempatkan dalam medan listrik statis F yang diandaikansejajar sumbu-z. Interaksi elektron dengan medan itu adalah:
θcos. eFrFreG ==rr
)0(1EKoreksi order-1 bagi
dvreF ss 11)1(
1 cos ψθψε ∫=
0sincos2
00
3
0
/23
== ∫∫∫∞
−− ππ
ϕθθθπ
dddrrea
eF oaro
dvGG nnnnn)0()0()1( ˆψψε ∫==
;1 /2/31001
oaros ea −−=≡
πψψ
99
Koreksi order-1 terhadap )0(1sψ
( )[ ( )( ) ( ) ]
pzo
pzspzpyspy
pxspxssss
EEeFa
dvrdvr
dvrdvrEE
eF
2)0(2
)0(1
)0(2
)0(1
)0(2
)0(2
)0(1
)0(2
)0(2
)0(1
)0(2
)0(2
)0(1
)0(2)0(
2)0(
1
)1(1
745,0
coscos
coscos
ψ
ψψθψψψθψ
ψψθψψψθψφ
−=
++
+−
=
∫∫
∫∫
)0(
)()0()0(
)1(k
nk kn
knn EE
G ψφ ∑≠ −
= )0(1sψ
)0(2
)0(2
)0(2
)0(2 ,,, pzpypxs ψψψψ
)0(2E
)0(1E
;2241 2/2/3
2002oar
oos e
ara −−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=≡
πψψ .sinsin
241
;cossin241
;cos241
2/2/3
2
2/2/3
2
2/2/3
2102
ϕθπ
ψ
ϕθπ
ψ
θπ
ψψ
o
o
o
aZr
oopy
aZr
oopx
aZr
oopz
eaZr
aZ
eaZr
aZ
eaZr
aZ
−
−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
;1 /2/31001
oaros ea −−=≡
πψψ
)1(1
)0(1 ss φψ +
100
Koreksi order-2 terhadap )0(1E
[ ]{ [ ][ ] [ ] }2)0(
2)0(
1
2)0(2
)0(1
2)0(2
)0(1
2)0(2
)0(1)(
2)0(
1
22)2(
1
coscos
coscos
∫∫
∫∫
++
+−
=
dvrdvr
dvrdvrEEFe
pzspys
pxssso
θψψθψψ
θψψθψψε
∑∑≠≠ −
=−
=)(
)0()0(
2
)()0()0(
)2(
nm mn
nm
nm mn
mnnmn EE
GEEGGε
2)(
2)0(
1
22)2(
1 )745,0( oo aEEFe−
=ε
Maka energi yang terkoreksi adalah: 2)0(
1)0(
2
22)0(
11)745,0( FEEeaEE o
−−=
Fungsi terkoreksi hingga order-1 adalah )0(2)0(
1)0(
2
)0(11
745,0pz
oss EE
eFaψψψ
−−=
101
)0(1sψ
)0(2
)0(2
)0(2
)0(2 ,,, pzpypxs ψψψψ
)0(2E
)0(1E
)1(1
)0(11 sss φψψ +=
)2(1
)0(11 ε+= EE
G=0 G=erF cosθ
Harap dihitung sendiri
102
6.4 Gangguan pada Sistem Berdegenerasi
nmmn HdH =∫ τφφ ˆ*
nmmn Sd =∫ τφφ *
∑=
=N
nnnc
1φψ
Misalkanlah adalah hamiltonian sistem yang terganggu.
Nyatakan suatu fungsi gelombang ψ dari sebagai kombinasi linier darifungsi-fungsi yang belum terganggu {φn}.
H
Untuk sistem yang mengandung fungsi-fungsi berdegenerasi, gangguanharus diselesaikan dengan metoda variasi sebagai berikut.
H
di mana kita dapat menghitung:
103
Misalkan E energi sistem, sehingga:
∫∫=
dv
dvHE
ψψ
ψψ*
* ˆ
Untuk memperoleh energi E minimum, variasi terhadap semua koefisienc harus nol; misalnya turunan terhadap ck:
0=∂∂
kcE
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=+ ∑∑∑∑
≠≠nmm
mnnnn
nn
mnnmmnnn
nn SccScEHccHc *2*2
Hasilnya:
∑ ∑≠ ≠
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=+
kn knnknkkknknkkk ScScEHcHc
104
( ) ( ) 0=−+− ∑≠kn
nknknkkkkk ESHcESHc
( ) 0=−∑n
nknkn ESHc
Setelah digabubng, hasilnya
0
...
...
...................................................................................................................................................................................
...........
........................
3
2
1
332211
33333332323131
22232322222121
11131312121111
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
−−−−
−−−−−−−−
NNNNNNNNNNN
NN
NN
NN
c
ccc
ESHESHESHESH
ESHESHESHESH
ESHESHESHESHESHSHESHESH
Dalam bentuk matriks:
disebut persamaansekuler
105
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
.............................................................................................................................................................
...................
2211
2222222121
1112121111
=
−−−
−−−−−−
NNNNNNNN
NN
NN
ESHESHESH
ESHESHESHESHESHESH
disebut determinan sekuler.
Karena mempunyai order-N maka dari persamaan tersebut akan diperolehN buah harga energi: E1, E2,….,EN.
Selanjutnya, substitusi setiap harga energi Ek ke persamaan sekulermenghasilkan satu set harga-harga koefisien, yakni ck1, ck2, ….,ckN denganmana
∑=
=→N
nnknkk cE
1φψ
Normalisasi: 1,
* =∑ nmmn
kmkn Scc
106
Jika fungsi-fungsi {φn} bersifat ortonormal: ∫ = nmmn dv δφφ*
0
...
...
....................................................................................................................
..........
..........................
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−−
NNNNNN
N
N
N
c
ccc
EHHHH
HEHHH
HHEHHHHHEH
0
....................................................................................................................
..........
..........................
321
3333231
2232221
1131211
=
−
−
−−
EHHHH
HEHHH
HHEHHHHHEH
NNNNN
N
N
N
disebut determinan sekuler.
disebut persamaan sekuler
∑=
=→N
nnknkk cE
1φψ 1
,
* =∑ nmmn
kmkn cc δ
107
Kelanjutan efek Stark
θcosˆˆ )0( eFrHH +=
pypxpzs 24232221 ,,, ψφψφψφψφ ====
∫ = kllk dv δφφ
( )∫∫ +== dveFrHdvHH lklkkl φθφφφ cosˆˆ )0(
oeFaHHEHHHH
32112
)0(244332211
−======
Lain-lainnya =0.
0
)(000
0)(00
00)(3
003)(
)0(2
)0(2
)0(2
)0(2
=
−
−
−−
−−
EE
EE
EEeFa
eFaEE
o
o
Determinan sekuler
108
[ ]
)0(243
2)0(2
)0(22
)0(21
22)0(2
22)0(2
2)0(2
2)0(2
24)0(2
0)(
3,3)3()(
0)3()()(
0)()3()(
EEEEE
eFaEEeFaEEeFaEE
eFaEEEE
EEeFaEE
ooo
o
o
==→=−
+=−=→=−
=−−−
=−−−
Substitusi E1 menghasilkan c1=c2=1/√2
substitusi E2 menghasilkan c1=-c2=1/√2.
Karena E3 dan E4 sama dengan harga
asalnya maka fungsinya juga sama
dengan asalnya. py
px
pzs
pzs
244
233
22212
22211
,
),(2
1)(2
1
),(2
1)(2
1
ψφψ
ψφψ
ψψφφψ
ψψφφψ
==
==
−=−=
+=+=
109
ψ1s
ψ2s ψ2pz ψ2px ψ2py
ψ1
ψ2
ψ3, ψ4
E1=E2(0)-3eFao
E3=E4=E2(0)E2
(0)
E2=E2(0)+3eFao
E1s(0)
2)0(
1)0(
2
22)0(
11)745,0(
FEEea
EEs
oss −
−=
pzo
s EEeFa
2)0(1
)0(2
1745,0
ψψ−
−
py
px
pzs
pzs
24
23
222
221
,
),(2
1
),(2
1
ψψ
ψψ
ψψψ
ψψψ
=
=
−−=
+=
110
BAB 7TEORI GANGGUAN BERGANTUNG WAKTU
7.1 Gangguan Bergantung Waktu
),(ˆ)(ˆˆ )0( trGrHH +=
Gangguan bergantung waktu
)()(ˆ )0()0()0()0( rErH jjj ψψ =
Keadaan yang tidak terganggu (keadaan stasioner):
Hamiltonian total:
tiEjjj
j jertrtrHttr
i)0(
)(),(),(),( )0()0()0()0(
)0(
ψψψψ
=→=∂
∂h
Persamaan Schrödinger bergantung waktu:
111
Karena H bergantung waktu, maka energi menjadi tidak stasioner, sehingauntuk menentukan fungsi gelomang diperlukan cara yang berbeda denganpersamaan eigen biasa. Misalkan fungsi gelombang bagi H adalah { }),( triψ
),()],(ˆ)(ˆ[
),(ˆ),(
)0( trtrGrH
trHttr
i
i
ii
ψ
ψψ
+=
=∂
∂h
∑=k
kiki trtatr ),()(),( )0(ψψ
Selanjutnya fungsi ψi(r,t) dinyatakan sebagai kombinasi linier dari fungsi-fungsi lainnya:
Misalkan )()0( riψ adalah keadaan awal, dan karena kehadiran gangguan
∑ ∑+k
kk
ikkik trtrGtatrHta ),(),()(),(ˆ)( )0()0()0( ψψ
=∂
∂+
∂∂ ∑∑ t
trtaitrttai k
kikk
k
ik ),()(),()( )0()0( ψψ hh
112
∑∑ =∂
∂
kkikk
k
ik trtrGtatrttai ),(),()(),()( )0()0( ψψh
∑ ∫∫∑ =∂
∂
kkfikkf
k
ik dvtrtrGtrtadvdttrtrttai ),(),(),()(),(),()( )0(*)0()0(*)0( ψψψψh
Misalkan pada akhirnya, sistem berada pada ),()0( trfψ maka
∑ ∫=∂
∂
kkfik
if dvtrtrGtrtatta
i ),(),(),()()( )0(*)0( ψψh
Pada permulaan diandaikan sistem berada sepenuhnya pada keadaansehingga aii=1 dan semua aik=0.
Asumsikan, beberapa saat sejak gangguan dimulai, aii masih mendekati 1 sedangkan semua aik << aii. Jadi, suku paling penting dalam persamaan diatas adalah yang mempunyai indeks k=i, sehingga
)()0( riψ
∫=∂
∂dvtrtrGtr
itta
ifif ),(),(),(1)( )0()0( ψψ
h
113
Misalkan: )()(),( )0( trGtrG ϕ=
h
h
hh
h
h
h
/)()0(
/)()0()0(*)0(
/)0()0(/*)0(
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)(1
)()()(ˆ)(1
)()()(ˆ)(1
tEEifi
tEEiif
tiEi
tiEf
if
if
if
etGi
etdvrrGri
dvertrGeri
−
−
−
=
=
=
∫
∫
ϕ
ϕψψ
ψϕψ
∫=∂
∂dvtrtrGtr
itta
ifif ),(),(),(1)( )0()0( ψψ
h
h
h
/)(
0
)0()0(
)()0()( tEEiTo
fiifif
ifetdtiG
aTa −
∫=− ϕ
114
h
h
/)(
0
)0()0(
)()0()( tEEiTo
fiifif
ifetdtiG
aTa −
∫=− ϕ
=0
∫=T
tiofi
if dtetiG
Ta fi
0
)()( ωϕh
h
)0()0(if
fi
EE −=ω
Peluang bertransisi dari keadaan stasioner awal ke keadaanstasioner akhir
)()0( riψ)()0( rfψ
21 )(TaP ifTif =)()0( rfψ
)()0( riψ
G(r,t)
)0(fE
)0(iE
115
Gangguan oleh medan EM to ωεε cosrr
=
Interaksi medan dengan momen dipol:
tretrG o ωθμ εε cos)cos(.),(ˆ ==rr
ttrerG o ωϕθε cos)(;cos)(ˆ )0( ==
fioifoofi MedvrrreG εε ψθψ == ∫ )(cos)( )0(*)0(
tiT
fioif
fietdtiMe
Ta ωωε
cos)(0∫=
h
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
++
−=
−+
ωωωω
ωωωωεfi
Ti
fi
Tifio
fifi eeiMe 11
2
)()(
h
116
ψi
ψf
ψf
ψi(a) (b)
Dalam kasus absorpsi di sekitar ω =ωfi, suku pertama dapat diabaikan.
2
2
2
222
]2/)[(]2/)[(sin
4)(1
2
ωωωωε
−
−==
fi
fifioiffi
TTMe
taT
Ph
