1 HERLEITUNG DER ELEKTROMAGNETISCHEN WELLENGLEICHUNG AUSDEN MAXWELL-GLEICHUNGEN

1 Herleitung der elektromagnetischen Wellengleichung ausden Maxwell-Gleichungen

Als Ausgangspunkt dienen die Maxwell-Gleichungen in der differentiellen Form:

1.1 Maxwell-Gleichungen

∇ ~D = ρ (1)

∇ ~B = 0 (2)

∇× ~E = − ∂

∂t~B (3)

∇× ~H = ~j +∂

∂t~D (4)

1.2 Symmetrie der Gleichungen im Vakuum

Im Vakuum ergeben sich mit ρ = 0 und ~j = 0 neu:

∇ ~D = 0 (1∗)∇× ~H =

∂

∂t~D (4∗)

1.3 Rotation der Gleichung (3)

∇× (∇× ~E) = ∇(∇ ~E)−∇2 ~E = ∇(∇ ~E)−∆ ~E

=∇(∇ ~D)

εε0−∆ ~E = (1∗) = −∆ ~E

∇× (∇× ~E) = (3) = ∇× (− ∂

∂t~B)

= − ∂

∂t(∇× ~B) = − ∂

∂tµµ0(∇× ~H)

= (4∗) = −µµ0∂

∂t(

∂

∂t~D) = −µµ0εε0

∂2

∂2t~E

1.4 Zusammenfassung

−∆ ~E = −µµ0εε0∂2

∂2t~E

∂2

∂2t~E =

1µµ0εε0

∂2

∂2~r~E

Dies ist die bekannte Form einer Wellengleichung. Deren Losung fuhrt zu einem, sich pe-riodisch auf- bzw. abbauendem E-Feld. Mit dem B-Feld kann analog verfahren werden.Die Geschwindigkeit der Welle ist mit c =

√1

µµ0εε0abzulesen.

Marcus Bugner Dresden, 27.05.2009