Correntedi spostamentoed equazionidiMaxwellbruni/didattica/Slides/17.Lezioni-47-49.pdf ·...
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Corrente di
spostamento ed
equazioni di Maxwell
� Corrente di spostamento
� Modifica della legge di Ampere� Equazioni di Maxwell
� Onde elettromagnetiche
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Corrente di spostamento
� La legge di Ampere e` inconsistente con la legge di conservazione della carica elettrica
0B Jµµµµ∇ × =∇ × =∇ × =∇ × =� � �� � �� � �� � �
Jtρρρρ∂∂∂∂∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −
∂∂∂∂� �� �� �� �
(((( )))) 0B∇ ⋅ ∇ × =∇ ⋅ ∇ × =∇ ⋅ ∇ × =∇ ⋅ ∇ × =� � �� � �� � �� � � sempre0J∇ ⋅ =∇ ⋅ =∇ ⋅ =∇ ⋅ =
� �� �� �� �solo per correnti stazionarie
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Corrente di spostamento
� Maxwell: l’equazione di continuita` dellacarica elettrica deve valere sempre
Jtρρρρ∂∂∂∂∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −
∂∂∂∂� �� �� �� �
0 Eρ ερ ερ ερ ε= ∇ ⋅= ∇ ⋅= ∇ ⋅= ∇ ⋅� �� �� �� � (a rigore vale
nel solo casoelettrostatico)
0JEt
εεεε∇ ⋅ −∇ ⋅ −∇ ⋅ −∇ ⋅ −∂∂∂∂
==== ∂∂∂∂∇ ⋅∇ ⋅∇ ⋅∇ ⋅����
����� �� �� �� �
0 0E
Jt
εεεε ∂∂∂∂∂∂∂∂
⇒⇒⇒⇒ ∇ ⋅ + =∇ ⋅ + =∇ ⋅ + =∇ ⋅ + =
��������
����
-
Corrente di spostamento
� La corrente totale da considerare e`
0
EJ
tεεεε ∂∂∂∂
∂∂∂∂++++
��������
0S
EJ
tεεεε ∂∂∂∂≡≡≡≡
∂∂∂∂
��������
� Maxwell predisse che le variazioni neltempo di un campo elettrico , anche in assenza di correnti di conduzione , avrebbero generato un campo magnetico
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Corrente di spostamento
� Se in un punto dello spazio la corrente diconduzione e` zero, ma esiste un campo magnetico il cui rotore e` dato da
/ 0E dt∂ ≠∂ ≠∂ ≠∂ ≠����
0 0
EB
tµ εµ εµ εµ ε ∂∂∂∂∇ × =∇ × =∇ × =∇ × =
∂∂∂∂
����� �� �� �� �
-
Legge di Ampere-Maxwell
� La legge di Ampere e` modificata in
0 0
EB J
tµ εµ εµ εµ ε ∂∂∂∂∇ × = +∇ × = +∇ × = +∇ × = + ∂∂∂∂
����� � �� � �� � �� � �
non associata a moto di cariche
-
Legge di Ampere-Maxwell
� La legge di Ampere e` modificata in
0 0
EB J
tµ εµ εµ εµ ε ∂∂∂∂∇ × = +∇ × = +∇ × = +∇ × = + ∂∂∂∂
����� � �� � �� � �� � �
� 1887: Hertz compie esperimenti che dimostranol’esistenza di onde elettromagnetiche, previste dallenuove equazioni
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Forma integrale
0 0
EB dl J ndA
tµ εµ εµ εµ ε
∂∂∂∂⋅ = + ⋅⋅ = + ⋅⋅ = + ⋅⋅ = + ⋅ ∂∂∂∂ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
��������� �� �� �� � ����
���� (((( ))))0 si iµµµµ= += += += +
0 0 0S
Ei ndA
tµ µ εµ µ εµ µ εµ µ ε ∂∂∂∂= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅
∂∂∂∂∫∫∫∫����
����
0 0
( )Et
µ εµ εµ εµ ε ∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ====∂∂∂∂
����
170( ) /
1.1 10SE V m
it s
µµµµ −−−− ∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ⋅⋅⋅⋅∂∂∂∂
����
≃≃≃≃e` necessaria una variazione molto rapida nel tempo del campo elettrico
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Corrente di spostamento
� Durante il processo di carica si accumula la cairca dq su una armatura e viene prelevata la carica –dq dall’altra
� Le correnti corrispondenti sono i=dq/dtentrante e i=-(-dq/dt)=dq/dt uscente
� Si puo` usare la legge di Ohm, ma tra le armature non c’e` corrente di conduzione
� Il flusso della densita` di corrente attraversouna superficie che racchiude entrambe le armature e` nullo (se le derivate rispetto al tempo non sono troppo grosse) come se cifosse continuita`
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Corrente di spostamento
1( )C
dqB dl i
dtΣΣΣΣ⋅ = =⋅ = =⋅ = =⋅ = =∫∫∫∫��������
����
2 1( ) ( )C C
B dl B dlΣ ΣΣ ΣΣ ΣΣ Σ
⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫� �� �� �� �� �� �� �� �
� �� �� �� �
1 2ΣΣΣΣ = Σ + Σ= Σ + Σ= Σ + Σ= Σ + Σ
1ΣΣΣΣ 2ΣΣΣΣ
i
2( ) 0JΣΣΣΣ= Φ == Φ == Φ == Φ =����
poggia sullo stessocontorno
J����
non e` solenoidale
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Corrente di spostamento
1 2ΣΣΣΣ = Σ + Σ= Σ + Σ= Σ + Σ= Σ + Σ
1ΣΣΣΣ 2ΣΣΣΣ
i� Il termine di corrente di spostamentorisolve la contraddizione
� Oltre alla corrente di conduzione i esiste un campo elettrico E che varianel tempo tra le armature (supponiamosolo li’)
1
1 0
S
S
J J J J
EJ J J
tεεεε
= + == + == + == + =
∂∂∂∂= + == + == + == + =∂∂∂∂
� � � �� � � �� � � �� � � �
����� � �� � �� � �� � �
SJ J++++ e ̀solenoidale� �� �� �� �
i due flussi devono essereuguali
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Equazioni di Maxwell
� Nel vuoto, in presenza di cariche e correnti diconduzione distribuite con densita` ρ e J le equazioniche descrivono i campi elettrico e magnetico per fenomeni sia stazionari che dipendenti dal tempo sono:
0
0 0 00
BE E
t
EB B J
t
ρρρρεεεε
µ µ εµ µ εµ µ εµ µ ε
∂∂∂∂∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = −∂∂∂∂
∂∂∂∂∇ ⋅ = ∇ × = +∇ ⋅ = ∇ × = +∇ ⋅ = ∇ × = +∇ ⋅ = ∇ × = +∂∂∂∂
����� � � �� � � �� � � �� � � �
����� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �
-
Equazioni di Maxwell
� Nel vuoto, in regioni in cui sono assenti cariche e correnti di conduzione si ha:
0 0
0
0
BE E
t
EB B
tµ εµ εµ εµ ε
∂∂∂∂∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = −∂∂∂∂
∂∂∂∂∇ ⋅ = ∇ × =∇ ⋅ = ∇ × =∇ ⋅ = ∇ × =∇ ⋅ = ∇ × =∂∂∂∂
����� � � �� � � �� � � �� � � �
����� � � �� � � �� � � �� � � �
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Equazioni di Maxwell
� Realizzano la sistemazione e unificazione deifenomeni elettrici e magnetici
� In generale campi elettrici e magnetici non possonoessere zero simultaneamente, sono descrivibilicome aspetti di un’unica interazione fondamentalelegata all’esistenza della carica elettrica
� Le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni di Lorentz : non e` possibile stabilireil proprio stato di moto inerziale attraversoesperimenti di elettromagnetismo
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Equazioni per i potenziali
B A= ∇ ×= ∇ ×= ∇ ×= ∇ ×����� �� �� �� � B A
E Et t
∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∇ × = −∇ × = −∇ × = −∇ × = − ⇒⇒⇒⇒ = −∇Φ −= −∇Φ −= −∇Φ −= −∇Φ −∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂
��������� � � �� � � �� � � �� � � �
A A f B→ + ∇→ + ∇→ + ∇→ + ∇ ⇒⇒⇒⇒� �� �� �� � � �� �� �� �
non cambia
E
ft
∂∂∂∂− Φ− Φ− Φ− Φ∂∂∂∂
����Cambia ma puo` essere evitato
aggiungendo a
-
Equazioni per i potenziali
(((( ))))' ffE Et
At
∂∂∂∂ → = − −→ = − −→ = − −→ = − −∂∂∂∂+ ∇ −+ ∇ −+ ∇ −+ ∇ −∇ Φ∇ Φ∇ Φ∇ Φ
∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ��������� � �� � �� � �� � �
AE
t∂∂∂∂= − − ∇Φ == − − ∇Φ == − − ∇Φ == − − ∇Φ =∂∂∂∂
����� �� �� �� �
� Potenziale vettore definito a meno del gradiente di unafunzione scalare
� Potenziale scalare definito a meno della derivata temporaledella stessa funzione
� Liberta` di gauge ( , ) ( ', ') ( , )f
A A A ft
∂∂∂∂Φ → Φ = Φ − + ∇Φ → Φ = Φ − + ∇Φ → Φ = Φ − + ∇Φ → Φ = Φ − + ∇∂∂∂∂
� � �� � �� � �� � � ����
-
Equazioni per i potenziali
� In presenza di cariche e correnti elettriche
0
AE
tρρρρεεεε
∂∂∂∂∇ ⋅ = ∇ ⋅ − − ∇Φ =∇ ⋅ = ∇ ⋅ − − ∇Φ =∇ ⋅ = ∇ ⋅ − − ∇Φ =∇ ⋅ = ∇ ⋅ − − ∇Φ = ∂∂∂∂
����� � � �� � � �� � � �� � � �
0 0 0
AB A J
t tµ µ εµ µ εµ µ εµ µ ε
∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∇ × = ∇ ×∇ × = + − − ∇Φ∇ × = ∇ ×∇ × = + − − ∇Φ∇ × = ∇ ×∇ × = + − − ∇Φ∇ × = ∇ ×∇ × = + − − ∇Φ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂
��������� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �
(((( ))))A A∇ ∇ ⋅ − ∆∇ ∇ ⋅ − ∆∇ ∇ ⋅ − ∆∇ ∇ ⋅ − ∆� �� �� �� �� �� �� �� �
-
Equazioni per i potenziali
� In presenza di cariche e correnti elettriche
0
AE
tρρρρεεεε
∂∂∂∂∇ ⋅ = ∇ ⋅ − − ∇Φ =∇ ⋅ = ∇ ⋅ − − ∇Φ =∇ ⋅ = ∇ ⋅ − − ∇Φ =∇ ⋅ = ∇ ⋅ − − ∇Φ = ∂∂∂∂
����� � � �� � � �� � � �� � � �
0
At
ρρρρεεεε
∂∂∂∂∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∂∂∂∂
��������
-
Equazioni per i potenziali
� In presenza di cariche e correnti elettriche
(((( ))))2
0 0 0 0 02
AA A J
t tµ µ ε µ εµ µ ε µ εµ µ ε µ εµ µ ε µ ε∂ ∂Φ∂ ∂Φ∂ ∂Φ∂ ∂Φ∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇
∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂
����� �� �� �� �� � � �� � � �� � � �� � � �
0 0 0
AB A J
t tµ µ εµ µ εµ µ εµ µ ε
∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∇ × = ∇ ×∇ × = + − − ∇Φ∇ × = ∇ ×∇ × = + − − ∇Φ∇ × = ∇ ×∇ × = + − − ∇Φ∇ × = ∇ ×∇ × = + − − ∇Φ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂
��������� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �
-
Equazioni per i potenziali
� In presenza di cariche e correnti elettriche
Gauge di Lorentz0 0A t
µ εµ εµ εµ ε ∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∂∂∂∂
��������
0
At
ρρρρεεεε
∂∂∂∂∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∂∂∂∂
��������
(((( ))))2
0 0 0 0 02
AA A J
t tµ µ ε µ εµ µ ε µ εµ µ ε µ εµ µ ε µ ε∂ ∂Φ∂ ∂Φ∂ ∂Φ∂ ∂Φ∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇
∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂
����� �� �� �� �� � � �� � � �� � � �� � � �
-
Equazioni per i potenziali
� In presenza di cariche e correnti elettriche
Gauge di Lorentz0 0A t
µ εµ εµ εµ ε ∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∂∂∂∂
��������
0
At
ρρρρεεεε
∂∂∂∂∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∂∂∂∂
��������
(((( ))))2
0 0 0 0 02
AA A J
t tµ µ ε µ εµ µ ε µ εµ µ ε µ εµ µ ε µ ε∂ ∂Φ∂ ∂Φ∂ ∂Φ∂ ∂Φ∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇
∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂
����� �� �� �� �� � � �� � � �� � � �� � � �
-
Equazioni per i potenziali
2
0 0 20t
ρρρρµ εµ εµ εµ εεεεε
∂ Φ∂ Φ∂ Φ∂ Φ∆Φ − = −∆Φ − = −∆Φ − = −∆Φ − = −∂∂∂∂2
0 0 02
AA J
tµ ε µµ ε µµ ε µµ ε µ∂∂∂∂∆ − = −∆ − = −∆ − = −∆ − = −
∂∂∂∂
�������� ����
In assenza di cariche e correnti
2
0 0 2 0tµ εµ εµ εµ ε ∂ Φ∂ Φ∂ Φ∂ Φ∆Φ − =∆Φ − =∆Φ − =∆Φ − =
∂∂∂∂
2
0 0 2 0A
At
µ εµ εµ εµ ε ∂∂∂∂∆ − =∆ − =∆ − =∆ − =∂∂∂∂
��������
descrivono onde che si propagano nel vuoto con velocita` 0 0
1c
µ εµ εµ εµ ε====
Nel gauge di Lorentz le equazioni per i potenzialiscalare e vettore sonodisaccoppiate
-
Potenziali ritardati
� rispetto al caso stazionario le densita` di carica e corrente vannovalutate al tempo t’=t-r/c
� il tempo t’ e` anticipato rispetto all’istante t in cui sono valutati i potenziali della quantita` ∆t=r/c
� questo ritardo corrisponde al tempo necessario a un segnaleelettromagnetico emesso in (x’,t’) per raggiungere il punto (x,t)
sorgenti limitate a unazona finita dello spazio
( , )x tΦ =Φ =Φ =Φ =����
-
Equazione delle onde
(d’Alembert)
2 2
2 2 2
10
vf f
x t∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂− =− =− =− =∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂
1 2( , ) ( v ) ( v )f t x A x t B x t= Ψ − + Ψ += Ψ − + Ψ += Ψ − + Ψ += Ψ − + Ψ +
quantita` che si propaga lungol’asse x positivo con velocita` v
quantita` che si propaga lungol’asse x negativo con velocita` v
supponiamo B=0 (condizioni al contorno e iniziali)
-
Equazione delle onde
(d’Alembert)
( )vx
tΨ −Ψ −Ψ −Ψ − fissato t-x/v la funzione ha un valorecostante
ˆ ˆv( )vx
t t x t t− ≡− ≡− ≡− ≡ ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= − perturbazione che si muove con velocita` v=dx/dt
analogamente Ψ(t+x/v) descrive una perturbazione che simuove con velocita` -v
-
Onde elettromagnetiche
� Si possono derivare le equazioni delle ondeper i campi elettrico e magnetico direttamentedalle equazioni di Maxwell o dalla equazionedelle onde per i potenziali
2
0 0 2 0E
Et
µ εµ εµ εµ ε ∂∂∂∂∆ − =∆ − =∆ − =∆ − =∂∂∂∂
�������� 2
0 0 2 0B
Bt
µ εµ εµ εµ ε ∂∂∂∂∆ − =∆ − =∆ − =∆ − =∂∂∂∂
��������
-
Onde elettromagnetiche
� Si possono derivare le equazioni delle ondeper i campi elettrico e magnetico direttamentedalle equazioni di Maxwell o dalla equazionedelle onde per i potenziali
2
2 2
10
EE
c t∂∂∂∂∆ − =∆ − =∆ − =∆ − =∂∂∂∂
�������� 2
2 2
10
BB
c t∂∂∂∂∆ − =∆ − =∆ − =∆ − =∂∂∂∂
��������
0 0
1c
µ εµ εµ εµ ε====