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Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell Corrente di spostamento Modifica della legge di Ampere Equazioni di Maxwell Onde elettromagnetiche

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  • Corrente di

    spostamento ed

    equazioni di Maxwell

    � Corrente di spostamento

    � Modifica della legge di Ampere� Equazioni di Maxwell

    � Onde elettromagnetiche

  • Corrente di spostamento

    � La legge di Ampere e` inconsistente con la legge di conservazione della carica elettrica

    0B Jµµµµ∇ × =∇ × =∇ × =∇ × =� � �� � �� � �� � �

    Jtρρρρ∂∂∂∂∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −

    ∂∂∂∂� �� �� �� �

    (((( )))) 0B∇ ⋅ ∇ × =∇ ⋅ ∇ × =∇ ⋅ ∇ × =∇ ⋅ ∇ × =� � �� � �� � �� � � sempre0J∇ ⋅ =∇ ⋅ =∇ ⋅ =∇ ⋅ =

    � �� �� �� �solo per correnti stazionarie

  • Corrente di spostamento

    � Maxwell: l’equazione di continuita` dellacarica elettrica deve valere sempre

    Jtρρρρ∂∂∂∂∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −

    ∂∂∂∂� �� �� �� �

    0 Eρ ερ ερ ερ ε= ∇ ⋅= ∇ ⋅= ∇ ⋅= ∇ ⋅� �� �� �� � (a rigore vale

    nel solo casoelettrostatico)

    0JEt

    εεεε∇ ⋅ −∇ ⋅ −∇ ⋅ −∇ ⋅ −∂∂∂∂

    ==== ∂∂∂∂∇ ⋅∇ ⋅∇ ⋅∇ ⋅����

    ����� �� �� �� �

    0 0E

    Jt

    εεεε ∂∂∂∂∂∂∂∂

    ⇒⇒⇒⇒ ∇ ⋅ + =∇ ⋅ + =∇ ⋅ + =∇ ⋅ + =

    ��������

    ����

  • Corrente di spostamento

    � La corrente totale da considerare e`

    0

    EJ

    tεεεε ∂∂∂∂

    ∂∂∂∂++++

    ��������

    0S

    EJ

    tεεεε ∂∂∂∂≡≡≡≡

    ∂∂∂∂

    ��������

    � Maxwell predisse che le variazioni neltempo di un campo elettrico , anche in assenza di correnti di conduzione , avrebbero generato un campo magnetico

  • Corrente di spostamento

    � Se in un punto dello spazio la corrente diconduzione e` zero, ma esiste un campo magnetico il cui rotore e` dato da

    / 0E dt∂ ≠∂ ≠∂ ≠∂ ≠����

    0 0

    EB

    tµ εµ εµ εµ ε ∂∂∂∂∇ × =∇ × =∇ × =∇ × =

    ∂∂∂∂

    ����� �� �� �� �

  • Legge di Ampere-Maxwell

    � La legge di Ampere e` modificata in

    0 0

    EB J

    tµ εµ εµ εµ ε ∂∂∂∂∇ × = +∇ × = +∇ × = +∇ × = + ∂∂∂∂

    ����� � �� � �� � �� � �

    non associata a moto di cariche

  • Legge di Ampere-Maxwell

    � La legge di Ampere e` modificata in

    0 0

    EB J

    tµ εµ εµ εµ ε ∂∂∂∂∇ × = +∇ × = +∇ × = +∇ × = + ∂∂∂∂

    ����� � �� � �� � �� � �

    � 1887: Hertz compie esperimenti che dimostranol’esistenza di onde elettromagnetiche, previste dallenuove equazioni

  • Forma integrale

    0 0

    EB dl J ndA

    tµ εµ εµ εµ ε

    ∂∂∂∂⋅ = + ⋅⋅ = + ⋅⋅ = + ⋅⋅ = + ⋅ ∂∂∂∂ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

    ��������� �� �� �� � ����

    ���� (((( ))))0 si iµµµµ= += += += +

    0 0 0S

    Ei ndA

    tµ µ εµ µ εµ µ εµ µ ε ∂∂∂∂= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

    ∂∂∂∂∫∫∫∫����

    ����

    0 0

    ( )Et

    µ εµ εµ εµ ε ∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ====∂∂∂∂

    ����

    170( ) /

    1.1 10SE V m

    it s

    µµµµ −−−− ∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ⋅⋅⋅⋅∂∂∂∂

    ����

    ≃≃≃≃e` necessaria una variazione molto rapida nel tempo del campo elettrico

  • Corrente di spostamento

    � Durante il processo di carica si accumula la cairca dq su una armatura e viene prelevata la carica –dq dall’altra

    � Le correnti corrispondenti sono i=dq/dtentrante e i=-(-dq/dt)=dq/dt uscente

    � Si puo` usare la legge di Ohm, ma tra le armature non c’e` corrente di conduzione

    � Il flusso della densita` di corrente attraversouna superficie che racchiude entrambe le armature e` nullo (se le derivate rispetto al tempo non sono troppo grosse) come se cifosse continuita`

  • Corrente di spostamento

    1( )C

    dqB dl i

    dtΣΣΣΣ⋅ = =⋅ = =⋅ = =⋅ = =∫∫∫∫��������

    ����

    2 1( ) ( )C C

    B dl B dlΣ ΣΣ ΣΣ ΣΣ Σ

    ⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫� �� �� �� �� �� �� �� �

    � �� �� �� �

    1 2ΣΣΣΣ = Σ + Σ= Σ + Σ= Σ + Σ= Σ + Σ

    1ΣΣΣΣ 2ΣΣΣΣ

    i

    2( ) 0JΣΣΣΣ= Φ == Φ == Φ == Φ =����

    poggia sullo stessocontorno

    J����

    non e` solenoidale

  • Corrente di spostamento

    1 2ΣΣΣΣ = Σ + Σ= Σ + Σ= Σ + Σ= Σ + Σ

    1ΣΣΣΣ 2ΣΣΣΣ

    i� Il termine di corrente di spostamentorisolve la contraddizione

    � Oltre alla corrente di conduzione i esiste un campo elettrico E che varianel tempo tra le armature (supponiamosolo li’)

    1

    1 0

    S

    S

    J J J J

    EJ J J

    tεεεε

    = + == + == + == + =

    ∂∂∂∂= + == + == + == + =∂∂∂∂

    � � � �� � � �� � � �� � � �

    ����� � �� � �� � �� � �

    SJ J++++ e ̀solenoidale� �� �� �� �

    i due flussi devono essereuguali

  • Equazioni di Maxwell

    � Nel vuoto, in presenza di cariche e correnti diconduzione distribuite con densita` ρ e J le equazioniche descrivono i campi elettrico e magnetico per fenomeni sia stazionari che dipendenti dal tempo sono:

    0

    0 0 00

    BE E

    t

    EB B J

    t

    ρρρρεεεε

    µ µ εµ µ εµ µ εµ µ ε

    ∂∂∂∂∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = −∂∂∂∂

    ∂∂∂∂∇ ⋅ = ∇ × = +∇ ⋅ = ∇ × = +∇ ⋅ = ∇ × = +∇ ⋅ = ∇ × = +∂∂∂∂

    ����� � � �� � � �� � � �� � � �

    ����� � � � �� � � � �� � � � �� � � � �

  • Equazioni di Maxwell

    � Nel vuoto, in regioni in cui sono assenti cariche e correnti di conduzione si ha:

    0 0

    0

    0

    BE E

    t

    EB B

    tµ εµ εµ εµ ε

    ∂∂∂∂∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = −∂∂∂∂

    ∂∂∂∂∇ ⋅ = ∇ × =∇ ⋅ = ∇ × =∇ ⋅ = ∇ × =∇ ⋅ = ∇ × =∂∂∂∂

    ����� � � �� � � �� � � �� � � �

    ����� � � �� � � �� � � �� � � �

  • Equazioni di Maxwell

    � Realizzano la sistemazione e unificazione deifenomeni elettrici e magnetici

    � In generale campi elettrici e magnetici non possonoessere zero simultaneamente, sono descrivibilicome aspetti di un’unica interazione fondamentalelegata all’esistenza della carica elettrica

    � Le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni di Lorentz : non e` possibile stabilireil proprio stato di moto inerziale attraversoesperimenti di elettromagnetismo

  • Equazioni per i potenziali

    B A= ∇ ×= ∇ ×= ∇ ×= ∇ ×����� �� �� �� � B A

    E Et t

    ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∇ × = −∇ × = −∇ × = −∇ × = − ⇒⇒⇒⇒ = −∇Φ −= −∇Φ −= −∇Φ −= −∇Φ −∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

    ��������� � � �� � � �� � � �� � � �

    A A f B→ + ∇→ + ∇→ + ∇→ + ∇ ⇒⇒⇒⇒� �� �� �� � � �� �� �� �

    non cambia

    E

    ft

    ∂∂∂∂− Φ− Φ− Φ− Φ∂∂∂∂

    ����Cambia ma puo` essere evitato

    aggiungendo a

  • Equazioni per i potenziali

    (((( ))))' ffE Et

    At

    ∂∂∂∂ → = − −→ = − −→ = − −→ = − −∂∂∂∂+ ∇ −+ ∇ −+ ∇ −+ ∇ −∇ Φ∇ Φ∇ Φ∇ Φ

    ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ��������� � �� � �� � �� � �

    AE

    t∂∂∂∂= − − ∇Φ == − − ∇Φ == − − ∇Φ == − − ∇Φ =∂∂∂∂

    ����� �� �� �� �

    � Potenziale vettore definito a meno del gradiente di unafunzione scalare

    � Potenziale scalare definito a meno della derivata temporaledella stessa funzione

    � Liberta` di gauge ( , ) ( ', ') ( , )f

    A A A ft

    ∂∂∂∂Φ → Φ = Φ − + ∇Φ → Φ = Φ − + ∇Φ → Φ = Φ − + ∇Φ → Φ = Φ − + ∇∂∂∂∂

    � � �� � �� � �� � � ����

  • Equazioni per i potenziali

    � In presenza di cariche e correnti elettriche

    0

    AE

    tρρρρεεεε

    ∂∂∂∂∇ ⋅ = ∇ ⋅ − − ∇Φ =∇ ⋅ = ∇ ⋅ − − ∇Φ =∇ ⋅ = ∇ ⋅ − − ∇Φ =∇ ⋅ = ∇ ⋅ − − ∇Φ = ∂∂∂∂

    ����� � � �� � � �� � � �� � � �

    0 0 0

    AB A J

    t tµ µ εµ µ εµ µ εµ µ ε

    ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∇ × = ∇ ×∇ × = + − − ∇Φ∇ × = ∇ ×∇ × = + − − ∇Φ∇ × = ∇ ×∇ × = + − − ∇Φ∇ × = ∇ ×∇ × = + − − ∇Φ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

    ��������� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �

    (((( ))))A A∇ ∇ ⋅ − ∆∇ ∇ ⋅ − ∆∇ ∇ ⋅ − ∆∇ ∇ ⋅ − ∆� �� �� �� �� �� �� �� �

  • Equazioni per i potenziali

    � In presenza di cariche e correnti elettriche

    0

    AE

    tρρρρεεεε

    ∂∂∂∂∇ ⋅ = ∇ ⋅ − − ∇Φ =∇ ⋅ = ∇ ⋅ − − ∇Φ =∇ ⋅ = ∇ ⋅ − − ∇Φ =∇ ⋅ = ∇ ⋅ − − ∇Φ = ∂∂∂∂

    ����� � � �� � � �� � � �� � � �

    0

    At

    ρρρρεεεε

    ∂∂∂∂∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∂∂∂∂

    ��������

  • Equazioni per i potenziali

    � In presenza di cariche e correnti elettriche

    (((( ))))2

    0 0 0 0 02

    AA A J

    t tµ µ ε µ εµ µ ε µ εµ µ ε µ εµ µ ε µ ε∂ ∂Φ∂ ∂Φ∂ ∂Φ∂ ∂Φ∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇

    ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

    ����� �� �� �� �� � � �� � � �� � � �� � � �

    0 0 0

    AB A J

    t tµ µ εµ µ εµ µ εµ µ ε

    ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∇ × = ∇ ×∇ × = + − − ∇Φ∇ × = ∇ ×∇ × = + − − ∇Φ∇ × = ∇ ×∇ × = + − − ∇Φ∇ × = ∇ ×∇ × = + − − ∇Φ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

    ��������� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �

  • Equazioni per i potenziali

    � In presenza di cariche e correnti elettriche

    Gauge di Lorentz0 0A t

    µ εµ εµ εµ ε ∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∂∂∂∂

    ��������

    0

    At

    ρρρρεεεε

    ∂∂∂∂∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∂∂∂∂

    ��������

    (((( ))))2

    0 0 0 0 02

    AA A J

    t tµ µ ε µ εµ µ ε µ εµ µ ε µ εµ µ ε µ ε∂ ∂Φ∂ ∂Φ∂ ∂Φ∂ ∂Φ∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇

    ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

    ����� �� �� �� �� � � �� � � �� � � �� � � �

  • Equazioni per i potenziali

    � In presenza di cariche e correnti elettriche

    Gauge di Lorentz0 0A t

    µ εµ εµ εµ ε ∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∂∂∂∂

    ��������

    0

    At

    ρρρρεεεε

    ∂∂∂∂∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∆Φ + ∇ ⋅ = −∂∂∂∂

    ��������

    (((( ))))2

    0 0 0 0 02

    AA A J

    t tµ µ ε µ εµ µ ε µ εµ µ ε µ εµ µ ε µ ε∂ ∂Φ∂ ∂Φ∂ ∂Φ∂ ∂Φ∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇∇ ∇ ⋅ − ∆ = − − ∇

    ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

    ����� �� �� �� �� � � �� � � �� � � �� � � �

  • Equazioni per i potenziali

    2

    0 0 20t

    ρρρρµ εµ εµ εµ εεεεε

    ∂ Φ∂ Φ∂ Φ∂ Φ∆Φ − = −∆Φ − = −∆Φ − = −∆Φ − = −∂∂∂∂2

    0 0 02

    AA J

    tµ ε µµ ε µµ ε µµ ε µ∂∂∂∂∆ − = −∆ − = −∆ − = −∆ − = −

    ∂∂∂∂

    �������� ����

    In assenza di cariche e correnti

    2

    0 0 2 0tµ εµ εµ εµ ε ∂ Φ∂ Φ∂ Φ∂ Φ∆Φ − =∆Φ − =∆Φ − =∆Φ − =

    ∂∂∂∂

    2

    0 0 2 0A

    At

    µ εµ εµ εµ ε ∂∂∂∂∆ − =∆ − =∆ − =∆ − =∂∂∂∂

    ��������

    descrivono onde che si propagano nel vuoto con velocita` 0 0

    1c

    µ εµ εµ εµ ε====

    Nel gauge di Lorentz le equazioni per i potenzialiscalare e vettore sonodisaccoppiate

  • Potenziali ritardati

    � rispetto al caso stazionario le densita` di carica e corrente vannovalutate al tempo t’=t-r/c

    � il tempo t’ e` anticipato rispetto all’istante t in cui sono valutati i potenziali della quantita` ∆t=r/c

    � questo ritardo corrisponde al tempo necessario a un segnaleelettromagnetico emesso in (x’,t’) per raggiungere il punto (x,t)

    sorgenti limitate a unazona finita dello spazio

    ( , )x tΦ =Φ =Φ =Φ =����

  • Equazione delle onde

    (d’Alembert)

    2 2

    2 2 2

    10

    vf f

    x t∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂− =− =− =− =∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

    1 2( , ) ( v ) ( v )f t x A x t B x t= Ψ − + Ψ += Ψ − + Ψ += Ψ − + Ψ += Ψ − + Ψ +

    quantita` che si propaga lungol’asse x positivo con velocita` v

    quantita` che si propaga lungol’asse x negativo con velocita` v

    supponiamo B=0 (condizioni al contorno e iniziali)

  • Equazione delle onde

    (d’Alembert)

    ( )vx

    tΨ −Ψ −Ψ −Ψ − fissato t-x/v la funzione ha un valorecostante

    ˆ ˆv( )vx

    t t x t t− ≡− ≡− ≡− ≡ ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= − perturbazione che si muove con velocita` v=dx/dt

    analogamente Ψ(t+x/v) descrive una perturbazione che simuove con velocita` -v

  • Onde elettromagnetiche

    � Si possono derivare le equazioni delle ondeper i campi elettrico e magnetico direttamentedalle equazioni di Maxwell o dalla equazionedelle onde per i potenziali

    2

    0 0 2 0E

    Et

    µ εµ εµ εµ ε ∂∂∂∂∆ − =∆ − =∆ − =∆ − =∂∂∂∂

    �������� 2

    0 0 2 0B

    Bt

    µ εµ εµ εµ ε ∂∂∂∂∆ − =∆ − =∆ − =∆ − =∂∂∂∂

    ��������

  • Onde elettromagnetiche

    � Si possono derivare le equazioni delle ondeper i campi elettrico e magnetico direttamentedalle equazioni di Maxwell o dalla equazionedelle onde per i potenziali

    2

    2 2

    10

    EE

    c t∂∂∂∂∆ − =∆ − =∆ − =∆ − =∂∂∂∂

    �������� 2

    2 2

    10

    BB

    c t∂∂∂∂∆ − =∆ − =∆ − =∆ − =∂∂∂∂

    ��������

    0 0

    1c

    µ εµ εµ εµ ε====