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  • Corrente di

    spostamento ed

    equazioni di Maxwell

    � Corrente di spostamento

    � Modifica della legge di Ampere � Equazioni di Maxwell

    � Onde elettromagnetiche

  • Corrente di spostamento

    � La legge di Ampere e` inconsistente con la legge di conservazione della carica elettrica

    0B Jµµµµ∇ × =∇ × =∇ × =∇ × = � � �� � �� � �� � �

    J t ρρρρ∂∂∂∂∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −

    ∂∂∂∂ � �� �� �� �

    (((( )))) 0B∇ ⋅ ∇ × =∇ ⋅ ∇ × =∇ ⋅ ∇ × =∇ ⋅ ∇ × =� � �� � �� � �� � � sempre 0J∇ ⋅ =∇ ⋅ =∇ ⋅ =∇ ⋅ =

    � �� �� �� � solo per correnti stazionarie

  • Corrente di spostamento

    � Maxwell: l’equazione di continuita` della carica elettrica deve valere sempre

    J t ρρρρ∂∂∂∂∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ = −

    ∂∂∂∂ � �� �� �� �

    0 Eρ ερ ερ ερ ε= ∇ ⋅= ∇ ⋅= ∇ ⋅= ∇ ⋅ � �� �� �� � (a rigore vale

    nel solo caso elettrostatico)

    0J E t

    εεεε∇ ⋅ −∇ ⋅ −∇ ⋅ −∇ ⋅ − ∂∂∂∂

    ==== ∂∂∂∂∇ ⋅∇ ⋅∇ ⋅∇ ⋅ ����

    ����� �� �� �� �

    0 0 E

    J t

    εεεε ∂∂∂∂ ∂∂∂∂

         ⇒⇒⇒⇒ ∇ ⋅ + =∇ ⋅ + =∇ ⋅ + =∇ ⋅ + =    

        

    ���� ����

    ����

  • Corrente di spostamento

    � La corrente totale da considerare e`

    0

    E J

    t εεεε ∂∂∂∂

    ∂∂∂∂ ++++

    ���� ����

    0S

    E J

    t εεεε ∂∂∂∂≡≡≡≡

    ∂∂∂∂

    ���� ����

    � Maxwell predisse che le variazioni nel tempo di un campo elettrico , anche in assenza di correnti di conduzione , avrebbero generato un campo magnetico

  • Corrente di spostamento

    � Se in un punto dello spazio la corrente di conduzione e` zero, ma esiste un campo magnetico il cui rotore e` dato da

    / 0E dt∂ ≠∂ ≠∂ ≠∂ ≠ ����

    0 0

    E B

    t µ εµ εµ εµ ε ∂∂∂∂∇ × =∇ × =∇ × =∇ × =

    ∂∂∂∂

    ���� � �� �� �� �

  • Legge di Ampere-Maxwell

    � La legge di Ampere e` modificata in

    0 0

    E B J

    t µ εµ εµ εµ ε     ∂∂∂∂∇ × = +∇ × = +∇ × = +∇ × = +    ∂∂∂∂    

    ���� � � �� � �� � �� � �

    non associata a moto di cariche

  • Legge di Ampere-Maxwell

    � La legge di Ampere e` modificata in

    0 0

    E B J

    t µ εµ εµ εµ ε     ∂∂∂∂∇ × = +∇ × = +∇ × = +∇ × = +    ∂∂∂∂    

    ���� � � �� � �� � �� � �

    � 1887: Hertz compie esperimenti che dimostrano l’esistenza di onde elettromagnetiche, previste dalle nuove equazioni

  • Forma integrale

    0 0

    E B dl J ndA

    t µ εµ εµ εµ ε

        ∂∂∂∂⋅ = + ⋅⋅ = + ⋅⋅ = + ⋅⋅ = + ⋅    ∂∂∂∂     ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

    ���� ����� �� �� �� � ����

    ���� (((( ))))0 si iµµµµ= += += += +

    0 0 0S

    E i ndA

    t µ µ εµ µ εµ µ εµ µ ε ∂∂∂∂= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

    ∂∂∂∂∫∫∫∫ ����

    ����

    0 0

    ( )E t

    µ εµ εµ εµ ε ∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ==== ∂∂∂∂

    ����

    170 ( ) /

    1.1 10S E V m

    i t s

    µµµµ −−−− ∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ⋅⋅⋅⋅ ∂∂∂∂

    ����

    ≃≃≃≃ e` necessaria una variazione molto rapida nel tempo del campo elettrico

  • Corrente di spostamento

    � Durante il processo di carica si accumula la cairca dq su una armatura e viene prelevata la carica –dq dall’altra

    � Le correnti corrispondenti sono i=dq/dt entrante e i=-(-dq/dt)=dq/dt uscente

    � Si puo` usare la legge di Ohm, ma tra le armature non c’e` corrente di conduzione

    � Il flusso della densita` di corrente attraverso una superficie che racchiude entrambe le armature e` nullo (se le derivate rispetto al tempo non sono troppo grosse) come se ci fosse continuita`

  • Corrente di spostamento

    1( )C

    dq B dl i

    dtΣΣΣΣ ⋅ = =⋅ = =⋅ = =⋅ = =∫∫∫∫ ��������

    ����

    2 1( ) ( )C C

    B dl B dl Σ ΣΣ ΣΣ ΣΣ Σ

    ⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ � �� �� �� �� �� �� �� �

    � �� �� �� �

    1 2ΣΣΣΣ = Σ + Σ= Σ + Σ= Σ + Σ= Σ + Σ

    1ΣΣΣΣ 2ΣΣΣΣ

    i

    2 ( ) 0JΣΣΣΣ= Φ == Φ == Φ == Φ = ����

    poggia sullo stesso contorno

    J ����

    non e` solenoidale

  • Corrente di spostamento

    1 2ΣΣΣΣ = Σ + Σ= Σ + Σ= Σ + Σ= Σ + Σ

    1ΣΣΣΣ 2ΣΣΣΣ

    i � Il termine di corrente di spostamento risolve la contraddizione

    � Oltre alla corrente di conduzione i esiste un campo elettrico E che varia nel tempo tra le armature (supponiamo solo li’)

    1

    1 0

    S

    S

    J J J J

    E J J J

    t εεεε

    = + == + == + == + =

    ∂∂∂∂= + == + == + == + = ∂∂∂∂

    � � � �� � � �� � � �� � � �

    ���� � � �� � �� � �� � �

    SJ J++++ e ̀solenoidale � �� �� �� �

    i due flussi devono essere uguali

  • Equazioni di Maxwell

    � Nel vuoto, in presenza di cariche e correnti di conduzione distribuite con densita` ρ e J le equazioni che descrivono i campi elettrico e magnetico per fenomeni sia stazionari che dipendenti dal tempo sono:

    0

    0 0 00

    B E E

    t

    E B B J

    t

    ρρρρ εεεε

    µ µ εµ µ εµ µ εµ µ ε

    ∂∂∂∂∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = − ∂∂∂∂

    ∂∂∂∂∇ ⋅ = ∇ × = +∇ ⋅ = ∇ × = +∇ ⋅ = ∇ × = +∇ ⋅ = ∇ × = + ∂∂∂∂

    ���� � � � �� � � �� � � �� � � �

    ���� � � � � �� � � � �� � � � �� � � � �

  • Equazioni di Maxwell

    � Nel vuoto, in regioni in cui sono assenti cariche e correnti di conduzione si ha:

    0 0

    0

    0

    B E E

    t

    E B B

    t µ εµ εµ εµ ε

    ∂∂∂∂∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = −∇ ⋅ = ∇ × = − ∂∂∂∂

    ∂∂∂∂∇ ⋅ = ∇ × =∇ ⋅ = ∇ × =∇ ⋅ = ∇ × =∇ ⋅ = ∇ × = ∂∂∂∂

    ���� � � � �� � � �� � � �� � � �

    ���� � � � �� � � �� � � �� � � �

  • Equazioni di Maxwell

    � Realizzano la sistemazione e unificazione dei fenomeni elettrici e magnetici

    � In generale campi elettrici e magnetici non possono essere zero simultaneamente, sono descrivibili come aspetti di un’unica interazione fondamentale legata all’esistenza della carica elettrica

    � Le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni di Lorentz : non e` possibile stabilire il proprio stato di moto inerziale attraverso esperimenti di elettromagnetismo

  • Equazioni per i potenziali

    B A= ∇ ×= ∇ ×= ∇ ×= ∇ × ����� �� �� �� � B A

    E E t t

    ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∇ × = −∇ × = −∇ × = −∇ × = − ⇒⇒⇒⇒ = −∇Φ −= −∇Φ −= −∇Φ −= −∇Φ − ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

    �������� � � � �� � � �� � � �� � � �

    A A f B→ + ∇→ + ∇→ + ∇→ + ∇ ⇒⇒⇒⇒ � �� �� �� � � �� �� �� �

    non cambia

    E

    f t

    ∂∂∂∂− Φ− Φ− Φ− Φ ∂∂∂∂

    ���� Cambia ma puo` essere evitato

    aggiungendo a

  • Equazioni per i potenziali

    (((( ))))' ffE E t

    A t

    ∂∂∂∂     → = − −→ = − −→ = − −→ = − − ∂∂∂∂+ ∇ −+ ∇ −+ ∇ −+ ∇ −∇ Φ∇ Φ∇ Φ∇ Φ

    ∂∂∂∂     ∂∂∂∂     ��������� � �� � �� � �� � �

    A E

    t ∂∂∂∂= − − ∇Φ == − − ∇Φ == − − ∇Φ == − − ∇Φ = ∂∂∂∂

    ���� � �� �� �� �

    � Potenziale vettore definito a meno del gradiente di una funzione scalare

    � Potenziale