1

KONUSNI PRESJECI

1. Brzina i akceleracija u polarnim koordinatama Gibanje u ravnini možemo opisivati Kartezijevim (x,y) ili polarnim koordinatama (ρ,ϕ) .

V S θ ϕ ρ

Fig. 1. Brzina, kutna brzina i sektorska brzina

Intenzitet trenutne brzine čestice V može biti izražen pomoću:

- kutne brzine ω = dtdϕ (1.1)

- brzine V = dtdω

θρ

cos (1.2)

- sektorske brzine A = dtdS =

dtdϕρ

2

2

= 2cosθρV . (1.3)

Neka Kartezijev sustav (x,y) miruje, a polarni sustav (ρ,ϕ) neka je vezan za česticu koja se giba. Tada je:

2

Vx = dtdx ; Vy =

dtdy , (1.4)

i

Vρ = dtdρ ; Vϕ =

dtdϕρ . (1.5)

Kako je, x = ρcosϕ i y = ρsinϕ , deriviranjem dobijamo: Vx = Vρ cosϕ - Vϕ sinϕ ; Vy = Vρ sinϕ + Vϕ cosϕ . (1.6) Za komponente akceleracije lako se dobija iz (1.6):

2

2

dtxd = fρ cosϕ - fϕ sinϕ ; 2

2

dtyd = fρ sinϕ + fϕ cosϕ , (1.7)

gdje su:

fρ = 2

2

dtd ρ - ρ

2

dtdϕ (1.8)

i

fϕ = ρ 2

2

dtd ϕ + 2

dtdρ

dtdϕ (1.9)

komponente akceleracije duž i okomite na radijus vektor. U ovim formulama drugi članovi predstavljaju «inercijalne» akceleracije koje nastaju uslijed rotacije polarnog sustava vezanog za česticu, tj.:

- centrifugalna akceleracija ω Vϕ = ρ2

dtdϕ

- Coriolis-ova akceleracija - 2 ω Vρ = - 2 dtdρ

dtdϕ .

3

Očigledno je da je Coriolis-ova akceleracija jednaka nuli ako su Vρ ili Vϕ nula, tj. ako je gibanje okomito ili je duž radijus vektora. Koristeći (1.3) formula (1.9) može se izraziti pomoću sektorske brzine:

fϕ =

dtd

dtd ϕρ

ρ21 =

dtdA

ρ2 . (1.10)

Za slučaj uniformne rotacije po kružnici je 2

2

dtd ρ = 0 , pa (1.8) za uniformno gibanje po

kružnici daje uobičajeni izraz za radijalnu tj. centripetalnu akceleraciju:

fρ = - ρ2

dtdϕ = -

rV 2

ϕ ,

ili

fρ = - rVc

2

, (1.11)

gdje Vc označava konstantnu brzinu uniformnog kružnog gibanja.

4

2. Jednadžba konusnih presjeka

Izvedimo sad jednadžbu konusnih presjeka u polarnim koordinatama. Konusni presjek čine sve točke u ravnini za koje je odnos e (ekscentricitet) udaljenosti r od fiksne točke F (fokusa) i udaljenosti d od fiksnog pravca (direktrise) konstantan , tj. r = ed . (1.12)

B E p d r ϕ F P D

Fig. 2. Konusni presjek

Na Fig. 2. prikazana je krivulja konusnog presjeka za koju je: r - udaljenost od fokusa d – udaljenost od direktrise kut ϕ - true anomaly F – fokus P – pericentar p = FB – polovica latus rectum-a DE – direktrisa Najzgodnije je fokus F odabrati za ishodište polarnog koordinatnog sustava (r,ϕ) jer je tada r radijus vektor točke, a ϕ je polarni kut i krivulja konusnog presjeka je simetrična u odnosu na pravac na kome je najkraći radijus vektor FP. Udaljenost fokusa od direktrise je

DF = d + r cosϕ = er ( 1 + e cos ϕ ) . (1.13)

Parametar konusnog presjeka p (polovica latus rectum-a) je radijus vektor za ϕ = 2π , što

znači da je p = e • DF , pa iz (1.13) dobijamo jednadžbu konusnih presjeka u polarnim

5

koordinatama ( u odnosu na fokus kao ishodište ):

r = ϕcos1 e

p+

. (1.14)

Ekscenctricitet e određuje oblik krivulje, tj.

• kružnica e = 0 • elipsa 0 < e < 1 • parabola e = 1 • hiperbola e > 1 .

Za ϕ = 0 čestica dostiže pericentar s minimalnim radijus vektorom

rp = FP = ep+1

, (1.15)

što znači da je odnos:

prp = 1 + e =

>=

<

22

,2

hiperbolaparabolaelipsa

.

6

3. Eliptične orbite

Eliptične staze (orbite) su najvažnije u astromehanici. Čestica dostiže minimalni i maksimalni radijus na krajevima glavne osi elipse. Za ϕ = 0 točka P je minimalni radijus (perihelij, perigej, periastron, ....)

rp = ep+1

. (1.16)

Za ϕ = π točka A je maksimalni radijus (apohelij, apogej, apastron, ....)

ra = ep−1

. (1.17)

Srednja vrijednost udaljenosti od fokusa

a = 2

rp ar+ =

21pe−

, (1.18)

naziva se velika poluos elipse (semi-axis major), što znači da su max. i min. radijusi:

ra = a ( 1 + e ) = AF , rp = a (1 – e ) = FP . (1.19)

D

A P fff F

Fig. 3. Elipsa

p O F

7

AO = a – velika poluos elipse , O – centar elipse , OD = b – mala poluos elipse OF = a e = c – linearni ekscentricitet

Koristeći (1.18) jednadžbu elipse možemo napisati:

r = ϕcos1)1( 2

eea

+− . (1.20)

8

4. Pomoćna kružnica: stvarna i ekscentrična anomalija Ponekad je korisno razmatrati eliptičnu stazu ASP kao projekciju koplanarne kružnice AS'P tangentne na krajeve velike osi elipse AP kao na Fig. 4. Elipsa se opisuje pomoću polarnog koordinatnog sustava (r,ϕ) s centrom u fokusu F. Rastojanje centra O i fokusa F je linearni ekscentricitet (linear eccentricity) OF = c = ae . Polarni kut ϕ mjeri se od pravca pericentra P i naziva se stvarna anomalija (true anomaly). Pomoćna tangentna kružnica opisana je polarnim koordinatama (a,E). Polarni kut E mjeri se od pravca pericentra P, tj. od glavne osi i zove se ekscentrična anomalija (eccentric anomaly). Svaka točka eliptične orbite S smatra se projekcijom odgovarajuće točke S' pomoćne kružnice.

Fig. 4. Pomoćna tangentna kružnica (auxiliary circle) Faktor skraćenja pri projekciji definiran je kao: k =

'DSDS =

( )22

sin

ODa

r

−

ϕ = ( )22

sin

DFOFa

r

−−

ϕ = ( )22 cos

sin

ϕ

ϕ

reaa

r

+− , (1.21)

što se uz pomoć (1.20) lako reducira na: k = 21 e− . (1.22)

9

Ekscentrična anomalija E se koristi za određivanje koordinata točke S' na pomoćnoj kružnici, tj. (a,ϕ) ili (x,y) :

x = a cosE ; y = a sinE (1.23)

što zbog faktora skraćenja (1.22) za točku S na elipsi koja je projekcija od S' daje:

x = a cosE y = 21 e− a sinE . (1.24)

Radijus za E = π/2 je mala poluos elipse b i iznosi: b = a 21 e− . (1.25)

Jasno ja da je faktor skraćenja ustvari odnos male i velike poluosi elipse te da iz (1.24) slijedi: x = a cosE y = b sinE , (1.26)

što daje uobičajenu jednadžbu elipse s centrom u ishodištu u Kartezijevim koordinatama: 2

2

ax + 2

2

by = 1 . (1.27)

Deriviranjem dobijamo jednadžbu tangente:

dxdy = – 2

2

yaxb = –

yx ( 21 e− ) . (1.28)

Koordinate latus rectuma su: x = a e y = ± a(1 – e2) što znači da je ekscentricitet e jednak tangensu kuta θ koji tangenta na elipsu na krajevima latus rektuma tvori s pravcem glavne osi elipse,

dxdy = ± e . (1.29)

Iz (1.12) za točke na krajevima latus rektuma važi r = p = e d, što znači da tangenta na elipsu kroz krajeve latus rektuma prolazi točkom H koja je na direktrisi elipse kao na Fig. 5.

10

Fig. 5. Tangente na krajevima latus rektuma

Na Fig. 5. CD je latus rektum elipse, pa je njegova polovica p = FC – parametar elipse. Rastojanje fokusa od direktrise je FH = d, pa je:

tan θ = dp = e .

11

5. Eliptične koordinate

Prema (1.24) i Fig. 4. veza polarnih koordinata (r,ϕ) s centrom u fokusu i eliptičnih koordinata (a,E) je:

r cosϕ = a (cosE – e ) ; r sinϕ = 21 e− a sinE . (1.30) Kvadriranjem i zbrajanjem dobijamo: r = a (1 – e cosE) (1.31) što znači da je radijus vector rb kraja male poluosi elipse ( E = π/2 ) jednak velikoj poluosi a: rb = a . (1.32)

Kako je prema (1.18), p = a (1 – e 2) a, rastojanje centra i fokusa elipse OF je c = ae dobijamo:

p = ab2

, (1.33)

kao što je prikazano na Fig. 6.

Fig. 6. Odnos parametra p , linearnog ekscentriciteta c i poluosi elipse a i b

12

6. Drugi fokus elipse

Linearni ekscentricitet elipse je c = e a i predstavlja rastojanje centra O i fokusa F. Elipsa je simetrična krivulja i na drugoj strani centra ima još jedan fokus F' koji se ne pojavljuje eksplicitno u jednadžbi elipse u polarnim koordinatama (1.14) ili (1.20), niti ima bilo kakav značaj u astromehanici. Drugo žarište (fokus) F' važan je za konstrukciju elipse. Već smo imali da je udaljenost bilo koje točke na elipsi od fokusa F: r = a (1 – e cosE) . (1.31) Lako je vidjeti da za udaljenost r ' bilo koje točke na elipsi od drugog fokusa F' važi: r' cosϕ' = a (cosE + e ) ; r' sinϕ' = 21 e− a sinE , što poslije kvadriranja i zbrajanja daje: r' = a (1 + e cosE) . (1.34) Iz (1.31) i (1.34) dobijamo poznato svojstvo elipse: r + r' = 2a . (1.35)

Drugo važno svojstvo elipse je jednakost upadnog kuta i kuta refleksije (“angles of reflection”) između normale na elipsu i radijus vektora ka oba fokusa kao na Fig. 7.

Fig. 7. Normala na elipsu u točki S tvori jednake kutove α s radijus vektorima iz žarišta

Ovo se lako dokazuje iz podudarnosti pravokutnih trokuta SDF i SDF'' (točka F'' dobija se rotacijom fokusa F oko tangente SD), što znači da je kut FSD = F''SD = β, pa je 2α + 2β = π i činjenice da je normala okomita na tangentu tj. da je α + β = π/2 .

13

7. Parabolične i hiperbolične staze

Parabola se može smatrati elipsom čiji je drugi fokus u beskonačnosti i čiji je ekscentricitet e = 1. Formula (1.18) tj. p = a (1 – e 2) onda zahtijeva da je a = ∝ . Zato jednakost kuteva između normale na elipsu i radijus vektora ka žarištima (Fig. 7.) u slučaju parabole znači poznato svojstvo da se upadna zraka poslije refleksije od parabole odbija tako da prolazi kroz fokus kao na Fig. 8.

Fig. 8. Parabola

Na Fig. 8. pravac FP je glavna os parabole, F je fokus, P pericentar, TS tangenta a DS pravac upadne zrake paralelne glavnoj osi. Hiperbola se može smatrati elipsom čiji je drugi fokus prošao kroz beskonačnost i ponovo se pojavio ali s suprotne (negativne) strane pericentra. Kako je za hiperbolu e > 1, iz formule (1.18) slijedi da je a < 0 . Svojstvo jednakosti kuteva refleksije važi i za hiperbolu ako se uzme u obzir “negativni” položaj fokusa F' pa se kut α defira kao kut između normale na hiperbolu i pravca od fokusa F' (pravac označen strelicom na Fig. 9.).

Fig. 9. Hiperbola