1 Bosones

Recordemos la ecuación de movimiento para un oscilador armónico clásico:

x(t) = −ω20x(t),

donde ω0 =√

K/m es la frecuencia natural del resorte acoplado a la partícula.Asociamos entonces a este oscilador un Hamiltoniano clásico de la forma:

H =1

2mp2 +

mω202

x2,

con p el momento lineal o impulso tal que

p = mx.

Lo que ahora nos interesa analizar es el oscilador armónico cuántico. Sinhacer uso de la ecuación de Schrödinger, Heisenberg propuso una relación deconmutación entre los ahora operadores de posición x y momento p:

[x, p] = xp− px = i�.

Una manera de pensar el Hamiltoniano del oscilador consiste en tomaruna única variable como mezcla entre x y p tal que en el Hamiltonianose presente en forma cuadrática. En base a esto se definen entonces losoperadores de creación y aniquilación:

b =1√2�ω0

(p√m− i√mω0x

),

b† =1√2�ω0

(p√m

+ i√mω0x

).

Y, en forma inversa:

x = i

√�

2ω0

(b− b†

),

p =

√�K

2ω0

(b+ b†

).

Puede verse entonces la propiedad de conmutación:[b, b†

]= 1.

1

En términos de estos operadores el Hamiltoniano se escribe:

H =�ω02

(bb† + b†b) =�ω02{b, b†}.

Si definimos por |n〉 al autoestado del sistema tal que:

H |n〉 = εn |n〉 = �ω0(n +

1

2

)|n〉 .

Entonces se tiene:

b |n〉 =√n |n− 1〉 , (1a)

b† |n〉 =√n+ 1 |n+ 1〉 , (1b)

y b |0〉 = 0. Esta relación es consistente con la propiedad de conmutaciónmencionada anteriormente. Si tomamos a los autoestados ortonormales (〈n|n′〉 =1), entonces podemos escribir al estado |n〉 como una suceción de creaciones:

|n〉 = 1√n!

(b†)n|0〉 ,

donde |0〉 es el estado fundamental.Estas propiedades nos resultan útiles para el cálculo de los elemntos ma-

triciales de una perturbación. Tomemos como ejemplo el caso de una per-turbación de la forma V = βx4 y veamos la corrección energética del estadofundamental a primer orden según la Teoría de perturbaciones estándar deRayleigh-Schrödinger:

∆E(1) = 〈0|βx4 |0〉 = β

(�ω02K

)2〈0|(b− b†

)4|0〉

= β

(�ω02K

)2 [〈0| b4 |0〉 + 〈0| b3b† |0〉 + . . .

].

Debido a las ec.(1a) y (1b) se tiene que los unicos términos no nulos enla corrección perturbativa son aquellos que, en general, tienen igual cantidadde operadores de creación como de aniquilación. Por lo tanto los términos aconsiderar son:

• 〈n| bb†bb† |n〉 = 〈n|(b†b+ 1

)(b†b+ 1

)|n〉 =

(n+ 1

2

)2

2

• 〈n| bbb†b† |n〉 = 〈n| b(b†b+ 1

)b† |n〉 = (n+ 1) (n+ 2)

De esta forma se obtiene para la corrección:

∆E(1) =3β

4

�

mK.

Problema: aplicar la teoría de perturbaciones para evaluar la corrección ala energía producida por un término de la forma HI = αx3.

1.1 Osciladores Armónicos Acoplados

Vamos a estudiar una cadena lineal cerrada (anillo finito) de N masas espa-ciadas una longitud a. En este caso, el Hamiltoniano es una generalizacióndel oscilador simple que vimos recientemente:

H =

N∑

l=1

[p2l2m

− K

2(ul − ul+1)

2

].

Este Hamiltoniano viene descripto en la base de los sitios de la cadena.Podemos interpretar entonces que la cadena se compone de N sitios queestán fijos (p. ej. las posiciones de equilibrio de las masas) y el operador ul

corresponde al desplazamiento de la masa asociada al sitio l mientras que ples su impulso.

Nuevamente utilizamos las relaciones de conmutación:

[xl, pl′] = i�δl,l′,

es decir que los operadores de diferentes sitios son independientes. Lapropuesta es tomar los modos normales de oscilación que, según el Teoremade Bloch, son:

Uk =1√N

N∑

l=1

uleikla.

A su vez, definimos un operador colectivo asociado a los impulsos en lacadena:

Pk =1√N

N∑

l=1

ple−ikla.

3

Las expresiones inversas son las siguientes:

ul =1√N

∑

k

Uke−ikla,

pl =1√N

∑

k

Pkeikla,

donde la suma se extiende a todos los modos normales posibles. Deacuerdo a estas expresiones tenemos la siguiente relación de conmutación:

[Uk, Pk′

]= i�δk,k′,

es decir que modos normales distintos son independientes. Cabe destacarademás que estos operadores no son hermíticos y cumplen:

U †k = U−k,

P †k = −P−k.

El Hamiltoniano se escribe entonces según:

H =∑

k

[1

2mP †k Pk + g(k)U †

kUk

],

donde g(k) = 2K(1− cos ka). La relación de dispersión es, entonces:

ωk =

√g(k)

m= 2ωx sin(|ka|),

donde ωx =√

K/m es la frecuencia de intercambio que habíamos intro-ducido en el Capítulo 1.

Con esto en mente podemos definir ahora a los operadores de creación yaniquilación para cada modo normal k según:

bk =1√

2m�ωk

(Pk − imωkU

†k

),

b†k =1√

2m�ωk

(P †k + imωkUk

).

Por lo tanto tenemos por relación de conmutación:[bk, b

†k′

]= δk,k′,

4

debe tenerse en cuenta que esto también vale para la base de sitios aunqueen ella no podemos encontrar en forma directa a los autoestados del sistema.Siguiendo en la base diagonal se pueden destacar además las propiedades:

[bk, bk′

]=[b†k, b

†k′

]= 0.

La inversa ahora toma la forma:

Pk =

√m�ωk

2

(b†k + b−k

),

Uk = i

√2�

mωk

(b−k − b†k

).

De esta forma, el Hamiltoniano puede escribirse según:

H =∑

k

�ωk

2

(b†k bk + bkb

†k

)=∑

k

�ωk

2

{b†k, bk

}

=∑

k

�ωk

(b†k bk +

1

2

).

Por lo tanto, cada modo normal es un "oscilador" por si mismo y cadaoscilador presenta un espectro discreto asociado con los distintos valores quepuede tomar la amplitud de oscilación. De esta forma, los autoestados son:

|Φ〉 = |n1〉 ⊗ |n2〉 ⊗ . . .⊗ |nN〉= |n1, n2, . . . , nk, . . . , nN 〉

=1√

n1!n2! . . . nk! . . . nN !

(b+1)n1 (b+2

)n2 . . .(b+k)nk . . . (bnN)

nN |0〉 .

es decir, el estado del k-ésimo modo normal es |nk〉.

1.2 Generalización dimensional

Suponemos ahora que el sistema es tridimensional. Los vectores de desplaza-miento y momento se escriben entonces como:

uR = uxRex + uyRey + uzRey,

pR = pxRex + pyRey + pzRey,

5

donde el vector R corresponde a la posición, en principio fija, desde la cualreferimos el desplazamiento. Estos operadores, a su vez, respetan la relaciónde conmutación:

[uR, pR′] = i�IδR,R′ .

Podemos definir los modos normales según:

Uk =1√N

∑

R

uReik·R,

Pk =1√N

∑

R

pRe−ik·R.

El Hamiltoniano, en la base de modos normales, se escribe según:

H =∑

α,k

[1

2mP†kPk + U

†kgkUk

],

donde gk es una matriz que conecta las distintas componentes del de-splazamiento para distintos sitios de la red:

gk =∑

i

g(Ri)e−ik·Ri,

siendo la suma sobre los distintos vectores de red Ri.

1.3 Límite continuo

Es posible generalizar para sistemas donde la longitud de onda es grandecomparada con el espaciamiento de red. En este caso definimos al operadormomento por:

p(r) = ρ0v(r),

si u(r) es el desplazamiento asociado al punto r, entonces podemos ex-presar al Hamiltoniano según:

H =1

2ρ0

∫p∗(r) · p(r)d3r+1

2

∫ ∫u∗(r)g(r− r′)u(r)d3rd3r′.

Además, tenemos para estos operadores vectoriales la relación de con-mutación:

[u(r),p(r′)] = i�Iδ(r− r′).

6

Análogamente, podemos definir los modos normales por:

U(k) =1√N

∫u(r)eik·rd3r,

P(k) =1√N

∫p(r)e−ik·rd3r,

donde N es la constante de normalización. Siguiendo el análisis anterior,puede verse también que los operadores referidos a los modos normales guardanla relación de conmutación:

[U(k),P(k′)

]= i�δ(k− k′),

y el Hamiltoniano en esta base se escribe:

H =1

2ρ0N

∫P∗(k) ·P(k)d3k+ 1

2N

∫ ∫u∗(r)g(k)u(k)d3k

con

g(k) =

∫g(R)e−ik·Rd3r

El Lagrangiano asociado al sistema puede escribirse en términos de ladensidad lagrangiana L(r) según:

L =

∫L(r)d3r,

esta densidad depende del campo de desplazamiento φ(r):

L(r) = L(φ(r), φ(r),

∂φ(r)

∂x,∂φ(r)

∂y,∂φ(r)

∂z

).

Nótece que ahora el la accion es una integral en las coordenadad de posiciony tiempo X = (x, y, z, t) . Por tanto estamos en optimas condiciones paraimponer la invariancia de Lorentz. La variacion invoblucra

δ

∫L(φ(r),

∂φ(r)

∂Xi

)d4X

Haciendo la variacion del Lagrangiano, encontramos las ecuaciones de Euler-Lagrange, esta vez expresadas en términos de derivadas funcionales que defin-imos en el capítulo 1 (que en la práctica usamos como derivadas comunes)

δLδφ−

4∑

i=1

∂

∂Xi

δLδ ∂φ∂Xi

= 0

7

1.4 Oscilación pura

Consideremos la siguiente densidad Lagrangiana:

L(x) = 1

2ρ0

(∂φ

∂t

)2− 1

2g

(∂φ

∂x

)2,

cuyo segundo termino describe una energia potencial asociada al campo dedesplazamiento mientras que el primer término describe la energía cinéticalocal.

Problema: mostrar que el Lagrangiano anterior determina la ecuaciónde onda:

∂2φ

∂t2− c2

∂2φ

∂x2= 0,

con c =√

g/ρ0.Hint: Para calcular las ecuaciones de Euler-Lagrange puede tenerse en

cuenta:δL

δ(∂φ/∂x)= −g∂φ

∂x,

Recordamos que si cada masa puntual tiene una frecuencia natural (ej.péndulos acoplados) debermos agregar un término adicional en la ecuaciónde onda con lo que se obtendría una ecuación de onda “masiva”. En estecaso, la relación de dispersión se modifica como se muestra en la gráfica 1.

Dado el momento:

π(r) =∂L(r)∂φ(r)

, tal que

[φ(r), π(r′)] = i�δ(r− r′)

podemos escribir a la densidad Hamiltoniana a través de:

H = π(r)φ(r)−L(r).

En el caso del ejemplo tenemos:

π(r) = ρ0φ(r),

por lo tanto:

H =π2(r)

2ρ0+

g

2(∇φ(r))2 .

8

ωk

k

ω0

0

Figure 1: Relaciones de dispersión para sistema ondulatorio simple (en negro)y masivo (en azul)

Siendo X = (x, y, z, t), teníamos para la densidad lagrangiana:

L(r) = L(φ(r), ∂φ(r)∂X

),

por el principio de extremo en la acción se tiene:

0 = δ

∫Ld4X=

∫ [∂L∂φ

−4∑

i=1

∂

∂Xi

(∂L

∂(∂φ/∂Xi)

)]

δφd4X,

para que la integral sea nula, el término entre corchetes debe anularse yobtenemos las ecuaciones de Euler-Lagrange:

∂L∂φ

−4∑

i=1

∂

∂Xi

(∂L

∂(∂φ/∂Xi)

)= 0,

donde paticipan otros términos que se anulan relacionados a las condi-ciones de contorno. La ventaja de la formulación lagrangiana es que ésta nospermite encarar problemas de relatividad donde no hay distinción entre lascoordenadas espaciales y las temporales. Por otro lado, hemos visto tambiénque ha resultado de utilidad esta formulación para las integrales de caminode Feynman.

9

1.5 Campo de Klein-Gordon

Podemos plantear el Hamiltoniano de oscilación pura introducido anterior-mente y agregar un término conocido por campo de Klein-Gordon mφ2:

H =1

2

[Π2(r) +∇2φ(r) +mφ2(r)

],

donde hemos tomado, por simplicidad, � = 1, c = 1.La ecuación de onda que se obtiene para este caso es:

∇2φ− ∂φ

∂t2−m2φ = 0,

esta ecuación nos da para la relación de dispersión:

ωk = ±mc

�

(1 +

�2k2

mc2

)2.

2 Fuentes de los campos e interacciones

El Hamiltoniano que corresponde a la aplicación de una fuerza sobre el sis-tema es típicamente:

HI =

∫F (r)φ(r)d3r,

donde F (r) es la fuerza aplicada y φ(r) es el campo de desplazamiento. Asu vez, la densidad hamiltoniana puede escribirse según:

HI = gψ(r)φ(r),

con g la constante de acople y ψ(r) el campo que origina la fuerza. Másgeneralmente, la interacción puede no ser lineal y se deberian considerarinteracciones de la forma:

HI = g [ψ(r)]p [φ(r)]q ,

por ejemplo, la interacción electrón-fonón no es lineal y se representa según:

He−ph = g

∫ψ∗(r)ψ(r)︸ ︷︷ ︸

electrón

φ(r)︸︷︷︸fonón

d3r.

10

2.1 Scattering Rayleigh

Anteriormente teníamos un Hamiltoniano sin perturbar H0 y ahora le agreg-amos un término con cambio en la masa ∆M en un único punto del espacio.Así, el cambio en la densidad es:

∆ρ = ∆Mδ(r).

El Hamiltoniano de interacción que se obtiene entonces es:

HI = ∆ρ

(∂φ

∂t

)2=

∆M

ρ20Π2(r)δ(r).

Escribiendo a Π(r) en términos de los operadores de creación b† y aniquilaciónb, se tiene:

HI =∆M�

2ρ0V

∑

k,k′

√ωkωk′

[bkbk′ + b†−kbk′ + b

kb†−k′ + b†−kb

†−k′

]

Si definimos como elemento de matriz al término:

Tk,k′ = 〈0k1k′| HI |1k0k′〉 ,

donde |αβ〉 denota al estado con α fonones del modo normal k y β fononesdel modo normal k′. En el elemento Tk,k′ estamos viendo la aniquilación deun único fonón en el modo k y la creación de un único fonón en el modo k′.

Por lo tanto, los términos del Hamiltoniano que interesan son b†−kbk′ y

bkb†−k′. Realizando entonces el cálculo, obtenemos:

Tk,k′ =∆M�

2ρ0V

√ωkωk′ .

Además, podemos calcular la vida media en los estados k:

1

τk=

2π

�

∑

k′

|Tk,k′|2 δ(εk′ − εk)

=2π

�|Tk,k|2 J(εk) ∝

2π

�ω2k× ω2

k

donde una de las ω2k

proviene, según vimos, del término Tk′,k y la otra dela densidad de estados. Por lo tanto se tiene una dependencia de la forma:

1

τk∝ ω4

k,

11

k’

k

k’

k

Figure 2: Diagrama de dispersión. Un fonón incide en la región de dispersiónen su modo normal k y es aniquilado. A su vez, se crea otro fonón emergenteen el modo k′.

conocida como dispersión Rayleigh. En general, nos preguntamos por tran-siciones de la forma:

〈nk − 1, nk′ + 1|HI |nk, nk′〉 ,

que, según las propiedades de los operadores de creación y aniquilación, nosda:

|〈nk − 1, nk′ + 1|HI |nk, nk′〉|2 = nk(nk′ + 1) |Tk,k′|2

2.2 Fuerza de Yukawa

Vamos a considerar una densidad Hamiltoniana de interacción de la forma:

HI = gψ∗(r)ψ(r)φ(r),

Para fijar ideas se toma a la densidad de fuerza producida por dos distorcioneslocales clásicas localizadas en las posiciones R1 y R2 fijos, es decir:

ψ∗(r)ψ(r) =2∑

j=1

δ(r−Rj),

Se tiene para el Hamiltoniano la expresión:

HI = −ig∑

k

√2V ωk

∑

j

[b†ke−ik·Rj − bke

ik·Rj

]

12

Deseamos encontrar la corrección energética1 asociada a esta interacción.El orden más bajo no-nulo corresponde al término de segundo orden y tomala forma:

∆ε(2) =∑

k

∣∣∣〈1k| HI |0〉∣∣∣2

ε(0)1 (k)− ε(0)0 (k)

= − g2

2V

∑

k

1

ω2k

∣∣∣∣∣

2∑

j=1

eik·Rj

∣∣∣∣∣

2

= − g2

2V

∑

k

1

ω2k

{2 + 2 cos [k · (R1 −R2)]} ,

Podemos pensar a esta corrección como suma de dos términos:

∆ε(2) = ∆εse +∆εint.

En el término de autoenergía ∆εse, se tiene un aporte proporcional alnúmero de partículas pero no depende de las posiciones de las partículas.Esta cantidad indica la energía de distorción del campo creada para colocarestas partículas adicionales en el sistema. Si tomamos la suma en los modosk como una integral, en el espacio de las fases, de un volumen finito de radiokmax, entonces:

∆εse = −g2

V

(V

8π3

)∫ kmax

0

4πk2

ω2kdk,

teniendo en cuenta que:ω2k = k2 +m2,

se logra la siguiente expresión:

∆εse = −g2

2π2

[kmax −marctan

(kmaxm

)],

nótese entonces que esta cantidad diverge con kmax. Sin embargo, en lossistemas que estudiamos en materia condensada, el valor de kmax está acotadoal parámetro de red pues kmax ∼ a−1.

1Como puede verse en el Hamiltoniano, sólo aparece un operador de creación oaniquilación. Por lo tanto, no se tiene corrección a primer orden en la Teoría de Per-turbaciones.

13

Para el término de interacción, ∆εint, tenemos:

∆εint = − g2

8π2

∫cos(k ·R)

k2 +m2d3k

= − g2

4πRe−mR,

conocido como potencial de Yukawa. Nos indica que la energía baja si laspartículas están cerca. Se ha generado una interacción atractiva...! Esto esdebido a que a la segunda partícula le “conviene” aprovechar la distorcióndel campo producida por la primera. Esto es análogo a la situación clásicaen que dos bolas de bowling puestas sobre un colchón tienden a juntarse enel mismo hueco. El campo bosónico es el mediador de esta interacción.

2.3 LASER de Helio

Consideremos un átomo de Helio en donde sus electrones se encuentran enel estado simétrico 1s con orientaciones de espín diferentes. Aplicando unaradiación estimulante, es posible colocar a uno de los electrones en el estadoantisimétrico 2p. La transición que resulta escencial para el LASER es desde2p a 2s. El dispositivo que se utiliza es una cavidad cuya dimensión esmúltiplo entero de la longitud de onda correspondiente a esta transición.Estos electrones, excitados en forma incoherente, decaen al estado 2s y emitencoherentemente formando el haz de fotones. La amplitud de probabilidadasociada a la emisión y absorción viene dada según:

〈2s, n + 1|V0(b† + b

)|2p, n〉 = V0

√n+ 1 emisión

〈2s, n− 1|V0(b† + b

)|2p, n〉 = V0

√n absorción

2.4 Osiladores acoplados

Consideremos el Hamiltoniano de dos osciladores independientes:

H0 = �ω1

(b†1b1 +

1

2

)+ �ω2

(b†2b2 +

1

2

),

y un acoplamiento de la forma:

HI = V0

(b†1 + b1

)(b†2 + b2

).

14

Una pregunta que podemos realizar es: ¿cuál es el espacio de estadosposible para este sistema? Una manera de estudiar el conjunto de estados seefectúa mediante un sistema de "sitios" como se muestra en la figura 3.

n2

n1

0

N

1

N-1

N/2

N/2

N-1

1

N

0

hω0(N+1)/2π

Figure 3: Configuración de estados para el sistema de dos osciladores acopla-dos. En esta gráfica, mostramos aquellas transiciones que conservan elnúmero de bosones.

La amplitud de probabilidad de salto entre la configuración (n1, n2) a(n1 − 1, n2 + 1) es V0

√n1(n2 + 1), mientras que (n1, n2) −→ (n1 + 1, n2 − 1)

tiene amplitud V0√

(n1 + 1)n2. En forma semejante, podemos generalizareste sistema para el Hamiltoniano completo y se deben tener en cuenta lostérminos de creación o aniquilación de dos bosones. En este caso, el espaciode estados toma la forma de la figura 4

hω0(N+1)/2π

hω0(N-1)/2π

hω0(N+3)/2π

N/2-1N/2-1

N/2+1N/2+1

Figure 4: Configuración de estados para el Hamiltoniano completo.

La amplitud de salto en (n1, n2) −→ (n1+1, n2+1) es V0√

(n1 + 1)(n2 + 1)

y para (n1, n2) −→ (n1 − 1, n2 − 1) se tiene V0√

(n1 − 1)(n2 − 1).Volviendo al caso en que se conserva el número de bosones, pueden cal-

15

cularse los números medios de bosones según:

〈n2〉 =∑

n2

n2∣∣〈n2| e−iHt/�

∣∣n02⟩∣∣2 ,

〈n1〉 =∑

n2

(N − n2)∣∣〈n2| e−iHt/�

∣∣n02⟩∣∣2 .

Si quisiéramos expresar más formalmente estos valores entonces tendríamos:

n2(t) = 〈Φ(t)| b†2b2 |Φ(t)〉 ,

con:

|Φ(t)〉 = e−iHTrt/�

√n0!(N − n0)!

(b†2

)n0 (b†1

)N−n0|0〉 .

2.5 Una partícula bosónica

La pregunta que nos planteamos ahora es cómo podemos armar un estadode un bosón. Una posibilidad es tomar la función de onda correspondiente alos autoestados φk(r), es decir:

|1B〉 =∑

k

φ∗k(r)b†k |0〉 ,

y puede verse que esta función cumple con la condición de normalización〈1B| 1B〉 = 1. A su vez, proponemos un paquete de ondas gaussiano:

φ(r) =e−ik0re−(r−r0)2/4σ2

(2πσ2)1/4,

a esta función nos conviene expandirla en la base de autoestados, entoncesrealizamos la transformada de Fourier:

φp =1

(2πσ2p

)1/4 e−(k−k0)2/4σ2pe−i(p−p0)r0/�,

con σp = �/σ, se tiene entonces:

|1B〉 =∑

p

φ∗pb†p |0〉 .

16

Ahora deseamos incluir un bosón adicional. Por lo tanto, debemos crear2 partículas bosónicas y nos preguntamos entonces por el estado |2B〉 . Unaprimer aproximación es pensar en que las funciones de cada partícula vienendadas por gaussianas centradas en los puntos r = ±b. En este caso definimos:

g±(r) =1

(2πσ2)1/4e−(r∓b)2/4σ2,

gB(r1, r2) = g+(r1)g−(r2).

Por lo que el estado es:

|2B〉 = 1√cB

∫dr1dr2g

∗B(r1, r2)φ

†(r1)φ

†(r2) |0〉 ,

donde φ†(r1) es el operador creación de campo asociado a la partícula 1

y cB es la constante de normalización tal que 〈2B |2B〉 = 1. Vamos entoncesa calcular esta constante:

1 =1

|cB|

∫dr1dr2dr

′1dr

′2 〈0| gB(r′1, r′2)φ(r′2)φ(r′1)g∗B(r1, r2)φ

†(r1)φ

†(r2) |0〉

=1

|cB|

∫dr1dr2dr

′1dr

′2gB(r

′1, r

′2)g

∗B(r1, r2) 〈0| φ(r′2)φ(r′1)φ

†(r1)φ

†(r2) |0〉

Nos interesa entonces ver el término 〈0| φ(r′2)φ(r′1)φ†(r1)φ

†(r2) |0〉 y hacer

uso de las propiedades de conmutación para llevar a los operadores de aniquilaciónhacia la derecha de forma tal que tengamos φ(r) |0〉 que, como hemos visto,es cero. Con esto en mente, hacemos:

〈0| φ(r′2)φ(r′1)φ†(r1)φ

†(r2) |0〉 = 〈0| φ(r′2)

[δ(r′1 − r1) + φ

†(r1)φ(r

′1)]φ†(r2) |0〉

= δ(r′1 − r1) 〈0| φ(r′2)φ†(r2) |0〉 + 〈0| φ(r′2)φ

†(r1)φ(r

′1)φ

†(r2) |0〉

= δ(r′1 − r1)δ(r′2 − r2) + δ(r′1 − r2) 〈0| φ(r′2)φ

†(r1) |0〉

= δ(r′1 − r1)δ(r′2 − r2) + δ(r′1 − r2)δ(r

′2 − r1),

de acuerdo a esto logramos entonces:

〈2B |2B〉 = 1

|cB|

∫dr1dr2

[|gB(r1, r2)|2 + g∗B(r2, r1)gB(r1, r2)

],

17

entonces:|cB| = 1 + |S+−|2 ,

con S+− la función de superposición (overlap) entre los campos asociadosa las partículas:

S+− =

∫drg∗+(r)g−(r).

Para el caso de fermiones tenemos que cambiar el signo de forma tal que:

|cF | = 1− |S+−|2 .

Problema: Calcular la función de superposición para el paquete gaus-siano definido anteriormente.

Podemos calcular en forma análoga la probabilidad de encontrar un bosónen un punto r del espacio, en este caso nos interesa conocer el valor mediodel número de partículas:

n(r) = 〈2B| n(r) |2B〉 = 〈2B| φ†(r)φ(r) |2B〉 ,

donde n(r) cumple: ∫n(r)dr = N,

con N número total de bosones (para nuestro caso N = 2).

n(r) =

∫dr′[|g−(r′)|2 |g+(r)|2 + |g−(r)|2 |g+(r′)|2± (2)

±g∗−(r′)g∗+(r)g−(r)g+(r′)± g∗−(r)g∗+(r

′)g−(r′)g+(r)

],

donde el + corresponde a bosones y el − a fermiones. Para el paquetegaussiano se tiene entonces:

n(r) =1√2πσ2

e−(r−b)2/2σ2 + e−(r+b)2/2σ2 ± 2e−(b/σ)2

e−r2/2σ2

1± e−(b/σ)2

. (3)

Problema: Mediante el análisis realizado en el cálculo de la constantede normalización cB, demostrar las ecs. (2) y (3).

Cabe notar que podemos obtener los mismos valores cB y n(r) haciendouso de las propiedades de simetría tanto para bosones como para fermiones.

18

En este caso partimos de las funciones de onda:

ΦB(r1, r2) =1√2

1

cB

[φ+(r1)φ−(r2) + φ−(r1)φ+(r2)

],

ΦF (r1, r2) =1√2

1

cF

[ψ+(r1)ψ−(r2)− ψ−(r1)ψ+(r2)

].

Así pues, tendríamos:

1 =

∫Φ∗B(r1, r2)ΦB(r1, r2)dr1dr2

=

∫Φ∗F (r1, r2)ΦF (r1, r2)dr1dr2.

3 Conección de simetría estadística

3.1 Simetría

Vamos a estudiar algunar propiedades de simetrías para partículas indis-tinguibles. En primer lugar tenemos los bosones que, según hemos vistoanteriormente, cumplen con:

[b, b†

]= 1→

[φ(r), φ

†(r′)]= δ(r − r′),

puede verse que esta relación es equivalente a que la función de onda estésimetrizada. Para el caso de los fermiones, tenemos reglas semejantes de laforma: {

c, c†}=[c, c†

]+= 1→

{ψ(r), ψ

†(r′)}= δ(r − r′),

donde ψ(r) es el campo para fermiones y nos referimos a la anticonmutación

por{A, B

}= AB + BA. Puede verse que la regla anterior es equivalente

al principio de exclusión de Pauli, es decir que la función de onda sea anti-simétrica tal como un determinante de Slater.

3.2 Estadística

A través de la estadística de Maxwell-Boltzmann se tiene para el valor mediode una cantidad la siguiente suma sobre los estados many-body del sistema:

A =

∑i Aie

−βEi

∑i e−βEi

,

19

donde β = 1/kBT. Si bien esta expresión es de caracter general, estamosbuscando encontrar un desarrollo aproximado donde se tengan en cuenta lasenergías de particula “independiente”, ya que muchas veces desconocemoslos estados globales del sistema. Partimos de que este valor medio puede serexpresado en términos de la traza matricial:

〈A〉 =Tr(Ae−βH

)

Tr(e−βH

) ,

como queremos describir sistemas donde el número de partículas puedefluctuar, nos conviene ver en la representación del Gran Canónico. En éstase tiene:

H → H − µN,

con N el operador número total de partículas, tal que:

N =∑

k

nk = a†kak,

donde a†k y ak son los operadores de creación y aniquilación de unapartícula (fermión ó boson) en el estado k. Si Z−1 =corresponde a la función

partición Tr(e−βH

)entonces tenemos para el valor medio de partículas en

el estado k:

〈nk〉 =⟨a†kak

⟩=

⟨Tr(a†kake

−β(H−µN))

Z

⟩

,

a través de la propiedad general de invarianza cíclica de la traza, podemosalternar cíclicamente el orden de los operadores:

Tr(a†kake

−β(H−µN))= Tr

(ake

−β(H−µN)a†k

).

En principio, H − µN es un operador que conserva el número de partículas.De esta forma, podemos escribir:

e−β(H−µN)a†k = a†ke−β(H−µN)e−β(εk−µ),

es decir, agrego una partícula al sistema. Debemos tener en cuenta queel Hamiltoniano corresponde a un sistema de partículas no interactuantes talque:

H =∑

k

εka†kak.

20

Tenemos pues:

⟨a†kak

⟩=

⟨Tr(aka

†ke−β(H−µN)e−β(εk−µ)

)⟩

Z

=

⟨Tr((

1± aka†k

)e−β(H−µN)e−β(εk−µ)

)⟩

Z

= e−β(εk−µ) ± e−β(εk−µ)⟨a†kak

⟩,

donde el signo + corresponde a bosones y el − a fermiones. Resolviendoentonces encontramos:

⟨a†kak

⟩=

1

eβ(εk−µ) ∓ 1,

es decir, las quasi-estadísticas que intentan describir como partículas inde-pendientes a un sistema de muchos cuerpos. Para cuantos de excitación:fonones, fotones, etc. se tiene que el corrimiento químico µ es nulo y elnúmero de partículas no es fijo. En cambio para átomos, moléculas, espinesenteros, etc. los valores del corrimiento son menores o iguales a cero.

Dado entonces para bosones:

nk =1

eβ(ε0

k−µ) − 1

,

tenemos que el número de partículas es:

N =∑

k

1

eβ(ε0

k−µ) − 1

≤ N0 +∑

k �=0

1

eβε0

k − 1,

donde hemos separado la suma en la cantidad N0 de partículas en el estadofundamental y el resto de las partículas en los estados excitados. Si tomamosun continuo de estados, la suma anterior puede calcularse como una integral:

∑

k �=0

1

eβε0

k − 1→ V

(2π)3

∫ ∞

0

4πk2

eβε0

k − 1dk,

de acuerdo a la relación de dispersión para partículas no interactuantes:

ε0k =�2k2

2m,

21

obtenemos, mediante un cambio de variables, la integral:

I(β) =

(2m

�2β

)3/2V

(2π)3

∫ ∞

0

√u

eu − 1du.

Si I(β) = N estamos en una temperatura crítica TC tal que si se dis-minuye este valor nos encontramos en la condensación de Bose. Podemosestudiar el calor específico e incluso realizar experimentos con fluidos a estastemperaturas y se observan fenómenos interesantes tales como rozamientonulo en fluidos y comunicación de líquidos a distintos niveles. Debido a es-tas novedosas propiedades se realizaron varios estudios sobre estas sustanciasque hoy se conocen por condensados de Bose.

4 Superfluidos

Los primera descripción teóricos sobre superfluidos lo desarrollaron indepen-ditentemente Feynman y Landau de manera cualitativa. Feynman propusoque en presencia de un condensado de Bose, aun cuando es un líquido, valeuna relación de dispersión excitaciones del tipo de los fonones:

εk = ck,

mediante esta relación para las partículas del fluido, pudo explicar la super-fluidez observada por debajo de la temperatura crítica. Además proponeque esto es consecuencia de un potencial interpartícula repulsivo de rangofinito. La componente de momento q = 0 de su transformada de FourierV0 =

∫drV (r). En la figura se muestra un ejemplo del tipo Gaussiano .

4.1 Método de Bogoliubov

Proponemos para el Hamiltoniano la forma:

H =∑

k

ε0kb†kbk +

1

2

∑V (k1−k′1)b†k1 b

†k2bk′

2bk′

1δ(k1−k′1 + k2−k′2),

como nos muestra la función delta de Dirac, tenemos conservación delmomento, ya que debe cumplirse:

k1 + k2 = k′1 + k

′2,

22

TF

V(r)

r0 r 1/r0

V(k)

k

V0

Figure 5: Potencial interpartícula y su transformada de Fourier.

q

k’1 k’2

k2k1

Figure 6: Diagrama correspondiente a una dispersión con conservación delmomento.

puede verse en la figura 8 la interacción propuesta.Para la función de onda, se propone una onda plana de la forma:

φk(r)1√Veikr,

por lo tanto, se tiene para la interacción:

V (k4k3︸︷︷︸final

; k2k1︸︷︷︸inicial

) =1

V 2

∫e−ik4r2e−ik3r1V (r2 − r1)e

ik2r2eik1r1dr1dr2,

reemplazando:

δr = r2 − r1,

r = 12(r1 + r2),

23

puede verse que la interacción es:

∫e−ik4(r+δr/2)e−ik3(r−δr/2)V (δr)eik2(r+δr/2)eik1(r−δr/2)dδr dr

V 2=

=

[∫e−i(k4+k3−k2−k1)r

dr

V

] [∫e−i(k4−k3−k2+k1)δr/2V (δr)

dδr

V

],

de la primer integral resulta la delta que nos dá la conservación del mo-mento. Para la otra integral, si llamamos:

q = k3 − k1 = k2 − k4,

entonces tenemos:

Vk4...k1 = δ(k4 + k3 − k2 − k1)

∫e−iqδrV (δr)

dδr

V︸ ︷︷ ︸Vq

.

4.1.1 Propiedades del estado fundamental:

Si V = 0, entonces a T=0 todas las partículas se encuentran en el estadofundamental y se tiene una condensación de Bose total. Debido al potencialde repulsión el nuevo estado fundamental debe construirse usando “excita-ciones”. Supongamos que hay n partículas que debido a las interacciónes nose encuentran en el estado fundamental de H0, es decir que hay n excitacionestal que n≪ N0, entonces el Hamiltoniano puede desarrollarse según:

H =∑

k

ε0kb†kbk +

1

2N20V0 +N0V0

∑

k �=0

b†k bk +N0

∑

k �=0

Vkb†kbk +

+1

2N0

∑

k �=0

Vk

(bkb−k + b†kb

†−k

)+ órdenes superiores

Tenemos pues que el primer término corresponde a la energía cinética delas partículas sin interacción. El segundo se debe a las partículas que estánen el fundamental interactuando entre si. Luego están aquellas interaccionesentre una partícula del estado fundamental y otra excitada. Estos términospueden describirse en los diagramas de la figura 7.

Teníamos anteriormente al gas de Bose a temperatura T = 0 en el casode un Hamiltoniano de partículas no interactuantes. Hemos visto que si

24

V0

0 k

k0

V(-k)

k 0

k0

V(-k)

0 0

-kk

V(-k)

k -k

00

V0

0 k

k0

V0

0 k

k0

V(-k)

k 0

k0

V(-k)

k 0

k0

V(-k)

0 0

-kk

V(-k)

0 0

-kk

V(-k)

k -k

00

V(-k)

k -k

00

Figure 7: Diagramas de dispersión correspondientes a los distintos términosen la serie.

agregábamos un potencial Vq nos podiamos preguntar por los nuevos estadosexcitados. Siendo el número total de partículas N = N0 + n con N0 en elestado fundamental y n en los estados excitados tal que n ≪ N0, tenemospara el Hamiltoniano:

H =N2V02

+∑

k( �=0)

(ε0k +NVk

)b†kbk +

∑

k(�=0)

NVk

2

(bk b−k + b†kb

†−k

)+ . . .

La pregunta que nos hacemos es:¿Cuál es el nuevo estado fundamentalpara este Hamiltoniano? La forma que deseamos escribir el Hamiltoniano es,entonces:

H =∑

k

λkα†kαk + cte.

Para ello, partimos del Hamiltoniano truncado:

H =∑

k(�=0)

(ε0k +NVk

)︸ ︷︷ ︸

Ek

b†kbk +1

2

∑

k( �=0)

NVk︸︷︷︸∆k

(bkb−k + b†kb

†−k

),

nótese que podemos escribirlo según:

H =∑

k>0

Hk,

donde:

Hk = Ek

(b†kbk + b†−k b−k

)+∆k

(bkb−k + b−kbk

).

25

Planteamos ahora la evolución:

−i� ∂

∂tbk =

[Hk, bk

]= Ek bk +∆kb

†−k,

−i� ∂

∂tb†−k =

[Hk, b

†−k

]= Ekb

†−k +∆k bk.

Por lo tanto, tenemos que los momentos k y −k están acoplados y losnuevos estados deben poseer este acople. La propuesta es tomar:

αk = ukbk − vkb†−k,

α†k = ukb†k − vkb−k.

Esta es la transformación de Bogoliubov, que también es válida en super-conductores. Los coeficientes uk y vk deben tomarse reales. De acuerdo a larelación de conmutación: [

αk, α†k

]= 1,

tenemos que estos coeficientes cumplen con la ecuación hiperbólica u2k −v2k = 1.

Nos preguntamos ahora por la conmutación con el Hamiltoniano:[Hk, αk

]= uk

(Ekb

†k +∆kb−k

)+ vk

(Ekb−k +∆kb

†k

)

= λkα†k = λk

(ukb

†k − vkb−k

).

Y esto implica dos ecuaciones: la primera para los coeficientes de b†k y la

segunda para los coeficientes de b−k:

Ekuk +∆kvk = λkuk,

∆kuk + Ekvk = −λkvk.

Se exige entonces que el determinante asociado al sistema de ecuacionessea nulo, entonces: ∣∣∣∣

Ek − λk ∆k

∆k Ek + λk

∣∣∣∣ = 0,

Entonces:

λ2k = E2k −∆2

k

=(ε0k +NVk

)2 − (NVk)2

=(ε0k)2

+ 2ε0kNVk.

26

Si k es pequeño, entonces tenemos por aproximación:

λk ≃(NV0m

)1/2k = csk, k→ 0,

donde cs es la velocidad del sonido. Para valores pequeños en el númerode onda se obtiene la relación de dispersión correspondiente a fonones. Estonos dice que ya no contamos con partículas usuales sino con cuasipartículasque tienen que ver con estados colectivos del gas.

Si tenemos valores grandes en k entonces la relación de dispersión es:

λk ≃ ε0k +NVk, k →∞,

que corresponde a la relación de partícula libre. Una gráfica experimentalpara la relación de dispersión puede verse en la figura 8.

λk

ε0

k

Rotonesλ k , ε

0 k

k

Figure 8: Relación de dispersión para los nuevos estados. Se compara con laforma cuadrática correspondiente a las partículas libres.

27

4.2 Superfluidez.

Supongamos ahora que tenemos un condensado de Bose y una partícula conmomento mv = p como se muestra en la figura.

p

p’

Figure 9: Colisión de una partícula en un condensado de Bose.

La conservación de la energía y el momento nos dice:

Mv2

2=

Mv′2

2+ λk,

Mv = Mv′ + �k,

Estas ecuaciones, escritas en forma simultánea, nos da:

λk +k2

2M− v · k = 0.

El valor mínimo en la velocidad tal que se cumpla esta igualdad se dacuando k es paralelo a v y además:

vc = min

(�k

2M+

λk

k

),

en el caso en que la partícula sea macroscópica se tiene �k/2M → 0 puesM → ∞. Entonces vc = cs, es decir que la velocidad crítica a partir de lacual la macropartícula logra excitar al fluido es la velocidad del sonido. Paravelocidades menores se tiene que la partícula atraviesa el fluido sin fuerzasde rozamiento que se le opongan.

28

Nótese que si la relación de dispersión que describe las cuasipartículas delHe hubiera sido cuadrática, es decir εk = �

2k2

2m∗, se tendría:

vc = min(εkk

)= min

(�2k2

2m∗

k

)

= 0

Es decir siempre se satisface hay procesos de dispersión con transferencia demomento y energía al condensado.

29