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  • Aplicaciones del Axioma de Elección I

    Esta vez nos interesa desarrollar varias aplicaciones del axioma de elección en diversas áreas de las matemáticas.

    43.1 Continuidad Recuerde la definición de continuidad de una función de R a R.

    (a) La función f es continua en a ∈ R si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que | f (x) − f (a)| < ε para cualquier x tal que |x − a | < δ.

    (b) La función f es continua en a ∈ R si para toda sucesión (xn : n ∈ N) que converge a a, la sucesión (f (xn) : n ∈ N) converge a f (a).

    Probemos que estas definiciones son equivalentes. (a)⇒(b) Si (xn : n ∈ N) converge a a y ε > 0, primero encontramos δ > 0 como en

    (a). Dado que (xn : n ∈ N) converge, existe nδ tal que |xn − a | < δ siempre que n ≥ nδ. Es claro que | f (xn) − f (a)| < ε para toda n ≥ nδ.

    (b)⇒(a) Aquí requerimos el AE. Suponga que (a) es falsa. Entonces, existe ε > 0 tal que para cada δ > 0 existe x con |x − a | < δ para | f (x) − f (a)| ≥ ε. En particular, para cada k = 1, 2, 3, . . . podemos elegir un xk tal que |xk − a | < 1/k y | f (xk ) − f (a)| ≥ ε. La sucesión (xk : k ∈ N) converge a a, pero la sucesión (f (xk ) : k ∈ N) no converge a f (a), por lo que (b) es falso. �

    La siguiente aplicación concierne a espacios vectoriales.

    Teorema 43.1.1. SeaW un espacio vectorial sobre un campo K . Entonces, exste una base B paraW .

    Demostración. En realidad este teorema es un «si y sólo si» pero ahora mismo sólo nos interesa una implicación, la otra fue demostrada enla lectura 42.

    Sea B la familia de subconjuntos deW que son linealmente independientes. Note que B , pues {x} ∈ B , para cualquier x ∈W , x , 0; si W = {0}, no hay nada que

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  • 454 CAPÍTULO 43. APLICACIONES DEL AXIOMA DE ELECCIÓN I

    probar. Ordenamos parcialmente B mediante ⊆. Nos proponemos aplicar el lema de Zorn al cpo (B , ⊆). Con este fin, debemos cerciorarnos de que toda cadena en (B , ⊆) tiene cota superior. Sea C una cadena en B . Debemos exhibir una cota superior de C en B . Si C es una cadena finita, tiene un elemento más grande respecto a ⊆, por lo que éste es una cota superior de C . Si C es inifinita, sea Z =

    ⋃ C .

    Afirmación 1. Z ∈ B y Z es cota superior de C . Demostración de la afirmación 1. Que Z es cota superior de C es evidente pues

    si A ∈ C , A ⊆ Z por definición de Z . Resta confimar que Z ∈ B , es decir, que Z es linealmente independiente. Suponga

    que no es así, entonces existen z1, . . . , zn ∈ Z y r1, . . . , rn ∈ K , no todos cero, tales que

    r1z1 + · · · + rnzn = 0.

    Cada zi pertenece a algún Ai ∈ C y como C es una cadena infinita, podemos encontrar un A ∈ C tal que A ⊃ A1 ∪ · · · ∪ An , por lo que todos los zi pertenecen a A, lo que implicaría que A no es linealmente independiente, un hecho contradictorio. X (1)

    Entonces (B , ⊆) satisface las hipótesis del lema de Zorn y tiene un elemento máx- imo B∗ respecto a ⊆.

    Afirmación 2. B∗ es una base deW . Demostración de la afirmación 2. Por construcción, B∗ es linealmente indepen-

    diente. Resta verificar que B∗ genera a W . Dado que 〈B∗〉 ⊆ W , de no darse la igualdad 〈B∗〉 =W , existiría x ∈W − 〈B∗〉, lo que indicaría que B∗ ∪ {x} es linealmente independiente y B∗ $ B ∪ {x}, que se opone a que B∗ sea máximo. X (2) �

    Para hacer más visibles los razonamientos recién expresados, consideremos una situación particular.

    Ejemplo 43.1.2. Tome al conjunto de los números reales R como un espacio vectorial sobre Q. Por el teorema 43.1.1, este espacio vectorial tiene una base. En el caso de este espacio vectorial la base se conoce como una base de Hamel. En otras palabras, un conjunto X ⊆ R es una base de Hamel para R si cada x ∈ R se puede representar en forma única como

    x = r1z1 + · · · + rnzn

    donde los ri son racionales y los zi elementos de la base de Hamel X . Como dijimos, los siguientes razonamientos simplemente ilustran en detalle las ideas del la prueba del teorema 43.1.1.

    Un conjunto X de números reales es linealmente dependiente cuando existen x1, . . . , xn ∈ X diferentes y r1, . . . , rn ∈ Q distintos de cero tales que

    r1x1 + · · · + rnxn = 0.

    Un conjunto X ⊆ R que no es dependiente, se llama linealmente independiente. Sea A el conjunto de todos los subconjuntos de R que son linealmente independientes. Dotamos a A de un orden parcial mediante la contención ⊆ y verificamos que (A, ⊆) satisface las hipótesis del lema de Zorn. Sea A0 ⊆ A linealmente ordenado por ⊆, es decir, A0 es una cadena, todos sus elementos son comparables entre sí. Sea X0 =

    ⋃ A0.

    Entonces, X0 será una cota superior de A0 en A si X0 es linealmente independiente,

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  • 43.1. CONTINUIDAD 455

    pues claramente X0 es ⊆-mayor que cualquier elemento de A0. Supongamos que existen distintos x1, . . . , xn ∈ X0 y r1, . . . , rn ∈ Q distintos de cero tales que

    r1x1 + · · · + rnxn = 0

    En tal caso, existirían X1, . . . ,Xn ∈ A tales que x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn . Como A0 está linealmente ordenado por ⊆, el subconjunto finito {X1, . . . ,Xn} de A0 tiene mayor elemento respecto a ⊆, digamos Xi ∗ . En consecuencia, x1, . . . , xn ∈ Xi ∗, así que Xi ∗ no sería linealmente independiente, una contradicción.

    Por el lema de Zorn, (A, ⊆) tiene un elemento máximo X . Resta probar que X es una base de Hamel. Suponga que x ∈ R no se puede expresar como r1x1 + · · · + rnxn con xi ∈ X , ri ∈ Q. Entonces x < X (de lo contrario, x = 1 · x), así que X ⊂ X ∪ {x} y X ∪ {x} es linealmente dependiente, porque X es máximo linealmente independiente. Entonces, existen z1, . . . , zn ∈ X ∪ {x} y s1, . . . , sn ∈ Q, no todos cero, tales que s1z1 + · · · + snzn = 0. Como X es linealmente independiente, x ∈ {z1, . . . , zn}, digamos x = z1 y el coeficiente correspondiente s1 , 0. Se sigue que

    x = z1

    =

    ( − s1 s1

    ) x1 + · · · +

    ( − sn s1

    ) xn

    esto contradice la hipótesis en x . De modo que todo real es representable como com- binación lineal de elementos en X . Ahora, suponga que algún real x ∈ R admite dos representaciones en términos de elementos de X ,

    x = r1x1 + · · · + rnxn

    = s1y1 + · · · + sk yk

    donde x1, . . . , xn , y1, . . . , yk ∈ X , r1, . . . , rn , s1, . . . , sk ∈ Q − {0}. En consecuencia

    r1x1 + · · · + rnxn − s1y1 − · · · − sk yk = 0 (❇)

    Si {x1, . . . , xn} , {y1, . . . , yk }, digamos x1 < {y1, . . . , yk }, (❇) se puede ver como una combinación lineal de elementos distintos de X , lo cual no es posible. En consecuen- cia, n = k y x1 = yσ(i ), . . . , xn = yσ(n), para alguna aplicación biyectiva de {1, . . . , n} en sí mismo. Por tanto, podemos escribir (❇) en la forma

    (r1 − sσ(1))x1 + · · · + (rn − sσ(n))xn = 0.

    Ya que x1, . . . , xn son elementos distintos entre sí de X , ocurre ri − sσ(i ) = 0 para toda i ≤ n, de donde se sigue que r1 = yσ(1),...,rn = sσ(n).

    Por lo tanto, todo número real se puede representar en forma única como combi- nación lineal de elementos de X , de donde se deduce que X es una base de Hamel.

    Ejemplo 43.1.3. Una función f : R → R es aditiva si f (x + y) = f (x) + f (y) para culesquier x , y ∈ R. Un ejemplo de función aditiva es fa(x) = a · x para toda x ∈ R y a ∈ R está fijo. Es claro que,

    fa(x + 1) = a(x + y) = ax + ay = fa(x) + fa(y).

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  • 456 CAPÍTULO 43. APLICACIONES DEL AXIOMA DE ELECCIÓN I

    Suponga que f es una función aditiva y hacemos f (1) = a. En consecuencia,

    f (2) = f (1) + f (1) = a · 2 f (3) = f (2) + f (1) = a · 3

    y por inducción f (b) = a · b para cada b ∈ N − {0}. Como f (0)+ f (0) = f (0+ 0) = f (0), deducimos f (0) = 0. Además, f (−b) + f (b) = f (0) = 0, por lo que f (−b) = −f (b) = a · (−b) para b ∈ N. Para calcular f ( 1n ) note que

    a = f (1) = f (

    1 n

    ) + · · · + f

    ( 1 n

    ) ︸ ︷︷ ︸

    n veces

    = n · f

    ( 1 n

    ) .

    En consecuencia, f ( 1n ) = a · 1 n . Siguiendo de este modo, podemos probar que f (x) =

    a · x . Para toda x ∈ Q. Es natural conjeturar que f (x) = a · x se cumple para todo número real x ; en otras palabras, que toda función aditiva es de la forma fa para alguna a ∈ R. Resulta que esta conjetura no se puede refutar en ZF, pero es falsa si suponemos el axioma de elección, como lo ilustra el siguiente teorema.

    Teorema 43.1.4 (ZFE). Existe una función aditiva f : R → R tal que f , fa para toda a ∈ R.

    Demostración. Sea X una base de Hamel para R. Escogemos x ∈ X y definimos

    f (x) =

    { ri , si x = r1x1 + · · · + rnxn ∧ xi = x 0, en otro caso.

    Afirmación 1. f es aditiva. Demostración de la afirmación 1. Sean x , y ∈ R

    x = r1x1 + · · · + rnxn

    y = s1y1 + · · · + smym

    donde sin perder generalidad alguna, podemos suponer que m + n = l y

    x = r1z1 + · · · + rl zl

    y = s1z1 + · · · + sl zl