Momento angular cuántico

I. Momento angular orbital:

De acuerdo con los postulados de la mecánica cuántica, dado un estado |ψ> los operadores de posición y momento se definen de la siguiente forma:

(I.1)

Con lo que sus conmutadores son:

(I.2)

Asimismo, el momento angular se define:

(I.3)

Sus componentes cumplen las siguientes relaciones de conmutación:

(I.4)

(I.5)

(I.6)

(I.7)

(I.8)

Además como los operadores de posición y momento son autoadjuntos y conmutan entre sí éstas y por consiguiente L2 serán autoadjuntos y sus autovalores reales.

Elevando al cuadrado cada componente y empleando los conmutadores:

(I.9)

Sumando todo y sumando y restando (XPx)2+ (YPy)2+ (ZPz)2 se llega a lo siguiente:

(I.10)

El producto escalar RP, según (I.1) viene dado por:

(I.11)

Donde r es la coordenada esférica radial.

Por otro lado R2P2 se corresponde con:

(I.12)

Donde θ es la colatitud y Φ el ángulo azimutal. Con esto el cuadrado del momento angular finalmente queda:

(I.13)

Además de la propia definición y de la relación entre coordenadas cartesianas y esféricas se encuentra:

(I.14)

II. Estados propios del operador L z:

Siendo ψ(ξ,Φ) la función de onda que define el estado del sistema ( ξ representa el conjunto de variables, a parte de Φ de las que depende ψ), ésta representa un estado propio de Lz si cumple:

(II.1)

Donde se ha introducido la constante de Planck reducida como factor por conveniencia futura. Suponiendo que ψ puede separarse como ψ(ξ,Φ) = Ξ(ξ)Φ(Φ) la ecuación anterior queda, después de sustituir (I.14):

(II.2)

Al ser una ecuación diferencial de primer grado tendrá una única solución independiente por cada valor de m. El conjunto de todas ellas forma un espacio vectorial en el que el producto escalar se define como:

(II.3)

Según esta definición las soluciones de (II.2) y por tanto autofunciones del operador Lz son, una vez normalizadas:

(II.4)

Nótese que según la definición del producto escalar para que dos de estas funciones con autovalores m y m’ sean linealmente independientes ha de cumplirse que m’-m sea entero. Por otro lado, para que sean periódicas con periodo 2π, m ha de ser un número entero por lo que el conjunto de autofunciones ortonormales del operador Lz será:

(II.5)

III. Estados propios del operador L 2 :

Como antes para que una función de onda ψ(ξ,θ,Φ) sea función propia de L2 habrá de cumplir la ecuación de autovalores:

(III.1)

Considerando ψ(ξ,θ,Φ) = Ξ(ξ)Θ(θ)Φ(Φ), sustituyendo (I.13) y operando se llega a lo siguiente:

(III.2)

Puesto que cada miembro depende de variables distintas e independientes entre sí se pueden igualar a una constante m2 independiente de θ y de Φ, quedando:

(III.3)

(III.4)

Las soluciones de la segunda ecuación son las autofunciones de Lz con autovalores m y –m, por lo que los estados propios de L2 también lo serán de Lz. Para resolver la primera considérese el siguiente cambio de variable:

(III.5)

Según el cual la ecuación (III.3) se convierte en la ecuación asociada de Legendre:

(III.6)

Puesto que es simétrica respecto del signo de m tendrá idénticas soluciones para m y –m. Atendiendo a esto se resolverá para valores positivos de m y posteriormente se generalizará para todos los valores enteros. Suponiendo

(III.7)

Se elimina el denominador del último término de (III.6) y queda:

(III.8)

Suponiendo u(x) infinitamente diferenciable en el intervalo de definición de la variable independiente puede sustituirse el siguiente desarrollo:

(III.9)

Lo cual lleva a la siguiente relación de recurrencia para los coeficientes:

(III.10)

La iteración de esta ecuación da la relación de los coeficientes pares e impares con los de orden 0 y 1 respectivamente y revela la independencia entre ellos. Por tanto la solución general de (III.3) será una combinación lineal de una función simétrica u(S) y otra antisimétrica u(A) respecto del origen (θ = π/2).

(III.11)

A partir de un cierto valor de n todos los términos de estas sumas tienen el mismo signo, por lo que su convergencia se puede comprobar aplicando el criterio del cociente para series de términos positivos mediante el límite:

(III.12)

Este límite será menor que 1 siempre que x se encuentre en el intervalo abierto (-1,1), por lo que las series (III.11) convergen en todo el dominio en el que x está definida, salvo si acaso en los extremos. Para comprobar la convergencia en estos puntos puede aplicarse el criterio de Raabe en x = ±1 mediante el siguiente límite:

(III.13)

El único valor entero de m que hace que este límite sea mayor que 1, y por tanto da lugar a que las series (III.11) converjan en x = ±1 es m = 0. Sin embargo de la relación de recurrencia (III.10) se sigue que si l-m es un entero no negativo el término de orden l-m+2 y los sucesivos se anularán, por lo que el correspondiente desarrollo par o impar se convertirá en un polinomio de grado l-m, que converge en toda la recta real. Puesto que m es entero la condición de que l-m sea entero y positivo equivale a exigir que l sea entero y mayor o igual que m.

Por otro lado para m = 0 hay que tener en cuenta que siempre que l no sea 0 puede encontrarse un sistema de referencia mediante una rotación de los ejes en el que m’ ≠ 0 y l’ = l . Esto da lugar a que l haya de ser entero y positivo también si m = 0.

De modo que las únicas soluciones de (III.3) que están definidas en el intervalo de interés y por tanto dan lugar a funciones propias de L2 son:

(III.14)

(III.15)

Donde Nlm es una constante de normalización y Plm son los polinomios

asociados de Legendre que conforman el subespacio de las soluciones de (III.6) que están definidas en el intervalo cerrado [-1,1], y vienen dados por:

(III.16)

Otra forma de expresar estos polinomios es mediante la fórmula de Rodrígues:

(III.17)

El producto escalar se define para estas funciones a partir de la integral de volumen en coordenadas esféricas como:

(III.18)

Según el cual, tomando la segunda definición (III.17) la constante que normaliza los polinomios asociados de Legendre es:

(III.19)

Y los estados propios normalizados del operador L2 entonces son:

(III.20)

Que son los armónicos esféricos. Cumplen la relación de ortonormalización:

(III.21)

Con esto las ecuaciones de autovalores de L2 y Lz:

(III.22)

Nótese que los valores propios de L2 están 2l+1 veces degenerados, pese a que el par de valores l y m definen unívocamente el estado dado por Yl

m.

IV. Generalización. Operadores J + y J -:

Se denomina momento angular todo operador vectorial autoadjunto J cuyas componentes cumplan las relaciones de conmutación (I.7) y (I.8). Puesto que J2 conmuta con cualquiera de las componentes se pueden diagonalizar simultáneamente éste y alguna de ellas, es decir, encontrar la solución de las ecuaciones de valores propios:

(IV.1)

Donde m ha de ser real y j además positivo y los autovectores |j,m> se suponen normalizados a la unidad. Para esto conviene definir los operadores no hermíticos:

(IV.2)

Que cumplen las relaciones de conmutación:

(IV.3)

Al hacerlos actuar sobre los autovectores de J2 y Jz:

(IV.4)

Se observa que los J±|j,m> son autoestados de J2 y Jz con autovalores j y m±1 respectivamente, es decir:

(IV.5)

Evaluando los elementos de matriz:

(IV.6)

Se obtiene α,m = βj,m-1*. Por otro lado:

(IV.7)

(IV.8)

Como αj,m*αj,m no puede ser negativo se tiene que –j ≤ m ≤ j. Además para que las potencias de J+ estén definidas j-m ha de ser entero y para que lo estén las de J- lo deberá ser j+m. Estas condiciones dan lugar a que los posibles valores de j sean los enteros y semiimpares y a que para cada uno de ellos m tome valores que difieren de j en un entero y van desde –j a j. Sustituyendo el valor de αj,m las ecuaciones (IV.5) quedan:

(IV.9)

Donde las fases γj,m quedan a determinar aunque comúnmente se adopta el convenio de tomar γjm = 0 (convenio de Condon-Shortley). Por tanto j y m toman los valores:

(IV.10)

Para cualquier otro valor de j el subespacio correspondiente está vacío.

V. Estados propios de los operadores J x y J y:

Un razonamiento análogo al anterior lleva a que Jx y Jy deben cumplir las ecuaciones de autovalores siguientes:

(V.1)

Siendo mx y my enteros menores o iguales que j en valor absoluto y éste el valor propio asociado a J2. Como los autoestados de Jx y Jy generan el subespacio de los autovectores de J2 con mismo valor de j y la base encontrada en el apartado anterior es completa, éstos han de admitir un desarrollo de la forma:

(V.2)

Por definición de los operadores J+ y J-:

(V.3)

Con esto y sustituyendo los desarrollos (V.2) en sendas ecuaciones de autovalores se llega a un sistema tridiagonal para los coeficientes:

(V.4)

Donde:

(V.5)

Asumiendo el convenio de Condon-Shortley, para los primeros valores de j se obtiene:

VI. Suma de momentos angulares:

Si J1 y J2 son los operadores de momento angular de dos sistemas y |j1,m1> y |j2,m2> los autovectores de J1

2 y J1z y de J22 y J2z respectivamente, una base de los estados del

sistema global es la dada por el producto directo de éstos:

(VI.1)

Sin embargo puede comprobarse que si las componentes de J1 y J2 conmutan el operador definido como:

(VI.2)

Cumple las relaciones de conmutación (I.7) y (I.8) y su tercera componente la ecuación de autovalores:

(VI.3)

Además J2 conmuta con J12 y J2

2 por lo que existe una base de estados propios comunes a ellos. Por otro lado por tratarse de un momento angular cumplirá las ecuaciones de valores y vectores propios correspondientes:

(VI.4)

Donde mj = -j,-j+1,...,j-1,j. Como fijados j1 y j2 la base (VI.1) es completa los autovectores de J2 y Jz han de poder expresarse como combinación lineal de los de ésta. Atendiendo a esto y a la ecuación (VI.3) los |j1,j2;j,mj> habrán de ser combinación lineal de los |j1,m1;j2,m2> con m1 + m2 = mj.

Como el límite superior de mj es j1+j2 (y el inferior -j1-j2) éste será el valor máximo que podrá tomar j y puesto que solo hay un par m1 y m2 que de este valor para mj:

(VI.5)

Definiendo los operadores:

(VI.6)

O de forma equivalente:

(VI.7)

Al hacerlos actuar repetidamente sobre los estados anteriores se irán encontrando los |j1,j2;j1+j2,mj> como combinación de los j1+j2-|mj|+1 vectores de la base (VI.1) con m1+m2=mj (-j1-j2 ≤ mj ≤ j1+j2).

Sin embargo para completar la nueva base aún faltan 4j1j2. Partiendo de que han de ser todos ortonormales y sólo hay uno que lo sea a |j1,j2;j1+j2,j1+j2-1> se obtiene el que necesariamente es |j1,j2;j1+j2-1,j1+j2-1> y aplicando J- sobre éste el resto que pertenecen al subespacio con j=j1+j2-1. Al repetir esto n veces, buscando el estado ortogonal a los n anteriores con mj=j1+j2-n y haciendo actuar sobre éste 2(j1+j2-n) veces J- se tiene un total de

(VI.8)

Estados linealmente independientes. Para que la base sea completa ha de igualarse esta expresión a la dimensión de la base (VI.1), que es (2j1+1)(2j2+1) obteniéndose la siguiente ecuación para n:

(VI.9)

Que admite dos soluciones: n = 2j1 y n = 2j2, por lo que el valor mínimo de j será j1-j2, o bien j2-j1. Como no puede ser negativo se tendrá que j variará entre j1+j2 y |j1-j2|. De este modo los autoestados comunes de los operadores J1

2, J22, J2 y Jz

2 son los

(VI.10)

Donde j1+j2 ≤ j ≤ |j1-j2| y los c(j1,j2,j,mj,m1) son los coeficientes de Clebsch-Gordan, dados por:

(VI.11)

Por el método seguido para obtenerlos y siguiendo el convenio de Condon-Shortley (IV.9) puede decirse que son reales.