ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 13/4/2023 ΣΕΛΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 3 ώρες

ΘΕΜΑ 1ο Α.Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα[α, β]. Αν

• η f είναι συνεχής στο [α, β] και

• f(α) ≠ f(β)

δείξτε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον

τέτοιος, ώστε f( ) = η .

Μονάδες 9 Β.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

i) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] με f(α) < 0 και υπάρχει ξ (α, β) ώστε f(ξ) = 0, τότε κατ’ ανάγκη f(β) > 0. Μονάδες 2

ii) Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σημείο

Α με την ευθεία y = x, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της . Μονάδες 2

iii)Αν και f(x) > 0 κοντά στο , τότε Μονάδες 2

iv) Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] όταν για κάθε

Μονάδες 2

v) Δίνεται η συνάρτηση f:R→R η οποία είναι συνεχής και 1-1 . Αν f(x)>x τότε

Μονάδες 2 vi) Αν η συνάρτηση f:R→R η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R τότε η έχει πεδίο ορισμού διάστημα . Μονάδες 2

Γ. Στις παρακάτω προτάσεις δίνονται περισσότερες από μία απαντήσεις .Να επιλέξετε τη σωστή.i). Αν η f έχει πεδίο ορισμού το Α=[0,3] τότε η f(x-2) έχει πεδίο ορισμού το α) Β=[2,5] β) Β=[-1,6] γ) Β=[2,3] δ)Β=[2,4] Μονάδες 2

ii). Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:R→R και (fοg)(x)=x+2 , g(x)=x-1 . Τότε η f είναι : α) f(x)=x+2 β) f(x)=2x-3 γ) f(x)= x+3 Μονάδες 2

ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 13/4/2023 ΣΕΛΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 2

ΘΕΜΑ 2 Αν η συνάρτηση f έχει τύπο τότε : α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της f . Μονάδες 5 β) Να λύσετε την εξίσωση : f(x)=x Μονάδες 4

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και . Μονάδες 4 δ) Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και σύνολο τιμών το τέτοια

ώστε η να είναι γνησίως φθίνουσα στο .

i) Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο . Μονάδες 6

ii) Να λύσετε στο την ανίσωση Μονάδες 6

ΘΕΜΑ 3 .

Δίνεται η συνάρτηση .

i) Να βρεθούν οι τιμές των α,β ώστε η f να είναι συνεχής στο . Μονάδες 6

ii) Να βρείτε το όριο : . Μονάδες 6

iii) Δίνεται η συνάρτηση , αν α=1 και τότε

α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει : Μονάδες

5β) Αν η γραφική παράσταση της g δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον άξονα χ΄χ , να αποδείξετε ότι η g δεν είναι συνεχής . Μονάδες 4γ) Αν για τη συνάρτηση γνωρίζουμε ότι είναι συνεχής στο R , για κάθε

και για κάθε , να βρείτε το πρόσημο της h . Μονάδες 4

ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 13/4/2023 ΣΕΛΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 3

ΘΕΜΑ 4.Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R . Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετε ότι :

Ι) Η ευθεία ψ=-2x+3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη x0 (0,1). Μονάδες 4

ΙΙ) Υπάρχει μοναδικό (0,1) τέτοιο ώστε Μονάδες 4

III) Να λύσετε την εξίσωση f(x)+f(2x)=f(3x)+f(4x) , Μονάδες 5

ΙV)Δίνεται ότι, όταν τότε .

Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του ώστε η f(x)=0 να έχει μια ακριβώς

ρίζα στο και να βρεθεί το όριο . Μονάδες

6

v) Δίνεται η συνάρτηση με να βρείτε τα όρια

α) β) Μονάδες 6

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

Email: selasdim@freemail.gr