∆ευτέρα, 2 Νοεµβρίου 2009

Παράδειγµα

Έστω 1 2, ,...,v

X X X τ.δ. ( )2~ ,N µ σ . Να βρεθεί µία επαρκής σ.σ. για το

( )2,θ µ σ= .

( );f X θ = ( )2

1 2

1

, ,..., ; ,v

v

i

f X X X µ σ=

=∏ ( )2

221

1exp

22

vi

i

x µσπσ=

− − =

∏ *

( ) ( )22 22

1

12 exp

2

v v

i

i

xπσ µσ

−

=

− − =

∑

( ) ( )2 2 222

1

12 exp 2

2

v v

i i

i

x xπσ µ µσ

−

=

− − + =

∑

( )2 2

2 1 1 122 2 2

2

2 exp2 2 2

v v v

v i i

i i i

x xµ µπσ

σ σ σ

−= = =

− − + =

∑ ∑ ∑

( )2

22 1 12

2 2 22 exp

2 2

v v

v i i

i i

x xv

µµ

πσσ σ σ

−= =

− − + =

∑ ∑ ( )( ) ( ),g T X h Xθ ⋅ , µε

( )( ) ( )2

22 1 12

2 2 2, exp

2 2

v v

v i i

i i

x xv

g T X

µµ

θ σσ σ σ

−= =

= − − +

∑ ∑ και ( ) ( ) 22

v

h X π−

= , οπότε

( ) 2

1 1

,v v

i i

i i

T X x x= =

= ∑ ∑ , άρα η Τα είναι επαρκής για το θ .

Επίσης

*( )2

221

1exp

22

vi

i

x µσπσ=

− − =

∏ =( ) ( )22 2

21

12 exp

2

v v

i

i

x X Xπσ µσ

−

=

− − + − =

∑

( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 2

21

12 exp 2

2

v v

i i

i

x X X x X Xπσ µ µσ

−

=

− − + − + − − = ∑

2

( )( ) ( ) ( ) ( )

22

2 122 2 2

1

12 exp 2

2 2 2

v

v i vi

i

i

x X v XX x X

µπσ µ

σ σ σ−

=

=

− −

− − − − − =

∑∑

( )( ) ( )

22

2 122 2

2 exp2 2

v

v i

i

x X v X µπσ

σ σ−

=

− −

− −

∑, οπότε: ( ) ( )2

1

,v

i

i

T X x X X=

= − ∑ .

Παράδειγµα

Έστω 1 2, ,..., vX X X τ.δ. ~ Ε.Ο.Κ. Υπάρχει επαρκής σ.σ. και ποια είναι;

~ , 1,2,...,j

X EOK j v= , ( )1 2, ,..., sθ θ θ θ=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

; expj

s

x i i j j

i

f X T x h xθ β θ η θ=

= ⇒

∑

( ) ( )1

; ;v

X j j

j

f x f xθ θ=

= =∏ ( ) ( ) ( ) ( )11

expv s

i i j j

ij

T x h xβ θ η θ==

=

∑∏

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

expvv s

v

i i j j

j i j

T x h xβ θ η θ= = =

=

∑ ∑ ∏

( ) ( ) ( ) ( )* * *

1

exps

i i j

i

T X h xβ θ η θ=

∑ , άρα υπάρχει επαρκής σ.σ. και είναι η

( ) ( ) ( ) ( )( )* * * *

1 2, ,...,s

T X T X T X T X= .