1

Φυσική ΚατεύθυνσηςΓ’ Λυκείου

Κεφάλαιο 2ο

κύματαΕνότητα 2η

συμβολήκυμάτων

2

Όταν σε ένα ελαστικό μέσο διαδίδονται δύο ήπερισσότερα κύματα, η απομάκρυνση ενός σημείουτου μέσου είναι ίση με τη συνισταμένη τωναπομακρύνσεων που οφείλονται στα επί μέρουςκύματα. (αρχή της επαλληλίας ή υπέρθεσης)

ΕπαλληλίαΕπαλληλία ((ήή ΥπέρθεσηΥπέρθεση) ) κυμάτωνκυμάτων

Πριν τη συνάντηση

Κατά τη συνάντηση

Μετά τη συνάντηση

3

4

ΠΡΟΣΟΧΗ

•Η αρχή της επαλληλίας παραβιάζεται μόνο όταν τακύματα είναι τόσο ισχυρά, ώστε να μεταβάλλουν τιςιδιότητες του μέσου στο οποίο διαδίδονται (π.χ. σεκύματα που δημιουργούνται από μια έκρηξη).

• Κάθε κύμα διαδίδεται χωρίς να επηρεάζεται από τηνταυτόχρονη παρουσία άλλων κυμάτων.

ΕπαλληλίαΕπαλληλία ((ήή ΥπέρθεσηΥπέρθεση) ) κυμάτωνκυμάτων

• Τα μόρια του μέσου έχουν κάθε στιγμήαπομάκρυνση ίση με το αλγεβρικό άθροισμα τωναπομακρύνσεων που θα είχαν αν οι παλμοίδιαδίδονταν χωριστά.

5

Θα μελετήσουμε τη συμβολή δύο κυμάτων, τωνοποίων οι πηγές είναι σε φάση, δηλαδή δημιουργούνταυτόχρονα μέγιστα και ελάχιστα.

Αυτές οι πηγές ονομάζονται σύγχρονες.

Συμβολή κυμάτων

Το φαινόμενο της ταυτόχρονης διάδοσης δύο ήπερισσότερων κυμάτων στην ίδια περιοχή ενόςελαστικού μέσου.

6

ΣυμβολήΣυμβολή δύοδύο κυμάτωνκυμάτων στηνστην επιφάνειαεπιφάνειαενόςενός υγρούυγρού..

7

Συμβολή κυμάτων στην επιφάνειαυγρού

Θεωρούμε δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2 που την t=0 αρχίζουννα δημιουργούν κύματα στην επιφάνεια νερού και έστω τυχαίοσημείο Σ της επιφάνειας που απέχει από τις πηγές αποστάσεις r1και r2 αντίστοιχα.

Το σημείο Σ είναι αρχικά ακίνητο και θααρχίσει να εκτελεί ταλάντωση πλάτους Α(όσο και της πηγής) όταν φτάσει σ’αυτότο κύμα από την πλησιέστερη πηγή, δηλαδή την t1=r1/υ

Η κίνηση αυτή θα συνεχιστεί μέχρι την t2=r2/υ, οπότεφτάνει στο Σ το κύμα από τη δεύτερη πηγή.

Από την t2 και μετά, δηλαδή αφού φτάσουν στο σημείο Σ και τα δύοκύματα, παρατηρούμε το φαινόμενο της συμβολής.

8

)λr-

Ttημ2π(Ay 1

1 =

)λr-

Ttημ2π(Ay 2

2 =

Συμβολή κυμάτων στην επιφάνεια υγρού

Τα δύο κύματα θα έχουν εξισώσεις:

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, η ολική απομάκρυνση τουσημείου Μ κάθε στιγμή θα είναι:

yολ = y1 + y2

9

Συμβολή κυμάτων στην επιφάνεια υγρού

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+=

λπημ

λπημ

λπημ

λπημ

ολ

ολ

21

2121

22

22

rTtr

TtAy

rTtAr

TtAyyy

222 Β−ΑΒ+Α

=Β+Α συνημημημAπό Μαθηματικά, θυμόμαστε...

Άρα...

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=2

22

2

222

2121

λπ

λπ

συνλπ

λπ

ημολ

rTtr

Ttr

Ttr

Tt

Ay

10

Συμβολή κυμάτων στην επιφάνεια υγρού

⇒+−−−+−

=2

2222

2

22222

2121

λππ

λππ

συνλππ

λππ

ημολ

rTtr

Ttr

Ttr

Tt

Ay

⇒−−⋅+−

=2

2222

2

222

2121

λπ

λππ

ημλπ

λπ

συνολ

rrTtrr

Ay

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−

=λ

πημλ

πσυνολ 22

222 2121 rr

Ttrr

Ay

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−= Σ λπημολ 2

2 21 rrTtAy

11

Συμβολή κυμάτων στην επιφάνεια υγρού

• Το τυχαίο σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού εκτελεί ΑΑΤ μεπλάτος

λπσυν

222 21 rr

AA−

=Σ

που εξαρτάται από τη διαφορά των αποστάσεων του σημείου απότις 2 πηγές.

• Η ταλάντωση του Σ ξεκινά τη στιγμή t1=r1/υ (r1/υ < t1 < r2/υ)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Σ λ

πημ 12 rTtAy

• Η συμβολή ξεκινά τη στιγμή t2=r2/υ οπότε φτάνει και το δεύτερο κύμα(t2 > r2/υ)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−

=λ

πημλ

πσυνολ 22

222 2121 rr

Ttrr

Ay

12

∆ιερεύνηση της τιμής του πλάτους

λπσυν

222 21 rr

AA−

=Σ

Σημεία με ΑΣ=0 κροσσοί μηδενικού πλάτους ή απόσβεσης

02

202

220 2121 =−

⇒=−

⇒=Σ λπσυν

λπσυν

rrrrAA

2)12(

22

222 2121 π

λππσυν

λπσυν +Ν=

−⇒=

− rrrr2

)12(21λ

+Ν=−⇒ rr

∆ηλαδή σημεία της επιφάνειας του νερού που η διαφορά τωναποστάσεών τους από τις 2 πηγές είναι ίση με περιττό αριθμό λ/2, θαπαραμένουν ακίνητα (κροσσοί μηδενικού πλάτους).

Στα σημεία αυτά, τα κύματα που συμβάλλουν, φτάνουν με αντίθετηφάση και αλληλοεξουδετερώνονται (συμβολή προς απόσβεση)

Ν = 0,±1, ±2, ±3...

13

∆ιερεύνηση της τιμής του πλάτους

λπσυν

222 21 rr

AA−

=Σ

Σημεία με ΑΣ = ± 2Α κροσσοί μέγιστου πλάτους ή ενίσχυσης

12

222

222 2121 ±=−

⇒±=−

⇒±=Σ λπσυν

λπσυν

rrA

rrAAA

πλ

πσυνπλ

π Ν=−

⇒±=−

22

22 2121 rrrr λNrr =−⇒ 21

∆ηλαδή σημεία της επιφάνειας του νερού που η διαφορά τωναποστάσεών τους από τις 2 πηγές είναι ίση με ακέραιο αριμό μηκώνκύματος λ, θα ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος (κροσσοί μέγιστουπλάτους).Στα σημεία αυτά, τα κύματα που συμβάλλουν, φτάνουν με συμφωνίαφάσης και αλληλοενισχύονται (ενισχυτική συμβολή)

Ν = 0,±1, ±2, ±3...

14

∆ιερεύνηση της τιμής του πλάτους

Σημεία με ΑΣ = ± 2Α κροσσοί μέγιστου πλάτους ή ενίσχυσης

λNrr =−⇒ 21 Ν = 0,±1, ±2, ±3...

Σημεία με ΑΣ=0 κροσσοί μηδενικού πλάτους ή απόσβεσης

2)12(21λ

+Ν=−⇒ rr Ν = 0,±1, ±2, ±3...

Σημεία με πλάτος 0 < ΑΣ < 2Α

Σημεία της επιφάνειας του υγρού που η διαφορά των αποστάσεώντους από τις δύο πηγές είναι τυχαία, εκτελούν ΑΑΤ με πλάτοςενδιάμεσο, μεταξύ 0 και 2Α

15

ΟΟ γεωμετρικόςγεωμετρικός τόποςτόπος τωντων σημείωνσημείων γιαγια ταταοποίαοποία ισχύειισχύει

σταθ.r-r =21 είναι υπερβολή.

Από τον ορισμό της υπερβολής έχουμε:Αν η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τις εστίες τηςυπερβολής Ε και Ε‘ είναι σταθερή και μικρότερη της ΕΕ‘, τότε ογεωμετρικός τόπος αυτών των σημείων θα είναι υπερβολή.

Εδώ, οι εστίες Ε και Ε‘ συμπίπτουν με τις πηγές και έχουμε

σταθ.r-r =21

Εκτός από τους κροσσούς μέγιστου πλάτους που βρίσκονται στημεσοκάθετο, όλοι οι υπόλοιποι κροσσοί, είτε μηδενικού, είτε μέγιστου, είτε ενδιάμεσου πλάτους, βρίσκονται πάνω σε τόξα υπερβολών.

16

ΕφαρμογήΕφαρμογή

∆ύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2 παράγουν κύματα στην επιφάνειαυγρού. Αν στη μεσοκάθετη της απόστασης αυτών υπάρχουν διάφορασημεία Σ1, Σ2 ..., να ελέγξετε αν τα σημεία αυτά είναι κροσσοί μέγιστουή μηδενικού πλάτους.

Σ1

Σ2 Για κάθε σημείο ισχύει

r1 = r2 άρα

r1 - r2 = 0

r1 - r2 = 0·λ = Ν·λ

Όλα τα σημεία της μεσοκαθέτου ταλαντώνονται με μέγιστοπλάτος.

17

18

ΥπερβολέςΥπερβολές μέγιστουμέγιστου πλάτουςπλάτους

ΕνισχυτικήΕνισχυτική συμβολήσυμβολή

ΥπερβολέςΥπερβολές μηδενικούμηδενικού πλάτουςπλάτους

ΑναιρετικήΑναιρετική συμβολήσυμβολή ((ΑπόσβεσηΑπόσβεση))

19

Α’=0 Α’=2Α

N=-1N=-2

N=-3

N=0N=1

N=2

20

ΕφαρμογήΕφαρμογή

Για να ελέγξω αν σε κάποιο σημείο συμβαίνει ενίσχυση ή απόσβεση,

σχηματίζω το πηλίκο

- αν προκύψει ακέραιος, τότε, δηλαδή έχουμε ενίσχυση, πλάτος 2Α

λ21 rr −

λNrr =− 21

- αν προκύψει μισό περιττού αριθμού, τότε,

δηλαδή έχουμε απόσβεση, πλάτος 02

)12(21λ

+Ν=− rr

- σε κάθε άλλη περίπτωση, το πλάτος ταλάντωσης είναι ενδιάμεσο

0 < ΑΣ < 2Α

21

2011