1

1Kontrola probijanja – proračunski model

2Provera nosivosti na smicanje na ivici stuba

cm7.12540cu0 =π×=π×=

kN8.415995.119835.1Q5.1G35.1VEd =×+×=×+×=

cm1.142

4.138.142

ddd yx =

+=

+=

max,Rd20

EdEd vMPa7.2

cmkN27.0

1.147.1258.41515.1

duVv <==

××=β=

cdmax,Rd f5.0v ν=

MPa83.32.1454.05.0f5.0v cdmax,Rd =××=ν=

54.02502516.0

250f16.0 ck =

−×=

−=ν

2

3Ekscentricitet sile u stubu u odnosu na kontrolni obim

4Kontrola probijanja – proračunski model

3

5Kontrola probijanja – osnovni kontrolni obim

cm4.96401.144cd22D1 =+×=+×=

cm8.3024.96Du 11 =×π=π=

20

EdEd cm

kN11201148302

8415151du

Vv ...

.. =×

×=β=

MPa83.3vMPa12.1v max,RdEd =<=

Ovu vrednost je potrebno uporediti saproračunskom vrednošću nosivosti na smicanje od probijanja ploče bez armature za smicanje od probijanja vRd,c:

cp13

cklc,Rdc,Rd kf100kCv σ+ρ=

cp1minc,Rd kvv σ+≥

6Kontrola probijanja – osnovni kontrolni obim

Za računski koeficijent armiranja se usvaja geometrijska sredina koeficijenataarmiranja u ortogonalnim pravcima, ρl,x i ρl,y, uzimajući u proračun armaturu naširini ploče jednakoj odgovarajućoj širini stuba uvećanoj za po 3d sa svakestrane stuba, 6.4.4(1). Na osnovu prethodno sračunate i usvojene podužnearmature prema momentima savijanja, potrebno je odrediti srednju vrednostkoeficienata armiranja u ortogonalnim pravcima:

)0N(0;12.05.118.018.0C Edcp

cc,Rd ==σ==

γ=

2k.usv21412001k2

d2001k =⇒>+=⇒≤+=

MPa495.0252035.0fk035.0v 23

ck23

min =××==

4

7Određivanje koef. armiranja ρl

cm6.124401.146cd32bb yx =+×=+×==

%972.08.1438.14

mcm38.14

6.1246.2426.1010039.15A x,l

2

x,s ==ρ⇒=×+×

=

%135.14.13

20.15m

cm20.156.124

6.426.1012039.15A y,l

2

y,s ==ρ⇒=×+×

=

8Kontrola probijanja – određivanje vRd,c

max,ly,lx,ll %2%05.1135.1972.0 ρ=<=×=ρ×ρ=ρ

MPa495.0vMPa713.02505.1212.0f100kC min33

cklc,Rd =>=×××=ρ

MPa713.00713.0kf100kCv cp13

cklc,Rdc,Rd =+=σ+ρ=

Kako je prekoračena proračunska vrednost nosivosti na smicanje ploče bez armature za smicanje vRd,c , potrebno je izvršiti osiguranje armaturom.

MPa713.0vMPa12.1v c,RdEd =>=

S obzirom na poslednju odredbu, potrebno je smanjiti vEd do granice vRd,c ili podebljati ploču (debljinu cele ploče, ili lokalno, formiranjem kapitela)

5

9Kontrola probijanja – varijante

1. povećanje klase betona: C 90/105 umesto C 25/30

MPa12.1vMPa093.1v Edc,Rd =<=

2. povećanje koeficijenta armiranja na maksimalnih ρl = 2%:

MPa12.1vMPa884.0v Edc,Rd =<=

3. povećanje prečnika stuba sa 40 na 100 cm:

MPa69.0vMPa689.0v Edc,Rd =≈=

Ovde se napominje da se povećanjem prečnika stuba menja i kontrolni obim u1 i vEd , kao i širina zone (c+6d) na kojoj je potrebno sračunati prosečni koeficijent armiranja ρ. Isto tako, može se promeniti oblik stuba (usvajanje kvadratnog stuba 80×80 cm)

4. podebljanje čitave ploče (promena kompletnog proračuna)

5. izrada lokalnog podebljanja ploče (kapitela)

10Formiranje kapitela

6

11Formiranje kapitela

Usvojeno: hH = h = 18 cm

Prečnik kapitela u osnovi DH će biti određen kao nepoznata dimenzija “stuba” koji probija ploču debljine h=18 cm, tako da bude zadovoljeno:

cRdEd vv ,≤

Problem (iterativan proračun):

u izrazu za vRd,c figuriše ρl koji je funkcija (nepoznate) dimenzije DH

Usvojeno:

koeficijent armiranja ρl je jednak prosečnoj vrednosti dobijenoj za ukupnu širinu polutraka S1 i S2

12Određivanje koeficijenta armiranja ρl

%..

....,, 8670

8148312

mcm8312

226103915A xl

2

xs ==ρ⇒=+

=

%......

,, 9570413

8312m

cm83122

26103915A yl

2

ys ==ρ⇒=+

=

7

13Kontrola probijanja – određivanje vRd,c

max,,, %%... lylxll 2911095708670 ρ=<=×=ρ×ρ=ρ

MPa4950vMPa6802591102120f100kC 33cklcRd .... min, =>=×××=ρ

MPa6800680kf100kCv cp13

cklcRdcRd ..,, =+=σ+ρ=

S obzirom da je usvojen nešto manji koeficijent armiranja od stvarnog, zbog čega je dobijena nešto manja vrednost vRd,c , usvaja se prečnik kapitela:

DH = 100 cm

cRd211

EdEd v

cmkN0680

114u8415151

duVv ,.

... =≤

××=β=

cm71585498Dcm54981140680

8415151u cont1 .....

.. =π

≥⇒=×

×≥

cm3102114227158d22DD contH ... =××−=×−=

14Određivanje koeficijenta armiranja ρl

cm61841001146Dd32bb Hyx .. =+×=+×==

8

15Formiranje kapitela

mcm0413

618468426101003915A

2

xs ..

..., =

×+×=

%...

, 0151413

6013yl ==ρ

%...

, 8810814

0413xl ==ρ

mcm6013

618466426101203915A

2

ys ..

..., =

×+×=

%%... 2946001518810l <=×=ρ

MPa6902594602120v 3cRd ..., =×××=

cm415611422100u1 .. =××+=

cRd2Ed vcmkN0690

11441568415151v ,.

.... ==

××=

16Slučaj kada je kod kapitela LH>2hH

9

17

432

D

1

C

B

ALx = 6.0 m

L y =

5.0

mL y

= 5

.0 m

L y =

5.0

m

Lx = 6.0 mLx = 6.0 m

Ploča direktno oslonjena na stubove – primer 2

Tipska međuspratna ploča višespratne konstrukcije, debljine 22 cm, oslonjena je na stubove konstantnog kvadratnog poprečnog preseka dimenzija 45×45 cm. Raster stubova je 6.0 m u podužnom, a 5.0 m u poprečnom pravcu.

Pored sopstvene težine, ploča je opterećena raspodeljenim dodatnim stalnim opterećenjem ∆g = 2.5 kN/m2 i povremenim opterećenjem q = 4.0 kN/m2. Kvalitet materijala: C25/30, B500B

18Analiza opterećenja

sopstvena težina 0.22×25= 5.5 kN/m2

dodatno stalno opterećenje = 2.5 kN/m2

ukupno, stalno opterećenje g = 8.0 kN/m2

povremeno opterećenje q = 4.0 kN/m2

qEd = 1.35×g+1.5×q = 1.35×8.0+1.5×4.0 = 16.8 kN/m2

mkNm127

100.68.161.2

10Lq1.2M

22x

Ed1S

x,Ed =×

×=××=

mkNm7.84

100.68.164.1

10Lq4.1M

22x

Ed2S

x,Ed =×

×=××=

mkNm2.88

100.58.161.2

10L

q1.2M22

yEd

1Sy,Ed =

××=××=

mkNm8.58

100.58.164.1

10L

q4.1M22

yEd

2Sy,Ed =

××=××=

10

19

polutraka S1 (širina 0.2×Ly = 1.0 m):

Dimenzionisanje – oslonačke trake (PODUŽNI pravac)

polutrake S2 (širina 2×0.1×Ly = 2×0.5 m):

Kako su momenti savijanja veći u podužnom pravcu, usvojeno: dx > dy

XC3 ⇒ c = 20 +10 = 30 mmpretp. Ø16 ⇒ d1x = 3 + 1.6/2 = 3.8 cm ⇒ dx = 22 – 3.8 = 18.2 cm

mcm28.19

5.432.18833.010127A833.0922.1

42.1127

2.18k22

1Sx,s =

×××

=⇒=ζ⇒==

usvojeno: Ø16/10 (20.10 cm2/m)

mcm95.11

5.432.18896.0107.84A896.0354.2

42.17.84

2.18k22

2Sx,s =

×××

=⇒=ζ⇒==

usvojeno: Ø16/15 (13.40 cm2/m)

20

polutraka S1 (širina 0.2×Lx = 1.2 m):

Dimenzionisanje – oslonačke trake (POPREČNI pravac)

polutrake S2 (širina 2×0.1×Lx = 2×0.6 m):

dy = hp – (c + Øx + Øy/2) = 22 – (3.0 + 1.6 + 1.4/2) = 16.7 cm

mcm00.14

5.437.16868.0102.88A868.0116.2

42.12.88

7.16k22

1Sy,s =

×××

=⇒=ζ⇒==

usvojeno: Ø14/10 (15.39 cm2/m)

mcm86.8

5.437.16914.0108.58A914.0592.2

42.18.58

7.16k22

2Sy,s =

×××

=⇒=ζ⇒==

usvojeno: Ø14/15 (10.27 cm2/m)

11

21

Ploča je sistema kontinualnog nosača preko tri jednaka raspona:

Proračun ploče – savijanje, poprečni pravac

g ; q

0.40.5

0.6

0.60.5

0.4

0.4×L

L0 = 0.8×L

0.276×L

L0 = 0.447×L

0.2×L

0.476×L

0.276×L 0.2×L

0.476×L

0.5×L 0.6×L

0.1 0.1

0.08

0.025

L0 = 0.8×L

0.4×L 0.4×L

L L

M

V

(× pL)

(× pL2)

(× pL)

0.4×L0.4×L0.08

A = 25 B = 1110 A = 25B = 11

10

L = Lx

22

- srednji stubovi:G = 1.1×g×Lx×Ly = 1.1×8.0×6.0×5.0 = 264 kNQ = 1.1×q×Lx×Ly = 1.1×4.0×6.0×5.0 = 132 kN

- ivični stubovi:G = 1.1×g×Lx×Ly/2 = 1.1×8.0×6.0×2.5 = 132 kNG = 1.1×q×Lx×Ly/2 = 1.1×4.0×6.0×2.5 = 66 kN

- ugaoni stubovi:G = 0.4×g×Lx×Ly/2 = 0.4×8.0×6.0×2.5 = 48 kNQ = 0.4×q×Lx×Ly/2 = 0.4×4.0×6.0×2.5 = 24 kN

L = Ly

q

(×qL)A = 0.4 B = 1.1

L L

A = 0.4B = 1.1

12

23Provera nosivosti na smicanje na ivici stuba

cm180454c4u0 =×=×=

kN455413251264351VEd ... =×+×=

cm45172

7162182

ddd yx ...

=+

=+

=

20

EdEd cm

kN20304517180

4544151du

Vv ..

.. =×

×=β=

cdmax,Rd f5.0v ν=

MPa83.32.1454.05.0f5.0v cdmax,Rd =××=ν=

54.02502516.0

250f16.0 ck =

−×=

−=ν

MPa833vMPa032v RdEd .. max, =<=

24Kontrola probijanja – osnovni kontrolni obim

cm81144545174cd22D1 .. =+×=+×=

cm3.39945429.344u1 =×+

π××=

20

EdEd cm

kN092045173399

4554151du

Vv ...

.. =×

×=β=

MPa833vMPa920v RdEd .. max, =<=

Ovu vrednost je potrebno uporediti saproračunskom vrednošću nosivosti na smicanje od probijanja ploče bez armature za smicanje od probijanja vRd,c:

kN455413251264351VEd ... =×+×=

cp13

cklcRdcRd kf100kCv σ+ρ= ,,

13

25Određivanje koef. armiranja ρl

26cm714945451732cd32bb yx .. =+××=+×==

%....

....

,, 9820218

8817m

cm88177149

74940131001020A xl

2

xs ==ρ⇒=×+×

=

%....

....

,, 86107163814

mcm3814

714972926101203915A yl

2

ys ==ρ⇒=×+×

=

max,,, %%... lylxll 292086109820 ρ=<=×=ρ×ρ=ρ

MPa4950vMPa6820259202120f100kC 33cklcRd .... min, =>=×××=ρ

MPa682006820kf100kCv cp13

cklcRdcRd ..,, =+=σ+ρ=

2k.usv21412001k2

d2001k =⇒>+=⇒≤+=

MPa495.0252035.0fk035.0v 23

ck23

min =××==

MPa0241v51MPa920vMPa6820v cRdEdcRd .... ,, =<=<=

14

27Slučaj kada je potrebna armatura za smicanje

28Slučaj kada je potrebna armatura za smicanje

15

29

30Određivanje obima uout

To je kontrolni obim duž koga armatura za smicanje više nije potrebna (vEd = vRd,c):

dvVucRd

Edout ×

×β=

,

cm45354517068204554151uout .

..

..=

××

=

π−

=⇒+π

=2

c4uxc42x4u out

out

cm56562

4544535x ..=

π×−

=

16

31Raspoređivanje armature za osiguranje

Armatura se raspoređuje na radijalnom rastojanju sr ≤ 0.75×d. Pritom se prvi red armature postavlja na rastojanju s0 od ivice stuba:

d50sd30 0 .. ≤≤

cm1134517750sr ... =×≤

Poslednji red armature mora biti od obima uout udaljen maksimalno 1.5d. Pritomrastojanje armature u tangencijalnom pravcu mora biti ≤1.5d unutar kontrolnogobima u1, odnosno ≤2d između u1 i uout.

cm78451750s0 ... =×≤

cm13scm7susv r0 == ;.

32Potrebna površina armature za smicanje

du

fAsd5.1

v75.0v901

eff,ywdswr

c,Rdcs,Rd ×

×+×=⇒°=α

( )effywd

1cRdEd

r

sw

f51uv750v

sA

,

,

..

×××−

=

( ) cm3660629351

339968207509150sA

r

sw ...

....=

×××−

=

2swr cm754133660Acm13s .. =×=⇒=

Armatura koja je potrebna na dužini jednog kontrolnog obima Asw je:

MPa62935174250250d250250f effywd ...., =×+=+=

17

33Raspoređivanje armature

Odgovarajući obimi po kojima se raspoređuje Asw:

cm2244542

74u01 =×+π

×=

cm7.3054542

)137(4u02 =×+π+

×=

cm33874542

13274u03 .)(=×+

π×+×=

Kako su svi obimi unutar u1, maksimalno tangencijalno rastojanje je 1.5d = 26.2 cm:

komada68cm226cm224n01 .

.=≥

komada711cm226cm7305n02 .

..

=≥

komada814cm226cm3387n03 .

..

=≥

34

..max kom814nn 03 ==

.. kom16nusv =

2swsw cm2970

16754

nAa ..

===

).(. 2sw cm5030a8Ø163usv =×

Usvojeni raspored armature