1

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ (E.O.K.)

Τρίτη, 6 Οκτωβρίου, 2009.

Έχουµε ότι Χ τ.µ. µε συνάρτηση πιθανότητας (ή σ.π.π.)

( ) ( )1 2, , , ,..., sf x ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ . Θα λέµε ότι η κατανοµή αυτή ανήκει στην Εκθετική

Οικογένεια Κατανοµών (ΕΟΚ), αν:

1) Το στήριγµα (πεδίο Ορισµού) ( ) : , 0f

S x f x θ= ∈ >ℝ της τ.µ. Χ,

δεν θα πρέπει να εξαρτάται από τις άγνωστες παραµέτρους ( )1 2, ,..., s∂ ∂ ∂ .

2) µπορεί να γραφεί στη µορφή:

α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

, exps

i i

i

f x T X B h xθ η θ θ=

= −

∑

ή εναλλακτικά σε µια από τις παρακάτω µορφές:

β) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

, exps

i i

i

f x T X B H xθ η θ θ=

= − +

∑

γ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

, exps

i i

i

f x T X h xθ η θ β θ=

=

∑

δ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

, exps

i i

i

f x T X H xθ η θ β θ=

= +

∑ ,

Όπου (.), (.), (.), (.), (.), (.)i

T B H hη β είναι πραγµατικές συναρτήσεις. Εξυπακούε-

ται ότι ( ) 0,h x x> ∀ ∈ℝ και ( ) 0,β θ θ> ∀ .

Κανονική Μορφή

Οι παραπάνω τύποι αποτελούν τη Γενική µορφή, της Ε.Ο.Κ.. Υπάρχει

και η κανονική µορφή, που δίνεται από τον παρακάτω τύπο:

( ) ( ) ( ) ( )1

, exps

i i

i

f x T X A h xη η η=

= −

∑

Από τη γενική µορφή µπορούµε να µεταπέσουµε στην κανονική µορφή,

ως εξής:

Στη γενική µορφή θέτουµε: ( )i iη θ η= , οπότε από την οποία προκύπτει:

( )i iθ θ η= και ( ) ( ) ( )( )2

, ,...,i s

η η θ η θ η θ= , τότε η ( )B θ παίρνει τη µορφή:

( )A η και η συνάρτηση πιθανότητας (ή σ.π.π.) γίνεται:

( ) ( ) ( ) ( )1

, exps

i i

i

f x T X A h xη η η=

= −

∑

Να παρατηρήσουµε ότι οι ( )iT X και ( )h x δεν µεταβάλλονται.

Γιατί κανονική µορφή; ∆ιότι από την κ.µ. προκύπτουν άµεσα καλές ιδιότητες

(που δεν προκύπτουν από την πρώτη µορφή).

2

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Παράδειγµα 1

∆ιωνυµική Κατανοµή: (θέµα Ιούνιος 2009)

∆ίνεται ότι Χ~διωνυµική (ν, p), (ν γνωστό).

Να εξετασθεί αν ( ) ( ), 1 , 0,1,2,0 1v xx

vf x p p p x p

x

− = − = ≤ ≤

, ανήκει στην

ΕΟΚ.

Στήριγµα ( ) : , 0 0,1,2,...,f

S x f x p v= ∈ > =ℝ , δηλαδή ανεξάρτητο του p.

( ) ( ), 1v xx

vf x p p p

x

− = − =

( )11

x

vv pp

x p

− = −

( )exp ln ln 11

v px v p

x p

+ − −

, άρα ανήκει στην ΕΟΚ, µε:

1s = , ( ) ln1

pp

pη

= −

, ( )T x x= , ( ) lnB p v p= − και ( )v

h xx

=

.

Κανονική µορφή: Θέτουµε ( ) ln1

pp

pη η

= = ⇒ −

1

pe

p

η= ⇒−

( )1p p eη= − ⇒ p e pe

η η= − ⇒ p pe eη η+ = ⇒ ( )1p e e

η η+ = ⇒ 1

ep

e

η

η=+

( ), exp ln 11

v ef x x v

x e

η

ηη η

= + − = +

1exp ln

1

v e ex v

x e

η η

ηη + −

+ = +

1exp ln

1

vx v

x eηη

+ = + ( ) exp ln 1

vx v e

x

ηη

− +

, δηλ.

( ) ( )ln 1A v eηη = + .

Προσοχή! Η ∆ιωνυµική κατανοµή δεν ανήκει στην ΕΟΚ αν είναι γνωστό το p

και άγνωστο το ν!

Παράδειγµα 2

Κανονική Κατανοµή:

( ) ( )1

22

2

2 2

1| , exp

2 2

xf x

µµ σ

πσ σ

− = − =

, µ−∞ < < +∞ , x−∞ < < +∞

( ) 2: | , 0

fS x f x µ σ= ∈ > =ℝ ( ),−∞ +∞ , ανεξάρτητο των 2,µ σ .

3

α) µ άγνωστο, σ2 γνωστό.

( ) ( ) ( )212 2

2, 2 exp

2

xf x

µµ πσ

σ

− − = − =

( )

12 22 2

2

2exp 2

2

x xµ µπσ

σ

− − +− =

( )12 2

2 22 2 2

exp exp 22 2

x xµ µπσ

σ σ σ

− − −

. Άρα ανήκει στην ΕΟΚ µε:

( ) 2

µη µ

σ= , ( )T x x= (

1), ( )

2

22B

µµ

σ= και ( )

12

2

2 2

1exp

2 2

xh x

σ πσ = −

.

Κανονική µορφή:

( ) 2

µη µ η

σ= = ⇒ 2µ σ η= ⇒ ( )

2

22B

µµ

σ= =

( )22

22

σ η

σ=

4 2

22

σ ησ

= 2 2

2

σ η= ( )A η ,

οπότε, η σ.π.κ. γίνεται:

( )1

2 2 22

2 2

1, exp exp

2 2 2

xf x x

σ ηη η

σ πσ = − −

β) µ γνωστό, σ2 άγνωστο.

( ) ( )1

22

2

2 2

1, exp

2 2

xf x

µσ

πσ σ

− = − =

( )2

2 2

1 1 1exp ln

2 2 2

x µσ σ π

− − + =

( ) ( )2

2

2

1 1exp ln

2 2 2

x µσ

σ π

− − −

.

Άρα ανήκει στην ΕΟΚ µε:

( )2

2

1

2η σ

σ= − , ( ) ( )2

T x x µ= − , ( ) ( )21ln

2B µ σ= και ( ) 1

2h x

π= .

Κανονική µορφή:

( )2

2

1

2η σ η

σ= − = ⇒

2 1

2σ

η= − , οπότε η σ.π. γίνεται:

( ) ( )22 1 1 1, exp ln

2 2 2f x xσ η µ

η π

= − − − =

( ) ( ) ( )2 1 1exp ln 2 ,

2 2x f xη µ η η

π − + − =

δηλ. ( ) ( )1ln 2

2A η η= − −

1 Θα µπορούσε να ληφθεί και ( )η µ µ= και ( )

2

xT x

σ= , αλλά επιδιώκουµε πάντα οι ( )i

T x να είναι όσο

το δυνατό απλούστερες, ει δυνατόν απλές δυνάµεις του x . Ο λόγος θα γίνει κατανοητός στα επόµενα κεφάλαια.

4

γ) µ, σ2 άγνωστα. ( )2s = .

( ) ( )1

22

2

2 2

1; , exp

2 2

xf x

µµ σ

πσ σ

− = − =

( )2 2

2

2

2 1 1exp ln

2 2 2

x xµ µσ

σ π − +− − =

( )2 2

2

2 2 2

1 1exp ln

2 2 2 2

x xµ µσ

σ σ σ π −− − − − ⇒

( ) ( )2

2 2 2

2 2 2

1 1 1| , exp ln

2 2 2 2f x x x

µ µµ σ σ

σ σ σ π

= − + − +

.

Άρα ανήκει στην ΕΟΚ µε:

( )2

1 2

1,

2η µ σ

σ= − ,

2

1T x= ,

( )2

2 2,

µη µ σ

σ= , 2T x= ,

( ) ( )2

2 2

2

1, ln

2 2B

µµ σ σ

σ= + και ( ) 1

2h x

π=

Κανονική µορφή:

( )2

1 12

1,

2η µ σ η

σ= − = ⇒

2

1

1

2σ

η= −

( )2

2 22,

µη µ σ η

σ= = ⇒

2

2µ η σ= ⇒ 22

1 1

1

2 2

ηµ η

η η

= − = −

, οπότε:

( )

2

22

2 2 11

1

1 1 1

21 1 1 12| , exp ln

2 2 21 1 12 2

2 2 2

f x x x

ηηηη

µ ση π

η η η

− − = − + − + − ⇒ − − −

( )2

2 1 21 2 1 2 2

1 1

1 1 1; , exp ln

4 2 2 2f x x x

ηηη η η η

η η π

= + − − + − =

( )2

2 21 2 1

1

1 1exp ln 2

4 2 2x x

ηη η η

η π

+ − − − −

, δηλαδή ( ) ( )

2

21

1

1ln 2

4 2A

ηη η

η= − − −